一阶倒立摆控制系统设计讲解

课程设计说明书

课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：

设计者：

学号：

指导教师：

设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号

课程设计（论文）任务书

指导教师签字：系（教研室）主任签字：

2013年3月5日

目录

一、建立一阶倒立摆数学模型 (4)

1. 一阶倒立摆的微分方程模型 (4)

2. 一阶倒立摆的传递函数模型 (6)

3. 一阶倒立摆的状态空间模型 (7)

二、一阶倒立摆matlab仿真 (9)

三、倒立摆系统的PID控制算法设计 (13)

四、倒立摆系统的最优控制算法设计 (23)

五、总结............................................................................................... 错误！未定义书签。

六、参考文献 (29)

一、建立一阶倒立摆数学模型

首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

系统内部各相关参数定义如下：

M 小车质量

m 摆杆质量

b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度

I 摆杆惯量

F 加在小车上的力

x 小车位置

φ摆杆与垂直向上方向的夹角

θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型

对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1-2 小车及摆杆受力图

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

（1-2）即：

（1-3）

把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：

（1-4）

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

（1-5）

即：

（1-6）力矩平衡方程如下：

（1-7）

由于所以等式前面有负号。

合并这两个方程，约去 P 和 N ，得到第二个运动方程：

（1-8）

设

，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ <<1

弧度， 则可以进行近似处理：0)(

,sin ,1cos 2

=-=-=dt

d θφθθ。用u 代表被控对象的输入力F ，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：

2. 一阶倒立摆的传递函数模型

对式(1-9)进行拉普拉斯变换，得：

注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：

或

如果令错误！未找到引用源。，则有：

把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：

（1-9）

（2-5）

（2-1）

（2-2）

（2-3）

（2-4）

整理后得到传递函数：

其中

。

3. 一阶倒立摆的状态空间模型

设系统状态空间方程为：

方程组（2-9）对x ..

解代数方程，得到解如下：

整理后得到系统状态空间方程：

摆杆的惯量为23

1

ml I ，代入（1-9）的第一个方程为：

（2-6）

（3-1）

（3-1）

（3-2）

（3-3）

得：

化简得：

设x u x x x ..

'

[],.

.

==φφ

则有：

4.实际系统的传递函数与状态方程

实际系统的模型参数如下:

M 小车质量 0.5 Kg m 摆杆质量 0.2 Kg

b 小车摩擦系数 0 .1N/m/se

c l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3m

I 摆杆惯量 0.006 kg*m*m

（3-4）

（3-5）

代入上述参数可得系统的实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数：

摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

以外界作用力作为输入的系统状态方程：

以小车加速度为输入的系统状态方程：

二、一阶倒立摆matlab 仿真

实际系统参数如下，按照上面给出的例子求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的matlab 仿真。

（4-2）

（4-3）

（4-1）

（4-5）

M小车质量 1.096Kg

m摆杆质量 0.109Kg

b小车摩擦系数 0.1 N/m/sec

l摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m

I摆杆惯量 0.0034 kg*m*m T采样时间 0.005秒

1.传递函数法

Matlab程序如下：

M=1.096;

m=0.109;

b=0.1;

I=0.0034;

g=9.8;

L=0.25;

q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2;

num=[m*L/q 0 0]

den=[1 b*(I+m*L^2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0];

[r,p,k]=residue(num,den);

s=p;

得到传递函数的分子：

num =

2.3566 0 0

以及传递函数分母:

den =

1.0000 0.0883 -27.8285 -

2.3094 0

开环极点：

s =

-5.2780 5.2727 -0.0830 0

由此可知，系统传递函数的多项式表达式为：

()2

4

32

() 2.3566()0.088327.8285 2.3094s s G s U s s s s s

Φ==+-- （2-1） 系统的开环极点为（s):2780.51-=s 、2727.52=s 、0830.03-=s 、40s =，由于有一个开环极点位于S 平面的右半部，开环系统并不是稳定的。 系统的脉冲响应如下，由图也可见，系统并不稳定。

Impulse Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图2.1 开环系统脉冲响应

2. 状态空间法

状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制。为了更具挑战性，给小车加一个阶跃输入信号。

我们用 Matlab 求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应。在这里给出一个state.m 文件，执行这个文件，Matlab 将会给出系统状态空间方程的A ，B ，C 和D 矩阵，并绘出在给定输入为一个0.2 N 的阶跃信号时系统的响应曲线。state.m 程序如下：

p=I*(M+m)+M*m*L^2;

>> A = [0 1 0 0;

0 -(I+m*L^2)*b/p (m^2*g*L^2)/p 0;

0 0 0 1;

0 -(m*L*b)/p m*g*L*(M+m)/p 0]

A =

0 1.0000 0 0

0 -0.0883 0.6293 0

0 0 0 1.0000

0 -0.2357 27.8285 0

>> B=[0;

(I+m*L^2)/p;

0;

m*L/p]

B =

0.8832

2.3566

>> C=[1 0 0 0;

0 0 1 0]

D=[0;

0]

C =

1 0 0 0

0 0 1 0

D =

matlab仿真的开环阶跃响应曲线如下图所示，系统并不稳定。

图2.2 系统开环阶跃响应曲线

三、倒立摆系统的PID 控制算法设计

1. 实验要求与目的 ● 要求：

设计PID 控制器，使得当在小车上施加1N 的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：

（1）稳定时间小于5秒

（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度 并作PID 控制算法的MATLAB 仿真

● 目的：进一步熟悉PID 控制器的设计方法，步骤，以及P 、I 、D 三参数的

调节方法。 2. 理论分析

● PID 控制原理

在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID 控制。常规PID 控制系统原理框图如下图所示。系统由模拟PID 控制器KD(S)和被控对象G(S)组成。

PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值)(t r 与实际输出值()y t 构成控制偏差)(t e

()()()e t r t y t =-

将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID 控制器。其控制规律为

???

??

?++=?dt t de T dt t e T t e K t u D t

I P )()(1)()(0

或写成传递函数的形式

???

? ??++==

s T s T K s E s U s G D I P 1

1)()()( 式中：P K ——比例系数；I T ——积分时间常数；D T ——微分时间常数。 在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成

s K s

K K s E s U s G D I P ++==

)()

()( 式中：P K ——比例系数；I K ——积分系数；D K ——微分系数。 简单说来，PID 控制器各校正环节的作用如下：

（1）比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号)(t e ，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。

（2）积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。积分作用的强弱取决于积分时间常数I T ，I T 越大，积分作用越弱，反之则越强。

（3）微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。 摆杆角度控制

这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如下：

图中)(s KD 是控制器传递函数，)(s G 是被控对象传递函数。 考虑到输入0)(=s r ，结构图可以很容易地变换成

该系统的输出为

)()

)(())(()

()

()

)(())((1)()

()(1)()(s F num numPID den denPID denPID num s F den denPID num numPID den num

s F s G s KD s G s y +=+=+=

其中： num ——被控对象传递函数的分子项

den ——被控对象传递函数的分母项

numPID ——PID 控制器传递函数的分子项 denPID ——PID 控制器传递函数的分母项

被控对象的传递函数是

den num s

q

bmgl s q mgl m M s q ml I b s s

q ml s U s =-+-++=Φ2324

2

)()()()(

其中 ])())([(2

2

ml ml I m M q -++= PID 控制器的传递函数为

denPID

numPID

s K s K s K s K K s K s KD I P D I P D =++=++=2)(

只需调节PID 控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。 小车位置控制

小车位置作为输出时，系统框图如下：

其中，)(1s G 是摆杆传递函数，)(2s G 是小车传递函数。

由于输入信号0)(=s r ，所以可以把结构图转换成：

其中，反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器。

从此框图我们可以看出此处只对摆杆角度进行了控制，并没有对小车位置进行控制。 小车位置输出为：

)

()

)()(())()(()

)()(()

())(())((1)()()(1)()(212112112

2

12s F den num numPID den den denPID den denPID num s F den denPID num numPID den num s F s G s KD s G s X +=

+=+=

其中，1num ，1den ，2num ，2den 分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。numPID 和denPID 代表PID 控制器传递函数的分子和分母。下面我们来求)(2s G ，根据前面实验二的推导，有

)(])([)(22s s

g

ml ml I s X Φ-+=

可以推出小车位置的传递函数为

s

q

bmgl

s q mgl m M s q ml I b s q mgl

s q ml I s U s X s G -+-++-

+==2324222)()()()()()( 其中 ])())([(2

2

ml ml I m M q -++=

可以看出，1den =2den =den ，小车的算式可以简化成：

)()

)(())(()

)(()(12s F num numPID k den denPID denPID num s X +=

3. PID 控制算法的MATLAB 仿真 实际系统参数如下：

M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m

I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m F 加在小车上的力 x 小车位置 T 采样时间

摆杆的matlab 仿真程序代码如下：

M=0.5; m=0.2; b=0.1; I=0.006; g=9.8; L=0.3;

q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2; num1=[m*L/q 0 0];

den1=[1 b*(I+m*L^2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0]; Kp=1; Ki=1; Kd=1;

numPID=[ Kd Kp Ki]; denPID=[1 0];

num=conv(num1,denPID);

den=polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1)); [r,p,k]=residue(num,den); s=p

t=0:0.005:5;

impulse(num,den,t)

axis([0 2 0 10])

运行程序得到： s =

-6.4161 3.9693 0.0019 0 0

并得到仿真图像如下：

12345678910Impulse Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图3.1 kp=ki=kd=1时的仿真响应图

可见此时系统并不稳定，此时应该首先调整kp ，观察其响应的变化： 讲kp 设置为150，得到并观察响应图如下： s =

-1.2224 +18.0044i -1.2224 -18.0044i -0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.2

-0.15

-0.1

-0.050

0.05

0.10.15

0.2Impulse Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图3-2，kp=150系统仿真图

可见此时系统两个闭环极点均在S 平面做平面，系统稳定，系统稳定时间约为4秒，满足要求。此时系统有极小的静态误差，根据系统对于精度的要求可酌情考虑是否添加积分控制，本文添加积分控制。 将积分参数设为5，得到并观察闭环响应图。

在笔者经过多次尝试之后，发现积分控制对于系统响应的调节作用极小，笔者给出当积分参数分别设为10和50的响应图如下：

00.5

1 1.5

2 2.5

3 3.5

4 4.55

-0.2

-0.15

-0.1

-0.050

0.050.10.15

0.2Impulse Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图3-3，ki=10的响应

00.51 1.52 2.53 3.54 4.55

-0.2

-0.15

-0.1

-0.050

0.050.10.15

0.2Impulse Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图3-4，ki=50系统的响应

积分作用通常是用来调整系统的静态误差，使之达到需要的范围，但是此处明显积分作用对系统的影响不大，并了解到被控对象的特性属于变化快的类型，应该考虑改变微分控制，虽然微分控制在实际系统中运用并不多见。 笔者将微分作用参数设置为10,20,50观察其效果图。

-0.2

-0.15

-0.1

-0.050

0.050.10.15

0.2Impulse Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图3-5，kp=150,ki=50,kd=10的仿真图像