高等代数考研教案
高等代数教案
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
西工大考研教案高代
西工大考研教案高代教学目标：1. 熟悉高等代数的基本概念和理论，并能够灵活应用于解决实际问题；2. 掌握高等代数中的矩阵、行列式、线性方程组等内容的计算方法和性质；3. 培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力；4. 培养学生的问题解决能力和数学建模能力。
教学内容：1. 向量空间的基本概念和性质（1）向量空间的定义；（2）子空间的概念和性质；（3）线性相关性与线性无关性的判定；（4）向量空间的维数和基底；（5）向量空间的直和与直和分解。
2. 线性变换与矩阵（1）线性变换的定义和基本性质；（2）线性变换的矩阵表示和运算规律；（3）线性变换的核和像；（4）线性变换的特征值和特征向量。
3. 行列式（1）行列式的定义和基本性质；（2）行列式的计算方法和性质；（3）行列式的克拉默法则和伴随矩阵；（4）行列式的应用：线性方程组的解、矩阵的逆等。
4. 线性方程组（1）线性方程组的基本概念和分类；（2）线性方程组的解的存在性和唯一性；（3）线性方程组的可逆性和逆矩阵；（4）线性方程组的特解和通解。
教学方法与手段：1. 结合理论和实际，讲解概念和理论的同时，引入实际问题的应用；2. 加强例题的讲解和练习，培养学生的计算能力和应用能力；3. 建立概念之间的联系，引导学生形成完整的知识体系；4. 引导学生进行讨论和思考，培养学生的独立思维能力和问题解决能力；5. 利用多媒体技术，展示具体的计算过程和实例。
教学评估方式：1. 课堂互动：提问、回答问题、小组讨论等；2. 平时作业：书面作业和上机实验，检查学生对基本概念和性质的掌握程度；3. 期中考试和期末考试：检查学生对整个课程知识体系的掌握情况；4. 课堂练习：以课堂练习方式培养学生的应用能力和解决问题的能力；5. 学生课堂表现：包括主动回答问题、参与讨论、思考问题等方面的评价。
西工大考研教案高代
西工大考研教案高代高等代数考研教案一、基础知识复习1. 向量空间- 定义- 子空间的判定条件- 线性相关性与线性无关性- 极大线性无关组和极小生成组- 维数和基底2. 线性变换- 定义和性质- 线性变换的矩阵表示和性质- 相似矩阵和合同矩阵3. 特征值和特征向量- 定义和性质- 相似对角化和对称矩阵的对角化- 幂零矩阵和若尔当标准形4. 内积空间和正交性- 定义和性质- 标准正交基和单位正交基- 正交补和正交投影- 正交矩阵5. 二次型- 定义和性质- 正定、负定和不定的判定方法- 正交对角化和规范形- 等价二次型和规范化二、重点：矩阵的特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质- 特征值和特征向量的定义- 特征值和特征向量的性质（包括特征值的代数重数和几何重数）2. 可对角化矩阵和相似对角化- 可对角化矩阵的判定条件- 相似对角化的方法和步骤3. 对称矩阵的特征值和特征向量- 对称矩阵的特征值和特征向量的性质- 对称矩阵的相似对角化三、难点：正交矩阵和正交对角化1. 正交矩阵的定义和性质- 正交矩阵的定义和性质（包括列正交、行正交、单位正交和逆矩阵等）2. 正交矩阵和特征值的关系- 正交矩阵特征值的性质- 正交矩阵的谱分解和规范化3. 正交矩阵和正交对角化- 正交对角化的定义和性质- 正交矩阵的相似对角化四、拓展：二次型的正交对角化1. 二次型的定义和性质- 二次型的定义和性质- 正定、负定和不定二次型的判定2. 二次型的规范形和规范化- 二次型的规范形和规范化定义- 二次型的规范形和规范化方法3. 二次型的规范化和正交对角化- 二次型的规范化和正交对角化的关系 - 正交变换和对称矩阵的规范化五、习题和讲解1. 练习题- 基础知识题、计算题和证明题- 习题书中的相关习题2. 讲解答案- 解答基础知识题、计算题和证明题 - 解答习题书中的相关习题六、复习与总结1. 回顾重点和难点- 重点内容的回顾总结- 难点问题的梳理和解答2. 模拟考试- 完成一套模拟考试试题- 自主检查和分析3. 总结复习- 收集易错题和疑难问题- 制定复习计划和策略。
高等代数教案1
《高等代数》教案一、课程性质与目的各种数学理论在代数中取得了整合与统一，而高等代数是代数学的最基础部分。
高等代数是数学与应用数学、计算机科学、信息与计算等专业的重点基础课程，是这些专业硕士研究生入学考试的必考科目。
这是因为，它不仅是后续课程必备的数学基础，在理论和实际中有着广泛的应用背景，更重要的是这门课程的学习，对提高学生的抽象思维能力，掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，对数学思想、数学思维品质的形成，对培养数学感、数学基本功提高数学修养、数学素质，以及训练严谨的思维和严格的逻辑推理能力都有着特殊而重要的作用。
二、教学基本要求要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算。
通过课程教学及大量的习题训练等教学环节，使学生做到概念清晰、推理严密及运算准确，以及提高运用已掌握的知识分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容、学时分配及要求授课章节 §1.1 数域 §1.2 一元多项式 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 3 教学目的与要求：1． 掌握数域的概念。
2． 掌握一元多项式的定义、有关概念和基本运算性质。
教学重点、难点：一元多项式的定义、有关概念和基本运算性质 教学内容：§1.1 数域一、引言我们在处理一个数字问题时，往往要用到一些数。
按照所研究的问题，我们常常要明确规定所考虑的数的范围。
例如，求方程440x -=的根。
在有理数范围内此方程无根，在实数范围内，在复数范围内，这个方程有四个根：。
由此可见，同一问题在不同的数的范围内可能有不同的结论。
因此，在这种情况下，要明确规定所考虑的数的范围。
某个范围内的数的全体构成的集合称为数集。
另外，在作代数问题时，不但要考虑一些数，而且往往要对这些数作加减乘除四种运算。
因此所考虑的数集还必须满足条件：其中任两个数的和差积商仍在这个集合内。
根据以上的需要，人们引进了如下所谓数域的概念。
二、数域的定义定义1. 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1。
武汉大学高等代数考研教案
课时安排：40课时教学目标：1. 使学生掌握高等代数的基本概念、性质和运算方法；2. 培养学生分析问题和解决问题的能力；3. 提高学生的考研应试技巧。
教学内容：一、行列式1. 行列式的定义和性质；2. 行列式的计算方法；3. 克莱姆法则。
二、矩阵1. 矩阵的定义和性质；2. 矩阵的运算；3. 矩阵的秩；4. 矩阵的初等变换和等价标准形。
三、向量空间1. 向量空间的基本概念；2. 向量空间的基和维数；3. 向量空间的线性变换；4. 向量空间的线性相关与线性无关。
四、特征值与特征向量1. 特征值和特征向量的定义；2. 特征值和特征向量的计算方法；3. 特征值和特征向量的性质；4. 对角化与相似对角化。
五、二次型1. 二次型的定义和性质；2. 二次型的标准形；3. 二次型的正定性与合同性；4. 二次型与线性方程组的解。
教学过程：第一课时：1. 介绍高等代数的基本概念和性质；2. 讲解行列式的定义和性质，进行例题讲解。
第二课时：1. 讲解行列式的计算方法，进行例题讲解；2. 介绍克莱姆法则。
第三课时：1. 介绍矩阵的基本概念和性质；2. 讲解矩阵的运算，进行例题讲解。
第四课时：1. 讲解矩阵的秩，进行例题讲解；2. 介绍矩阵的初等变换和等价标准形。
第五课时：1. 介绍向量空间的基本概念；2. 讲解向量空间的基和维数，进行例题讲解。
第六课时：1. 讲解向量空间的线性变换，进行例题讲解；2. 讲解向量空间的线性相关与线性无关。
第七课时：1. 介绍特征值和特征向量的定义；2. 讲解特征值和特征向量的计算方法，进行例题讲解。
第八课时：1. 讲解特征值和特征向量的性质，进行例题讲解；2. 介绍对角化与相似对角化。
第九课时：1. 介绍二次型的定义和性质；2. 讲解二次型的标准形，进行例题讲解。
第十课时：1. 讲解二次型的正定性与合同性，进行例题讲解；2. 讲解二次型与线性方程组的解。
教学评价：1. 课后作业：布置与课程内容相关的课后作业，检验学生对知识的掌握程度；2. 课堂提问：在课堂上适时提问，了解学生对知识的理解和掌握情况；3. 考试：组织模拟考试，检验学生的综合能力。
高等代数教案(北大版)第一章 多项式
第一章多项式多项式理论是高等代数研究得基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其它章节，换句话说，多项式理论得讨论可以不依赖于高等代数得其他内容而自成体系，却可为其它章节的内容提供范例和理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念和基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。
教学目的：通过本章的学习，要使学生了一元多项式及运算、整除、最大公因式、(不)可约多项式、重因式等基本概念，领会因式分解定理的基本内容及复数域和实数域上的因式分解的具体内容，掌握多项式的最大公因式的求法、因式分解的方法、重因式的求法及有理系数多项式的可约性的判定。
教学重点：最大公因式的求法、因式分解定理及其应用教学难点：有理系数多项式教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。
2．习题课以多媒体教学为主。
教学内容：§1 一元多项式的定义和运算1. 多项式的定义令R是一个数环, 并且R含有数1, 因而R含有全体整数。
在这一章里, 凡是说到数环, 都作这样的约定, 不再每次重复。
先讨论R上一元多项式。
定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n (1)这里n是非负整数而a0, a1, a2, …, a n都是R中的数。
在多项式 (1)中, a0叫做零次项或常数项, a1x叫做一次项, 一般地，a i x i叫做第i次项, a i叫做第i次项的系数。
一元多项式常用符号f(x), g(x), …来表示。
2. 相等多项式:定义2 若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项, 或者只差一些系数为零的项, 那么f(x)和g(x)说是相等;f (x)=g(x)定义3a n x n叫做多项式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n, ( a n≠0)的最高次项，非负整数n叫做多项式a0+a1x+…+ a n x n, (a n≠0)的次数。
高等代数教案(信阳师范学院数学学院)
第二章行列式本章重点介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，还以行列式为工具给出了特殊线性方程组的解——克莱姆法则。
行列式在整个代数计算中起着重要的作用。
教学目的及要点1、掌握排列的定义及性质；2、会计算反序数；3、理解和掌握n阶行列式的定义和性质；4、能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式；5、理解克莱姆法则的条件及应用范围；6、应用克莱姆法则解线性方程组。
教学重点：利用行列式的性质来计算行列式和对其证明；教学难点：用行列式性质计算和证明以及克莱姆法则求解特殊线性方程组。
教学时数：18学时§2.1 引言教学目的 了解行列式产生的背景，掌握二级，三级行列式的定义. 重 点 二级，三级行列式的定义. 课 型 新授课教学过程1．线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容．在初等数学里，二元一次线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b += += (1)当112212210a a a a −≠时，用消元法，可解得唯一解122122*********b a a b x a a a a −=−，112121*********a b b ax a a a a −=−记 1112112212212122a a a a a a D a a −=!则有 1121221221222b a b a a b D b a −=!1111121212212a b a b b a D a b −=!于是，当0D ≠时，方程组(1)有唯一解：11D x D =，22Dx D=． 2．在三元一次线性方程组求解时有类似结果．即方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=++= ++= (2) 当 1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠时，(2)有唯一解11D x D =，22D x D =，33D x D=其中1121312212233233b b b D b b b b b b =，1113122123231333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如，几元一次线性方程组111122111122(3)n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=L M L对于(3)，如果有解的话，它的解是否也有类似的形式呢？答案是肯定的．为此，本章依次解决如下问题：1ο 怎样定义n 级行列式？ 2ο n 级行列式的性质与计算？3ο 在什么情况下有解？如何表示所解？§2.2 排列教学目的 掌握排列的有关术语，熟练掌握逆序数计算法和对换改变排列的奇偶性. 重 点 逆序数计算法、对换改变排列的奇偶性. 难 点 对换改变排列的奇偶性. 课 型 新授课教学过程一、排列（作为定义n 级行列式的准备）定义 由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列． 例1 2431是一个四级排列， 45213是一个五级排列． 例2 写出所有的3级排列．解：123，132，213，231，312，321． ——共6个=3！ 注 1）所有不同n 级排列的共有n ！个．2）自然序排列：1234…n （它的排序按小到大递增排列，而其它排列都或多或少破坏了这种自然顺序）二、逆序、逆序数定义： 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．注1）排列12n j j j L 的逆序数记为12()n j j j τL 例1．(31542)5τ=逆序有：31，32，54， 52， 42(35412)7τ=逆序有：31，31，54，51，52，41，42．注2）12()n j j j τL =1j 后面比1j 小的数的个数+LL +1n j −后面比1n j −小的数的个数． 或=n j 前面比n j 大的数的个数+1n j −前面比1n j −大的数的个数+LLL +2j 前面比2j 大的数的个数．例2．求n 级排列(1)321n n −L 及12(1)n n ⋅⋅−L 的逆序数解：(1)((1)321)(1)(2)212n n n n n n τ−−=−+−+++=L L (123)0n τ=L练习：求下列排列的逆序数． (1) 135(21)(2)(22)42n n n −−L L (2) (2)1(21)2(22)3(1)n n n n n −−+L解：(1)12(1)(1)21n n τ=+++−+−+++L L (1)n n =−,(242(1)n τ=+++−L (1)n n =−) (2)12(1)(2)21n n n τ=++++−+−+++L L 2(1)(1)22n n n n n +−=+= 三、奇排列、偶排列定义： 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． 如：31542为奇排列，12345为偶排列 四、对换．定义： 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．定理 1 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．推论 任有n 级排列中，奇、偶排列各半，均为!2n 个． 定理2 任意一个排列与自然序排列123n L 都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同．§2.3 n 阶行列式教学目的 熟练掌握n 级行列式的定义，掌握三角形行列式及其值. 重 点 n 级行列式的定义. 难 点 n 级行列式的定义及其应用. 课 型 新授课教学过程从本节开始总是取一固定的数域P 作为基础，所说到的数皆指数域P 中的数，当然所考虑的行列式也是数域P 上的行列式．） 一、n 级行列式的定义定义：n 级行列式 111212122212nnn n nna a a a a a a a a L L LLLLL L等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a L （1）的代数和，这里12n j j j L 为1、2、…．n 的一个排列．每一项（1）都按下列规则带有符号：当12n j j j L 为奇排列时(1)带负号；当12n j j j L 为偶排列时(1)带正号．即，1121211121()212221212(1)n n nn j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑L L L L L LLLLL L这里12nj j j ∑L 表示对所有1、2、…．n 的n 级排列求和．注：1）常记 1112121()n nij n nna a a a a a a =∆L L LLLL L 或det ij a ．2）1112121n nn nna a a a a a L L LLLL L 中的数ij a 称为行列式处于第i 行第j 列的元素，i 称为行指标，j 称为列指标．3）n 级行列式定义展开式中共有!n 项． 二、举例例1． 212(3)(1)464243−=×−−−×=−+=−−1232131181294612321=++−−−= 例2．(1234)1122334412(1)2434a a a a τ=−=(654321)162534435261123(1)6!720456a a a a a a τ=−=−=−一般地1212n n d d d d d d =L O（对角形行列式）1(1)2212(1)n n n nd d d d d d −=−L N类似可得上三角形行列式下三角形行列式练习：1）10101(1)!1n n n n−=−−O OO 2）(1)(2)2102(1)!10n n n n −−=−−N NN例3．已知112111()3211121x x f x x x −=，求3x 的系数．解：由n 级行列式定义，()f x 是一个x 的多项式函数，且最高次幂为3x ．显然含3x 的项有两项：(1234)11223344(1)a a a a τ−与(1243)11223443(1)a a a a τ−，即3x 与32x −∴()f x 中3x 的系数为－1．三、n 级行列式的等价定义定义:1212121112121222()1212(1)n n nn n i i i i i i n j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑L L L L L LLLL L其中12ni i i ∑L 表示对所有1、2、L 、n 的排列求和．附：转置行列式：设111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L ，行列式112111222212n n nn nna a a a a a a a a L L L L L L L称为D 的转置行列式，记作D ′或T D ．§2.4 n 级行列式的性质教学目的 掌握行列式的性质4、性质5，熟练掌握性质1、2、3、6、7. 重 点 性质1、2、3、6、7.难 点 灵活地应用行列式的性质计算行列式. 课 型 新授课教学过程性质1 行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212n n n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L证：记右端()ij b =∆，其中,,1,2,,ij ji b a i j n ==L ,则121212()12()(1)n n ni i i ij i i i n i i i b b b b τ∆=−∑L L L 121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i a a a τ=−∑L L L = 左端性质2 行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外．即111112111212121212n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλ=L L M M M M M M M M L L M M M M MMMM LL推论 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零．性质3 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nn n n nna a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+L L L M M L M M M L M M M L M L L L M M L M M MLMM MLMLL L 性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为0．（两行（列）相同指的是两行（列）对应元素都相等）．证：设112121112112()121212(1)i k n i k n nn i i in i i i j j j ij kj nj j j j k k kn n n nna a a a a a D a a a a a a a a a a a τ==−∑L L L L L M M LM L LL L L L L L L M LL LL且第i 行与第k 行相同，即ij kj a a =，1,2,,j n =L 由于项11()1(1)i k n i k n i i i j j ij kj nj a a a a τ−L L L L L L ①与项11()1(1)k i n k i n i i i j j ij kj nj a a a a τ−L L L L L L ②同时出现，且i i ij kj a a =，k n ij kj a a =∴①与②除去符号外，具有相同的数值，但排列1i k n i i i j L L L 与1k i n i i i j L L L 相差一个一个对换，具有相反的奇偶性．∴①、②的符号相反，即①+②=0．性质5 行列式中两行（列）成比例，则行列式为0 证：由性质2、性质4即得．性质6 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变 证：由性质3、性质5即得．性质7 对换行列式中两行（列）位置，行列式反号．证：111211112112112212121212n n i i ini k i k in kni kk k kn k k kn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a a a a ++++L L L L L L L L L L L L LL L L L L L L L L LL L L L L L L L L性质6111211112111121121212n n i k in knk k knk ii ki in i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a r r r r a a a a a a a a a a a ++−+−−−−−L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL性质6性质611121121212nk n kn i i inn n nna a a a a a a a a a a a =−L L L L L L L L L L L L L L L L ． 例1．n ab b bb a b bD b b a bbb b b a=L LLL L L L L12(1)(1)(1)n a n b a n b a n br r r b a b bb b a+−+−+−+++L L L L L LL 1111(1)b a b b a n b b b a b b b b a =+−L L L L L L L L L []1100000(1)(1)()0000n b a ba nb a n b a b b a bb ba b−−=+−=+−−−−LLL L L L L L . 例2 11234234134124123D =10234103411041210123=123412341234134101130113101010160141202220044112301110004−−====−−−−−−−.例3． 若n 级行列式n ij D a =满足ji ij a a =−，,1,2,,i j n =L ，(反对称行列式),则当n 为奇数时，0n D =.证：n D 的每行提出1−，得(1)(1)(1)'(1)n n n n n ij ji n n D a a D D =−−=−=−=−∴ 当n 为奇数时，n n D D =−，即 0n D =.§2.5 行列式的计算教学目的 掌握矩阵的概念和矩阵的初等变换，熟练掌握将数字行列式化为上三角形行列式的算法.重 点 数字行列式化为上三角形行列式的算法. 课 型 新授课教学过程一、矩阵定义 由sn 个数排成s 行n 列的表sn s s n n a a a a a aa a a 212222111211L L L L L L称为一个s ×n 矩阵，常记为n s ij a ×)(．这些数ij a 称为矩阵的元素，i 为行指标，j 为列指标．若矩阵A=n s ij a ×)(，P a ij ∈， 1,2,,,1,2,,i s j n ==L L ，则说A 为数域P 上的矩阵． 注1) 当s =n 时，n n ij a ×)(称为n 级方阵．2) n 级方阵A=n n ij a ×)(定义的n 级行列式)(ij a ∆称为矩阵A 的行列式，记作A 或detA ．即111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a=L L L L L L L ，A =nnn n n n a a a a a aa a a L L LL LL L 2122221112113) 矩阵的相等：A=n s ij a ×)(，B=q p ij b ×)(．定义A=B ⇔s =p ， n=q ， ij a =ij b ， i =1，2，…，s ， j =1，2，…，n ．二、矩阵的初等行变换定义 数域P 上矩阵的初等行变换是指：1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一行； 2) 把矩阵的某一行的k 倍加到另一行，P k ∈； 3) 互换矩阵中两行的位置．注：矩阵A 经初等行变换变成B ，一般地A ≠B ．三、阶梯形矩阵定义 矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，这样的矩阵称为阶梯形矩阵．命题1 任意一个矩阵经过一系列初等变换总能变成阶梯形矩阵． 命题2 方阵A 经过一系列初等行变换变成阶梯阵D ，则A =.0,≠λλD 四、化上三角形计算行列式312107825513713913152==−−−−−−−L练习：7261723621431524021−==−−−−−L226234352724135342−==−−−−−−L五、初等列变换定义 数域P 上矩阵的初等列变换是指：1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一列； 2) 把矩阵的某一列的k 倍加到另一列，P k ∈； 3) 互换矩阵中两列的位置．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．§2.6 行列式按一行（列）展开教学目的 掌握子式、代数余子式的概念，熟练掌握行列式按一行展开定理，零值定理，掌握范德蒙行列式及递推法.重 点 行列式按一行展开定理， 零值定理. 难 点 行列式按一行展开定理，递推法计算行列式.教学过程引入：111213222321232122212223111213313232333133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =−+一、余子式、代数余子式定义：在行列式ij a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下2(1)n −个元素按原来的排法构成一个1n −级的行列式111111111111111111111111j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a −+−−−−+−++−+++−+L L LLLLLLL L L L L L L L L L LL称之为元素ij a 的余子式，记为ij M ．令(1)i j ij ij A M +=−，称之为元素ij a 的代数余子式．引理 一个n 级行列式D ，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为0，则ij ij D a A = 定理 设,ij nD a = ij A 表示元素的ij a 代数余子式，则下列公式成立：1111220i i in ink i k i kn in D k i i D a A a A a A a A a A k i==++ +++=≠ L L 按行展开,即 11220ij ij ij ijl j l j nl nj D l j j D a A a A a a a a a a l j ==++ +++= ≠ L 按行展开,即10nis is s D k ia A k i == = ≠∑ ，10nsl sjs D l ja A l j == = ≠∑．证：111211212000000n i i in n n nna a a D a a a a a a =+++++++++L L L L L L L L L L L L L L120000000i i in a a a =+++L L L L 1122i i i i in in a A a A a A =+++L ，1122k i k i kn in a A a A a A +++L 111111()0()nk kn k kn n nna a a a i a a k a a ==L L LL L L L L L L ．例1 计算 3112513420111533D −−−=−−− （40）例2 范德蒙行列式123222212311231111()nn n i j j i nnnn nn a a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤==−∏L LL LLL L LL证：数学归纳法1 2n =时，211211a a a a =−02 假设对于1n −级范德蒙行列式结论成立．21122212112121211110n n n n n n n n na a a a D a a a a a a a a a a a a −−−−−=−−−−L L L L L L MML LML L 222211222211()()n n n n n na a a a a a a a a a −−=−−L L L L M L ML2112()()()n i j j i na a a a a a ≤<≤=−−−∏L 1()i j j i na a ≤<≤=−∏附：范德蒙行列式120,n n D a a a =⇔L 中，至少有两个相等．例：11112345(32)(42)(52)(42)(54)1249162582764125=−−−−−=． 例3 证明：111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rk r rr a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b =L L LLLLL L L L LL LL L L L L LLLLL L ．例4 123123123123a a a fb b b f Dc c c fd d d f=，求11213141A A A A +++ （＝０）例5 1513123311232234D −=，求41424344A A A A +++． 15131233(14)11232234−==− 附：行列式计算方法小结1、定义法：适用于0比较多的行列式．2、利用7条基本性质3、按行（列）展开─降级．适用于某行（列）0较多的行列式．4、其他方法 （一）析因子法例：计算221123122323152319x D x −=−解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +−+−设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+−+−令0,x =则 112312231223152319D ==−， 即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅−⋅⋅−=− 3.a ∴=−3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=−+−+−（二）箭形行列式01211122,0,1,2,3.nn i n na b b b c a D c c a i n c a +=≠=L L L LL L L L L L L L LL L L解：把所有的第1i +列(1,2)i n =L 的iic a −倍加到第1列，得： 11201(ni in n i ib c D a a a a a +==−∑L 可转为箭形行列式的行列式：121111111)111n a a a +++L LLL LLL 122)na xx x a x xxa LLL L LL L（第2把第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()12(1)1(1)11)(1)(1)1na b b a n b b b b b b a b a n b a b a bc c c a n b b a a n b b a b a+−+−+++=+−+−L L L L L L L M M M M M M M M MM M M L L L L()111(1,2)00()(1)00i n b br r i n a b a b a n b a b −−=−=−+−−L L L M M M M L121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n nn n n n c c c n n n n n n n nn n n n −−++++−−−−−−−−−L L L L M M M L M M MM M L M M L L L L L 112211231111101111(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n nnnn n n n n n n n −−−−−−−−−++=−−−−M L L L MM M M M M M M M M M L L L L 11111(2,31)00(1)200i nr r i n n nn n n n −−=−−+−L L L L L L L L L11211100(1)2n n nn n c c c n n −−++++−L L L L L L L L ()(2)(1)3211(1)1220(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n n n n n n n n n n nτ−−+−+−−−−++=−−=−−−−L LL L M L M ML(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n −−−−−++=−−=−． （四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化箭的可转为箭形行列式） （加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0n n n n n na a a a a ab a D b b b a a a b ++=≠+L L L MMLML2）121212121200,00nn n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++L L L MMLML解：1)12112122121100n nn nn nn a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++L LL M M M L M L 121121100(2,31)100100n i na a ab r r i n b b −−=+−−L L L L MMM LML111211111(1).00(1,21)00nin i inin i i iin a a a b a b b b b c b c i n b b =+=+=++=+∑∑L L L L MMMML 2)1212121111112222212111101001(2,31)001nn ni n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a r r D a a a a a a a i n a a a a a a a ++++−−−=++−−=+++−−LL L L L L L M M MLMMMMLML L1212111111222222122100001011101011120011020(3,42)1102n n i n nn nnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++−−−−−=−−−−=+−−−LL L L L L L L L MMMM LMMMMMLML L12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+−=L L 1212111111221112200200000200002i ninn a n a a a a a a a −−−−−−−∑∑L LL L M M M M L M L22112,111122(2)(2)[(2)]1122nn n ii n n i j ji n a a a a a a a n a n a −=−=−=−−−−∑∑∑L L （五）三对角型行列式─递推公式法1）95004950049000950049n D =L L L L L 解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D −−−−−=−L L L LL O O O LL L O O L L L按展开即有 11254(5)n n n n D D D D −−−−=−于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=L (6145)4,n −= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=−=L即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D −++− −= ⇒=− −=先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值0010001002.0000001n a b ab a b ab a bD a b aba b +++=++LLLL L L L L L L L）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD −−−−−−+−−=−==−L 1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD −−−−−=−==−L 而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b −−∴−=++−−=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a −−−=++−−=由以上两式解得11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++ −≠=− +=（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x a D a a a x ++=+L LL L O L L解：112200n nna x a a a x a a a a x a a a x a D aaa x aaax ++++=++L LLLL L OLL L L L LL L1210000000n n x a x ax D a−=+L L L L L L L L 1211n n n x x x a x D −−=+L11221212323.n n n n n n n D x x x a x D x x x a x D −−−−−−−=+=+L L 继续下去，可得111221*********121211221323()n n n n n n n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D x x x a x x x x x x x x x x x x x −−−−−−−=+++++=+++++L L L L L L L L L L L L（21212D ax ax x x =++）1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑L L 当时, 1）也可以用加边法做：1111011n nna a aa a x a x aD aaa x x +−==+−L LL LL L OLL L O L L L L 111101,200ni ii na aa x x i n x a x =+≠==∑LL LL L O L L L 当时,2）n a b b b c a b bD c c a b c c c a=L L L L L L L L L解：1101()0101n n nc b b b a c b b b b b b cabba b ba b bD c a c D c c a b c a b c a b c c c a ccacc a−−=+=+−L L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL LL11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc b a b −−=+−−−−−−L L LL L LLLL 11()()n n c a b a c D −−=−+− ①000n b b b b a b c a b b c a b bD c c a b c c a b c c c a c c c a−=+L L L L L L L O O O L L O O O L L L 又11111()n c a b b b a b D c c a b c c c a −=+−L L L L O O O LL11()()n n b a c a b D −−=−+− ②由a b a c ×−×−①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c −=−−−()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b −≠=−−−−==+−−当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1111n n i na a D a a a a a ++==++∑LL L L L L LL证：当1n =时，111111(1D a a a =+=+，结论成立． 假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑L ，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++L L LLLL O L LL O L L 1211101100111011111k k k a a a D a +=+L L L L O L 121k k k a a a a D +=+L 121121211111(1)(1)kkk k k k i i i ia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑L L L所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα==L O L L LO O L L L O OL L L证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 10012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++−=+−=−L O L L L O O L L L O OL L L由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=−−=−2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=−+ cos cos sin sin k k αααβ=+ cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111n n n n n n nn n n nx x x x x x D x x x x x x −−−=L L L L L O L L L解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n nn i j j i nn n n n nn n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤−−−−==−−−−∏L L L L L O L L L L显然D 就是行列式()f x 中元素1n x −的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==− （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x −的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤−+++−∏L即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=−+++−∏L121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++−∏L2）2221212111n n n n n nx x x D x x x =L L L LLLL解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n n n n nnx x x x x x x x g x x x x xxxxx −−−−=L L L L L O L L L L121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=−−−−∏显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==−，由()f x 的表达式知，x 的系数为 23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x −≤<≤−+++−∏L L L L即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +−≤<≤−++++−∏L L L L2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=−+++−∏L L L L§2.7 克兰姆(Cramer)法则教学目的 熟练掌握克莱姆法则，掌握齐次线性方程组的概念和定理7.2. 重点难点 克莱姆法则及其应用 课 型 新授课教学过程一、n 元线性方程组11112211211222221122()n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= 1+++= L L L L缩写为1,1,2,,.nij j i j a x b i n ===∑L当12,,,n b b b L 不全为0时，称 (1)为非齐次线性方程组； 当 120n b b b ====L 时，称 (１) 为齐次线性方程组． 二、克兰姆法则定理4 如果线性方程组(1)的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a=L L L L L L L 的行列式 ||0D A =≠，则方程组(1)有唯一解1212,,,n D D D n DDDx x x ===L ，其中(1,2,,)j D j n =L 是把行列式D 中第j 列的元素用方程组(1)的常数项12,,,n b b b L 代换所得的一个n 阶行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=L L L L L LLLLL L L L 11221.nj j n nj s sj s b A b A b A b A ==+++=∑L证明：验证 12(,,,n D D D D DDL 为(１)的解．方程组(1)可写成1,1,2,,.nij ji j a xb i n ===∑L把12(,,,n DDD D DD L 代入(１)的第i 个方程:左端111111nn nnjij ij j ij s sj j j j s D a a D a b A D D D =======∑∑∑∑1111111n n n nij s sj s ij ij i i j s s i a b A b a A Db b D D D ========∑∑∑∑ =右端，1,2,,.i n =L所以12(,,,)n D D D D D D L 为(１)的解;验证解唯一．设12(,,,)n c c c L 为(1)的一个解，于是有1,1,2,,.nij ji j a cb i n ===∑L (2)用系数行列式D 中第j 列元素的代数余子式12,,,j j nj A A A L 依次乘以(2)中n 个等式，再把它相加，得111111()()()n n n ns sj sj sj j sn sj n s sj s s s s a A c a A c a A c b A ====++++=∑∑∑∑L L即 j j Dc D = ．所以 ,1,2,,.j j D c j n D==L综上所述，12(,,,n D D D D D D L 为(1)的唯一解．注：① (1)的系数行列0D ≠时，(１)有解且只有唯一解； ② 若(1)无解或有两个不同的解，则(１)的系数行列式 0D =． 例1：解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++= +−+=−−−−=− +++= 解：方程组的系数行列式111112141420231531211D −===−≠−−−L ，151112214142231501211D −−===−−−−−L2284D =−，3426D =−，4142D = 方程组有唯一解（1，2，3，－1）三、齐次线性方程组11112212112222112200(3)0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++= +++=+++= L L L L注：1) 齐次线性方程组（3）总有解；2) 120n x x x ====L 为(3)的一个解， 称之为零解； 3) 除零解外的解（若还有的话）称为非零解．定理5 若齐次线性方程组（3）的系数行列 0ij D a ==，则(3)只有零解． 推论 若齐次线性方程(3)有非零解，则必有系数系数行列式0D =． 例2：问λ取何值时，齐次线性方程组1231213(5)2202(6)02(4)0x x x x x x x λλλ−++=+−= +−=有非零解?解: 522260(5)(2)(8)24D λλλλλλ−=−=−−−−当2,5,8λ=时，0D =，方程组有非零解．。
高等代数教案设计模板范文
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性空间的概念，掌握线性空间的性质。
（2）掌握线性变换的概念，理解线性变换的性质。
（3）掌握线性方程组的解法，能够解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生探究线性空间与线性变换的概念。
（2）通过小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
（3）通过实际问题的解决，提高学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对高等代数的兴趣，培养严谨的数学思维。
（2）培养学生具有科学精神，追求真理的品质。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）线性空间的概念与性质。
（2）线性变换的概念与性质。
（3）线性方程组的解法。
2. 教学难点：（1）线性空间与线性变换的抽象理解。
（2）线性方程组的解法在实际问题中的应用。
三、教学过程（一）导入1. 提问：同学们，我们之前学习了什么内容？2. 引入：今天我们将学习高等代数中的线性空间与线性变换，这是我们研究线性方程组、特征值和特征向量等问题的基石。
（二）新课讲授1. 线性空间的概念与性质（1）介绍线性空间的概念，给出线性空间的定义。
（2）讲解线性空间的性质，如加法封闭性、标量乘法封闭性、存在零向量、存在加法逆元等。
（3）举例说明线性空间的应用。
2. 线性变换的概念与性质（1）介绍线性变换的概念，给出线性变换的定义。
（2）讲解线性变换的性质，如线性、齐次性、可逆性等。
（3）举例说明线性变换的应用。
3. 线性方程组的解法（1）介绍线性方程组的解法，如高斯消元法、矩阵的逆等。
（2）讲解线性方程组解法的应用，如解线性方程组、求矩阵的逆等。
（3）举例说明线性方程组解法在实际问题中的应用。
（三）课堂练习1. 完成课本上的例题，巩固所学知识。
2. 小组讨论，解决实际问题。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点与难点。
2. 引导学生总结线性空间与线性变换的概念，以及线性方程组的解法。
（五）布置作业1. 完成课本上的习题，巩固所学知识。
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高等代数考研教案
课程名称：高等代数考研教案
课程目标：通过本课程的学习，学生将掌握高等代数的基本概念、原理和解题方法，为考研数学部分的高等代数题目做好准备。
教学内容：高等代数的基本概念、原理和解题方法
教学时长：30学时（每学时45分钟）
教学方法：理论授课与实例分析相结合
教学计划：
第一周：复线性空间和复线性变换
- 复数及其运算
- 复平面和复向量空间
- 复数矩阵及其运算
- 复线性方程组的解法
第二周：线性空间与线性变换
- 线性空间的基本性质
- 子空间和陪集
- 线性变换的基本概念
- 线性变换的矩阵表示
第三周：线性方程组与矩阵
- 线性方程组的分类与解法
- 线性方程组的向量形式及矩阵的性质
- 矩阵的初等变换与运算性质
- 矩阵的特征值和特征向量
第四周：线性空间的结构
- 线性空间的维数
- 线性空间的基和坐标
- 基变换和坐标变换
- 线性变换的矩阵标准型
第五周：正交空间与对称线性变换
- 内积与内积空间
- 欧几里得空间和幺正空间
- 标准正交基与施密特正交化
- 对称线性变换和其矩阵
第六周：二次型与正定矩阵
- 二次型的性质与矩阵表示
- 二次型的标准型
- 正定矩阵和半正定矩阵
- 二次型的正交对角化
备注：以上教学计划仅供参考，具体教学内容和教学进度可以根据实际情况进行调整。