数学放缩技法

浅谈“放缩法”证明不等式的常规方法

芜湖十二中 杨德根

一. “添舍”放缩

例1已知*

21().n n a n N =-∈求证：

*12

231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明：

111211111111

.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k

k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴

-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的

值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k

-，从而是使和式得到化简。

例2 已知a 、b 、c 不全为零，求证：

a a

b b b b

c c c ac a a b c 22222232

++++++++++＞（）

证明：因为a ab b a b b a b a b a b 22222

2342

22++=

+++=++（）＞（）≥

同理b bc c b c 222

+++

＞，c ac a c a 222+++＞

所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232

++++++++++＞（）

二. 分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。

证明：由于a 、b 、c 为正数，所以

a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c

+++＞，

所以

a b c b a c c a b

a a

b

c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三

角形的边，故b +c ＞a ，则

a b c

+为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜

2，c a b c a b c

+++＜2，

故a b c b a c c a b

a a

b

c b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。

三. 裂项放缩（先放缩后裂项或先裂项再放缩）

若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4已知n ∈N*，求n 2n

13

12

11＜…+

++

+

。

证明：因为

1221

21n

n n

n n n n =

++-=--＜

（），则112

13

+

+

+

…＜（）（）…（）＜+

+-+-++--=-1

122123221212n

n n n n 所以原不等式成立。

例5 已知*

N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2

)1(2)1(2

+<

<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。

证明：因为n n n n =>

+2)1(，所以2

)

1n (n n 21a n +=

+++> ， 又2

)

1()1(+<

+n n n n ， 所以2

)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2

n +=

++++=++++++< ， 综合知结论成立。

四. 公式放缩（利用基本不等式、二项式定理放缩）

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*

N n ∈且3≥n 都有1

)(+>n n n f 。

证明：由题意知

)12)(1()

12(212211)111()1

221(112121)(+++-=

+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f

又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n ，又因为，

1n 21n 2

)

1n (n n 1C C C C C )11(2n

n 1

n n

2

n 1

n 0

n n n +>+++-+

+=+++++=+=- 所以1

)(+>

n n

n f 。 例7 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。

证明：f a f b a b a b a b a b a b a b （）（）-=+-+=

-+++=

+-+++111111222222

22

b a b

a b

a )

b a (b

a b a b a -=+-+<

+-+<

证毕。

五.逐项放缩或部分放缩

例8设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n 求证：2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n 证明：因为n n n n =>+2)1(2

1

2)21()1(2+=+<+n n n n

所以2

1

2)1(+<+

所以2

)

12(31321++++<<++++n a n n ， 所以2)1(2)1(2+<<+n a n n n

本题利用21

2

n n +<<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，

达到化简的目的。 例9求证：

2

22211117123

4

n ++++

< 证明：

21111

(1)1n n n n n <=--- 2

22221111111115117

1()().123

223

1424

n n n n ∴

++++

<++-++

-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据

具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 六. 单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10已知a ，b ∈R ，求证

b

1b a

1a b

a 1

b a ++

+≤

+++。