高等代数教案
大学高等代数课程教案讲义
一、课程名称：高等代数二、授课对象：大学本科生三、教学目标：1. 掌握线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 理解线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论；3. 学会运用线性代数知识解决实际问题。
四、教学内容：1. 线性空间2. 线性方程组3. 矩阵4. 行列式5. 线性变换6. 特征值与特征向量五、教学重点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论。
六、教学难点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念的深刻理解；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数理论的灵活运用。
七、教学方法：1. 讲授法：系统讲解线性代数的基本概念和理论；2. 案例分析法：通过具体案例讲解线性代数的应用；3. 讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力；4. 练习题讲解法：针对课堂练习题进行讲解，帮助学生掌握解题方法。
八、教学过程：第一课时：线性空间1. 引入线性空间的概念，讲解线性空间的基本性质；2. 举例说明线性空间的实际应用；3. 学生课堂练习，巩固线性空间的基本概念。
第二课时：线性方程组1. 介绍线性方程组的求解方法，如高斯消元法；2. 讲解矩阵的秩与线性方程组的解的关系；3. 学生课堂练习，巩固线性方程组的求解方法。
第三课时：矩阵1. 介绍矩阵的基本运算，如矩阵乘法、转置等；2. 讲解矩阵的逆、伴随矩阵等概念；3. 学生课堂练习，巩固矩阵的基本运算。
第四课时：行列式1. 介绍行列式的概念，讲解行列式的性质；2. 讲解行列式的计算方法，如拉普拉斯展开法；3. 学生课堂练习，巩固行列式的计算方法。
第五课时：线性变换1. 介绍线性变换的概念，讲解线性变换的性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示法；3. 学生课堂练习，巩固线性变换的概念和矩阵表示法。
第六课时：特征值与特征向量1. 介绍特征值与特征向量的概念，讲解特征值的性质；2. 讲解求解特征值与特征向量的方法；3. 学生课堂练习，巩固特征值与特征向量的求解方法。
高等代数教案
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
高等代数课程设计
高等代数课程设计一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握高等代数的基本概念、理论和方法，培养学生的高等代数思维和解决问题的能力。
具体来说，知识目标包括了解高等代数的基本概念，如向量空间、线性变换、特征值和特征向量等；理解高等代数的基本理论，如线性方程组的解法、矩阵的运算和性质等；掌握高等代数的基本方法，如求解特征值和特征向量、构造线性变换等。
技能目标包括培养学生运用高等代数知识和方法解决实际问题的能力，如求解线性方程组、判断矩阵的性质等；培养学生进行数学推理和证明的能力，如证明线性变换的性质、推导特征值的计算公式等。
情感态度价值观目标包括培养学生对数学的兴趣和热情，提高学生对数学美的感受和欣赏能力；培养学生严谨的科学态度和良好的学习习惯，使学生认识到数学在科学技术和实际生活中的重要性。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括向量空间、线性变换、特征值和特征向量等基本概念、理论和方法。
首先，介绍向量空间的基本概念和性质，如向量的加法和数乘、向量空间的子空间等；其次，介绍线性变换的基本概念和性质，如线性变换的定义、矩阵与线性变换的关系等；接着，介绍特征值和特征向量的基本概念和性质，如特征值和特征向量的定义、求解方法等；最后，通过实例分析，展示如何运用向量空间、线性变换和特征值特征向量等知识和方法解决实际问题。
三、教学方法为了提高本节课的教学效果，将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
首先，采用讲授法，系统地讲解向量空间、线性变换、特征值和特征向量等基本概念、理论和方法；其次，采用讨论法，引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力；接着，采用案例分析法，通过分析实际问题，让学生学会运用向量空间、线性变换和特征值特征向量等知识和方法解决实际问题；最后，采用实验法，让学生动手实践，加深对向量空间、线性变换和特征值特征向量等知识和方法的理解和应用。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将选择和准备适当的教学资源。
大学高等代数教案模版
课程名称：高等代数授课班级：XX年级XX班授课教师：XX教学目标：1. 知识目标：使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论、基本方法，培养学生的数学思维能力。
2. 能力目标：培养学生运用高等代数知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3. 情感目标：激发学生对高等代数的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学重点：1. 矩阵及其运算2. 线性方程组3. 特征值与特征向量4. 矩阵的对角化教学难点：1. 矩阵运算的熟练掌握2. 线性方程组的求解方法3. 特征值与特征向量的计算4. 矩阵对角化的应用教学过程：一、导入1. 回顾初中阶段学习的线性方程组，引导学生思考如何求解线性方程组。
2. 介绍高等代数的基本概念，如向量、矩阵、线性方程组等。
二、讲授新课1. 矩阵及其运算- 介绍矩阵的定义、性质和运算规则- 讲解矩阵的加法、减法、数乘、乘法等运算- 通过实例讲解矩阵运算的应用2. 线性方程组- 介绍线性方程组的定义、分类和求解方法- 讲解高斯消元法、克拉默法则等求解线性方程组的方法 - 通过实例讲解线性方程组的求解过程3. 特征值与特征向量- 介绍特征值、特征向量的概念及其计算方法- 讲解特征值与特征向量的性质- 通过实例讲解特征值与特征向量的应用4. 矩阵的对角化- 介绍矩阵对角化的概念和条件- 讲解矩阵对角化的方法- 通过实例讲解矩阵对角化的应用三、课堂练习1. 让学生独立完成课后习题，巩固所学知识2. 教师巡视课堂，解答学生疑问四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点和难点2. 鼓励学生在课后继续复习，巩固所学知识五、作业布置1. 完成课后习题，巩固所学知识2. 预习下一节课内容教学反思：1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略2. 注重培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养3. 鼓励学生积极参与课堂活动，提高课堂氛围教学评价：1. 通过课堂练习和作业检查学生的学习效果2. 关注学生的反馈，及时调整教学进度和方法。
高等代数教学设计方案
一、课程概述高等代数是数学学科中的重要分支，主要研究向量空间、线性方程组、多项式理论等内容。
本课程旨在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力，为学生进一步学习数学及相关领域打下坚实基础。
二、教学目标1. 知识目标：掌握向量空间、线性方程组、多项式理论等基本概念和性质，理解线性变换、特征值与特征向量等概念。
2. 能力目标：培养学生运用高等代数知识解决实际问题的能力，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。
3. 素质目标：培养学生严谨的学术态度、团队合作精神和创新意识。
三、教学内容1. 向量空间：向量空间的概念、线性组合、基与维数、线性相关性等。
2. 线性方程组：高斯消元法、矩阵的秩、线性方程组的解法等。
3. 多项式理论：多项式的概念、运算、因式分解、多项式方程的根等。
4. 线性变换：线性变换的概念、矩阵表示、特征值与特征向量、对角化等。
四、教学方法1. 启发式教学：通过提问、讨论等方式，引导学生主动思考，提高学生的主动学习能力。
2. 案例教学：结合实际应用，让学生了解高等代数在实际问题中的运用，提高学生的实践能力。
3. 互动式教学：利用多媒体技术，展示高等代数的图形和动画，激发学生的学习兴趣。
4. 分组讨论：将学生分成小组，共同探讨问题，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的出勤情况、课堂参与度、作业完成情况等。
2. 作业评价：对学生的作业完成情况进行评价，了解学生的学习进度和存在的问题。
3. 考试评价：通过期末考试，检测学生对本课程知识的掌握程度。
4. 问卷调查：收集学生对教学方法和教学内容的意见和建议，不断优化教学方案。
六、教学进度安排1. 第1-4周：向量空间的基本概念和性质。
2. 第5-8周：线性方程组的解法和高斯消元法。
3. 第9-12周：多项式理论的基本概念和运算。
4. 第13-16周：线性变换和特征值与特征向量。
5. 第17-20周：课程总结和复习。
高等代数教案(信阳师范学院数学学院)
第二章行列式本章重点介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，还以行列式为工具给出了特殊线性方程组的解——克莱姆法则。
行列式在整个代数计算中起着重要的作用。
教学目的及要点1、掌握排列的定义及性质；2、会计算反序数；3、理解和掌握n阶行列式的定义和性质；4、能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式；5、理解克莱姆法则的条件及应用范围；6、应用克莱姆法则解线性方程组。
教学重点：利用行列式的性质来计算行列式和对其证明；教学难点：用行列式性质计算和证明以及克莱姆法则求解特殊线性方程组。
教学时数：18学时§2.1 引言教学目的 了解行列式产生的背景，掌握二级，三级行列式的定义. 重 点 二级，三级行列式的定义. 课 型 新授课教学过程1．线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容．在初等数学里，二元一次线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b += += (1)当112212210a a a a −≠时，用消元法，可解得唯一解122122*********b a a b x a a a a −=−，112121*********a b b ax a a a a −=−记 1112112212212122a a a a a a D a a −=!则有 1121221221222b a b a a b D b a −=!1111121212212a b a b b a D a b −=!于是，当0D ≠时，方程组(1)有唯一解：11D x D =，22Dx D=． 2．在三元一次线性方程组求解时有类似结果．即方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=++= ++= (2) 当 1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠时，(2)有唯一解11D x D =，22D x D =，33D x D=其中1121312212233233b b b D b b b b b b =，1113122123231333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如，几元一次线性方程组111122111122(3)n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=L M L对于(3)，如果有解的话，它的解是否也有类似的形式呢？答案是肯定的．为此，本章依次解决如下问题：1ο 怎样定义n 级行列式？ 2ο n 级行列式的性质与计算？3ο 在什么情况下有解？如何表示所解？§2.2 排列教学目的 掌握排列的有关术语，熟练掌握逆序数计算法和对换改变排列的奇偶性. 重 点 逆序数计算法、对换改变排列的奇偶性. 难 点 对换改变排列的奇偶性. 课 型 新授课教学过程一、排列（作为定义n 级行列式的准备）定义 由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列． 例1 2431是一个四级排列， 45213是一个五级排列． 例2 写出所有的3级排列．解：123，132，213，231，312，321． ——共6个=3！ 注 1）所有不同n 级排列的共有n ！个．2）自然序排列：1234…n （它的排序按小到大递增排列，而其它排列都或多或少破坏了这种自然顺序）二、逆序、逆序数定义： 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．注1）排列12n j j j L 的逆序数记为12()n j j j τL 例1．(31542)5τ=逆序有：31，32，54， 52， 42(35412)7τ=逆序有：31，31，54，51，52，41，42．注2）12()n j j j τL =1j 后面比1j 小的数的个数+LL +1n j −后面比1n j −小的数的个数． 或=n j 前面比n j 大的数的个数+1n j −前面比1n j −大的数的个数+LLL +2j 前面比2j 大的数的个数．例2．求n 级排列(1)321n n −L 及12(1)n n ⋅⋅−L 的逆序数解：(1)((1)321)(1)(2)212n n n n n n τ−−=−+−+++=L L (123)0n τ=L练习：求下列排列的逆序数． (1) 135(21)(2)(22)42n n n −−L L (2) (2)1(21)2(22)3(1)n n n n n −−+L解：(1)12(1)(1)21n n τ=+++−+−+++L L (1)n n =−,(242(1)n τ=+++−L (1)n n =−) (2)12(1)(2)21n n n τ=++++−+−+++L L 2(1)(1)22n n n n n +−=+= 三、奇排列、偶排列定义： 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． 如：31542为奇排列，12345为偶排列 四、对换．定义： 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．定理 1 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．推论 任有n 级排列中，奇、偶排列各半，均为!2n 个． 定理2 任意一个排列与自然序排列123n L 都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同．§2.3 n 阶行列式教学目的 熟练掌握n 级行列式的定义，掌握三角形行列式及其值. 重 点 n 级行列式的定义. 难 点 n 级行列式的定义及其应用. 课 型 新授课教学过程从本节开始总是取一固定的数域P 作为基础，所说到的数皆指数域P 中的数，当然所考虑的行列式也是数域P 上的行列式．） 一、n 级行列式的定义定义：n 级行列式 111212122212nnn n nna a a a a a a a a L L LLLLL L等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a L （1）的代数和，这里12n j j j L 为1、2、…．n 的一个排列．每一项（1）都按下列规则带有符号：当12n j j j L 为奇排列时(1)带负号；当12n j j j L 为偶排列时(1)带正号．即，1121211121()212221212(1)n n nn j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑L L L L L LLLLL L这里12nj j j ∑L 表示对所有1、2、…．n 的n 级排列求和．注：1）常记 1112121()n nij n nna a a a a a a =∆L L LLLL L 或det ij a ．2）1112121n nn nna a a a a a L L LLLL L 中的数ij a 称为行列式处于第i 行第j 列的元素，i 称为行指标，j 称为列指标．3）n 级行列式定义展开式中共有!n 项． 二、举例例1． 212(3)(1)464243−=×−−−×=−+=−−1232131181294612321=++−−−= 例2．(1234)1122334412(1)2434a a a a τ=−=(654321)162534435261123(1)6!720456a a a a a a τ=−=−=−一般地1212n n d d d d d d =L O（对角形行列式）1(1)2212(1)n n n nd d d d d d −=−L N类似可得上三角形行列式下三角形行列式练习：1）10101(1)!1n n n n−=−−O OO 2）(1)(2)2102(1)!10n n n n −−=−−N NN例3．已知112111()3211121x x f x x x −=，求3x 的系数．解：由n 级行列式定义，()f x 是一个x 的多项式函数，且最高次幂为3x ．显然含3x 的项有两项：(1234)11223344(1)a a a a τ−与(1243)11223443(1)a a a a τ−，即3x 与32x −∴()f x 中3x 的系数为－1．三、n 级行列式的等价定义定义:1212121112121222()1212(1)n n nn n i i i i i i n j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑L L L L L LLLL L其中12ni i i ∑L 表示对所有1、2、L 、n 的排列求和．附：转置行列式：设111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L ，行列式112111222212n n nn nna a a a a a a a a L L L L L L L称为D 的转置行列式，记作D ′或T D ．§2.4 n 级行列式的性质教学目的 掌握行列式的性质4、性质5，熟练掌握性质1、2、3、6、7. 重 点 性质1、2、3、6、7.难 点 灵活地应用行列式的性质计算行列式. 课 型 新授课教学过程性质1 行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212n n n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L证：记右端()ij b =∆，其中,,1,2,,ij ji b a i j n ==L ,则121212()12()(1)n n ni i i ij i i i n i i i b b b b τ∆=−∑L L L 121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i a a a τ=−∑L L L = 左端性质2 行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外．即111112111212121212n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλ=L L M M M M M M M M L L M M M M MMMM LL推论 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零．性质3 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nn n n nna a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+L L L M M L M M M L M M M L M L L L M M L M M MLMM MLMLL L 性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为0．（两行（列）相同指的是两行（列）对应元素都相等）．证：设112121112112()121212(1)i k n i k n nn i i in i i i j j j ij kj nj j j j k k kn n n nna a a a a a D a a a a a a a a a a a τ==−∑L L L L L M M LM L LL L L L L L L M LL LL且第i 行与第k 行相同，即ij kj a a =，1,2,,j n =L 由于项11()1(1)i k n i k n i i i j j ij kj nj a a a a τ−L L L L L L ①与项11()1(1)k i n k i n i i i j j ij kj nj a a a a τ−L L L L L L ②同时出现，且i i ij kj a a =，k n ij kj a a =∴①与②除去符号外，具有相同的数值，但排列1i k n i i i j L L L 与1k i n i i i j L L L 相差一个一个对换，具有相反的奇偶性．∴①、②的符号相反，即①+②=0．性质5 行列式中两行（列）成比例，则行列式为0 证：由性质2、性质4即得．性质6 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变 证：由性质3、性质5即得．性质7 对换行列式中两行（列）位置，行列式反号．证：111211112112112212121212n n i i ini k i k in kni kk k kn k k kn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a a a a ++++L L L L L L L L L L L L LL L L L L L L L L LL L L L L L L L L性质6111211112111121121212n n i k in knk k knk ii ki in i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a r r r r a a a a a a a a a a a ++−+−−−−−L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL性质6性质611121121212nk n kn i i inn n nna a a a a a a a a a a a =−L L L L L L L L L L L L L L L L ． 例1．n ab b bb a b bD b b a bbb b b a=L LLL L L L L12(1)(1)(1)n a n b a n b a n br r r b a b bb b a+−+−+−+++L L L L L LL 1111(1)b a b b a n b b b a b b b b a =+−L L L L L L L L L []1100000(1)(1)()0000n b a ba nb a n b a b b a bb ba b−−=+−=+−−−−LLL L L L L L . 例2 11234234134124123D =10234103411041210123=123412341234134101130113101010160141202220044112301110004−−====−−−−−−−.例3． 若n 级行列式n ij D a =满足ji ij a a =−，,1,2,,i j n =L ，(反对称行列式),则当n 为奇数时，0n D =.证：n D 的每行提出1−，得(1)(1)(1)'(1)n n n n n ij ji n n D a a D D =−−=−=−=−∴ 当n 为奇数时，n n D D =−，即 0n D =.§2.5 行列式的计算教学目的 掌握矩阵的概念和矩阵的初等变换，熟练掌握将数字行列式化为上三角形行列式的算法.重 点 数字行列式化为上三角形行列式的算法. 课 型 新授课教学过程一、矩阵定义 由sn 个数排成s 行n 列的表sn s s n n a a a a a aa a a 212222111211L L L L L L称为一个s ×n 矩阵，常记为n s ij a ×)(．这些数ij a 称为矩阵的元素，i 为行指标，j 为列指标．若矩阵A=n s ij a ×)(，P a ij ∈， 1,2,,,1,2,,i s j n ==L L ，则说A 为数域P 上的矩阵． 注1) 当s =n 时，n n ij a ×)(称为n 级方阵．2) n 级方阵A=n n ij a ×)(定义的n 级行列式)(ij a ∆称为矩阵A 的行列式，记作A 或detA ．即111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a=L L L L L L L ，A =nnn n n n a a a a a aa a a L L LL LL L 2122221112113) 矩阵的相等：A=n s ij a ×)(，B=q p ij b ×)(．定义A=B ⇔s =p ， n=q ， ij a =ij b ， i =1，2，…，s ， j =1，2，…，n ．二、矩阵的初等行变换定义 数域P 上矩阵的初等行变换是指：1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一行； 2) 把矩阵的某一行的k 倍加到另一行，P k ∈； 3) 互换矩阵中两行的位置．注：矩阵A 经初等行变换变成B ，一般地A ≠B ．三、阶梯形矩阵定义 矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，这样的矩阵称为阶梯形矩阵．命题1 任意一个矩阵经过一系列初等变换总能变成阶梯形矩阵． 命题2 方阵A 经过一系列初等行变换变成阶梯阵D ，则A =.0,≠λλD 四、化上三角形计算行列式312107825513713913152==−−−−−−−L练习：7261723621431524021−==−−−−−L226234352724135342−==−−−−−−L五、初等列变换定义 数域P 上矩阵的初等列变换是指：1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一列； 2) 把矩阵的某一列的k 倍加到另一列，P k ∈； 3) 互换矩阵中两列的位置．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．§2.6 行列式按一行（列）展开教学目的 掌握子式、代数余子式的概念，熟练掌握行列式按一行展开定理，零值定理，掌握范德蒙行列式及递推法.重 点 行列式按一行展开定理， 零值定理. 难 点 行列式按一行展开定理，递推法计算行列式.教学过程引入：111213222321232122212223111213313232333133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =−+一、余子式、代数余子式定义：在行列式ij a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下2(1)n −个元素按原来的排法构成一个1n −级的行列式111111111111111111111111j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a −+−−−−+−++−+++−+L L LLLLLLL L L L L L L L L L LL称之为元素ij a 的余子式，记为ij M ．令(1)i j ij ij A M +=−，称之为元素ij a 的代数余子式．引理 一个n 级行列式D ，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为0，则ij ij D a A = 定理 设,ij nD a = ij A 表示元素的ij a 代数余子式，则下列公式成立：1111220i i in ink i k i kn in D k i i D a A a A a A a A a A k i==++ +++=≠ L L 按行展开,即 11220ij ij ij ijl j l j nl nj D l j j D a A a A a a a a a a l j ==++ +++= ≠ L 按行展开,即10nis is s D k ia A k i == = ≠∑ ，10nsl sjs D l ja A l j == = ≠∑．证：111211212000000n i i in n n nna a a D a a a a a a =+++++++++L L L L L L L L L L L L L L120000000i i in a a a =+++L L L L 1122i i i i in in a A a A a A =+++L ，1122k i k i kn in a A a A a A +++L 111111()0()nk kn k kn n nna a a a i a a k a a ==L L LL L L L L L L ．例1 计算 3112513420111533D −−−=−−− （40）例2 范德蒙行列式123222212311231111()nn n i j j i nnnn nn a a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤==−∏L LL LLL L LL证：数学归纳法1 2n =时，211211a a a a =−02 假设对于1n −级范德蒙行列式结论成立．21122212112121211110n n n n n n n n na a a a D a a a a a a a a a a a a −−−−−=−−−−L L L L L L MML LML L 222211222211()()n n n n n na a a a a a a a a a −−=−−L L L L M L ML2112()()()n i j j i na a a a a a ≤<≤=−−−∏L 1()i j j i na a ≤<≤=−∏附：范德蒙行列式120,n n D a a a =⇔L 中，至少有两个相等．例：11112345(32)(42)(52)(42)(54)1249162582764125=−−−−−=． 例3 证明：111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rk r rr a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b =L L LLLLL L L L LL LL L L L L LLLLL L ．例4 123123123123a a a fb b b f Dc c c fd d d f=，求11213141A A A A +++ （＝０）例5 1513123311232234D −=，求41424344A A A A +++． 15131233(14)11232234−==− 附：行列式计算方法小结1、定义法：适用于0比较多的行列式．2、利用7条基本性质3、按行（列）展开─降级．适用于某行（列）0较多的行列式．4、其他方法 （一）析因子法例：计算221123122323152319x D x −=−解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +−+−设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+−+−令0,x =则 112312231223152319D ==−， 即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅−⋅⋅−=− 3.a ∴=−3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=−+−+−（二）箭形行列式01211122,0,1,2,3.nn i n na b b b c a D c c a i n c a +=≠=L L L LL L L L L L L L LL L L解：把所有的第1i +列(1,2)i n =L 的iic a −倍加到第1列，得： 11201(ni in n i ib c D a a a a a +==−∑L 可转为箭形行列式的行列式：121111111)111n a a a +++L LLL LLL 122)na xx x a x xxa LLL L LL L（第2把第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()12(1)1(1)11)(1)(1)1na b b a n b b b b b b a b a n b a b a bc c c a n b b a a n b b a b a+−+−+++=+−+−L L L L L L L M M M M M M M M MM M M L L L L()111(1,2)00()(1)00i n b br r i n a b a b a n b a b −−=−=−+−−L L L M M M M L121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n nn n n n c c c n n n n n n n nn n n n −−++++−−−−−−−−−L L L L M M M L M M MM M L M M L L L L L 112211231111101111(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n nnnn n n n n n n n −−−−−−−−−++=−−−−M L L L MM M M M M M M M M M L L L L 11111(2,31)00(1)200i nr r i n n nn n n n −−=−−+−L L L L L L L L L11211100(1)2n n nn n c c c n n −−++++−L L L L L L L L ()(2)(1)3211(1)1220(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n n n n n n n n n n nτ−−+−+−−−−++=−−=−−−−L LL L M L M ML(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n −−−−−++=−−=−． （四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化箭的可转为箭形行列式） （加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0n n n n n na a a a a ab a D b b b a a a b ++=≠+L L L MMLML2）121212121200,00nn n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++L L L MMLML解：1)12112122121100n nn nn nn a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++L LL M M M L M L 121121100(2,31)100100n i na a ab r r i n b b −−=+−−L L L L MMM LML111211111(1).00(1,21)00nin i inin i i iin a a a b a b b b b c b c i n b b =+=+=++=+∑∑L L L L MMMML 2)1212121111112222212111101001(2,31)001nn ni n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a r r D a a a a a a a i n a a a a a a a ++++−−−=++−−=+++−−LL L L L L L M M MLMMMMLML L1212111111222222122100001011101011120011020(3,42)1102n n i n nn nnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++−−−−−=−−−−=+−−−LL L L L L L L L MMMM LMMMMMLML L12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+−=L L 1212111111221112200200000200002i ninn a n a a a a a a a −−−−−−−∑∑L LL L M M M M L M L22112,111122(2)(2)[(2)]1122nn n ii n n i j ji n a a a a a a a n a n a −=−=−=−−−−∑∑∑L L （五）三对角型行列式─递推公式法1）95004950049000950049n D =L L L L L 解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D −−−−−=−L L L LL O O O LL L O O L L L按展开即有 11254(5)n n n n D D D D −−−−=−于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=L (6145)4,n −= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=−=L即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D −++− −= ⇒=− −=先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值0010001002.0000001n a b ab a b ab a bD a b aba b +++=++LLLL L L L L L L L）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD −−−−−−+−−=−==−L 1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD −−−−−=−==−L 而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b −−∴−=++−−=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a −−−=++−−=由以上两式解得11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++ −≠=− +=（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x a D a a a x ++=+L LL L O L L解：112200n nna x a a a x a a a a x a a a x a D aaa x aaax ++++=++L LLLL L OLL L L L LL L1210000000n n x a x ax D a−=+L L L L L L L L 1211n n n x x x a x D −−=+L11221212323.n n n n n n n D x x x a x D x x x a x D −−−−−−−=+=+L L 继续下去，可得111221*********121211221323()n n n n n n n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D x x x a x x x x x x x x x x x x x −−−−−−−=+++++=+++++L L L L L L L L L L L L（21212D ax ax x x =++）1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑L L 当时, 1）也可以用加边法做：1111011n nna a aa a x a x aD aaa x x +−==+−L LL LL L OLL L O L L L L 111101,200ni ii na aa x x i n x a x =+≠==∑LL LL L O L L L 当时,2）n a b b b c a b bD c c a b c c c a=L L L L L L L L L解：1101()0101n n nc b b b a c b b b b b b cabba b ba b bD c a c D c c a b c a b c a b c c c a ccacc a−−=+=+−L L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL LL11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc b a b −−=+−−−−−−L L LL L LLLL 11()()n n c a b a c D −−=−+− ①000n b b b b a b c a b b c a b bD c c a b c c a b c c c a c c c a−=+L L L L L L L O O O L L O O O L L L 又11111()n c a b b b a b D c c a b c c c a −=+−L L L L O O O LL11()()n n b a c a b D −−=−+− ②由a b a c ×−×−①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c −=−−−()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b −≠=−−−−==+−−当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1111n n i na a D a a a a a ++==++∑LL L L L L LL证：当1n =时，111111(1D a a a =+=+，结论成立． 假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑L ，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++L L LLLL O L LL O L L 1211101100111011111k k k a a a D a +=+L L L L O L 121k k k a a a a D +=+L 121121211111(1)(1)kkk k k k i i i ia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑L L L所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα==L O L L LO O L L L O OL L L证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 10012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++−=+−=−L O L L L O O L L L O OL L L由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=−−=−2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=−+ cos cos sin sin k k αααβ=+ cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111n n n n n n nn n n nx x x x x x D x x x x x x −−−=L L L L L O L L L解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n nn i j j i nn n n n nn n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤−−−−==−−−−∏L L L L L O L L L L显然D 就是行列式()f x 中元素1n x −的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==− （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x −的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤−+++−∏L即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=−+++−∏L121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++−∏L2）2221212111n n n n n nx x x D x x x =L L L LLLL解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n n n n nnx x x x x x x x g x x x x xxxxx −−−−=L L L L L O L L L L121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=−−−−∏显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==−，由()f x 的表达式知，x 的系数为 23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x −≤<≤−+++−∏L L L L即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +−≤<≤−++++−∏L L L L2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=−+++−∏L L L L§2.7 克兰姆(Cramer)法则教学目的 熟练掌握克莱姆法则，掌握齐次线性方程组的概念和定理7.2. 重点难点 克莱姆法则及其应用 课 型 新授课教学过程一、n 元线性方程组11112211211222221122()n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= 1+++= L L L L缩写为1,1,2,,.nij j i j a x b i n ===∑L当12,,,n b b b L 不全为0时，称 (1)为非齐次线性方程组； 当 120n b b b ====L 时，称 (１) 为齐次线性方程组． 二、克兰姆法则定理4 如果线性方程组(1)的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a=L L L L L L L 的行列式 ||0D A =≠，则方程组(1)有唯一解1212,,,n D D D n DDDx x x ===L ，其中(1,2,,)j D j n =L 是把行列式D 中第j 列的元素用方程组(1)的常数项12,,,n b b b L 代换所得的一个n 阶行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=L L L L L LLLLL L L L 11221.nj j n nj s sj s b A b A b A b A ==+++=∑L证明：验证 12(,,,n D D D D DDL 为(１)的解．方程组(1)可写成1,1,2,,.nij ji j a xb i n ===∑L把12(,,,n DDD D DD L 代入(１)的第i 个方程:左端111111nn nnjij ij j ij s sj j j j s D a a D a b A D D D =======∑∑∑∑1111111n n n nij s sj s ij ij i i j s s i a b A b a A Db b D D D ========∑∑∑∑ =右端，1,2,,.i n =L所以12(,,,)n D D D D D D L 为(１)的解;验证解唯一．设12(,,,)n c c c L 为(1)的一个解，于是有1,1,2,,.nij ji j a cb i n ===∑L (2)用系数行列式D 中第j 列元素的代数余子式12,,,j j nj A A A L 依次乘以(2)中n 个等式，再把它相加，得111111()()()n n n ns sj sj sj j sn sj n s sj s s s s a A c a A c a A c b A ====++++=∑∑∑∑L L即 j j Dc D = ．所以 ,1,2,,.j j D c j n D==L综上所述，12(,,,n D D D D D D L 为(1)的唯一解．注：① (1)的系数行列0D ≠时，(１)有解且只有唯一解； ② 若(1)无解或有两个不同的解，则(１)的系数行列式 0D =． 例1：解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++= +−+=−−−−=− +++= 解：方程组的系数行列式111112141420231531211D −===−≠−−−L ，151112214142231501211D −−===−−−−−L2284D =−，3426D =−，4142D = 方程组有唯一解（1，2，3，－1）三、齐次线性方程组11112212112222112200(3)0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++= +++=+++= L L L L注：1) 齐次线性方程组（3）总有解；2) 120n x x x ====L 为(3)的一个解， 称之为零解； 3) 除零解外的解（若还有的话）称为非零解．定理5 若齐次线性方程组（3）的系数行列 0ij D a ==，则(3)只有零解． 推论 若齐次线性方程(3)有非零解，则必有系数系数行列式0D =． 例2：问λ取何值时，齐次线性方程组1231213(5)2202(6)02(4)0x x x x x x x λλλ−++=+−= +−=有非零解?解: 522260(5)(2)(8)24D λλλλλλ−=−=−−−−当2,5,8λ=时，0D =，方程组有非零解．。
大学高等代数教案模板范文
教学目标：1. 知识与技能：（1）掌握线性空间的基本概念、性质及运算；（2）了解线性变换的定义、性质及运算；（3）学会利用线性空间与线性变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生理解线性空间与线性变换的概念；（2）通过小组讨论，培养学生的合作探究能力；（3）通过实际问题解决，提高学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生严谨、求实的科学态度；（2）激发学生对数学学科的兴趣，提高学习积极性；（3）培养学生的创新意识和团队协作精神。
教学重点：1. 线性空间与线性变换的基本概念、性质及运算；2. 利用线性空间与线性变换解决实际问题。
教学难点：1. 线性空间与线性变换的运算；2. 线性空间与线性变换的应用。
教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、教学案例、课堂练习；2. 学生准备：复习相关知识点，预习新课内容。
教学过程：一、导入1. 复习线性方程组解的结构，引导学生思考线性方程组的解与线性空间之间的关系；2. 提出问题：如何将线性方程组的解法推广到更一般的情况？二、新课讲解1. 介绍线性空间的基本概念，包括向量空间、线性子空间、基、维数等；2. 讲解线性空间的性质，如加法封闭性、数乘封闭性、线性组合、零向量、单位向量等；3. 介绍线性变换的定义、性质及运算，如线性变换的加法、数乘、逆变换等；4. 分析线性变换与线性空间之间的关系，如线性变换的矩阵表示、线性变换的核与像等。
三、实例分析1. 通过实例分析，引导学生理解线性空间与线性变换的概念；2. 结合实例，讲解线性空间与线性变换的运算。
四、小组讨论1. 将学生分成小组，针对以下问题进行讨论：（1）线性空间与线性变换有什么区别？（2）如何判断一个集合是否为线性空间？（3）线性变换的核与像有什么关系？2. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
五、实际问题解决1. 提供实际问题，如线性方程组的求解、线性规划等；2. 引导学生利用线性空间与线性变换的知识解决实际问题；3. 学生展示解题过程，教师点评并总结。
大学本科高等代数教学教案
课程名称：大学本科高等代数课时：2课时教学目标：1. 理解并掌握矩阵的基本概念和运算。
2. 掌握线性方程组的求解方法。
3. 理解向量空间和线性变换的基本概念。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学重点：1. 矩阵的基本概念和运算。
2. 线性方程组的求解方法。
3. 向量空间和线性变换的基本概念。
教学难点：1. 线性方程组的求解方法。
2. 向量空间和线性变换的概念。
教学准备：1. 多媒体课件2. 教学参考书3. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习线性方程组的基本概念和求解方法。
2. 提出问题：如何求解线性方程组？二、新课讲解1. 矩阵的基本概念和运算a. 矩阵的定义和性质b. 矩阵的运算（加法、数乘、乘法）c. 矩阵的逆矩阵和行列式2. 线性方程组的求解方法a. 高斯消元法b. 克莱姆法则三、课堂练习1. 求解线性方程组2. 计算矩阵的逆矩阵和行列式四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容2. 强调线性方程组的求解方法第二课时一、复习1. 复习矩阵的基本概念和运算2. 复习线性方程组的求解方法二、新课讲解1. 向量空间和线性变换的基本概念a. 向量空间的定义和性质b. 线性变换的定义和性质2. 线性变换的运算a. 线性变换的加法b. 线性变换的数乘三、课堂练习1. 判断向量空间和线性变换2. 计算线性变换的运算四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容2. 强调向量空间和线性变换的概念教学反思：1. 通过本节课的学习，学生能够掌握矩阵的基本概念和运算，线性方程组的求解方法，向量空间和线性变换的基本概念。
2. 在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
3. 在课堂练习中，关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问。
4. 在教学过程中，结合实际应用，激发学生的学习兴趣。
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A＝ ,
所以由定理及定理5.3.5知，关于基{1,2,3}的坐标为
＝A－1 ＝
＝(－1，－2，5)T.
教学小结
本节内容可分为下面四个问题讲:
1.基的定义及应用
2.维数的定义及有关结论
3．有限维向量空间中向量的坐标及其求法
4.过渡矩阵及其求法
本节作业
＝A .
例7设1,2是V2中的彼此垂直的单位向量.1,2分别是由1,2逆时针旋转角所得的向量〔如图〕. 那么{1,2}也是V2的一个基.
并且
1＝1cos＋2sin，
2＝1sin＋2cos.
所以由基{1,2}到{1,2}的过渡矩阵是
.
设V2的向量关于{1,2}的坐标是(x1,x2)，关于{1,2}的坐标是(y1,y2)，于是由定理，得
＝ .
即
x1＝y1cosy2sin，
x2＝y1sin＋y2cos.
这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式.
例8F3中向量关于标准基1＝(1, 0, 0)，2＝(0, 1, 0),3＝(0, 0, 1)的坐标是(2, 3, 5)，求关于基1＝(1, 0, 0),2＝(1, 1, 0),3＝(1, 1, 1)的坐标.
(1,2, …,n)＝(1,2, …,n)A(1)
显然矩阵A的第i列就是向量i关于基{1,2, …,n}的坐标. 我们把A叫做由基{1,2, …,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵.
定理设A是由基{1,2, …,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵，那么由基{1,2,…,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵为A－1.
这样，空间V2的维数是2；V3的维数是3；Fn的维数是n；Fn[x]的维数是n＋1. 而向量空间F[x]是无限维的.
定理在n维向量空间中，任何n＋1个向量都是线性相关的.
证设V是n维向量空间, {1,2, …,n}是V的一个基，1,2, …,n,n＋1是V的任意n＋1个向量. 由定义1，每个i都可由1,2, …,n线性表示，且n＋1>n,由推论,1,2, …,n,n＋1线性相关. □
例6在M (F)中，由上一节例7知向量组
, , ,
线性无关，并且，对任一22矩阵 ，都有
＝a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 .
因此，向量组
, , ,
是M (F)的一个基，M (F)的维数是4，矩阵 关于这个基的坐标是(a1,a2,a3,a4) .
四、过渡矩阵及求法
1．过渡矩阵的定义
设{1,2, …,n}和{1,2, …,n}是n维向量空间V的基. 那么向量组{1,2, …,n}和向量组{1,2, …,n}是等价的. 由定理知，存在n阶可逆方阵A使得
从定理可以看出，向量空间V的一个基实际上就是V中所有向量的一个极大无关组.
设n维向量空间V中向量1，2，…,n是线性无关的. 对于V中的任意向量，由定理知，1，2，…,n，线性相关. 所以是1，2，…,n的线性组合. 因此由定义1知有
推论n维向量空间V中的任意一组线性无关的n个向量都可以构成V的一个基. □
本节教育评注
n(r＋1)＝(nr)1＝k＋11＝k，
由归纳假设即知1,2, …,r,r＋1可以扩大为V的基. 因此1,2, …,r可扩大为V的一个基. □
三、向量坐标的定义及求法
定义3设{1,2, …,n}是n维向量空间V的一个基，是V中任一个向量. 我们把满足等式
＝a11＋a22＋…＋ann
的n元有序数组(a1,a2, …,an)称为关于基{1,2, …,n}的坐标.
定理设{1,2, …，r}是n维向量空间V的一组线性无关的向量，那么总可以添加nr个向量r＋1, …,an,使1, …,r,
r＋1, …,n作成V的一个基.
证对nr作归纳法. 当nr＝0时，1,a2, …,r已经是V的基，故定理成立.
假设nr＝k时定理成立，考虑nr＝k＋1的情形.
因为1,2, …,r线性无关，并且不是V的基. 那么在V中必存在向量r＋1不能由1, …,r线性表示. 把r＋1添加进去，1, …,r,r＋1也线性无关. 又
§
教学目的
让学生纯熟掌握向量的基、维数、坐标及过渡矩阵的概念，并通过例题的讲解使学生结实的掌握各自的求法
教学难点
过渡矩阵的定义与求法
教学重点
基、维数及过渡矩阵的定义与求法
教学课时
教学过程
备 注
教学引入
对于有些向量空间，我们可以用其中的有限个向量把该空间的所有向量线性表示出来. 例如，在平面V2中建立直角坐标系，令1,2分别表示x轴和y轴上的单位向量. 那么1,2线性无关，且平面V2中每个向量都可由1,2唯一地线性表示：
证因为A是由基{1,2, …,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵，所以(1)式成立. 给(1)式两端右乘以A－1，即得
(1,2, …,n)＝ (1,2, …,n)A－1.
即由基{1,2, …,n}到{1,2, …,n}的过渡矩阵为A－1. □
设是V中的一个向量，它关于基{1,2, …,n}和基{1,2, …,n}的坐标分别为(x1，x2，…，xn)和(y1，y2，…，yn)，那么有
对实数域上向量空间V2来说，前面介绍的{1,2}就是V2的一个基.
例1在V3中，沿x轴，y轴，z轴正方向的三个单位向量依次记作1,2,3，它们线性无关，且V3中每个向量都可由1,2,3线性表示，因此{1,2,3}是V3的一个基.
例2Fn中向量1＝(1, 0, …, 0),2＝(0, 1, 0,…, 0),…,
＝(1,2, …,n) ，(2)
＝(1,2, …,n) . (3)
将(1)式代入(2)，由引理得
＝(1,2, …,n) . (4)
(3)、(4)两式相减，得
(1,2, …,n) ＝0.
因为1,2, …,n线性无关，所以有
＝A .
2．过渡矩阵的求法
定理设V是n(n>0)维向量空间，A是由基{1,2, …,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵，那么V中的向量关于基{1,2, …,n}的坐标(x1，x2，…，xn)与关于基{1,2, …,n}的坐标(y1，y2，…，yn)有如下的关系
例4Fn中向量＝ (a1,a2, …,an)关于标准基{1，2，…，n}的坐标是(a1,a2, …,an).
例5F2[x]中多项式f(x)＝2＋3xx2关于基{1,x,x2}的坐标是(2, 3,1).
同理在Fn[x]中，多项式f(x)＝a0＋a1x＋…＋anxn关于基{1,x,x2, .
＝x1＋y2. 对向量空间V2来说，向量组{1,2}具有特殊意义. 一般地，我们引入以下的
教学内容
一、 基的定义和应用
定义1设1,2, …,n是数域F上向量空间V中n个向量. 假设向量组{1,2, …,n}线性无关，并且V中每个向量可由1,2, …,n线性表示，那么{1,2, …,n}叫做V的一个基 .
n＝(0, …,0, 1)是Fn的一个基. 这个基叫做Fn的标准基.
例3在向量空间Fn[x]中，{1,x, …,xn}是Fn[x]的一个基.
二、维数的定义及有关结论
定义2向量空间V的基所含向量的个数叫做V的维数，记作dimV.
零空间的维数定义为0.
假如对任意的正整数t，向量空间V中都含有t个向量构成的线性无关的向量组，那么V叫做无限维的.