北师大版选修1-1高中数学2.3.1《双曲线及其标准方程》ppt课件1
[解析] (1)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13， 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)， 如图所示．由双曲线定义，有 r1－r2＝2a＝4， 两边平方得 r21＋r22－2r1r2＝16. ∵∠F1PF2＝90°， ∴r21＋r22＝4c2＝4×( 13)2＝52. ∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝12r1r2＝9.
因为点 A(－5,6)在双曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的 差的绝对值是常数 2a，即
2a＝| －52＋6＋62－ －52＋6－62| ＝|13－5|＝8， 得 a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 因此，所求的双曲线标准方程是1y62 －2x02 ＝1.
解法二：由焦点坐标知 c＝6，∴a2＋b2＝36， ∴双曲线方程为ay22－36－x2 a2＝1. ∵双曲线过点 A(－5,6)， ∴3a62 －362－5 a2＝1，∴a2＝16，b2＝20. 双曲线方程为1y62 －2x02 ＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 §3 双曲线
3.1 双曲线及其标准方程
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课时作业
课前自主预习
• 1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程． • 2．会用待定系数法求双曲线的标准方程.
双曲线的定义
• 类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义
• 在 于平 定面 值内2a到(大两于个0定且点小F于1、|FF12F距2|离)的之点差__的__轨_的迹绝叫对作值双等曲
[解析] 设双曲线的另一个焦点为 F2，连接 PF2，ON 是三 角形 PF1F2 的中位线，所以|ON|＝12|PF2|，
因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10， 所以|PF2|＝2 或 18，|ON|＝12|PF2|＝1 或 9.
在双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)中，F1、F2 是两焦点，P 在 双曲线上，若P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝2，则aa－ ＋bb＝________.
(2)若∠F1PF2＝60°， 在△F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos60° ＝(r1－r2)2＋r1r2， 而 r1－r2＝4，|F1F2|＝2 13，∴r1r2＝36. 于是 S△F1PF2＝12r1r2sin60°＝12×36× 23＝9 3. 同理可求得若∠F1PF2＝120°时，S△F1PF2＝3 3.
又双曲线过点(3 2，2)， ∴3 a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2， ∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
解法二：设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1， 将点(3 2，2)代入得 k＝4， ∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1. [方法规律总结] 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的 步骤如下： (1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两坐标轴都有可能．
课堂典例探究
待定系数法求双曲线的标准方程
(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线经 过点(3，－4 2)和(49，5)，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双 曲线方程．
• [分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、 b的方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方 程．注意对平方关系c2＝a2＋b2的运用．
不存在；
• D线中段，垂∵直|平|P分F1|线－的|P性F2质||，＝动0，点即P的|P轨F1迹|＝是|线PF段2|，F1F根2的据
垂直平分线，故选A.
• [答案] A
• [方法规律总结] 注意双曲线定义中的“小于
|F1F2|”这一限制条件，其依据是“三角形两边之差
小于第三边”．实际上，
• (1)若2a＝|F1F1|，即||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，根据 平面几何知识，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点轨 迹是以F2为端点的一条射线；当|PF2|－|PF1|＝ |F1F2|时，动点轨迹是以F1为端点的一条射线；
• 1的.平已面知内两动定点点PF的1(－轨3迹,0中)、，F是2(双3,曲0)线，的在是满(足下列) 条件
• A．||PF1|－|PF2||＝5 • C．||PF1|－|PF2||＝7
B．||PF1|－|PF2||＝6 D．||PF1|－|PF2||＝0
• [5<解|析F1F]2|，A中故，运∵点|PF的1F轨2|迹＝是6，双∴曲|线|P；F1|－|PF2||＝ • B迹中是，以∵F|1或|PFF21为|－端|点PF的2|射|＝线6(＝含|端F1F点2|)，；∴动点P的轨 • C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹
mn<0，∴－mn >0，
∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线．
4．(2014·山师大附中高二期中)双曲线的焦点为(6,0)，(－
6,0)，且经过点 A(6，－5)，则其标准方程为( )
A.1x62 －2y02 ＝1 C.2y02 －1x62 ＝1
B．1y62 －2x02 ＝1 D．4y52 －x92＝1
(a>b>0)
双曲线 定义|MF1|－|MF2|＝±2a
因为 0<a<c， 所以令 c2－a2＝b2(b>0) ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1 (a>0，b>0，a 不一定大于 b)
3.通过比较两种不同类型的双曲线方程ax22－by22＝1 和ay22－bx22 ＝1(a>0，b>0)，可以看出，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．对于 双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.
双曲线的焦点三角形
设双曲线x42－y92＝1，F1，F2 是其两个焦点，点 P 在双曲线右支上．
(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2 的面积； (2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2 的面积是多少？若∠F1PF2 ＝12[0分°时析，] △由F1于PF三2 的角面形积面又积是S多△少F1P？F2＝12|PF1|·|PF2|·sinθ，所以 只要求出|PF1||PF2|即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理 求出|PF1|·|PF2|.
[答案] A
[解析] 由条件知 c＝6，焦点在 x 轴上，排除 B、C、D；
又双曲线经过点 A(6，－5)，故选 A.
5．满足下列条件的点 P(x，y)的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6. [答案] (1)以(－5,0)，(5,0)为焦点的双曲线； (2)以(－4,0)，(4,0)为焦点的双曲线的右支．
• (2)双曲线定义中应注意关键词“绝对值”，若去掉 定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线 的一支．
• 2．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用 对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知
• 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆 定义|MF1|＋|MF2|＝2a
因为 a>c>0， 所以令 a2－c2＝b2(b>0) ax22＋by22＝1 或ay22＋bx22＝1
求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点 A(－5，6)， ________； (2)与椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 共焦点，且过点(1，－25)，________. [答案] (1)1y62 －2x02 ＝1 (2)y52－x42＝1
[解析] (1)解法一：由已知得，c＝6，且焦点在 y 轴上， 则另一焦点坐标是(0,6)．
(2)由1x62 ＋2y52 ＝1 知焦点为 F1(0，－3)，F2(0,3)． 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，则有
42a52－b12＝1， ∴a2＝5，b2＝4. a2＋b2＝9. ∴所求的双曲线的方程为y52－x42＝1.
双曲线的定义在解题中的应用
已知双曲线的方程是1x62 －y82＝1，点 P 在双曲线 上，且到其中一个焦点 F1 的距离为 10，点 N 是 PF1 的中点， 求|ON|的大小(O 为坐标原点)．
[解析] 由双曲线的对称性，可设点 P 在第一象限， 由双曲线的方程，知 a＝3，b＝4，∴c＝5. 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6. 上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64 ＝100，
a2＋b2＝c2
• 2．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为
__________.
• 1.定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”． • (1)在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，
若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a>|F1F2|，则动点的轨迹是不存在．
• [方法规律总结] 在椭圆的研究中我们已经体验了 定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作 用，同样在双曲线中也应注意定义的应用．
• 已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往 往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出 关系式．
Hale Waihona Puke 若 F1、F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点，P 在双曲线上， 且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2 的大小．
线．这两个定点叫作双曲线的_____，两焦点之间的
距离叫作双焦曲点 线的_____.
焦距
双曲线的标准方程
• 1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程ax2为2－by22＝1(a>0，b>0) ________________，焦点在y轴ay22－上bx的22＝双1(曲a>线0，的b>标0) 准方
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2015-2016学年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程课件 北师大版选修1-1
双曲线的定义在解题中的应用
x2 y 2 已知双曲线的方程是 － ＝1，点 P 在双曲线 16 8 上，且到其中一个焦点 F1 的距离为 10，点 N 是 PF1 的中点， 求|ON|的大小(O 为坐标原点)．
[解析] 设双曲线的另一个焦点为 F2，连接 PF2，ON 是三 1 角形 PF1F2 的中位线，所以|ON|＝ |PF2|， 2 因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10， 1 所以|PF2|＝2 或 18，|ON|＝ |PF2|＝1 或 9. 2
2 2 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
双曲线 定义|MF1|－|MF2|＝± 2a 因为 0<a<c， 所以令 c2－a2＝b2(b>0) x2 y2 y2 x2 － ＝1 或 2－ 2＝1 a2 b2 a b (a>0，b>0，a 不一定大于 b)
x2 y 2 y2 x2 3.通过比较两种不同类型的双曲线方程 2－ 2＝1 和 2－ 2 a b a b ＝1(a>0，b>0)，可以看出，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．对于 双曲线， a 不一定大于 b， 因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.
x2 y 2 在双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)中，F1、F2 是两焦点，P 在 a b a－b → → 双曲线上，若PF1· PF2＝0，tan∠PF1F2＝2，则 ＝________. a＋b 1 [答案] － 3
→ → [解析] 因为 P 在双曲线上，且PF1· PF2＝0， 所以△PF1F2 是直角三角形． 又因为 tan∠PF1F2＝2，所以|PF2|＝2|PF1|. 根据双曲线的定义有|PF2|－|PF1|＝2a， 所以|PF2|＝4a，|PF1|＝2a， 于是|F1F2|＝2 5a，即 2c＝2 5a， a－b a－2a 1 所以 c＝ 5a，于是 b＝2a，故 ＝ ＝－ . 3 a＋b a＋2a
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件北师大版选修110830394
平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为非零常数,即||MF1||MF2||=2a,关键词“平面内”.
当2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线;
当2a=|F1F2|时,轨迹是分别(fēnbié)以F1,F2为端点的两条射线;
当2a>|F1F2|时,轨迹不存在.
第四页，共33页。
【做一做1】 已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),在满足下列条件
第六页，共33页。
【做一做 2】 k>9
2
2
是方程 + =1
9-
-4
表示双曲线的(
)
A.充分(chōngfèn)不必要条件
B.必要不充分(chōngfèn)条件
C.充要条件
D.既不充分(chōngfèn)又不必要条件
2
2
解析: + =1
9-
-4
表示双曲线的充要条件是(9-k)(k-4)<0,
a,b,从而求得双曲线的标准方程.
第九页，共33页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
2
解(1)①若所求双曲线的标准方程为 2
a=4
2
代入,得16
−
−
2
2
2 =1(a>0,b>0),则将
2=1.
4 10
又因点 A 1,
3
1
160
所以16 − 2 =1.
即 k>9 或 k<4.
因为 k>9 是 k>9 或 k<4 的充分不必要条件,
2
2
答案:A
当2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线;
当2a=|F1F2|时,轨迹是分别(fēnbié)以F1,F2为端点的两条射线;
当2a>|F1F2|时,轨迹不存在.
第四页，共33页。
【做一做1】 已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),在满足下列条件
第六页，共33页。
【做一做 2】 k>9
2
2
是方程 + =1
9-
-4
表示双曲线的(
)
A.充分(chōngfèn)不必要条件
B.必要不充分(chōngfèn)条件
C.充要条件
D.既不充分(chōngfèn)又不必要条件
2
2
解析: + =1
9-
-4
表示双曲线的充要条件是(9-k)(k-4)<0,
a,b,从而求得双曲线的标准方程.
第九页，共33页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
2
解(1)①若所求双曲线的标准方程为 2
a=4
2
代入,得16
−
−
2
2
2 =1(a>0,b>0),则将
2=1.
4 10
又因点 A 1,
3
1
160
所以16 − 2 =1.
即 k>9 或 k<4.
因为 k>9 是 k>9 或 k<4 的充分不必要条件,
2
2
答案:A
双曲线及其标准方程 课件(共32张PPT)——高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
6,0 ，且经过点(5,2) ，则双曲线的标准方程为
解析：设双曲线的标准方程为 x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0
，
因为双曲线的一个焦点坐标为 6,0 ，且经过点5,2 ，
所以
25 a2
4 b2
1 ，得 a
5 ，b 1，
a2 b2 6
所以双曲线的标准方程为 x2 y2 1 . 5
1.在以上拉链小实验中，曲线上的点应满足怎样的几何条件？
如图，曲线上的点满足条件： MF1 MF2 ＝常数． 2.当点 M 满足 MF1 MF2 时，动点 M 满足什么关系？
MF1 MF2 r （常数）
3.那么当点 M 满足 MF1 MF2 时，动点 M 满足什么关系？
MF1 MF2 r （常数）
平面内与两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于|F1F2|） 的点（轨迹）的集合． 这两个定点 F1 ， F2 叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离 F1F2 叫作双曲线的焦距.
④列出等式： x a 2 y2
x a 2 y2 2a
⑤化简：这一步由学生自己动手完成，并且找一个学生板演，最终化简为
x2
y2
1
a2 a2 c2
设 b2
c2 a2 其中 b
0
．于是双曲线的方程可化为 x2 a2
y2 b2
1 .这就是焦点在
x 轴上的双曲线的标准方程，焦点坐标为 F1 c,0 , F2 c,0
若 C 0 ， C 0 ，则双曲线的焦点在 x 轴上；
A
B
若 C 0 ， C 0 ，则双曲线的焦点在 y 轴上；
A
B
特别地，当 C 1时，双曲线的一般方程为 Ax2 By2 1.
解析：设双曲线的标准方程为 x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0
，
因为双曲线的一个焦点坐标为 6,0 ，且经过点5,2 ，
所以
25 a2
4 b2
1 ，得 a
5 ，b 1，
a2 b2 6
所以双曲线的标准方程为 x2 y2 1 . 5
1.在以上拉链小实验中，曲线上的点应满足怎样的几何条件？
如图，曲线上的点满足条件： MF1 MF2 ＝常数． 2.当点 M 满足 MF1 MF2 时，动点 M 满足什么关系？
MF1 MF2 r （常数）
3.那么当点 M 满足 MF1 MF2 时，动点 M 满足什么关系？
MF1 MF2 r （常数）
平面内与两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于|F1F2|） 的点（轨迹）的集合． 这两个定点 F1 ， F2 叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离 F1F2 叫作双曲线的焦距.
④列出等式： x a 2 y2
x a 2 y2 2a
⑤化简：这一步由学生自己动手完成，并且找一个学生板演，最终化简为
x2
y2
1
a2 a2 c2
设 b2
c2 a2 其中 b
0
．于是双曲线的方程可化为 x2 a2
y2 b2
1 .这就是焦点在
x 轴上的双曲线的标准方程，焦点坐标为 F1 c,0 , F2 c,0
若 C 0 ， C 0 ，则双曲线的焦点在 x 轴上；
A
B
若 C 0 ， C 0 ，则双曲线的焦点在 y 轴上；
A
B
特别地，当 C 1时，双曲线的一般方程为 Ax2 By2 1.
双曲线及其标准方程ppt课件
拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？
双曲线的定义
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）上面 两条
曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.
双曲线的定义
（2）定义
北师大版选择性必修一
2.2.1 双曲线的标准方程
复习
复习 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点
的集合（或轨迹）叫做椭圆.
问题1 如果平面内到两个定点F1,F2的距离之差也是一个常数，这
样的点的轨迹是什么图形呢？
双曲线的定义
模型试验：取一条拉链，如图，把它固定在板上的F1、F2两点，
tan
2
中2可以直接使用此公式求双曲线焦点三角形的面积．
双曲线的焦点三角形
例3
2
F1，F2是双曲线
4
−
2
9
= 1的两个焦点，点P在双曲线右支
上，∠F1PF2＝90°.求△F1PF2的面积．
双曲线的轨迹方程
例4 在△ABC中,已知||＝4 2,且三个内角A,B,C满足2sin A＋
sin C＝2sin B．建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
点的轨迹是什么？
2、若常数2a=0,轨迹是什么?
双曲线的定义
3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？
4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？
双曲线的标准方程
双曲线标准方程的推导
(1)建立直角坐标系.
y
(2)设点的坐标
M
(3)根据定义推导出双曲线的标准方程
双曲线的定义
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）上面 两条
曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.
双曲线的定义
（2）定义
北师大版选择性必修一
2.2.1 双曲线的标准方程
复习
复习 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点
的集合（或轨迹）叫做椭圆.
问题1 如果平面内到两个定点F1,F2的距离之差也是一个常数，这
样的点的轨迹是什么图形呢？
双曲线的定义
模型试验：取一条拉链，如图，把它固定在板上的F1、F2两点，
tan
2
中2可以直接使用此公式求双曲线焦点三角形的面积．
双曲线的焦点三角形
例3
2
F1，F2是双曲线
4
−
2
9
= 1的两个焦点，点P在双曲线右支
上，∠F1PF2＝90°.求△F1PF2的面积．
双曲线的轨迹方程
例4 在△ABC中,已知||＝4 2,且三个内角A,B,C满足2sin A＋
sin C＝2sin B．建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
点的轨迹是什么？
2、若常数2a=0,轨迹是什么?
双曲线的定义
3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？
4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？
双曲线的标准方程
双曲线标准方程的推导
(1)建立直角坐标系.
y
(2)设点的坐标
M
(3)根据定义推导出双曲线的标准方程
2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课件 北师大版选修1-1
故动点 M 的轨迹是以点 F1,F2 为焦点的双曲线的右支,其中
a=4,c=5,b=3.
故轨迹方程为������2
16
−
���9���2=1(x≥4).
123456
1.双曲线
������2 16
−
���9���2=1上一点P到点(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)
的距离为( )
A.7
B.23
x2 a2
−
y2 b2
=1
(a>0,b>0)
F1(-c,0),F2(c,0) c2=a2+b2
焦点在 y 轴上
y2 a2
−
x2 b2
=1
(a>0,b>0)
F1(0,-c),F2(0,c) c2=a2+b2
名师点拨双曲线的焦点位置的确定,关键是看标准方程中x2,y2项 的正负,即焦点在正项对应的x轴或y轴上.
【例1】 若一个动点P(x,y)到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的 差的绝对值为定值m(m≥0),试讨论点P的轨迹方程.
分析:从题设条件看,点P的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定 义中的条件,|F1F2|>m,而题中|F1F2|=2,m与2的大小关系不确定,所 以要确定点P的轨迹方程,首先要讨论m与2的大小关系.
= 1, 解得
3
������2
-
42 ������2
=
1,
1
������2 1 ������2
= =
-
1
16 1
9
, (不合题意,舍去).
题型一
题型二
题型三
题型四
当双曲线的焦点在 y 轴上时,
(教师用书)高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程课件 北师大版选修1-1
若焦点在 y 轴上， y2 x 2 设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)． a b 1 1 a2－b2＝1， 同理有 2 2 （－ 2 ） 5 2－ ＝1， b2 a
2 a ＝－7， 解得 2 7 (不合题意，舍去)． b ＝－ ， 8
x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 7 7 8
双曲线的标准方程
【问题导思】 上述问题中，设|AB|＝1 600 ＝2c，|MB|－|MA|＝1 020＝ 2a，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立直 角坐标系，则点 M 的轨迹方程是什么？
【提示】 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
【思路探究】 根据一定条件求双曲线的标准方程，通 常用待定系数法， 但要注意根据双曲线焦点的位置设方程． 另 外，如果知道了双曲线的两个焦点和双曲线上任一点，也可 利用双曲线的定义求解．
【自主解答】 (1)法一 由题意知双曲线的两焦点 F1(0， －3)，F2(0，3)． y2 x2 设双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 将点 A(4，－5)代入双曲线的方程得 25 16 2 2 2 － 2 ＝1，又 a ＋b ＝9， a b 解得 a2＝5，b2＝4. y2 x 2 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1. 5 4
双曲线
【问题导思】 问题：2011 年 3 月 16 日，中国海军第 7 批、第 8 批护航 编队“温州号”导弹护卫舰， “马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁 湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时， “马 鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍 山”舰哨兵相距 1 600 m 的“温州号”舰， 3 秒后也监听到了 马达声(声速 340 m/s)，用 A、B 分别表示“马鞍山”舰和“温 州号”舰所在的位置，点 M 表示快艇的位置．
2018学年高中数学北师大版选修1-1课件：2.3.1 双曲线及其标准方程 精品
a12－bБайду номын сангаас2＝1， 所以－a222－5b22＝1，
解得a2＝78， b2＝7.
若焦点在 y 轴上， 设双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
a12－b12＝1， 同理有5a22－－b22 2＝1，
a2＝－7，
解得b2＝－78
(不合题意，舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设 双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．
3．与双曲线ax22－by22＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为a2x－2 λ－b2y＋2 λ＝ 1(－b2<λ<a2)．
[再练一题] 1．(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4 2)和94，5， 求双曲线的标准方程；
2．符号表示 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0＜2a＜|F1F2|)． 3．焦点 两个________． 4．焦距 ________的距离，表示为|F1F2|.
【答案】 1.绝对值 大于零且小于 3.定点 F1，F2 4.两个焦点之间
若 F1，F2 是两定点，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点 P 的轨迹是( )
【自主解答】 (1)由双曲线方程知， a＝2，b＝3，c＝ 13，设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)． 由双曲线定义知，有 r1－r2＝2a＝4，两边平方得 r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16， 也即 52－16＝4S△F1MF2，求得 S△F1MF2＝9.
双曲线定义及应用