高等代数教案,DOC
高等代数教案
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
高等代数教案设计(张禾瑞版)
1.讲授法。2.讨论法。3.讲练结合
教学内容及
时间安排
§1 一元多项式的定义和运算2学时
§2 多项式的整除性4学时
习题课 2学时
§3 多项式的最大公因式2学时
§4 多项式的分解2学时
习题课 2学时
§5 重因式2学时
§6 多项多函数，多项式的根2学时
习题课 2学时
§7 复数和实数域上多项式2学时
§4 整数的一些整除性质2学时
§5 数环和数域2学时
习题课 2学时
学习指导
1.复习教材和笔记中本章内容。
2.让学生阅读北京师范大学，高等代数 第一章
3.让学生阅读《高等代数辅助教材》 第一章。
作业及思考题
教材第一章习题：第6页：6、7； 第14页：5、10；第18页：1、4、5；
第29页：2、4、5；第25页：3、5。
§8 有理数域上多项式4学时
习题课 2学时
学习指导
1.复习教材和笔记中本章内容。
2.让学生阅读北京师范大学，高等代数 第二章
3.让学生阅读《高等代数辅助教材》 第二章。
作业及思考题
教材第二章复习思考题：第31页：3 ；第38页：5、6、7；第48页：6、7、9、10、11 ；第56页：3、5、6；第59页：3、4、5 ；第65页：4、7、8；第71页：2、3、4、5； 第80页：2、3、4。
教学难点
矩阵运算及运算规则、矩阵可逆条件及求逆矩阵的方法，求矩阵的秩。初等变换与初等矩阵的关系，矩阵乘积的秩和矩阵乘积的行列式。
教学方法
1.讲授法。2.讨论法。3.讲练结合
教学内容及
时间安排
§1 矩阵的运算2学时
习题课 2学时
§2 可逆矩阵，矩阵乘积的行列式4学时
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§7.2 线性变换的运算教学目的本节要求掌握线性变换的四种运算即加法运算、数乘运算、乘法运算、可逆线性变换教学难点乘法运算、可逆线性变换教学重点乘法运算、可逆线性变换教学过程备注教学内容一、线性变换的加法运算及数乘运算1．线性变换的加法运算定义1 设σ, τ∈L (V). σ与τ的和σ＋τ定义为(σ＋τ) (α)＝σ (α)＋τ (α), ∀α∈V.易知σ＋τ也是V的线性变换. 事实上，对任意α, β∈V, k∈F，有(σ＋τ) (α＋β)＝σ (α＋β)＋τ (α＋β)＝σ (α)＋σ (β)＋τ(α)＋τ (β)＝(σ＋τ) (α)＋(σ＋τ)(β).(σ＋τ) (kα)＝σ (kα)＋τ (kα)＝kσ (α)＋kτ (α)＝k ((σ＋τ) (α)).2．线性变换的数乘运算定义2 设σ∈L(V)，k是F中的一个数. k与σ的积kσ定义为(kσ) (α)＝k(σ (α))，∀α∈V.容易验证，kσ也是V的一个线性变换.3．线性变换的加法运算和数乘运算的性质定理7.2.1L(V)对于线性变换的加法，数与线性变换的乘法运算构成数域F上的一个向量空间.证L(V)对于线性变换的加法、数与线性变换的乘法运算是封闭的，并且这两种运算显然满足向量空间定义中的1), 2), 5), 6), 7), 8). 即对任意σ,τ , ρ∈L (V)，k, l∈F，有1) σ＋τ＝τ＋σ；2) (σ＋τ)＋ρ＝τ＋(σ＋ρ)；5) k(σ＋τ)＝kσ＋kτ；6) (k＋l)σ＝kσ＋lσ；7) (kl)σ＝k (lσ) ；8) 1σ＝σ.下面只需说明向量空间定义中3), 4)也成立.对任意的线性变换σ∈L (V), 有(σ＋θ ) (α)＝σ (α)＋θ (α)＝σ (α)＋0＝σ (α) (∀α∈V).因此，有3) σ＋θ＝σ.对任意σ∈L(V)，σ的负变换－σ规定为(－σ) (α)＝－σ (α)，∀α∈V.于是有[σ＋(－σ)] (α)＝σ (α)＋(－σ) (α)＝σ (α)－σ (α)＝0＝θ (α)，(∀α∈V).因此，有4)σ＋(－σ)＝θ.二、线性变换的乘法运算1．线性变换乘法运算的定义定义3设σ, τ∈L(V). σ与τ的乘积στ定义为(στ) (α)＝σ [τ (α)], ∀α∈V.στ当然是V的一个变换. 下面说明στ是V的线性变换.任意α , β∈ V, k∈F，有(στ) (α＋β)＝σ (τ (α＋β))＝σ (τ(α)＋τ(β))＝σ (τ (α))＋σ(τ (β))＝(στ)(α)＋(στ)(β).στ (kα)＝σ(τ(kα))＝σ(kτ (α))＝k (σ(τ(α))＝k (στ)(α).因此στ是线性变换.2．线性变换的加法、乘法及数与线性变换的乘法运算还适合以下算律：9) ρ (σ＋τ)＝ρσ＋ρτ；10) (σ＋τ)ρ＝σρ＋τρ；11) (kσ) τ＝σ (kτ)＝k (στ)；12) ρ (στ)＝(ρσ)τ.这里，ρ,σ,τ∈L(V)，k是F中的任意数.我们只验证9)，其余的等式可类似地验证. 对任意α∈V, 有(ρ (σ＋τ)) (α)＝ρ ((σ＋τ) (α))＝ρ (σ (α)＋τ (α))＝ρ (σ (α))＋ρ (τ(α))＝(ρσ) (α)＋(ρτ)(α)＝(ρσ＋ρτ) (α).所以9)成立.3．线性变换的方幂定义一个线性变换σ的方幂为σn =nσσσ. 这里n是正整数.又规定σ0＝ι .三、可逆线性变换例1在M n(R)中取定一个可逆矩阵A，定义M n(R)的线性变换σ, τ为σ：X→AX，∀X ∈M n(R).τ：X→A-1X，∀X∈M n(R).于是(στ) (X)＝σ (τ (X))＝σ (A-1X)＝A (A-1X)＝X，(τσ) (X)＝τ (σ (X))＝τ (AX)＝A-1 (AX)＝X.即(στ) (X)＝(τσ) (X)＝ι (X).即στ＝τσ＝ι.1．可逆线性变换的概念定义4设σ∈L(V)，若存在V的变换τ，使得στ＝τσ＝ι，则称线性变换σ是可逆的, τ称为σ的逆变换.2．可逆线性变换的逆变换是唯一的，σ的逆变换记作σ－1.因为若τ1, τ2都是σ的逆变换时，τ1＝τ1ι＝τ1(στ2)＝(τ1σ)τ2＝ιτ2＝τ2. 3．如果σ是线性变换，则σ的逆变换也是线性变换.设σ是可逆线性变换,则有σσ－1＝σ－1σ＝ι. 因此,对任意α , β∈ V, k∈F，有σ[σ－1(α＋β)]＝σσ－1(α＋β)＝ι(α＋β)＝ι(α)＋ι(β)＝σσ－1(α)＋σσ－1(β)＝σ[σ－1(α)＋σ－1 (β)]；σ[σ－1(kα)]＝σσ－1(kα)＝ι(kα)＝kι(α)＝kσσ－1(α)＝σ[kσ－1(α)]求上两式左、右两端在σ－1之下的象，得σ－1(α＋β)＝σ－1(α)＋σ－1(β)；σ－1(kα)＝kσ－1(α).因此σ的逆变换也是线性变换.定理7.2.2设σ∈L(V)，{α1, α2, …, αn}是V的一个基. 则σ可逆的充要条件是σ (α1), σ(α2), …, σ (αn)线性无关.证必要性. 设k1σ (α1)＋k2σ(α2)＋…＋k nσ (αn)=0,其中k1 ，k2 , …, k n∈F.因为σ可逆，上式两边用σ-1作用：σ－1 (k1 σ (α1)＋k2 σ (α2)＋…＋k nσ (αn))＝σ－1(0)即k1(σ－1σ) (α1)＋k2 (σ－1σ)(α2)＋…＋k n(σ－1σ)(αn)＝σ－1(0).亦即k 1α1＋k2α2＋…＋k nαn＝0.因为{α1, α2, …, αn}是V的一个基，所以k1=k2 =…=k n=0. 因此σ(α1)，σ(α2),…, σ (αn)线性无关.充分性. 设σ (α1)，σ (α2), …,σ (αn)线性无关，那么{σ (α1)，σ(α2), …,σ(αn)}是V的一个基. 由定理7.1.2，存在V的一个线性变换τ，使得τ (σ (αi))＝αi , i＝1,2, … , n.于是，有τσ(αi)＝ι (αi). i＝1,2,…, n.由推论7.1.3，得τσ＝ι.另外，有σ(τσ) (αi)＝σ (αi)，i＝1, 2, … , n.即(στ)[σ (αi)]＝σ (αi)，＝ι[σ (αi)], i＝1,2, …, n.再由推论7.1.3，得στ＝ι.由定义，σ可逆.例2 定义F3的变换σ为σ(α)＝(x1＋x2＋x3, x2＋x3, x3), ∀α＝(x1, x2, x3)∈V3.证明σ是可逆的线性变换.任取F3的向量β1＝(a1,a2,a3), β2＝(b1,b2,b3)，有σ(β1＋β2)＝σ (a1＋b1,a2＋b2, a3＋b3)＝(a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3, a2＋b2＋a3＋b3, a3＋b3)＝((a1＋a2＋a3)＋(b1＋b2＋b3),(a2＋a3)＋(b2＋b3), a3＋b3)＝(a1＋a2＋a3, a2＋a3, a3)＋(b1＋b2＋b3, b2＋b3, b3)＝σ (β1)＋σ (β2).对任意的数k F∈，β1＝(a1,a2,a3)∈F3，有σ (kβ1)＝σ (ka1, ka2, ka3)＝(ka1＋ka2＋ka3, ka2＋ka3, ka3)＝k (a1＋a2＋a3, a2＋a3, a3)＝k σ (β1)，所以σ是一个线性变换.再证σ是可逆的. 取V3的基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1).则σ (ε1)＝(1, 0, 0), σ(ε2)＝(1, 1, 0), σ(ε3)＝(1, 1, 1).因为σ (ε1), σ(ε2), σ (ε3)线性无关，所以，由定理7.2.2知，σ是一个可逆线性变换.最后，介绍线性变换的多项式的概念. 设σ是F上向量空间V的一个线性变换，f (x)是一个数域F上的多项式教学小结本节内容分为下面四个问题讲：1. 加法运算2. 数乘运算3. 乘法运算(1). 乘法运算(2). 线性变换σ的方幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件本课作业本课教育评注。
(完整word版)高等代数教案北大版第八章
讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵2 学时讲课种类讲解法与练习法使学生认识-矩阵的观点，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
求 -矩阵的逆矩阵启迪式讲解，议论，练习n 阶矩阵A与对角阵相像的充要条件是A有 n 个线性没关的特点向量.那么当只有 m( m n) 个线性没关的特点向量时, A与对角阵是不相像的.对这类情况 ,我们“退而求其次” ,找寻“几乎对角的”矩阵来与A相像 .这就引出了矩阵在相像下的各样标准型问题 .Jordan 标准型是最靠近对角的矩阵而且其相关的理论包括先前相关与对角阵相像的理论作为特例 .其他 , Jordan 标准型的宽泛应用波及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .因为Jordan 标准型的求解与特点多项式相关,而从函数的角度看,特点多项式其实是特别的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究 .一、- 矩阵及其标准型定义 1称矩阵 A() ( f ij ()) 为-矩阵 ,此中元素f ij ( )(i1,2,L, m; j 1,2,L , n)为数域 F 上对于的多项式 .定义 2称 n 阶-矩阵A() 是可逆的,假如有A B B A I n并称 B( ) 为A() 的逆矩阵.反之亦然.定理 1 矩阵A() 可逆的充要条件是其队列式为非零的常数,即det( A( )) c0 .证明：（ 1）充足性设A=d 是一个非零的数. A*表示A() 的伴随矩阵 ,则d1A*也是一个-矩阵 ,且有A d 1 A* d 1 A*A I所以,A( ) 是可逆的.(2) 必需性设A() 有可逆矩阵B() ,则A B I两边取队列式有A B I1因为 A与 B都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 ,即都是非零常数 .证毕 .例题 1判断-矩阵2 +121A=11能否可逆 .解固然2 +121A=1=201A( ) 是满秩的,但A不是非零常数 ,因此A() 是不行逆的.注意与数字矩阵不一样的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的实质就是要保证变换的矩阵能够经过非零常数的倒数逆回去.定义3假如矩阵A() 经过有限次的初等变换化成矩阵B() ，则称矩阵A( ) 与B()等价,记为A B定理2矩阵A()与B() 等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得B P A Q证明因为 A B, 所以A() 能够经过有限次初等变换变为B() ,即存在初等矩阵P( ),P( ),L ,P( )12s与初等矩阵Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Q t ( )使得B( ) P( )P( )L P( )A( )Q( )Q( )L Q( )12s12t令P( ) P1 ( )P2 ( )L P s () ,Q( ) Q1( )Q2 ( )L Q t ( )就是所要求的-矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积,进而使可逆的 .证毕 .定义 4矩阵 A() 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 D k称为 A() 的k阶队列式因子.定理 2等价矩阵拥有同样的秩和同样的各级队列式因子.证明设-矩阵A( )经过一次行初等变换化为了B() ，f () 与 g( ) 分别是A( )与B() 的 k 阶队列式因子.需要证明f( )= g().分3种状况议论：（ 1）A( )i , j B( ),此时,B() 的每个 k 阶子式或许等于A( ) 的某个k 阶子式,或许与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f ()是B() 的k阶子式的公因子 ,进而f ()| g() .（2）A( )i(c)B( ) ,此时,B( )的每个k阶子式或许等于A( )的某个 k 阶子式,或许等于 A() 的某个 k 阶子式的c倍.所以,f()是B() 的 k 阶子式的公因式 ,进而f()|g( ) .（3）A( )i j( )行与 j行的阶子式和B( ) ,此时,B( )中那些包括i那些不包括 i 行的 k 阶子式都等于A() 中对应的 k 阶子式； B() 中那些包括 i 行但不包括 j 行的 k 阶子式,按 i 行分红两个部分,而等于A( )的一个k阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和,,也就是A() 的两个 k 阶子式的线性组合,所以,f( ) 是的k阶子式公因式进而 f( )| g().,对于列变换, 能够同样地议论.总之 , A() 经过一系列的初等变换变为B() ，那么f()|g() .又因为初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变换能够变为 A() ,进而也有g( )| f() .当 A( ) 所有的阶子式为零时, B() 所有的 k 阶子式也就等于零；反之亦然.故 A() 与 B( ) 又同样的各阶队列式因子,进而有同样的秩.证毕.既然初等变换不改变队列式因子,所以 ,每个-矩阵与它的标准型有完整相同的队列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因此 ,在求一个-矩阵的队列式因子时 ,只需求出它的标准型的队列式因子即可.议论、练习与作业课后反省讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型2讲课种类讲解课认识- 矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的观点和求最小多项式的方法。
(完整word版)最新高等代数北大版教案-第5章二次型
第五章二次型§ 1二次型的矩阵表示授课内§ 1二次型的矩阵表示二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同.三教学重点：矩阵表示二次型四教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况• 五教学过程:定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2, ,x n 的二次齐次多项式称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为 二次型.例如： 2X1NX 2 3X 1X 3 2x 2 4X 2X 3 3X3就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设 X 1,X 2,x n， y 1, y 2,,y n 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式X1C 11 y 1 C 12 y 2Gn*X2C 21 y 1 C 22 y 2C 2n y n⑷XnC n1 y 1C n2 y 2C nn y n称为X 1,X 2 ,,X n到y 1,y 2, ,yn的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式C j 0，那么线性替换 ⑷ 就称为非退化的. 二次型的矩阵表示:f(X i ，X ,\ 2，Xn ) ai1X1 2a 12x 1x 22a 1n x 1x2 822X22a 2n X 2X n2a nn X n令 a ij a ji ，i j 由于 x i x j x j x i ,那么二次型(3) 就可以写为A A.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型 (5) 的矩阵都是对称的 .x 1x 2 2, 于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，x na 11 a 12 a 1n x 1 X AXx 1 x 2a 21 a 22a 2nx 2x na n1a n2a nn x na 11x 1 a 12 x 2a 1n x na 21x 1 a 22x 2 a 2n x nx 1 x 2x na n1x 1 a n2x 2a nn x nnna 21x 2x 1 f (x 1,x 2,a 22 x 22,x n )a 11x 1a 2n x 2x n a 12x 1x 2a 1n x 1 x n…+an1X n X1a n2x n x 2a nn x nna ij x i x j(5)j1把 (5) 的系数排成一个n 矩阵a 11 a 21 a 12 a 22a 1n a 2na n1 a n2a nn 它称为二次型(5)的矩阵.因为a jija ji， i,j1,2, ,n ，所以a ij x i x j.i 1 j 1f(x1,x2, ,x n) X AX .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的. 由此还能得到，若二次型f(x1,x2,,x n)X AX X BX且 A A,BB，则， A B线性替换的矩阵表示c11 c12c1n y1令C c21 c22c2n2n, Y y2,J那么，线性替换(4) 可以写成，c n1 c n2c nn y nx1 c11c12c1n y1x2 c21c22c2n y2x n c n1c n2c nn y n或者X CY.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设f(x1,x2, ,x n) XAX ， A A，(7)是一个二次型，作非退化的线性替换X CY (8)得到一个y i, y2, , y n的二次型Y BY .现在来看矩阵B与矩阵A的关系把(8) 代入(7) 有f(x1,x2, ,x n) XAX (CY)A(CY) YCACY Y(CAC)Y YBY.容易看出，矩阵CAC也是对称的，事实上，(CAC) C AC C AC.由此，即得B CAC.定义2数域P上n n矩阵代B称为合同的，如果有数域P上可逆的n n矩阵C，使B CAC.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有(1) 反身性A EAE.(2) 对称性由B C AC ，即得A (C 1) B(C 1).(3) 传递性由A1 C1 AC1，A2 C2 A1C2 ，即得A2 (C1C2) A(C1C2). 因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§ 2 标准形一授课内容：§ 2 标准形二教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三教学重点：化普通的二次型为标准形.四教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五教学过程：I 导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型2 2 2d1x12d2x22d n x n2(1)II 讲授新课定理 1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1) 的形式. 不难看出，二次型(1) 的.d100X1d20X22 2 2 0d1X1 d2X2 d n X n= X1 X2 X n00d n X n 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义二次型f (x1,x2, , x n )经过非退化的线性替换所变成的平方和称为f (x1,x2, ,X n)的一个标准形.f (x 1,x 2,x 3)而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，X 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0w 11 13w 1X 21 1 0 0 1 0 0 12 w 2 0 1 1 w2 X 30 0 1 0 0 1 0 0 1 w 30 0 1 w 3用矩阵的方法来解例 化二次型 为标准形 . 0 1 1解：fdvX z ’X s )的矩阵为A 10 313 0f (X 1,X 2,X 3)2X 1X 2 6X 2X 3 2X 1X 3为标准形 .解： 作非退化的线性替换X 1y 1 y 2X 2y 1 y 2X 3y则 f(X 1,X 2,X 3) 2(y 1 y 2)(y 1 y 2 ) 6(y 1 y 2)y 3 2(y 1 y 2)y 3 2y 122y 224y 1 y 3 8y 2y 3 2(y1y 3)22y 322y 228y 2y 3z 1 y 1y 3y 1z 1z 3再令z 2 y 2 或y 2 z 2z 3y 3y 3z 3则 f (X 1,X 2 ,X 3) 2z 122z 228z 2 z 32z 322z 122(z 2 2z 3)26z 32.w 1z 11 w 1最后令w 2 z 22z 3 或 z 2 w 2 2w 3例 化二次型w3 z 3z 3 w 3 2w 122w 226w 32是平方和，f (x 1,x 2,x 3)2x 1x 2 6x 2x 32x 1x 3110100C C 1C 2C 3001就有200C AC 02 0006作非退化的线性替换X CY 即得f(x 1,x 2,x 3) 2y 122y 226y 32.取 C 1 11 0 ,则 A 1 C 1 AC 11 1 0 0 1 11 10 11 0 1 031 10 0 01 1300011 0 1再取 C 2 0 1 0， 则 A 2C 2 A 1C 20 0 1101 2 4 0 0 0 1100再取 C 3 0 1 2 ，则 A 300110 01 02A 是对角矩阵，因此令0 2 0 0 1 0 0 0 0 2 4 0 1 21 04 20 0 1012 0011 0 02 0 2 1 0 1C 3A 2C 3§ 3 唯一性一授课内容：§ 3唯一性二教学目的：通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正（负）惯性指数，符号差•三教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别四教学难点：实二次型的唯一性五教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关•二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的•例二次型 f (X i, X2, X3)2X1X26X2X3 2 X1X3经过非退化的线性替换X i113w1X 2011w2X3001W3得到标准形2w：2w；6W3.而经过非退化的线性替换111X i2y1111X——y223X1y3003就得到另一个标准形约222y22 2 尹这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题 .对于复数域的情形设f(X i ，X 2， ,X n )是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化 的线性替换后，f ( X 1, X 2 , ,X n )变为标准形，不妨设标准形为2 2d i y id 2『2d r Y r 2，d i0，i 1,2, ,r(易知，r 就是f (X i , X 2, ,X n )的矩阵的秩.‘因为复数总可以开平方,们再作一非退化的线性替换y i1「d 1z1Y r1 —drZr(2)y r 1Z r 1Y nZ n(1)就变为2Z12 Z2Z ； ⑶⑶称为复二次型f(X 1，X 2, ，Xn )的规范形 .显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替 换可以变为规范形，规范形是唯一的•定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为1的对角矩阵•从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相对于实数域的情形设f（X i，X2， ,X n）是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（%,X2，,X n）变为标准形，dy2d p y：d pi y：i d「y；⑷d i 0 i 1,2, ,r ，r就是f（x「X2, x）的矩阵的秩•因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换y ii --------- z i d iy ri—d「(5) y r i Z r iy n Z n（4）就变为2Z i 2 2Z p Z p2i Z r⑹⑹称为实二次型f（X i，X2， ,X n）的规范形•显然，规范形完全被r, p 这两个数所决定•定理4（惯性定理）任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3在实二次型f（X i，X2， ,X n）的规范形中，正平方项的个数p称为f （X i，X2，,X n）的正惯性指数，负平方项的个数r p称为f （X i ,X2, , X n）的负惯性指数，它们的差p （r p） 2 p r称为f （ X i ,X2 , , X n）的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数•§ 4 正定二次型一 授课内容： § 4 正定二次型二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握正定 （ 负定，半正定，半负 定，不定）二次型或矩阵 .（ 顺序）主子式的定义，掌握各种类型的判别法 . 三 教学重点： 正定二次型 . 四 教学难点： 判别方法 五 教学过程：定义4实二次型f （X 「X 2， ,X n ）称为正定的，如果对于任意一组不 全为零的实数C i ,C 2, ,C n 都有f （C i ，C 2， ,C n ） 0 .显然，二次型22f(X 1,X 2, ,X n ) X 1X n 是正定的，因为只有在 C 1 C 2C n时， C 12般的，实二次型f(X 1,X 2, ,X n ) d 1X 12d 2X 22是正定的，当且仅当 d i 0 i 1,2, ,n . 可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变 .定理5 n 元实二次型f （x i ，x 2， ,X n ）是正定的充分必要条件是它的 正惯性指数等于 n .定理5说明，正定二次型f （x 1,x 2,, x n ）的规范形为22 y 1y n （5）定义5实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型 XAX 正定. 因为二次型 （5）的矩阵是单位矩阵 E ，所以一个实对称矩阵是正定的，d n X n 2C2才为零.负定的；如果都有f (C 1, C 2 ,,C n ) 0，那么f (X 1, X 2,,X n )称为半正定的；当且仅当它与单位矩阵合同. 推论正定矩阵的行列式大于零 定义6是否正定.解：f (X i , X 2 , X 3 )的矩阵为它的顺序主子式因之，f(X i ，X 2，X 3)正定.与正定性平行，还有下面的概念5245 20 ，2 1 22 142 55 0 ，子式称为矩阵A 定理6a 11 a 21a i1a 12 a 22a i2(a j )nn 的顺序主子式.实二次型 a 1ia 2i a(i 1,2, ,n)f (X 1 , X 2 , ,X n ) na j X j X j X AXj 1是正定的充分必要条件为矩阵 例判断二次型A 的顺序主子式全大于零.f(X 1，X 2，X 3) 5x 12X 22X 34X 1X 2 8x 1x 3 4X 2X 3定义 7 设 f (X 1, X 2 ,, x n )是实二次型, 对于任意一组不全为零的实数C1,C2, ,C n，如果都有f(G,C2, ,C n) 0,那么f区兀，，冷)称为负定的；如果都有f (C1, C2 , ,C n) 0，那么f (X1, X2, ,X n )称为半正定的；如果都有 f(c 1,c 2, ,c n ) 0，那么 f (x 1,x 2, , x n )称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么 f (x 1,x 2, , x n )就称为不定的.对于半正定，我们有定理7对于实二次型f(X i ，X 2， ,X n ) X AX ，其中A 是实对称的, 面条件等价：(1) f (x 1,x 2, , x n )是半正定的. (2) 它的正惯性指数与秩相等(3) 有可逆实矩阵 C ，使d n(4) 有实矩阵C 使A CC.(5) A 的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5) 中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性 的.比如， f (x 1,x 2) x 22x 1 x 2 0 0 x1就是一个反例 .0 1 x 2CACd 1d 2，其中， d i 0 i 1,2, ,n .。
高等代数教案(信阳师范学院数学学院)
第二章行列式本章重点介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，还以行列式为工具给出了特殊线性方程组的解——克莱姆法则。
行列式在整个代数计算中起着重要的作用。
教学目的及要点1、掌握排列的定义及性质；2、会计算反序数；3、理解和掌握n阶行列式的定义和性质；4、能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式；5、理解克莱姆法则的条件及应用范围；6、应用克莱姆法则解线性方程组。
教学重点：利用行列式的性质来计算行列式和对其证明；教学难点：用行列式性质计算和证明以及克莱姆法则求解特殊线性方程组。
教学时数：18学时§2.1 引言教学目的 了解行列式产生的背景，掌握二级，三级行列式的定义. 重 点 二级，三级行列式的定义. 课 型 新授课教学过程1．线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容．在初等数学里，二元一次线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b += += (1)当112212210a a a a −≠时，用消元法，可解得唯一解122122*********b a a b x a a a a −=−，112121*********a b b ax a a a a −=−记 1112112212212122a a a a a a D a a −=!则有 1121221221222b a b a a b D b a −=!1111121212212a b a b b a D a b −=!于是，当0D ≠时，方程组(1)有唯一解：11D x D =，22Dx D=． 2．在三元一次线性方程组求解时有类似结果．即方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=++= ++= (2) 当 1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠时，(2)有唯一解11D x D =，22D x D =，33D x D=其中1121312212233233b b b D b b b b b b =，1113122123231333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如，几元一次线性方程组111122111122(3)n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=L M L对于(3)，如果有解的话，它的解是否也有类似的形式呢？答案是肯定的．为此，本章依次解决如下问题：1ο 怎样定义n 级行列式？ 2ο n 级行列式的性质与计算？3ο 在什么情况下有解？如何表示所解？§2.2 排列教学目的 掌握排列的有关术语，熟练掌握逆序数计算法和对换改变排列的奇偶性. 重 点 逆序数计算法、对换改变排列的奇偶性. 难 点 对换改变排列的奇偶性. 课 型 新授课教学过程一、排列（作为定义n 级行列式的准备）定义 由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列． 例1 2431是一个四级排列， 45213是一个五级排列． 例2 写出所有的3级排列．解：123，132，213，231，312，321． ——共6个=3！ 注 1）所有不同n 级排列的共有n ！个．2）自然序排列：1234…n （它的排序按小到大递增排列，而其它排列都或多或少破坏了这种自然顺序）二、逆序、逆序数定义： 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．注1）排列12n j j j L 的逆序数记为12()n j j j τL 例1．(31542)5τ=逆序有：31，32，54， 52， 42(35412)7τ=逆序有：31，31，54，51，52，41，42．注2）12()n j j j τL =1j 后面比1j 小的数的个数+LL +1n j −后面比1n j −小的数的个数． 或=n j 前面比n j 大的数的个数+1n j −前面比1n j −大的数的个数+LLL +2j 前面比2j 大的数的个数．例2．求n 级排列(1)321n n −L 及12(1)n n ⋅⋅−L 的逆序数解：(1)((1)321)(1)(2)212n n n n n n τ−−=−+−+++=L L (123)0n τ=L练习：求下列排列的逆序数． (1) 135(21)(2)(22)42n n n −−L L (2) (2)1(21)2(22)3(1)n n n n n −−+L解：(1)12(1)(1)21n n τ=+++−+−+++L L (1)n n =−,(242(1)n τ=+++−L (1)n n =−) (2)12(1)(2)21n n n τ=++++−+−+++L L 2(1)(1)22n n n n n +−=+= 三、奇排列、偶排列定义： 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． 如：31542为奇排列，12345为偶排列 四、对换．定义： 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．定理 1 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．推论 任有n 级排列中，奇、偶排列各半，均为!2n 个． 定理2 任意一个排列与自然序排列123n L 都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同．§2.3 n 阶行列式教学目的 熟练掌握n 级行列式的定义，掌握三角形行列式及其值. 重 点 n 级行列式的定义. 难 点 n 级行列式的定义及其应用. 课 型 新授课教学过程从本节开始总是取一固定的数域P 作为基础，所说到的数皆指数域P 中的数，当然所考虑的行列式也是数域P 上的行列式．） 一、n 级行列式的定义定义：n 级行列式 111212122212nnn n nna a a a a a a a a L L LLLLL L等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a L （1）的代数和，这里12n j j j L 为1、2、…．n 的一个排列．每一项（1）都按下列规则带有符号：当12n j j j L 为奇排列时(1)带负号；当12n j j j L 为偶排列时(1)带正号．即，1121211121()212221212(1)n n nn j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑L L L L L LLLLL L这里12nj j j ∑L 表示对所有1、2、…．n 的n 级排列求和．注：1）常记 1112121()n nij n nna a a a a a a =∆L L LLLL L 或det ij a ．2）1112121n nn nna a a a a a L L LLLL L 中的数ij a 称为行列式处于第i 行第j 列的元素，i 称为行指标，j 称为列指标．3）n 级行列式定义展开式中共有!n 项． 二、举例例1． 212(3)(1)464243−=×−−−×=−+=−−1232131181294612321=++−−−= 例2．(1234)1122334412(1)2434a a a a τ=−=(654321)162534435261123(1)6!720456a a a a a a τ=−=−=−一般地1212n n d d d d d d =L O（对角形行列式）1(1)2212(1)n n n nd d d d d d −=−L N类似可得上三角形行列式下三角形行列式练习：1）10101(1)!1n n n n−=−−O OO 2）(1)(2)2102(1)!10n n n n −−=−−N NN例3．已知112111()3211121x x f x x x −=，求3x 的系数．解：由n 级行列式定义，()f x 是一个x 的多项式函数，且最高次幂为3x ．显然含3x 的项有两项：(1234)11223344(1)a a a a τ−与(1243)11223443(1)a a a a τ−，即3x 与32x −∴()f x 中3x 的系数为－1．三、n 级行列式的等价定义定义:1212121112121222()1212(1)n n nn n i i i i i i n j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑L L L L L LLLL L其中12ni i i ∑L 表示对所有1、2、L 、n 的排列求和．附：转置行列式：设111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L ，行列式112111222212n n nn nna a a a a a a a a L L L L L L L称为D 的转置行列式，记作D ′或T D ．§2.4 n 级行列式的性质教学目的 掌握行列式的性质4、性质5，熟练掌握性质1、2、3、6、7. 重 点 性质1、2、3、6、7.难 点 灵活地应用行列式的性质计算行列式. 课 型 新授课教学过程性质1 行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212n n n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L证：记右端()ij b =∆，其中,,1,2,,ij ji b a i j n ==L ,则121212()12()(1)n n ni i i ij i i i n i i i b b b b τ∆=−∑L L L 121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i a a a τ=−∑L L L = 左端性质2 行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外．即111112111212121212n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλ=L L M M M M M M M M L L M M M M MMMM LL推论 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零．性质3 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nn n n nna a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+L L L M M L M M M L M M M L M L L L M M L M M MLMM MLMLL L 性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为0．（两行（列）相同指的是两行（列）对应元素都相等）．证：设112121112112()121212(1)i k n i k n nn i i in i i i j j j ij kj nj j j j k k kn n n nna a a a a a D a a a a a a a a a a a τ==−∑L L L L L M M LM L LL L L L L L L M LL LL且第i 行与第k 行相同，即ij kj a a =，1,2,,j n =L 由于项11()1(1)i k n i k n i i i j j ij kj nj a a a a τ−L L L L L L ①与项11()1(1)k i n k i n i i i j j ij kj nj a a a a τ−L L L L L L ②同时出现，且i i ij kj a a =，k n ij kj a a =∴①与②除去符号外，具有相同的数值，但排列1i k n i i i j L L L 与1k i n i i i j L L L 相差一个一个对换，具有相反的奇偶性．∴①、②的符号相反，即①+②=0．性质5 行列式中两行（列）成比例，则行列式为0 证：由性质2、性质4即得．性质6 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变 证：由性质3、性质5即得．性质7 对换行列式中两行（列）位置，行列式反号．证：111211112112112212121212n n i i ini k i k in kni kk k kn k k kn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a a a a ++++L L L L L L L L L L L L LL L L L L L L L L LL L L L L L L L L性质6111211112111121121212n n i k in knk k knk ii ki in i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a r r r r a a a a a a a a a a a ++−+−−−−−L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL性质6性质611121121212nk n kn i i inn n nna a a a a a a a a a a a =−L L L L L L L L L L L L L L L L ． 例1．n ab b bb a b bD b b a bbb b b a=L LLL L L L L12(1)(1)(1)n a n b a n b a n br r r b a b bb b a+−+−+−+++L L L L L LL 1111(1)b a b b a n b b b a b b b b a =+−L L L L L L L L L []1100000(1)(1)()0000n b a ba nb a n b a b b a bb ba b−−=+−=+−−−−LLL L L L L L . 例2 11234234134124123D =10234103411041210123=123412341234134101130113101010160141202220044112301110004−−====−−−−−−−.例3． 若n 级行列式n ij D a =满足ji ij a a =−，,1,2,,i j n =L ，(反对称行列式),则当n 为奇数时，0n D =.证：n D 的每行提出1−，得(1)(1)(1)'(1)n n n n n ij ji n n D a a D D =−−=−=−=−∴ 当n 为奇数时，n n D D =−，即 0n D =.§2.5 行列式的计算教学目的 掌握矩阵的概念和矩阵的初等变换，熟练掌握将数字行列式化为上三角形行列式的算法.重 点 数字行列式化为上三角形行列式的算法. 课 型 新授课教学过程一、矩阵定义 由sn 个数排成s 行n 列的表sn s s n n a a a a a aa a a 212222111211L L L L L L称为一个s ×n 矩阵，常记为n s ij a ×)(．这些数ij a 称为矩阵的元素，i 为行指标，j 为列指标．若矩阵A=n s ij a ×)(，P a ij ∈， 1,2,,,1,2,,i s j n ==L L ，则说A 为数域P 上的矩阵． 注1) 当s =n 时，n n ij a ×)(称为n 级方阵．2) n 级方阵A=n n ij a ×)(定义的n 级行列式)(ij a ∆称为矩阵A 的行列式，记作A 或detA ．即111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a=L L L L L L L ，A =nnn n n n a a a a a aa a a L L LL LL L 2122221112113) 矩阵的相等：A=n s ij a ×)(，B=q p ij b ×)(．定义A=B ⇔s =p ， n=q ， ij a =ij b ， i =1，2，…，s ， j =1，2，…，n ．二、矩阵的初等行变换定义 数域P 上矩阵的初等行变换是指：1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一行； 2) 把矩阵的某一行的k 倍加到另一行，P k ∈； 3) 互换矩阵中两行的位置．注：矩阵A 经初等行变换变成B ，一般地A ≠B ．三、阶梯形矩阵定义 矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，这样的矩阵称为阶梯形矩阵．命题1 任意一个矩阵经过一系列初等变换总能变成阶梯形矩阵． 命题2 方阵A 经过一系列初等行变换变成阶梯阵D ，则A =.0,≠λλD 四、化上三角形计算行列式312107825513713913152==−−−−−−−L练习：7261723621431524021−==−−−−−L226234352724135342−==−−−−−−L五、初等列变换定义 数域P 上矩阵的初等列变换是指：1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一列； 2) 把矩阵的某一列的k 倍加到另一列，P k ∈； 3) 互换矩阵中两列的位置．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．§2.6 行列式按一行（列）展开教学目的 掌握子式、代数余子式的概念，熟练掌握行列式按一行展开定理，零值定理，掌握范德蒙行列式及递推法.重 点 行列式按一行展开定理， 零值定理. 难 点 行列式按一行展开定理，递推法计算行列式.教学过程引入：111213222321232122212223111213313232333133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =−+一、余子式、代数余子式定义：在行列式ij a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下2(1)n −个元素按原来的排法构成一个1n −级的行列式111111111111111111111111j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a −+−−−−+−++−+++−+L L LLLLLLL L L L L L L L L L LL称之为元素ij a 的余子式，记为ij M ．令(1)i j ij ij A M +=−，称之为元素ij a 的代数余子式．引理 一个n 级行列式D ，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为0，则ij ij D a A = 定理 设,ij nD a = ij A 表示元素的ij a 代数余子式，则下列公式成立：1111220i i in ink i k i kn in D k i i D a A a A a A a A a A k i==++ +++=≠ L L 按行展开,即 11220ij ij ij ijl j l j nl nj D l j j D a A a A a a a a a a l j ==++ +++= ≠ L 按行展开,即10nis is s D k ia A k i == = ≠∑ ，10nsl sjs D l ja A l j == = ≠∑．证：111211212000000n i i in n n nna a a D a a a a a a =+++++++++L L L L L L L L L L L L L L120000000i i in a a a =+++L L L L 1122i i i i in in a A a A a A =+++L ，1122k i k i kn in a A a A a A +++L 111111()0()nk kn k kn n nna a a a i a a k a a ==L L LL L L L L L L ．例1 计算 3112513420111533D −−−=−−− （40）例2 范德蒙行列式123222212311231111()nn n i j j i nnnn nn a a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤==−∏L LL LLL L LL证：数学归纳法1 2n =时，211211a a a a =−02 假设对于1n −级范德蒙行列式结论成立．21122212112121211110n n n n n n n n na a a a D a a a a a a a a a a a a −−−−−=−−−−L L L L L L MML LML L 222211222211()()n n n n n na a a a a a a a a a −−=−−L L L L M L ML2112()()()n i j j i na a a a a a ≤<≤=−−−∏L 1()i j j i na a ≤<≤=−∏附：范德蒙行列式120,n n D a a a =⇔L 中，至少有两个相等．例：11112345(32)(42)(52)(42)(54)1249162582764125=−−−−−=． 例3 证明：111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rk r rr a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b =L L LLLLL L L L LL LL L L L L LLLLL L ．例4 123123123123a a a fb b b f Dc c c fd d d f=，求11213141A A A A +++ （＝０）例5 1513123311232234D −=，求41424344A A A A +++． 15131233(14)11232234−==− 附：行列式计算方法小结1、定义法：适用于0比较多的行列式．2、利用7条基本性质3、按行（列）展开─降级．适用于某行（列）0较多的行列式．4、其他方法 （一）析因子法例：计算221123122323152319x D x −=−解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +−+−设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+−+−令0,x =则 112312231223152319D ==−， 即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅−⋅⋅−=− 3.a ∴=−3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=−+−+−（二）箭形行列式01211122,0,1,2,3.nn i n na b b b c a D c c a i n c a +=≠=L L L LL L L L L L L L LL L L解：把所有的第1i +列(1,2)i n =L 的iic a −倍加到第1列，得： 11201(ni in n i ib c D a a a a a +==−∑L 可转为箭形行列式的行列式：121111111)111n a a a +++L LLL LLL 122)na xx x a x xxa LLL L LL L（第2把第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()12(1)1(1)11)(1)(1)1na b b a n b b b b b b a b a n b a b a bc c c a n b b a a n b b a b a+−+−+++=+−+−L L L L L L L M M M M M M M M MM M M L L L L()111(1,2)00()(1)00i n b br r i n a b a b a n b a b −−=−=−+−−L L L M M M M L121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n nn n n n c c c n n n n n n n nn n n n −−++++−−−−−−−−−L L L L M M M L M M MM M L M M L L L L L 112211231111101111(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n nnnn n n n n n n n −−−−−−−−−++=−−−−M L L L MM M M M M M M M M M L L L L 11111(2,31)00(1)200i nr r i n n nn n n n −−=−−+−L L L L L L L L L11211100(1)2n n nn n c c c n n −−++++−L L L L L L L L ()(2)(1)3211(1)1220(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n n n n n n n n n n nτ−−+−+−−−−++=−−=−−−−L LL L M L M ML(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n −−−−−++=−−=−． （四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化箭的可转为箭形行列式） （加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0n n n n n na a a a a ab a D b b b a a a b ++=≠+L L L MMLML2）121212121200,00nn n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++L L L MMLML解：1)12112122121100n nn nn nn a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++L LL M M M L M L 121121100(2,31)100100n i na a ab r r i n b b −−=+−−L L L L MMM LML111211111(1).00(1,21)00nin i inin i i iin a a a b a b b b b c b c i n b b =+=+=++=+∑∑L L L L MMMML 2)1212121111112222212111101001(2,31)001nn ni n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a r r D a a a a a a a i n a a a a a a a ++++−−−=++−−=+++−−LL L L L L L M M MLMMMMLML L1212111111222222122100001011101011120011020(3,42)1102n n i n nn nnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++−−−−−=−−−−=+−−−LL L L L L L L L MMMM LMMMMMLML L12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+−=L L 1212111111221112200200000200002i ninn a n a a a a a a a −−−−−−−∑∑L LL L M M M M L M L22112,111122(2)(2)[(2)]1122nn n ii n n i j ji n a a a a a a a n a n a −=−=−=−−−−∑∑∑L L （五）三对角型行列式─递推公式法1）95004950049000950049n D =L L L L L 解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D −−−−−=−L L L LL O O O LL L O O L L L按展开即有 11254(5)n n n n D D D D −−−−=−于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=L (6145)4,n −= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=−=L即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D −++− −= ⇒=− −=先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值0010001002.0000001n a b ab a b ab a bD a b aba b +++=++LLLL L L L L L L L）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD −−−−−−+−−=−==−L 1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD −−−−−=−==−L 而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b −−∴−=++−−=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a −−−=++−−=由以上两式解得11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++ −≠=− +=（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x a D a a a x ++=+L LL L O L L解：112200n nna x a a a x a a a a x a a a x a D aaa x aaax ++++=++L LLLL L OLL L L L LL L1210000000n n x a x ax D a−=+L L L L L L L L 1211n n n x x x a x D −−=+L11221212323.n n n n n n n D x x x a x D x x x a x D −−−−−−−=+=+L L 继续下去，可得111221*********121211221323()n n n n n n n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D x x x a x x x x x x x x x x x x x −−−−−−−=+++++=+++++L L L L L L L L L L L L（21212D ax ax x x =++）1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑L L 当时, 1）也可以用加边法做：1111011n nna a aa a x a x aD aaa x x +−==+−L LL LL L OLL L O L L L L 111101,200ni ii na aa x x i n x a x =+≠==∑LL LL L O L L L 当时,2）n a b b b c a b bD c c a b c c c a=L L L L L L L L L解：1101()0101n n nc b b b a c b b b b b b cabba b ba b bD c a c D c c a b c a b c a b c c c a ccacc a−−=+=+−L L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL LL11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc b a b −−=+−−−−−−L L LL L LLLL 11()()n n c a b a c D −−=−+− ①000n b b b b a b c a b b c a b bD c c a b c c a b c c c a c c c a−=+L L L L L L L O O O L L O O O L L L 又11111()n c a b b b a b D c c a b c c c a −=+−L L L L O O O LL11()()n n b a c a b D −−=−+− ②由a b a c ×−×−①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c −=−−−()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b −≠=−−−−==+−−当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1111n n i na a D a a a a a ++==++∑LL L L L L LL证：当1n =时，111111(1D a a a =+=+，结论成立． 假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑L ，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++L L LLLL O L LL O L L 1211101100111011111k k k a a a D a +=+L L L L O L 121k k k a a a a D +=+L 121121211111(1)(1)kkk k k k i i i ia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑L L L所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα==L O L L LO O L L L O OL L L证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 10012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++−=+−=−L O L L L O O L L L O OL L L由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=−−=−2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=−+ cos cos sin sin k k αααβ=+ cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111n n n n n n nn n n nx x x x x x D x x x x x x −−−=L L L L L O L L L解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n nn i j j i nn n n n nn n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤−−−−==−−−−∏L L L L L O L L L L显然D 就是行列式()f x 中元素1n x −的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==− （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x −的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤−+++−∏L即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=−+++−∏L121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++−∏L2）2221212111n n n n n nx x x D x x x =L L L LLLL解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n n n n nnx x x x x x x x g x x x x xxxxx −−−−=L L L L L O L L L L121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=−−−−∏显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==−，由()f x 的表达式知，x 的系数为 23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x −≤<≤−+++−∏L L L L即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +−≤<≤−++++−∏L L L L2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=−+++−∏L L L L§2.7 克兰姆(Cramer)法则教学目的 熟练掌握克莱姆法则，掌握齐次线性方程组的概念和定理7.2. 重点难点 克莱姆法则及其应用 课 型 新授课教学过程一、n 元线性方程组11112211211222221122()n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= 1+++= L L L L缩写为1,1,2,,.nij j i j a x b i n ===∑L当12,,,n b b b L 不全为0时，称 (1)为非齐次线性方程组； 当 120n b b b ====L 时，称 (１) 为齐次线性方程组． 二、克兰姆法则定理4 如果线性方程组(1)的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a=L L L L L L L 的行列式 ||0D A =≠，则方程组(1)有唯一解1212,,,n D D D n DDDx x x ===L ，其中(1,2,,)j D j n =L 是把行列式D 中第j 列的元素用方程组(1)的常数项12,,,n b b b L 代换所得的一个n 阶行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=L L L L L LLLLL L L L 11221.nj j n nj s sj s b A b A b A b A ==+++=∑L证明：验证 12(,,,n D D D D DDL 为(１)的解．方程组(1)可写成1,1,2,,.nij ji j a xb i n ===∑L把12(,,,n DDD D DD L 代入(１)的第i 个方程:左端111111nn nnjij ij j ij s sj j j j s D a a D a b A D D D =======∑∑∑∑1111111n n n nij s sj s ij ij i i j s s i a b A b a A Db b D D D ========∑∑∑∑ =右端，1,2,,.i n =L所以12(,,,)n D D D D D D L 为(１)的解;验证解唯一．设12(,,,)n c c c L 为(1)的一个解，于是有1,1,2,,.nij ji j a cb i n ===∑L (2)用系数行列式D 中第j 列元素的代数余子式12,,,j j nj A A A L 依次乘以(2)中n 个等式，再把它相加，得111111()()()n n n ns sj sj sj j sn sj n s sj s s s s a A c a A c a A c b A ====++++=∑∑∑∑L L即 j j Dc D = ．所以 ,1,2,,.j j D c j n D==L综上所述，12(,,,n D D D D D D L 为(1)的唯一解．注：① (1)的系数行列0D ≠时，(１)有解且只有唯一解； ② 若(1)无解或有两个不同的解，则(１)的系数行列式 0D =． 例1：解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++= +−+=−−−−=− +++= 解：方程组的系数行列式111112141420231531211D −===−≠−−−L ，151112214142231501211D −−===−−−−−L2284D =−，3426D =−，4142D = 方程组有唯一解（1，2，3，－1）三、齐次线性方程组11112212112222112200(3)0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++= +++=+++= L L L L注：1) 齐次线性方程组（3）总有解；2) 120n x x x ====L 为(3)的一个解， 称之为零解； 3) 除零解外的解（若还有的话）称为非零解．定理5 若齐次线性方程组（3）的系数行列 0ij D a ==，则(3)只有零解． 推论 若齐次线性方程(3)有非零解，则必有系数系数行列式0D =． 例2：问λ取何值时，齐次线性方程组1231213(5)2202(6)02(4)0x x x x x x x λλλ−++=+−= +−=有非零解?解: 522260(5)(2)(8)24D λλλλλλ−=−=−−−−当2,5,8λ=时，0D =，方程组有非零解．。
高等代数教案(张禾瑞版)
教研室审阅意见
同意上述安排。
教研室主任签字：王书琴
2005年2月28日
高等代数教案第二章首页
授课内容
第二章多项式
第2．1节——第2。8节
所需课时
28学时
主要教材或
参考资料
1．北京师范大学高等代数高等教育出版社，1997
2．北京大学编高等代数高等教育出版社，1995
知识目标：教学目的和教学基本要求：
（1）掌握集合，子集，空集等基本概念，明确集合、
子集合之间的关系及表示方法。
（2） 掌握映射、单射、满射及双射的基本概念。
（3） 掌握数学归纳原理、最小数原理，第二数学归纳法原理应用。
（4） 掌握带余除法，最大公因数，互素概念和方法。
（5） 掌握数环，数域及最小数域—有理数域为基本概念。
教学目标
知识目标：教学目的和教学基本要求：
（1）掌握排列、n阶行列式的定义和基本性质
（2）掌握子式、余子式、代数余子式及行列式的依行依列展开，克拉默定理。
（3）熟练掌握用化上三角形式，依行依列展开法，以及用行列式性质，建立递推公式，克拉默定理等方法计算行列式，证明行列式的性质及基本理论。
能力目标：（1）训练学生领会和把握n阶行列式的定义和基本性质。
（2）掌握n阶行列式的基本理论、性质，并且能应用这些理论进行n阶行列式的计算以及论证问题。
教学重点
n阶行列式的定义和基本性质、行列式的依行依列展开、克拉默定理、
熟练掌握用化上三角形式、依行依列展开法、以及用行列性质、范德蒙
行列式等方法计算行列式，证明行列式的性质及基本理论。
教学难点
子式、余子式、代数余子式及行列式的依行依列展开、克拉默定理应用、
大学本科高等代数教学教案
课程名称：大学本科高等代数课时：2课时教学目标：1. 理解并掌握矩阵的基本概念和运算。
2. 掌握线性方程组的求解方法。
3. 理解向量空间和线性变换的基本概念。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学重点：1. 矩阵的基本概念和运算。
2. 线性方程组的求解方法。
3. 向量空间和线性变换的基本概念。
教学难点：1. 线性方程组的求解方法。
2. 向量空间和线性变换的概念。
教学准备：1. 多媒体课件2. 教学参考书3. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习线性方程组的基本概念和求解方法。
2. 提出问题：如何求解线性方程组？二、新课讲解1. 矩阵的基本概念和运算a. 矩阵的定义和性质b. 矩阵的运算（加法、数乘、乘法）c. 矩阵的逆矩阵和行列式2. 线性方程组的求解方法a. 高斯消元法b. 克莱姆法则三、课堂练习1. 求解线性方程组2. 计算矩阵的逆矩阵和行列式四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容2. 强调线性方程组的求解方法第二课时一、复习1. 复习矩阵的基本概念和运算2. 复习线性方程组的求解方法二、新课讲解1. 向量空间和线性变换的基本概念a. 向量空间的定义和性质b. 线性变换的定义和性质2. 线性变换的运算a. 线性变换的加法b. 线性变换的数乘三、课堂练习1. 判断向量空间和线性变换2. 计算线性变换的运算四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容2. 强调向量空间和线性变换的概念教学反思：1. 通过本节课的学习，学生能够掌握矩阵的基本概念和运算，线性方程组的求解方法，向量空间和线性变换的基本概念。
2. 在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
3. 在课堂练习中，关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问。
4. 在教学过程中，结合实际应用，激发学生的学习兴趣。
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高等代数
教案
秦文钊
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学
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ij A 称为元素ij a 的代数余子式二、课时教学内容第页
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