高中数学竞赛资料数论部分

初等数论简介

绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子：

（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞

赛第一题)

（2） ①设n Z ∈，证明213

1n

-是168的倍数。

②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅？（1956年上海首届数学竞

赛第一题） （3） 证明：3

231

122

n n n +

+-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。

（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）

（4） 证明：对任何自然数n ，分数214

143

n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）

（5） 令(,,

,)a b g 和[,,

,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：

[][][][]()()()()

2

2

,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =⋅⋅（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）

这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字：

（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。

这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。

3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：

(1)方程3

2

3

652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）

A 、 0

B 、1

C 、3

D 、无穷多

（2007全国初中联赛5）

（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2

1

02

x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

（2007全国初中联赛12）

（3）①是否存在正整数,m n ，使得(2)(1)m m n n +=+？

②设(3)k k ≥是给定的正整数，是否存在正整数,m n ，使得()(1)m m k n n +=+？ （2007全国初中联赛14） （4）关于,x y 的方程2

2

229x xy y ++=的整数解(,)x y 得组数为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、无穷多

（2009全国初中联赛5） （5）已知12345,,,,a a a a a 是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是

关于x 的方程()()()()12345()2009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 （2009全国初中联赛8）

（6）已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和。 （2009全国初中联赛12） （7）n 个正整数12,,

,n a a a 满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12,,,n a a a 中任意1n -个

不同的数的算术平均数都是正数，求n 的最大值。

（2009全国初中联赛14） (8)在一列数123,,,x x x …中，已知11x =，且当2k ≥时，11214()44k k k k x x ---⎡⎤⎡⎤

=+--⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[][]2.62,0.20==）则2010x 等于（ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 （2010全国初中联赛4） （9）求满足2

2

282p p m m ++=-的所有素数P 和正整数m 。

（2010全国初中联赛13）

（10）从1,2,,2010…这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ （2010全国初中联赛14）

（11）设四位数abcd 满足3

3

3

3

110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为 （2011全国初中联赛10）

（12）已知关于x 的一元二次方程2

0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2

0x ax b ++=的两个根都大

1，求a+b+c 的值

（2011全国初中联赛11）

（13）若从1,2,3,,n …中任取5个两两互素的不同的整数12345,,,,a a a a a 其中总有一个整数是素数，求n 的最大值。

（2011全国初中联赛13） （14）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：

12,,n a a a …，例如221213a =-=，222325a =-=，……那么2007a =

（2007福建省高一数学竞赛12）

（15）求最小的正整数n ，使得集合{1,2,3,,2007}…的每一个n 元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂。

（2007福建省高一数学竞赛14） （16）两条直角边长分别是整数a 和b(其中b<1000)，斜边长是b+1的直角三角形有（ ） A 、20个 B 、21个 C 、22个 D 、43个

（2008福建省高一数学竞赛5）

（17）设x 、y 为非负整数，使得2x y +是5的倍数，x y +是3的倍数，且299x y +≥，则75x y +的最小值为

（2008福建省高一数学竞赛11） （18）正整数1212a a a ≤≤≤…中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则12

1

a a 的最小值是 （2008福建省高一数学竞赛12）

（19）设{1,2,3,,}S n =…（n 为正整数），若S 得任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25整除，求n 的最大值。 （2008福建省高一数学竞赛17）

（20）设[]x 是不超过x 的最大整数，则123500

3333log log log log ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦…=

（2009福建省高一数学竞赛11）

（21）已知集合M 是集合{1,2,3,,2009}S =…的含有m 个元素的子集，且对集合M 的任意三个元素x,y,z 均有x+y 不能整除z ，求m 的最大值。

（2009福建省高一数学竞赛17）