高等代数教案 北大版 第十章

, (1)
则 是 上的一个双线性函数.
如果设 ，并设
则
. (2)
（1）或（2）实际上是数域 上任意 维线性空间 上的双线性函数 的一般形式.可以如下地说明这一事实.取 的一组基 .设
,
,
则
. (3)
令
,
则（3）就成为（1）或（2）.
定义4设 是数域 上 维线性空间 上的一个双线性函数. 是 的一组基，则矩阵
1） ;
2） ,
其中 是 中任意向量， 是 中任意数，则称 为 上的一个双线性函数.
这个定义实际上是说对于 上双线性函数 ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.
例1欧氏空间 的内积是 上双线性函数.
例2设 都是线性空间 上的线性函数，则
是 上的一个双线性函数.
例3设 是数域 上 维列向量构成的线性空间. 再设 是 上 级方阵.令
推论设 是 的迷向子空间， 是 的基，则它可扩充成 的辛正交基.
对于辛子空间 ， 也是非退化的.同样 也非退化.由定理7还有 .
定理9辛空间 的辛子空间 的一组辛正交基可扩充成 的辛正交基..
定理10令 为辛空间， 和 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有 的辛变换把 变成 .
辛空间 的两个子空间 及 之间的（线性）同构ℜ若满足
定理5设 是数域 上 维线性空间， 是 上对称双线性函数，则存在 的一组基 ，使 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
如果 在 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对 ,
有表示式
.
这个表示式也是 在 下的度量矩阵为对角形的充分条件.
推论1设 是复数上 维线性空间， 是 上对称双线性函数，则存在 的一组基 ，对 中任意向量 ，有
.
推论2设 是实数 上维线性空间， 是 上对称双线性函数，则存在 的一组基 ，对 中任意向量 ，有
.
对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.
定义7设 是数域 上线性空间， 是 上双线性函数.当 时， 上函数 称为与 对应的二次齐次函数.
给定 上一组基 ，设 的度量矩阵为 .对 中任意向量 有
. (5)
授课内容
第十章双线性函数与辛空间第一讲线性函数
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
要求学生了解线性函数的定义，掌握线性函数的简单性质
教学重点
线性函数的简单性质和表达
教学难点
线性函数的表达
教学方法与手段
讲授法启发式
教
学
过
程
定义1设 是数域 上的一个线性空间， 是 到 的一个映射，如果 满足
1） ;
2） ,
式中 是 中任意元素， 是 中任意数，则称 为 上的一个线性函数.
例如，设 是 的辛正交基，则 是迷向子空间. 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间 是辛子空间.
对辛空间 的子空间 .通过验证，并利用定理7，可得下列性质：
(1) ,
(2) ,
(3)若 是辛子空间，则
(4)若 是迷向子空间,则
(5)若 是拉格朗日子空间，则
定理8设 是辛空间 的拉格朗日子空间， 是 的基，则它可扩充为 的辛正交基.
,
其中 皆为 方阵.则ℜ是辛变换当且仅当 ，亦即当且仅当下列条件成立：
且易证 ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.
设 是辛空间， ,满足 ，则称 为辛正交的.
是 的子空间，令
. (2)
显然是 的子空间，称为 的辛正交补空间.
定理7 是辛空间， 是 的子空间，则
.
定义9 为辛空间， 为 的子空间.若 ，则称 为 的迷向子空间；若 ，即 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若 ，则 称 为 的辛了空间.
从定义可推出线性函数的以下简单性质：
1.设 是 上的线性函数，则 .
2.如果 是 的线性组合：
那么
例1设 是 中任意数， 是 中的向量.函数
(1)
就是 上的一个线性函数.当 时，得 ,称为零函数，仍用0表示零函数.
实际上， 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.
令
.
第 个
中任一向量 可表成
.
设 是 上一个线性函数，则
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.
定义6 是线性空间 上的一个双线性函数，如果对 上任意两个向量 都有
,
则称 为对称双线性函数.如果对 中任意两个向量 都有
则称 为反对称双线性函数.
设 是线性空间 上的一个对称双线性函数，对 的任一组基 ，由于
因此，在给定的基下， 上全体双线性函数与 上全体 级矩阵之间的一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设 及 是线性空间 的两组基：
是 中两个向量
,
那么
如果双线性函数 在 及 下的度量矩阵分别为 ，则有
.
又
.
因此
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
它们满足
是线性无关的，因为由
用 代入，即得
.
又因 是 维的，所以 是 的一组基.
设 是在点 的取值函数：
则线性函数 满足
因此， 是 的对偶基.
下面讨论 的两组基的对偶基之间的关系.
设 是数域 上一个 维线性空间. 及 是 的两组基.它们的对偶基分别是 及 .再设
其中
,
由假设
,
.
因此
由矩阵乘法定义，即得
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间 ，也可以将这些双线性函数看成 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义8设 是数域 上的线性空间，在 上定义一个非退化线性函数，则 称为一个双线性度量空间.当 是非退化对称双线性函数时， 称为 上的正交空间；当 是 维实线性空间， 是非退化对称双线性函数时， 称为准欧氏空间；当 是非退化反对称双线性函数时，称 为辛空间.有着非退化双线性函数 的双线性度量空间常记为 .
故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数 在 下的度量矩阵是对称的，那么对 中任意两个向量 及 都有
.
因此 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.
因此， 由 的值唯一确定.反之，任给 中 个数 ，用下式定义 上一个函数 ：
.
这是一个线性函数，并且
因此有
定理1设 是 上一个 维线性空间， 是 的一组基， 是 中任意 个数，存在唯一的 上线性函数 使
.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第二讲对偶空间
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
要求学生了解对偶基的定义，掌握对偶空间的定义、对偶基之间的关系以及如何寻找对偶空间
(4)
叫做 在 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 的一组基 后，每个双线性函数都对应于一个 级矩阵，就是这个双线性函数在基 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
反之，任给数域 上一个 级矩阵
对 中任意向量 及 ，其中 ， 用
定义的函数是 上一个双线性函数.容易计算出 在 下的度量矩阵就是 .
.
称为 与 的和.
还可以定义数量乘法.设 是 上线性函数，对于 中任意数 ，定义函数 如下：
,
称为 与 的数量乘积，易证 也是线性函数.
容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下， 成为数域 上的线性空间.
取定 的一组基 ，作 上 个线性函数 ，使得
(1)
因为 在基 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对 中向量 ，有
, (2)
即 是 的第 个坐标的值.
引理对 中任意向量 ，有
, (3)
而对 中任意向量 ，有
. (4)
定理2 的维数等于 的维数，而且 是 的一组基.
定义2 称为 的对偶空间.由（1）决定 的的基，称为 的对偶基.
以后简单地把 的对偶空间记作 .
例考虑实数域 上的 维线性空间 ，对任意取定的 个不同实数 ，根据拉格朗日插值公式，得到 个多项式
定理6设 是 维线性空间 上的反对称双线性函数，则存在 的一组基 使
(6)
从定理5可知， 上的对称双线性函数 如果是非退化的则有 的一组基 满足
前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做 的对于 的正交基.
而从定理6可知， 上的反对称双线性函数 如果是非退化的，则有 的一组基 使
由于非退化的条件，定理6中的 不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.
两个辛空间 及 ，若有 到 的作为线性空间的同构ℜ，它满足
,
则称ℜ是 到 的辛同构.
到 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把 的一组辛正交基变成 的辛正交基.
两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
辛空间 到自身的，辛同构称为 上的辛变换.取定 的一组辛正交基 ， 上的一个线性变换ℜ，在该基下的矩阵为 ，
即
定理3设 及 是线性空间 的两组基，它们的对偶基分别为 及 .如果由 到 的过渡矩阵为 ，那么由 到 的过渡矩阵为 .
设 是 上一个线性空间， 是其对偶空间，取定 中一个向量 ，定义 的一个函数 如下：
.
根据线性函数的定义，容易检验 是 上的一个线性函数，因此是 的对偶空间 中的一个元素.
定理4 是一个线性空间， 是 的对偶空间的对偶空间. 到 的映射
教学重点
对偶空间的定义、对偶基之间的关系以及如何寻找对偶空间
教学难点
对偶基之间的关系以及如何寻找对偶空间
教学方法与手段
讲授法启发式
教
学
过
程
设 是数域 上一个 维线性空间. 上全体线性函数组成的集合记作 .可以用自然的Leabharlann Baidu法在 上定义加法和数量乘法.
设 是 的两个线性函数.定义函数 如下：
.
也是线性函数：
式中 的系数为 .因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为
及
只要
,
那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.
则称ℜ为 与 间的等距.
Witt定理辛空间 的两个子空间 , 之间若有等距，则此等距可扩充成 的一个辛变换.
教
学
过
程
由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：
1.辛空间 中一定能找到一组基 满足
.
这样的基称为 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.
2．任一 级非退化反对称矩阵 可把一个数域 上 维空间 化成一个辛空间，且使 为 的某基 下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基 下的度量矩阵为
, (1)
故 合同于 .即任一 级非退化反对称矩阵皆合同于 .
令
则
就是上述形式.
例2 是数域 上一个 级矩阵，设
,
则 的迹
是 上全体 级矩阵构成的线性空间 上的一个线性函数.
例3设 是 中一个取定的数.定义 上的函数 为
,
即 为 在 点的值， 是 上的线性函数.
如果 是数域 上一个 维线性空间.取定 的一组基 .对 上任意线性函数 及 中任意向量 ：
都有
. (2)
要求学生能熟练掌握双线性函数的定义，对称双线性函数，反对称双线性函数的概念
教学重点
双线性函数的定义，对称双线性函数，反对称双线性函数的概念
教学难点
对称双线性函数，反对称双线性函数的用法
教学方法与手段
讲授法启发式
教
学
过
程
定义3 是数域 上一个线性空间， 是 上一个二元函数，即对 中任意两个向量 ，根据 都唯一地对应于 中一个数 .如果 有下列性质：
是一个同构映射.
这个定理说明，线性空间 也可看成 的线性函数空间， 与 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第三讲双线性函数
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
定义5设 是线性空间 上一个双线性函数，如果
对任意 ，可推出 ， 就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数 在基 下的度量矩阵为 ，则对 , ，有
如果向量 满足
,
那么对任意 都有
因此
而有非零向量 使上式成立的充要条件为 是退化的，因此易证双线性函数 是非退化的充要条件为其度量矩阵 为非退化矩阵.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第四讲辛空间
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
通过本节的学习，要求学生掌握辛空间的定义及其性质，辛正交基的定义及性质，辛变换的定义及性质
教学重点
辛空间的定义及其性质，辛正交基的定义及性质，辛变换的定义及性质
教学难点
辛正交基的定义及性质，辛变换的定义及性质
教学方法与手段
讲授法启发式