材料力学习题及答案

材料力学-学习指导及习题答案第一章绪论1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。

试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。

解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。

1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。

解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPaτ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。

试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。

图中之C点为截面形心。

解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN其力偶即为弯矩M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m1-4 板件的变形如图中虚线所示。

试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。

解：第二章轴向拉压应力2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。

解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F(b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F(c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN(d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。

如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。

解：因BC与AB段的正应力相同，故2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500 mm2，载荷F=50 kN。

试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

解：2－4（2-11）图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A承受载荷F=80kN作用。

杆1、杆2的直径分别为d1=30mm和d2=20mm，两杆的材料相同，屈服极限σ=320MPa，安全因数n s=2.0。

试校核桁架的强度。

s解：由A点的平衡方程可求得1、2两杆的轴力分别为由此可见，桁架满足强度条件。

2－5（2-14）图示桁架，承受载荷F作用。

试计算该载荷的许用值[F]。

设各杆的横截面面积均为A ，许用应力均为[σ]。

解：由C 点的平衡条件由B 点的平衡条件1杆轴力为最大，由其强度条件2－6（2-17） 图示圆截面杆件,承受轴向拉力F 作用。

设拉杆的直径为d ，端部墩头的直径为D ，高度为h ，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。

已知许用应力[σ]=120MPa ，许用切应力[τ]=90MPa ，许用挤压应力[σbs ]=240MPa 。

解：由正应力强度条件由切应力强度条件由挤压强度条件式(1)：式(3)得式(1)：式(2)得 故D ：h ：d =1.225：0.333：12－7（2-18）图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。

试确定轴销B的直径d。

已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。

解：摇臂ABC受F1、F2及B点支座反力F B三力作用，根据三力平衡汇交定理知F B的方向如图（b）所示。

由平衡条件由切应力强度条件由挤压强度条件故轴销B的直径第三章轴向拉压变形3-1 图示硬铝试样，厚度δ=2mm，试验段板宽b=20mm，标距l=70mm。

在轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长Δl=0.15mm，板宽缩短Δb=0.014mm。

试计算硬铝的弹性模量E与泊松比μ。

解：由胡克定律3-2(3-5) 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。

从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4。

试确定载荷F及其方位角θ之值。

已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。

解：杆1与杆2的轴力（拉力）分别为由A点的平衡条件(1)2+(2)2并开根，便得式(1)：式(2)得3-3(3-6) 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。

试计算板的轴向变形。

已知板的厚度为δ，长为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。

解：3-4(3-11) 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。

设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。

解：设钢丝绳的拉力为T，则由横梁AB的平衡条件钢丝绳伸长量由图（b）可以看出，C点铅垂位移为Δl/3，D点铅垂位移为2Δl/3，则B点铅垂位移为Δl，即3-5(3-12) 试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移。

设各杆各截面的拉压刚度均为EA。

解：(a) 各杆轴力及伸长（缩短量）分别为因为3杆不变形，故A点水平位移为零，铅垂位移等于B点铅垂位移加2杆的伸长量，即(b) 各杆轴力及伸长分别为A点的水平与铅垂位移分别为(注意AC杆轴力虽然为零，但对A位移有约束)3-6(3-14) 图a所示桁架，材料的应力-应变关系可用方程σn=Bε表示（图b），其中n和B 为由实验测定的已知常数。

试求节点C的铅垂位移。

设各杆的横截面面积均为A。

(a) (b)解：2根杆的轴力都为2根杆的伸长量都为则节点C的铅垂位移3-7(3-16) 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。

在梁的中点C承受集中载荷F作用。

试计算该点的水平与铅垂位移。

已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。

解：各杆轴力及变形分别为梁BD作刚体平动，其上B、C、D三点位移相等3-8(3-17) 图示桁架，在节点B和C作用一对大小相等、方向相反的载荷F。

设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点B和C间的相对位移ΔB/C。

解：根据能量守恒定律，有3-9(3-21) 由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆，杆、管各载面的刚度分别为E1A1与E2A2。

复合杆承受轴向载荷F作用，试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形。

解：设杆、管承受的压力分别为F N1、F N2，则F N1+F N2=F(1)变形协调条件为杆、管伸长量相同，即联立求解方程(1)、(2)，得杆、管横截面上的正应力分别为杆的轴向变形3-10(3-23) 图示结构，杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积均为A，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=110MPa。

试确定各杆的横截面面积。

解：设杆1所受压力为F N1，杆2所受拉力为F N2，则由梁BC的平衡条件得变形协调条件为杆1缩短量等于杆2伸长量，即联立求解方程(1)、(2)得因为杆1、杆2的轴力相等，而许用压应力小于许用拉应力，故由杆1的压应力强度条件得3-11(3-25) 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[σ1]=40MPa，[σ2]=60MPa，[σ3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。

若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。

解：设杆1、杆2、杆3的轴力分别为F N1(压)、F N2(拉)、F N3(拉)，则由C点的平衡条件杆1、杆2的变形图如图(b)所示，变形协调条件为C点的垂直位移等于杆3的伸长，即联立求解式(1)、(2)、(3)得由三杆的强度条件注意到条件A1=A2=2A3，取A1=A2=2A3=2448mm2。

3-12(3-30) 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。

铆接后，温度升高40°，试计算铆钉剪切面上的切应力。

钢与铜的弹性模量分别为E s=200GPa与E c=100GPa，线膨胀系数分别为αl s=12.5×10－６℃－１与αl c=16×10－６℃－１。

解：钢杆受拉、铜管受压，其轴力相等，设为F N，变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等，即铆钉剪切面上的切应力3-13(3-32) 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A、E与[σ]，试确定该桁架的许用载荷[F]。

为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为l+Δ。

试问当Δ为何值时许用载荷最大，其值[F max]为何。

解：静力平衡条件为变形协调条件为联立求解式(1)、(2)、(3)得杆3的轴力比杆1、杆2大，由杆3的强度条件若将杆3的设计长度l变为l+Δ，要使许用载荷最大，只有三杆的应力都达到[σ]，此时变形协调条件为第四章扭转4-1(4-3) 图示空心圆截面轴，外径D=40mm，内径d=20mm，扭矩T=1kN•m。

试计算横截面上的最大、最小扭转切应力，以及A点处（ρA=15mm）的扭转切应力。

解：因为τ与ρ成正比，所以4-2(4-10) 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。

已知轴的转速n=100 r/min，传递功率P=10 kW，许用切应力[τ]=80MPa，d1/d2=0.6。

试确定实心轴的直径d，空心轴的内、外径d1和d2。

解：扭矩由实心轴的切应力强度条件由空心轴的切应力强度条件4-3(4-12) 某传动轴，转速n=300 r/min，轮1为主动轮，输入功率P1=50kW，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为P2=10kW，P3=P4=20kW。

(1) 试求轴内的最大扭矩；(2) 若将轮1与轮3的位置对调，试分析对轴的受力是否有利。

解：(1) 轮1、2、3、4作用在轴上扭力矩分别为轴内的最大扭矩若将轮1与轮3的位置对调，则最大扭矩变为最大扭矩变小，当然对轴的受力有利。

4-4(4-21) 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。

试求支反力偶矩。

设扭转刚度为已知常数。

解：(a) 由对称性可看出，M A=M B，再由平衡可看出M A=M B=M(b)显然M A=M B，变形协调条件为解得(c)(d)由静力平衡方程得变形协调条件为联立求解式(1)、(2)得4-5(4-25) 图示组合轴，由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起。