沪教版八年级上册 几何证明的总结与练习资料

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几何证明知识整理第十九章

一、知识梳理：、有关概念：1命题、公理、定理命题：判断一件事情的句子叫做命题。(1) 结论)。命题的形式：如果…(题设)，那么…( 命题中，结论正确的是真命题，结论错误的是假命题。 (2)公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理。 (3)定理：用推理的方法证明为真命题，且可作为判断其他命题真假的依据的真命题叫做定理。 (4)逆命题和逆定理在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做它的逆命题。如果两个定理是互逆命题，那称它们为互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。M

2、重要定理：P

★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。B A AB

垂直平分线段∵MN如图：N

PA=PB

∴

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。PA=PB

∵如图：

A 的垂直平分线上在线段A

B ∴点P ★角平分线D 定理：在角平分线上的点到这

个角的两边的距离相等。P OB

PE⊥AOB PD⊥OA，如图：∵OP平分∠O

PD=PE ∴B E

逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。OB ⊥，⊥OAPE如图：∵PD=PE PDAOB

平分∠∴OP ★直角三角形的全等判定直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。）（H.L这SSSSAS、⊿，才能应用本判定定理；以前所学的ASA、AAS、RT（注意：必须先证明两个三角形都是）四条判定定理对于直角三角形全

等的判定仍然适用。A ★直角三角形的性质及判定 A 1：直角三角形的两个锐角

互余。定理

°A+∠B=90C=90如图：∵∠°∴∠定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。D

B C

（直角、中点→想一半） AB的中点DACB=90如图：∵∠°，且点是A

1B

ABCD?C

∴2

°，那么它所对的直角边等：在直角三角形中，如果一个锐角等于301推论于斜边的一半。B C

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1ABBC?∴°如图：∵∠C=90°，∠A=302推论2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角等于30°。

1ABBC?∴∠A=30如图：∵∠C=90°，°2A

★勾股定理及逆定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。°，∵∠C=90如图：c b

222AB?AC?BC∴222c?a?b）（ B

C

a

勾股定理逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。222ABAC?BC?如图：∵，是RT⊿，且∠C=90°∴⊿ABC ★基本轨迹轨迹1：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。轨迹2：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。二、基本方法：、几何证明的分析思路：1 从结论出发，即：根据所要证明的结论，去寻找条件。要证线段相等，则必先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然例如：后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论。要证角相等，则必先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利

用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论。°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”要证垂直，则必先证：①两条直线所夹的角为90

来得出结论（前提：在同一个三角形中）要证三角形全等，则必先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找！从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→→直接可得的结论。例如：已知线段的垂直平分线→→线段相等。已知角平分线→→到角的两边距离相等或角相等。已知直线平行→→角相等。

。已知边相等→→角相等（前提：在同一三角形中）、几何图形：2 ）必须先

观察图形，找出其明显的特征（一般来说：很多结论在图形中是完全能够看到的！三、基础训

练轨迹迹的轨4cm离为的点到1、定点A的距A

。是

迹圆心轨P点、Q的圆的、2经过E

（怎样画）是。

D

迹的离相等点的轨距两AOB到3、∠的边（怎样画）。

是线段的垂直平分线C

B

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1、已知，在⊿ABC中，AB=AC，DE是AC边的垂直平分线，AB=8cn，BC=6cm，则⊿BCD的周长。是

30cm，的周长是 AC边的垂直平分线，AB=16cm，且⊿BCD2、已知，在⊿ABC中，AB=AC，DE是BC= 。则∠A=30°，是3、已知，在⊿ABC中，AB=AC，DEAC边

的垂直平分线，∠A

BCD= 度。角平分线⊿则BD=3，BAC，若AC=8，中，∠1、如图，在RT⊿ABCB=90°，AD平分∠C B D ADC的面积为。直角三角形有关内容 C= 度。A=90°，∠B=35°，则∠1、在RT⊿ABC中，∠

。、5cm，则面积为8cm2、直角三角形中斜边上的中线和高分别为。、直角三角形中，如果斜边和斜边上的中线的和为24cm，则斜边长为3 C= 度。，AC=4，则∠⊿ABC中，∠A=90°，BC=84、在RT，那么斜边上的中线12直角三角形中两直角边的长分别为5、5、C

。为

，则ACD=30°，若AD=4cm°，CD⊥AB，∠RT6、在⊿ABC中，∠ACB=90AB= cm。A B D