2018学年精品上海松江区初三上期末数学试卷(含答案)(2019年一模)
松江区2018-2019学年第一学期九年级质量调研考试
数 学 试 卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．已知13
a b =，那么a
a b +的值为（ ）
（A ）13
； （B ）23； （C ）14； （D ）34．
2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
（A ）3y x =-； （B ）22(1)y x x =-+； （C ）(1)1y x x =--； （D ）21
y x
=．
3．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角为α，那么这时飞机与目标A 的距离为（ ）
（A ）5sin α； （B ）5sin α； （C ）5
cos α
； （D ）5cos α．
4．已知非零向量、、a b c r r r ，在下列条件中，不能判定∥a b r r
的是（ ） （A ）,∥∥a c b c r r r r ； （B ）2,3a c b c ==r r r r ； （C ）5a b =-r r
； （D ）2a b =r r ．
5．在△ABC 中，边BC =6，高AD =4，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于
（A ）3； （B ）2.5； （C ）2.4； （D ）2．
6．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：BD =2:1，点F 在AC 上，AF ：FC =1:2，联结BF ，交DE 于点G ，那么DG ：GE 等于．
（A ）1:2； （B ）1:3； （C ）2:3； （D ）2:5．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，
满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．已知线段a ＝4，b =1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c = ▲ ．
8．在比例尺是1:15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是 ▲ 千米．
9．如果抛物线2(2)1y a x x =++-的开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ．
10．如果一个斜坡的坡度i =，那么该斜坡的坡角为 ▲ 度．
11．已知线段AB =10，P 是AB 的黄金分割点，且AP >BP ，那么AP = ▲ ．
12．已知等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，G 是△ABC 的重心，那么AG = ▲ ．
13．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，如果AC =4，CE =6，BD =3，那么BF = ▲ ．
14．已知平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点P 的坐标为（5,12），那么OP 与x 轴正半轴所夹角的余弦值为 ▲ ．
15．已知抛物线y =f (x )开口向下，对称轴是直线x =1，那么f (2) ▲ f (4)．（填“>”或“<”） 16．把抛物线2y x =向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2,3），那么平移后的抛物线的表达式是 ▲ ．
17．我们定义：关于x 的函数22与y ax bx y bx ax =+=+（其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如223443与y x x y x x =+=+是互为交换函数．如果函数22y x bx =+与它的交换函数图像顶点关于x
轴对称，那么b = ▲ ．
18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4，将△ABC 翻折，使得点A 落在BC 的中点A '处，折痕分别交边AB 、AC 于点D 、点E ，那么AD :AE 的值为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分，每题各5分）
如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，二次函数
2y x bx c =++的图像经过点A （3,0）、点B （0,3），顶点
为M ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求∠OBM 的正切值. 20．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，
且EF ∥AB ，2CF AD
FA DB ==．
（1）设，AB a AC b ==uu u r r uuu r r ．试用、a b r r 表示AE uu u r ；
（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．
21．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知△ABC中，AB=AC=，BC=4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．
（1）求线段BF的长；
（2）求AE：EC的值．
22．（本题满分10分）
某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，
监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，
1.7 1.4）．
23．（本题满分12分，每小题6分）
已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2
=⋅．
BD AD BC
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2
CD BE BC
=⋅．
24．（本题满分12分，每小题4分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． （1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；
（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，CD 平分∠ACB 交边AB 与点D ,P 是射线CD 上一点，联结AP ． （1）求线段CD 的长；
（2）当点P 在CD 的延长线上，且∠P AB =45°时，求CP 的长；
（3）记点M 为边AB 的中点，联结CM 、PM ，若△CMP 是等腰三角形，求CP 的长．
参考答案： 1、C ；2、C ；3、A ；4、D ；5、C ；6、B ；7、2；8、
300；9、a <-2；10、30；11、5；12、83；13、152；14、5
13
；15、>；16、21y x =-；17、
-2；18。
19、（1）243y x x =-+；（2）
12；20、（1）21
33
AE a b =+；（2）4；21、（1）5；（2）5;22、8.1秒
超速；23、略；24、（1）223y x x =--；（2）E （1,4）；（3）t =4；25、（1）CD =；（2）CP =；
（3）CP =。
〖汇总3套试卷〗上海市松江区2018年九年级上学期数学期末联考试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次函数y ＝x 1+bx ﹣t 的对称轴为x ＝1．若关于x 的一元二次方程x 1+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，则t 的取值范围是（ ）A ．﹣4≤t ＜5B ．﹣4≤t ＜﹣3C ．t ≥﹣4D ．﹣3＜t ＜5 【答案】A【解析】根据抛物线对称轴公式可先求出b 的值，一元二次方程x 1+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解相当于y ＝x 1﹣bx 与直线y ＝t 的在﹣1＜x ＜3的范围内有交点，即直线y ＝t 应介于过y ＝x 1﹣bx 在﹣1＜x ＜3的范围内的最大值与最小值的直线之间，由此可确定t 的取值范围.【详解】解：∵抛物线的对称轴x ＝2b -＝1， ∴b ＝﹣4，则方程x 1+bx ﹣t ＝0，即x 1﹣4x ﹣t ＝0的解相当于y ＝x 1﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标， ∵方程x 1+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，∴当x ＝﹣1时，y ＝1+4＝5，当x ＝3时，y ＝9﹣11＝﹣3，又∵y ＝x 1﹣4x ＝（x ﹣1）1﹣4，∴当﹣4≤t ＜5时，在﹣1＜x ＜3的范围内有解．∴t 的取值范围是﹣4≤t ＜5，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程2ax bx c k ++=的解相当于2y ax bx c =++ 与直线y=k 的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.2．使分式有意义的x 的取值范是（ ）A ．x≠3B ．x ＝3C ．x≠0D ．x ＝0【答案】A 【解析】直接利用分式有意义的条件进而得出答案．【详解】分式有意义，则1-x≠0，解得：x≠1．故选A ．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．3．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是( )A．12B．23C．25D．35【答案】C【解析】∵2个红球、3个白球，一共是5个，∴从布袋中随机摸出一个球,摸出红球的概率是2 5 .故选C.4．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．5．若一元二次方程kx2﹣3x﹣94＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≤﹣1且k≠0 【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝9+9k≥0即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△＝9+9k≥0，∴k≥﹣1，∵k≠0，∴k≥﹣1且k≠0，【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求方程中的参数，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式的应用．6．已知二次函数251()143y x =-+，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线13x =-；③其图象顶点坐标为1(,1)3-；④当13x <时，y 随x 的增大而减小．其中说法正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】利用二次函数的图象和性质逐一对选项进行分析即可． 【详解】①因为504a =>其图象的开口向上，故正确； ②其图象的对称轴为直线13x =，故错误； ③其图象顶点坐标为1(,1)3，故错误； ④因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧，即当13x <时，y 随x 的增大而减小，故正确． 所以正确的有2个故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．7．对于二次函数()2321y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．顶点坐标是()2,1C ．对称轴是直线2x =-D ．与x 轴有两个交点 【答案】B【分析】根据二次函数基本性质逐个分析即可.【详解】A.a=3， 开口向上，选项A 错误B. 顶点坐标是()2,1，B 是正确的C. 对称轴是直线2x =，选项C 错误D. 与x 轴有没有交点，选项D 错误故选:B【点睛】本题考核知识点：二次函数基本性质：顶点、对称轴、交点.解题关键点：熟记二次函数基本性质. 8．用配方法解方程x 2＋1=8x ，变形后的结果正确的是( )A ．(x ＋4)2=15B ．(x ＋4)2=17C ．(x －4)2=15D ．(x －4)2=17【答案】C【解析】x 2＋1=8x ，移项，得x 2－8x=－1，配方，得x 2－8x+42=－1+42，即（x －4）2=15.故选C.点睛：移项得时候注意将含有未知数的项全部移到等号左边，常数项全部移到等号右边.9．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+a ﹣1＝0没有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜﹣2D ．a ＞﹣2 【答案】B【分析】根据题意得根的判别式0<，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】∵1a =，2b =-，1c a =-，由题意可知： ()()22424110b ac a =-=--⨯⨯-<⊿，∴a ＞2，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式24b ac =-⊿：当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根． 10．计算：x （1﹣21x ）÷221x x x++的结果是（ ） A ．11x + B ．x+1 C ．11x x -+ D ．1x x+ 【答案】C【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．【详解】解：原式＝()()()2111x x x x x +-⋅+ ＝11x x -+． 故选：C ．【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.11．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A ．k ＝4B ．k ＝﹣4C ．k≥﹣4D ．k≥4【答案】A【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+1x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝12﹣1k＝16﹣1k＝0，解得：k＝1．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．12．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（）．A．众数是6吨B．平均数是5吨C．中位数是5吨D．方差是【答案】C【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，故选C考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数二、填空题（本题包括8个小题）13．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留π）【答案】3π【解析】试题分析：此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式2360n rSπ=，即可求解.根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为212033360Sππ==.考点：扇形面积的计算14．从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是__________．【答案】1 3【分析】从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，得出组成的两位数总个数及能被3整除的数的个数，求概率．【详解】∵从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，共有6种情况，它们分别是56、57、65、67、75、76，其中能被3整除的有57、75两种，∴组成两位数能被3整除的概率为：21 63 =故答案为：1 3【点睛】本题考查的是直接用概率公式求概率问题，找对符合条件的个数和总个数是关键．15．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．【答案】－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．考点：二次函数的图象．16．如图，在△ABC中，P是AB边上的点，请补充一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是：___(写出一个即可)，【答案】∠ACP=∠B（或AP AC AC AB=）．【分析】由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB ，∴当∠ACP=∠B 时，△ACP ∽△ABC ； 当AP AC AC AB =时，△ACP ∽△ABC ． 故答案为：∠ACP=∠B （或AP AC AC AB =）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．17．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=______．【答案】50°【解析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得．【详解】解：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC=100°，∴∠BAC=12∠BOC=12×100°=50°． 故答案为：50°．【点睛】本题考查圆周角定理，题目比较简单．18．如图，在平面直角坐标系中，已知D 经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为()0,23，OC 与D 交于点，则圆中阴影部分的面积为________.【答案】223π-【分析】连接AB ，从图中明确ABO S S S ∆=-阴影半圆，然后根据公式计算即可．【详解】解：连接 AB ，∵90AOB ∠=︒，∴AB 是直径，根据同弧对的圆周角相等得：30OBA C ∠=∠=︒，∵ 3OB =，∴ 3tan tan 302323OA OB ABO OB =∠=︒==，=4sin 30AO AB =︒， 即圆的半径为2， ∴22122322322ABO S S S ππ∆⨯=-=-⨯⨯=-阴影半圆. 故答案为：223π-.【点睛】本题考查了同弧对的圆周角相等；90°的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念；圆、直角三角形的面积分式，解题的关键是熟练运用所学的知识进行解题.三、解答题（本题包括8个小题）19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线243y ax ax a =-+．(1)求抛物线的对称轴；(2)当0a >时，设抛物线与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 左侧)，顶点为C ，若ABC ∆为等边三角形，求a 的值；(3)过(0,)T t (其中12t -≤≤)且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于,M N 两点．若对于满足条件的任意t 值，线段MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【答案】 (1)x=2；3(3)43a ≥或83a ≤-． 【解析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A,B 的坐标，由（1）可得出顶点C 的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 值；（3）分0a >及0a <两种情况考虑：①当0a >时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；②当0a <时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围．综上，此题得解．【详解】(1)∵()22432y ax ax a a x a =-+=--，∴抛物线的对称轴为直线2x =．(2)依照题意，画出图形，如图1所示．当0y =时，2430ax ax a -+=，即()()130a x x --=，解得：11x =，23x =．由(1)可知，顶点C 的坐标为()2,a -．∵0a >，∴0a -<．∵ABC ∆为等边三角形，∴点C 的坐标为(2,3-， ∴3a -=- ∴3a =(3)分两种情况考虑，如图2所示：①当0a >时，3313122a ⎛⎫⎛⎫-⨯-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：43a ≥； ②当0a <时，3313222a ⎛⎫⎛⎫-⨯-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：83a ≤-．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解一元一次不等式.20．如图，在长为32m ，宽为20m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使道路的面积比草坪面积少4402cm ．（1）求草坪面积；（2）求道路的宽．【答案】（1）5402cm ；（2）2m【分析】(1)根据地面的长宽得到地面的面积，再根据草坪面积加道路面积等于地面面积列方程，求解即可得到答案；(2) 设道路的宽为ym ，根据题意列方程求解即可得到答案；【详解】解: （1）设草坪面积为xcm ，得(440)3220x x +-=⨯，解得540x = ，所以，草坪面积为5402cm ．(2) 设道路的宽为ym ，原图经过平移转化为图1．因此，根据题意得(32)(20)540y y --=整理得(2)(50)0y y --=解得2x =或50x =(不合题意，舍去)因此，道路的宽为2m ．【点睛】考查了一元二次方程、一元一次方程的实际应用应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解． 21．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．【答案】（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．【分析】（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论；（2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ．∵AF ∥BC ，∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．在△AFE 和△DBE 中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．∵AF=DC ，∴BD=DC ．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF 是矩形；证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF 是矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．22．计算：2cos30°－tan45°－()21tan 60+︒． 【答案】-1．【分析】分别计算特殊角三角函数值和算术平方根，然后再计算加减法．【详解】原式=32113⨯--+ =3131---=-1．考点：实数的混合运算，特殊角的三角函数的混合运算．23．如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O A B C D ,,,,在同一条直线上），测得2 2.1AC m BD m ==，，如果小明眼睛距地面高度BF ，DG 为1.6m ，试确定楼的高度OE ．【答案】32米【分析】设E 关于O 的对称点为M ，根据光线的反射可知，延长GC 、FA 相交于点M ，连接GF 并延长交OE 于点H ，先根据镜面反射的基本性质，得出MAC MFG ∆∆∽，再运用相似三角形对应边成比例【详解】设E 关于O 的对称点为M ，根据光线的反射可知，延长GC 、FA 相交于点M ，连接GF 并延长交OE 于点H ，由题意可知GD FB =且GD DO ⊥、FB DO ⊥∴GF AC∴MAC MFG ∆∆∽ ∴AC MA MO FG MF MH == 即：AC EO EO EO BD MH MO OH EO BF===++ ∴22.1 1.6EO EO =+ ∴32EO =答：楼的高度OE 为32米.【点睛】本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键.24．如图，已知反比例函数k y x=的图像与一次函数y x b =+的图象相交于点A （1，4）和点B （m ，-2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求ΔAOC 的面积；（3）直接写出k x b x +>时的x 的取值范围 （只写答案） 【答案】（1）4y x =，3y x ；（2）C （-3，0）， S=6；（3）20x -<<或1x >【分析】（1）根据题意把A 的坐标代入反比例函数k y x=的图像与一次函数y x b =+，分别求出k 和b ，从而即可确定反比例函数和一次函数的解析式； （2）由题意先求出C 的坐标，再利用三角形面积公式求出ΔAOC 的面积；（3）根据函数的图象即可得出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【详解】解：（1）将点A （1，4）代入反比例函数k y x=的图像与一次函数y x b =+，求得4k =以及3b =， 所以反比例函数和一次函数的解析式分别为：4y x =和3y x ； （2）因为C 在一次函数3y x 的图象上以及x 轴上，所以求得C 坐标为（-3，0），则有OC=3, ΔAOC 以OC 为底的高为4，所以ΔAOC 的面积为：13462⨯⨯=； （3）由k x b x+>可知一次函数的值大于反比例函数的值， 把B （m ，-2）代入4y x=，得出m=-2，即B （-2，-2）， 此时当20x -<<或1x >时，一次函数的值大于反比例函数的值．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小，解题的关键是确定交点的坐标．25．某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为32m 的栅栏围成（如图所示）．如果墙长16m ，满足条件的花园面积能达到120m 2吗？若能，求出此时BC 的值；若不能，说明理由．【答案】花园的面积能达到20m 2，此时BC 的值为2m ．【分析】设AB=xm，则BC=(32﹣2x)m，根据矩形的面积公式结合花园面积为20m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合墙的长度可确定x的值，进而可得出BC的长度．【详解】设AB=xm，则BC=(32﹣2x)m，依题意，得：x(32﹣2x)=20，整理，得：x2﹣16x+60=0，解得：x1=6，x2=1．∵32﹣2x≤16，∴x≥8，∴x=1，32﹣2x=2．答：花园的面积能达到20m2，此时BC的值为2m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．26．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数kyx（k≠0）的图象相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO=32，过点A作AE⊥x轴于点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣1．，（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接ED，求△ADE的面积．【答案】（1）y=﹣32x﹣3，y=﹣12x；（2）S△ADE= 2．【分析】（1）根据题意求得OE=1，OC=2，Rt△COD中，tan∠DCO=32，OD=3，即可得到A（-1，3），D（0，-3），C（-2，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；（2）求得两个三角形的面积，然后根据S△ADE=S△ACE+S△DCE即可求得．【详解】（1）∵AE⊥x轴于点E，点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣1，∴OE=1，OC=2，∵Rt△COD中，tan∠DCO=32，∴OD=3，∴A（﹣1，3），∴D（0，﹣3），C（﹣2，0），∵直线y=ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，∴320ba b=-⎧⎨-+=⎩，解得33axb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣32x﹣3，把点A的坐标（﹣1，3）代入，可得3=4k-，解得k=﹣12，∴反比例函数解析式为y=﹣12x；（2）S△ADE=S△ACE+S△DCE=12EC•AE+12EC•OD=12×2×3+1232⨯⨯=2．27．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．⑴求证：BE是⊙O的切线；⑵若BC=3，AC=5，求圆的直径AD的长．【答案】（1）详见解析；（2）1【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．【详解】解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M∵BC=BD，∴∠CAB=∠BAD.∵OA=OB,∴∠BAD=∠OBA.∴∠CAB=∠OBA.∴OB∥AC.又AD是直径,∴∠ABD=∠ACD =90°，又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.又OB是半径,∴BE是⊙O的切线．⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD设⊙O的半径为r，则在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).∴圆的直径AD的长是1．【点睛】此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是( )A ．轴对称B ．平移C ．绕某点旋转D ．先平移再轴对称【答案】A 【分析】根据对称，平移和旋转的定义，结合等边三角形的性质分析即可．【详解】解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，故选：A ．【点睛】本题考查了图形的变换：旋转、平移和对称，等边三角形的性质，掌握图形的变换是解题的关键． 2．设A （ x 1 ， y 1）、B （x 2 ， y 2）是反比例函数 2y x =图象上的两点．若x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2之间的关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜0B ．y 2＜y 1＜0C ．y 2＞y 1＞0D ．y 1＞y 2＞0 【答案】B【解析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜x 1＜0即可得出结论．【详解】∵反比例函数2y x=中，k=1>0， ∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x1＜x1＜0，∴0>y1＞y1．故选：B【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．已知点1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 都在反比例函数2y x =-的图像上，则（ ） A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．231y y y <<【答案】D【解析】根据反比例函数的解析式知图像在二、四象限，y 值随着x 的增大而减小，故可作出判断【详解】∵k <0，∴反比例函数在二、四象限，y 值随着x 的增大而减小，又∵()21,B y ，()32,C y 在反比例函数的图像上，,210>>，∴23y y <<0， 点()12,A y -在第二象限，故10y >，∴231y y y <<，故选D.【点睛】此题主要考察反比例函数的性质，找到点在第二象限是此题的关键.4．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数23.5 4.9h t t =-（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A ．1．71sB ．1．71sC ．1．63sD ．1．36s【答案】D 【分析】找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答.【详解】解：h=3.5t-4.9t 2=-4.9（t-514）2+58， ∵-4.9＜1∴当t=514≈1.36s 时，h 最大． 故选D.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出顶点式在解题中的作用是解题关键.5．抛物线的顶点为(1,4)-，与y 轴交于点(0,3)-，则该抛物线的解析式为（ ）A ．223y x x =--B ．223y x x =+-C ．223y x x =-+D ．2233y x x =--【分析】设出抛物线顶点式，然后将点(0,3)-代入求解即可.【详解】解：设抛物线解析式为2(1)4y a x =--，将点(0,3)-代入得：23(01)4a -=--，解得：a=1，故该抛物线的解析式为：223y x x =--，故选：A.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．6．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点C 沿折线CD ﹣DE ﹣EB 运动到点B 时停止，点Q 从点B沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE=8cmB ．sin ∠EBC=35C ．当10≤t≤12时，23610y t t =-+ D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形【答案】D【分析】观察图象可知：点P 在CD 上运动的时间为6s ，在DE 上运动的时间为4s ，点Q 在BC 上运动的时间为12s ，所以CD=6，DE=4，BC=12，然后结合三角函数、三角形的面积等逐一进行判断即可得.【详解】观察图象可知：点P 在CD 上运动的时间为6s ，在DE 上运动的时间为4s ，点Q 在BC 上运动的时间为12s ，所以CD=6，DE=4，BC=12，∵AD=BC ，∴AE=12﹣4=8cm，故A正确，在Rt△ABE中，∵AE=8，AB=CD=6，∴BE=2268+=10，∴sin∠EBC=sin∠AEB=63105ABBE==，故B正确，当10≤t≤12时，点P在BE上，BP=10﹣（t﹣10）=20﹣t，∴S△BQP=12•t•（20﹣t）•35=﹣310t2+6t，故C正确，如图，当t=12时，Q点与C点重合，点P在BE上，此时BP=20-12=8，过点P作PM⊥BC于M，在Rt△BPM中，cos∠PBM=BM BP，又∠PBM=∠AEB，在Rt△ABE中，cos∠AEB=84105 AEBE==，∴4 85 BM=，∴BM=6.4，∴QM=12-6.4=5.6，∴BP≠PC，即△PBQ不是等腰三角形，故D错误，故选D．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及了矩形的性质，勾股定理，三角形函数，等腰三角形的判定等知识，综合性较强，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．7．在单词probability（概率）中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（）A．211B．29C．12D．911【答案】A【解析】字母“i”出现的次数占字母总个数的比即为选中字母“i”的概率.【详解】解：共有11个字母，每个字母出现的可能性是相同的，字母i出现两次，其概率为2 11．故选：A．【点睛】本题考查简单事件的概率，利用概率公式求解是解答此题的关键.8．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝()A ．54°B ．72°C ．108°D ．144°【答案】B 【解析】连接AO,BO,∠P=36°，所以∠AOB=144°，所以∠ACB=72°.故选B.9．若反比例函数k y x =的图像经过点(3,2)-，则下列各点在该函数图像上的为（ ） A ．(2,3)B ．(6,1)C ．(1,6)-D ．(2,3)-- 【答案】C【分析】将点(3,2)-代入k y x=求出反比例函数的解析式，再对各项进行判断即可． 【详解】将点(3,2)-代入k y x =得 23k -= 解得6k=- ∴6y x-= 只有点(1,6)-在该函数图象上故答案为：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质以及应用是解题的关键．10．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像（ ）A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】C【解析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y ＝2(x －1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x 2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y ＝2(x －1)2＋3故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．11．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．对书中某一问题改编如下：意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，大和尚共分得（）个馒头A．25 B．72 C．75 D．90【答案】C【分析】设有x个大和尚，则有（100-x）个小和尚，根据馒头数=3×大和尚人数+13×小和尚人数结合共分100个馒头，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】解：设有x个大和尚，则有(100−x)个小和尚，依题意，得：3x+13(100−x)=100，解得：x=25，∴3x=75；故选：C.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用是解题的关键.12．下列图形中不是位似图形的是A．B．C．D．【答案】C【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．【详解】根据位似图形的概念，A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；C中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选C．【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.。
《试卷3份集锦》上海市松江区2018-2019年九年级上学期期末统考数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，太阳在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方，房子左边对应的突起应该在影子的左边．2．国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，今小王取出一年到期的本金和利息时，交纳利息税4.5元，则小王一年前存入银行的钱为（）.A．1000元B．977.5元C．200元D．250元【答案】A【分析】利息问题是一个难点，要把握好利息、本金、利息税的概念，由利息税可求得利息为4.5÷20%=22.5元，根据年利率又可求得本金．【详解】解：据题意得：利息为4.5÷20%=22.5元本金为22.5÷2.25%=1000元．本题考查利息问题，此题关系明确，关键是分清利息、本金、利息税的概念．3．一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（ ）A ．14B ．13C ．512D ．12【答案】B【分析】利用概率公式直接计算即可.【详解】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个， 从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率41123=． 故选B ．【点睛】本题考查概率的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键.4．若一个扇形的圆心角是45°，面积为2π，则这个扇形的半径是( )A ．4B ．C ．4πD ． 【答案】A【分析】根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设扇形的半径为为R ，由题意得 2452360R ππ=, 解得R=4.故选A.【点睛】本题考查了扇形的面积公式，R 是扇形半径，n 是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L 是扇形对应的弧长.那么扇形的面积为：2360n R S π=. 5．-2019的相反数是（ ）A ．2019B ．-2019C ．12019D ．12019- 【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.【详解】解：-1的相反数是1．本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.6．如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=kx的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜kx的解集为（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1【答案】D【解析】分析：根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．详解：观察函数图象，发现：当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式ax+b＜kx的解集是-2＜x＜0或x＞1．故选D．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=（）A．50B．80C．100D．130【答案】C【解析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可.【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=50°，由圆周角定理得，2∠A=∠BOD=100°，故选C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③ADAC＝AEAB；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )A．1个B．2 C．3个D．4个【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；③ADAC＝AEAB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化为AD DEAC BC=，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．9．用求根公式计算方程2320x x-+=的根，公式中b的值为( )A．3 B．-3 C．2 D．3 2 -【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a 、一次项系数是b 、常数项是c ．【详解】解：由方程2320x x -+=根据一元二次方程的定义，知一次项系数b=-3，故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的定义，关键是往往把一次项系数-3误认为3，所以，在解答时要注意这一点． 10．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）A ．1806x +=1206x -B ．1806x -=1206x + C ．1806x +=120x D ．180x =1206x - 【答案】A 【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x +=1206x -． 故选A ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键． 11．如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】C 【分析】因为OCP 和ODQ 为直角三角形，根据勾股定理可得OP 、DQ 、PQ 的长度，又因为CP //DQ ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证CPE ∽DQE ，可得CP DQ =PE EQ，设PE=x ，则EQ=14-x ，解得x 的取值，OE= OP-PE ，则OE 的长度可得．【详解】解：∵在⊙O 中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP ⊥AB ，QD ⊥AB ，∴OCP 和ODQ 为直角三角形，根据勾股定理：2222OP=OC PC =106--，2222DQ=OD OQ =106--，且OQ=6，∴PQ=OP+OQ=14，又∵CP⊥AB，QD⊥AB，垂直于用一直线的两直线相互平行，∴CP//DQ，且C、D连线交AB于点E，∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，∴CPE∽DQE，故CP DQ=PE EQ，设PE=x，则EQ=14-x，∴68=x14-x，解得x=6，∴OE=OP-PE=8-6=2，故选：C．【点睛】本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE与DQE相似，并得出线段的比例关系．12．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（）A．1.25米B．5米C．6米D．4米【答案】B【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．【详解】如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知AB AMOC OA AM=+，即1.6820AMAM=+，解得AM=5m．则小明的影子AM的长为5米．故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，ABC ∆的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______．【答案】10 10 【分析】如下图，先构造出直角三角形，然后根据sinA 的定义求解即可． 【详解】如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点D设网格中每一小格的长度为1则CD=1，AD=3∴在Rt △ACD 中，AC=2210AD CD += ∴sinA=101010CD AC == 故答案为：1010． 【点睛】本题考查锐角三角函数的求解，解题关键是构造出直角三角形ACD ．14．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】16【分析】由正方形的性质易证△ABC ∽△FEC ，可设BC=x ，只需求出BC 即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC ＝x ，则CE ＝1﹣x ，∵AB∥EF，∴△ABC∽△FEC∴ABEF＝BCCE，∴12＝x1x解得x＝13，∴阴影部分面积为：S△ABC＝12×13×1＝16，故答案为：16．【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.15．某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染．设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为______．【答案】x(x+1)+x+1=1．【分析】设每轮传染中平均一人传染x人，那么经过第一轮传染后有x人被感染，那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，列出方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后有x+1人感染，第二轮后有x(x+1)+x+1人感染，由题意得：x(x+1)+x+1=1．故答案为：x(x+1)+x+1=1．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握一元二次方程是解题的关键.16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．【答案】2【分析】根据中位线定理得到MN 的最大时，AC 最大，当AC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：点M ，N 分别是AB ，BC 的中点， 12MN AC ∴=， ∴当AC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当AC 时直径时，最大，如图，45ACB D ∠=∠=︒，4AB =，42AD ∴=，1222MN AD ∴==， 故答案为：22．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN 的值最大问题转化为AC 的最大值问题，难度不大．17．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图，点O 为位似中心，位似比为 2：3 ，点A 的坐标为（0，2），则点E 的坐标是 ____.【答案】（3，3）【分析】根据位似图形的比求出OD 的长即可解题.【详解】解：∵正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图，位似比为 2：3 ，∴OA:OD=2:3,∵点A 的坐标为（0，2），即OA =2,∴OD=3,DE=EF=3,故点E 的坐标是（3，3）.【点睛】本题考查了位似图形,属于简单题,根据位似图形的性质求出对应边长是解题关键.18．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．【答案】y＝x2+2x（答案不唯一）．【解析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．【详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），把a＝1代入，得y＝x2+2x．故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．三、解答题（本题包括8个小题）19．果农周大爷家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，他记录了10天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系如图所示，日销量P（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示：（1）请直接写出p与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在这10天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元．【答案】（1）p=20x+200(0＜x≤1且x为整数)；（2）y=()()11408210810x xx⎧-+≤⎪⎨⎪≤⎩＜的整数＜的整数；（3）在这1天中，第1天销售额达到最大，最大销售额是4元【分析】（1）从表格中的数据上看，是一次函数，用待定系数法可得p与x的函数关系式；（2）是分段函数，利用待定系数法可得y与x的函数关系式；（3）根据销售额=销量×销售单价，列函数关系式，并配方可得结论．【详解】（1）由表格规律可知：p 与x 的函数关系是一次函数，∴设解析式为：p=kx+b ，把(1，220)和(3，260)代入得：2203260k b k b +=⎧⎨+=⎩， ∴20200k b =⎧⎨=⎩， ∴p=20x+200，∴p 与x 的函数关系式为：p=20x+200(0＜x ≤1且x 为整数)（2）①当0＜x ≤8时，设y 与x 的解析式为：y=kx+b(k ≠0)把(2，13)和(8，1)代入得：213810k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1214k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴解析式为：y 12=-x+14(k ≠0)； ②当8＜x ≤1时，y=1．综上所述：y 与x(x 为整数)的函数关系式为：y ()()11408210810x x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪≤⎩＜的整数＜的整数；（3）设销售额为w 元，当0＜x ≤8时，w=py=(12-x+14)(20x+200)=﹣1x 2+180x+2800=﹣1(x ﹣9)2+361． ∵x 是整数且0＜x ≤8，∴当x=8时，w 有最大值为：﹣1(8﹣9)2+361=3600，当8＜x ≤1时，w=py=1(20x+200)=200x+3．∵x 是整数，200＞0，∴当8＜x ≤1时，w 随x 的增大而增大，∴当x=1时，w 有最大值为：200×1+3=4．∵3600＜4，∴在这1天中，第1天销售额达到最大，最大销售额是4元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．20．已知正比例函数12y x =的图象与反比例函数2(0k y k x=≠的图象交于一点M ，且M 点的横坐标为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）当25x ≤≤时，求反比例函数2(0k y k x =≠的取值范围 【答案】（1）22y x=；（2）215x ≤≤． 【分析】（1）根据M 点的横坐标为1，求出k 的值，得到反比例函数的解析式；（2）求出x=2，x=5时y 的取值，再根据反比例函数的增减性求出y 的取值范围．【详解】（1）正比例函数12y x =的图象与反比例函数()20k y k x=≠的图象交于一点M ，且M 点的横坐标为1． 1,2212M M M x y x ∴===⨯=，122M M k x y ∴=⋅=⨯=，∴反比例函数的解析式为22y x =； （2）在反比例函数22y x =中，当22,1x y ==， 当225,5x y ==， 在反比例函数22y x=中，20k =>， ∴当0x >时，2y 随x 的增大而减小，∴当25x ≤≤时，反比例函数()20k y k x=≠的取值范围为215x ≤≤． 【点睛】此题考查了三个方面：（1）函数图象上点的坐标特征；（2）用待定系数法求函数解析式；（3）反比例函数的增减性．21．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15AC =，面积为1．（1）尺规作图：作C ∠的平分线交AB 于点D ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求出点D 到两条直角边的距离．【答案】（1）见解析；（2）607【分析】（1）利用尺规作图的步骤作出∠ACB 的平分线交AB 于点D 即可；（2）作DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F,根据面积求出BC 的长.法一：根据角平分线的性质得出DE=DF ，从而得出四边形CEDF 为正方形.再由BDF BAC ∆∆∽，得出DF BF AC BC=，列方程可以求出结果；法二：根据150∆∆+=BCD ACD S S ，利用面积法可求得DE,DF 的值.【详解】解：（1）∠ACB 的平分线CD 如图所示：（2）已知15AC =，面积为1，∴20BC =.法一：作DE AC ⊥，DF BC ⊥，∵CD 是ACB ∠角平分线，∴DF DE =，90DFC DEC ∠=∠=︒，而90ACB ∠=︒,∴四边形CEDF 为正方形．设DF 为x ，则由DF AC ， ∴BDF BAC ∆∆∽，∴DF BF AC BC =. 即201520x x -=，得607x =. ∴点D 到两条直角边的距离为607. 法二：150∆∆+=BCD ACD S S ，即15022⋅⋅+=BC DF DE AC ， 又由（1）知AC=15，BC=20，∴201515022DF DF +=， ∴607=DF . 故点D 到两条直角边的距离为607. 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，直角三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本性质，属于中考常考题型．22．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？（1）设提价了x 元，则这种衬衫的售价为___________元，销售量为____________件.（2）列方程完成本题的解答.【答案】（1）(60x)+，(80020)x -；（2）（60＋x−50）（800−1x ）＝1100，2，见解析【分析】（1）根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；（2）根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．【详解】（1）设这种衬衫应提价x 元，则这种衬衫的销售价为（60＋x ）元，销售量为（800−1005x ）＝（800−1x ）件． 故答案为（60＋x ）;（800−1x ）．（2）根据（1）得：（60＋x−50）（800−1x ）＝1100整理，得x 2−30x ＋10＝0解得：x 1＝10，x 2＝1．为使顾客获得更多的优惠，所以x ＝10，60＋x ＝2．答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为2元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．23．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）八年级一班有多少名学生？（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．【答案】（1）41（2）15%（3）1 6【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．【详解】（1）∵喜欢散文的有11人，频率为1．25，∴m=11÷1．25=41；（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为×111%=15%，故答案为15%；（3）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，∴P（丙和乙）=212=16．24．意外创伤随时可能发生，急救是否及时、妥善，直接关系到病人的安危．为普及急救科普知识，提高学生的急救意识与现场急救能力，某校开展了急救知识进校园培训活动．为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学生)的培训效果，该校举行了相关的急救知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的急救知识竞赛成绩(百．分制)进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，72，75，80，86，59，83，1．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，1，83，80，81，71，81，72，1，82，80，70，2．整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级0 1 0 a 7 1分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a ＝ ；b ＝ ；c ＝ ；d ＝ ．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在80分及以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对急救知识掌握的总体水平较好，请说明理由．【答案】（1）11，10，78.5，81；（2）600人；（3）八年级学生总体水平较好．理由：两个年级平均分相同，但八年级中位数更大，或八年级众数更大．(言之成理即可)．【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．【详解】解：（1）由题意知a ＝11，b ＝10，将七年级成绩重新排列为：59，70，72，73，75，75，75，76，1，1，78，79，80，80，81，83，85，86，87，94， ∴其中位数c ＝78792+＝78.5， 八年级成绩的众数d ＝81，故答案为：11，10，78.5，81；（2）由样本数据可得，七年级得分在80分及以上的占7120+＝25， 故七年级得分在80分及以上的大约600×25＝240人； 八年级得分在80分及以上的占10220+＝35， 故八年级得分在80分及以上的大约600×35＝360人． 故共有600人．（3）该校八年级学生对急救知识掌握的总体水平较好．理由：两个年级平均分相同，但八年级中位数更大，或八年级众数更大．(言之成理即可)．【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25．某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调查发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【答案】（1）该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒；（2）当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒，列二元一次方程组即可解题 （2）根据题意，可设A 种礼盒降价m 元/盒，则A 种礼盒的销售量为：（103m +）盒，再列出关系式即可．【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒， 则有(12072)(8040)1280120802800x y x y -+-=⎧⎨+=⎩，解得1020x y =⎧⎨=⎩故该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒．（2）设A 种湘莲礼盒降价m 元/盒，利润为W 元，依题意 总利润(12072)108003m W m ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭ 化简得221161280(9)130733W m m m =-++=--+ ∵103a =-< ∴当9m =时，取得最大值为1307，故当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）M （16）（1，6-（1，﹣1）（1，0）．【分析】（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c =++中， 得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a-=1， 故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则： 2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1；②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-；当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．27．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF ．（1）求证：△DOE ≌△BOF ．（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED 为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE ≌△BOF （ASA ）； （2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED ，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中EDO=OBF{DO=BO EOD=FOB∠∠∠∠，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知关于x 的一元二次方程2(2)0a x c -+=的两根为12x =-，26x =，则一元二次方程220ax ax a c -++=的根为( )A ．0，4B ．－3，5C ．－2，4D ．－3，1【答案】B【分析】先将12x =-，26x =代入一元二次方程2(2)0a x c -+=得出a 与c 的关系，再将c 用含a 的式子表示并代入一元二次方程220ax ax a c -++=求解即得．【详解】∵关于x 的一元二次方程2(2)0a x c -+=的两根为12x =-，26x =∴()2620a c -+=或()2220a c --+=∴整理方程即得：160a c +=∴16c a =-将16c a =-代入220ax ax a c -++=化简即得：22150x x --=解得：13x =-，25x =故选：B ．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．2．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A ．()11362x x -=B ．()11362x x += C ．()136x x -=D ．()136x x +=【答案】A 【分析】共有x 个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为：12x （x ﹣1）＝36， 故选A ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.3．已知关于x 的分式方程1m x -=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥-1且m≠0D ．m ≥-1【答案】C【解析】分式方程去分母得：m=x-1，解得x=m+1，由方程的解为非负数，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m ≥-1且m≠0，故选C ．4．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC ＝45°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣2B ．213π-C ．π﹣4D ．223π- 【答案】A 【分析】先证得三角形OBC 是等腰直角三角形，通过解直角三角形求得BC 和BC 边上的高，然后根据S 阴影=S 扇形OBC -S △OBC 即可求得．【详解】∵∠BAC ＝45°，∴∠BOC ＝90°，∴△OBC 是等腰直角三角形，∵OB ＝2，∴△OBC 的BC 22= ∴22BC =∴S 阴影=S 扇形OBC -S △OBC =2902122223602ππ⨯-⨯=-， 故选：A ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式：2360n R S π⋅=（n 为圆心角的度数，R 为圆的半径）．也考查了等腰直角三角形三边的关系和三角形的面积公式．53x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x ≥B ．3x ≤C ．3x >D ．3x <【答案】C 【解析】直接利用二次根式的定义即可得出答案． 【详解】∵式子3x -在实数范围内有意义， ∴x 的取值范围是：x ＞1．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解答本题的关键．6．一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】从图形的上方观察即可求解.【详解】俯视图从图形上方观察即可得到，故选D ．【点睛】本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．7．如图，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A D B →→以1/cm s 的速度匀速运动到点B ，下图是点P 运动时，PBC ∆的面积()2y cm 随时间()x s 变化的关系图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】运用动点函数进行分段分析，当点P 在AD 上和在BD 上时，结合图象得出符合要求的解析式．【详解】①当点P 在AD 上时，此时BC 是定值，BC 边的高是定值，则△PBC 的面积y 是定值；②当点P 在BD 上时，此时BC 是定值，BC 边的高与运动时间x 成正比例的关系，则△PBC 的面积y 与运动时间x 是一次函数，并且△PBC 的面积y 与运动时间x 之间是减函数，y ≥1．所以只有A 符合要求．故选：A ．【点睛】此题主要考查了动点函数的应用，注意将函数分段分析得出解析式是解决问题的关键，有一定难度． 8．若点A(-3，m)，B(3,m)，C(-1，m+n²+1)在同一个函数图象上，这个函数可能是( )A ．y ＝x+2B ．-2y x =C ．y ＝x²+2D ．y ＝-x²-2 【答案】D【分析】先根据点A 、B 的坐标可知函数图象关于y 轴对称，排除A 、B 选项；再根据点C 的纵坐标大于点A 的纵坐标，结合C 、D 选项，根据y 随x 的增减变化即可判断.【详解】(),3,3(,)A m B m -∴函数图象关于y 轴对称，因此A 、B 选项错误又231,1m m n -<-<++再看C 选项，22y x =+的图象性质：当0x <时，y 随x 的增大而减小，因此错误D 选项，22y x =--的图象性质：当0x <时，y 随x 的增大而增大，正确故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质是解题关键.。
┃精选3套试卷┃2018届上海市松江区九年级上学期数学期末统考试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x 与y的部分对应值如下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣6 0 4 6 6 …给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴在y轴的左侧；③抛物线一定经过（3，0）点；④在对称轴左侧y随x的增大而减增大．从表中可知，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】试题分析：当x=0时y=6，x=1时y=6，x=﹣2时y=0，可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+6=﹣（x﹣）2+，当x=0时y=6，∴抛物线与y轴的交点为（0，6），故①正确；抛物线的对称轴为x=，故②不正确；当x=3时，y=﹣9+3+6=0，∴抛物线过点（3，0），故③正确；∵抛物线开口向下，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；综上可知正确的个数为3个，故选B．考点：二次函数的性质．2．数据4，3，5，3，6，3，4的众数和中位数是（）A．3，4 B．3，5 C．4，3 D．4，5【答案】A【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．【详解】解：在这组数据中出现次数最多的是3，即众数是3；把这组数据按照从小到大的顺序排列3，3，3，4，4，5，6，∴中位数为4；故选：A．【点睛】本题考查一组数据的中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．3．观察下列图形，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握概念是解题的关键．4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平行线所截的直线形成的线段的比例关系,可得AD AEBD EC=,代数解答即可.【详解】解:由题意得, AD AEBD EC=,864EC=, 解得3EC =. 【点睛】本题考查了平行线截取直线所得的对应线段的比例关系,理解掌握该比例关系列出比例式是解答关键. 5．点(4,3)-是反比例函数ky x=的图象上的一点，则k =（ ） A ．12- B ．12C ．34-D ．1【答案】A【解析】将点(4,3)-代入ky x=即可得出k 的值． 【详解】解：将点(4,3)-代入k y x=得，34k-=，解得k=-12，故选：A ． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点，若一个点在某个函数图象上，则这个点一定满足该函数的解析式． 6．如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，AB BC =，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°【答案】D【解析】试题分析：直接根据圆周角定理求解．连结OC ，如图，∵AB =BC ，∴∠BDC=12∠BOC=12∠AOB=12×60°=30°． 故选D ．考点：圆周角定理．7．如图，直线y1= x+1与双曲线y2= kx交于A（2，m）、B（﹣6，n）两点．则当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＞﹣6或0＜x＜2 B．﹣6＜x＜0或x＞2 C．x＜﹣6或0＜x＜2 D．﹣6＜x＜2【答案】C【解析】分析：根据函数图象的上下关系，结合交点的横坐标找出不等式y1＜y1的解集，由此即可得出结论．详解：观察函数图象，发现：当x＜-6或0＜x＜1时，直线y1=12x+1的图象在双曲线y1=6x的图象的下方，∴当y1＜y1时，x的取值范围是x＜-6或0＜x＜1．故选C．点睛：考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是依据函数图象的上下关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象位置的上下关系结合交点的坐标，找出不等式的解集是关键．8．已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE面积是4则四边形DBCE的面积是（）A．6 B．9 C．21 D．25【答案】C【解析】∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴2ADEABCS ADS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵AD=2，BD=3，AB=AD+BD，∴425ADE ABC S S ∆∆=， ∵S △ADE =4， ∴S △ABC =25，∴S 四边形DBCE =S △ABC -S △ADE =25-4=21， 故选C.9．如图，矩形ABCD 中，连接AC ，延长BC 至点E ，使BE AC =，连接DE ，若40BAC ∠=︒，则∠E 的度数是（ ）A ．65°B ．60°C ．50°D ．40°【答案】A【分析】连接BD ，与AC 相交于点O ，则BD=AC=BE ，得△BDE 是等腰三角形，由OB=OC ，得∠OBC=50°，即可求出∠E 的度数.【详解】解：如图，连接BD ，与AC 相交于点O ，∴BD=AC=BE ，OB=OC ，∴△BDE 是等腰三角形，∠OBC=∠OCB ， ∵40BAC ∠=︒，∠ABC=90°， ∴∠OBC=904050︒-︒=︒， ∴11(18050)1306522E ∠=⨯︒-︒=⨯︒=︒； 故选择：A. 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题. 10．一元二次方程240x -=的解是（ ） A ．x 1＝2，x 2＝-2 B ．x ＝-2C ．x ＝2D ．x 1＝2，x 2＝0【答案】A【分析】首先将原方程移项可得24x =，据此进一步利用直接开平方法求解即可. 【详解】原方程移项可得：24x =， 解得：12x =，22x -=， 故选：A . 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握相关方法是解题关键. 11．点1()3A y -，、()21,y -都在反比例函数1y x=-的图象上，则1y 、2y 的大小关系是（ ） A ．12y y < B ．12y y =C ．12y y >D ．不能确定【答案】A【分析】根据反比例函数的性质，图象在二、四象限，在双曲线的同一支上，y 随x 的增大而增大，则-3＜-1＜0，可得12y y <． 【详解】解：∵k=-1＜0，∴图象在二、四象限，且在双曲线的同一支上，y 随x 增大而增大 ∵-3＜-1＜0 ∴y 1＜y 2， 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．12．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，，则:ADE ABC S S ∆∆=（ ）， A ．19B ．14C ．16D ．13【答案】A【分析】根据DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，再结合相似比是AD ：AB=1：3，因而面积的比是1：1． 【详解】解：如图：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD ：DB=1：2， ∴AD ：AB=1：3，∴S△ADE：S△ABC=1：1．故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点 A 的对应点A′ 的坐标为___________．【答案】（2，2-）【解析】过A′作A′C⊥x轴于C，根据旋转得出∠AOA′=75°，OA=OA′=2，求出∠A′OC=45°，推出OC=A′C，解直角三角形求出OC和A′C，即可得出答案．【详解】如图,过A′作A′C⊥x轴于C，∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°，∴∠AOA′=75°,OA=OA′=2，∵∠AOB=30°，∴∠A′OC=45°，∴22，∴A′的坐标为22).故答案为：2，2-）.【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形变化-旋转，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形变化-旋转. 14．只请写出一个开口向下，并且与x轴有一个公共点的抛物线的解析式__________．【答案】()21y x =--【分析】要根据开口向下且与x 轴有惟一的公共点，写出一个抛物线解析式即可． 【详解】解：∵与x 轴只有一个公共点，并且开口方向向下， ∴a ＜0，△=0，即b 2-4ac=0，满足这些特点即可．如()21y x =--． 故答案为：()21y x =--（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，要了解性质与函数中a ，b ，c 的关系． 15．方程24x x =-的根是_____. 【答案】0和-4.【分析】根据因式分解即可求解. 【详解】解24x x =-240x x +=(4)0x x +=∴x 1=0,x 2=-4, 故填：0和-4. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法. 16．抛物线y ＝﹣x 2+2x ﹣5与y 轴的交点坐标为_____． 【答案】（0，﹣5）【分析】要求抛物线与y 轴的交点，即令x ＝0，解方程． 【详解】解：把x ＝0代入y ＝﹣x 2+2x ﹣5，求得y ＝﹣5， 则抛物线y ＝﹣x 2+2x ﹣5与y 轴的交点坐标为（0，﹣5）． 故答案为（0，﹣5）． 【点睛】本题考查了抛物线与y 轴的交点坐标，正确掌握令0x =或令0y =是解题的关键． 17．方程25y y =的根是____． 【答案】10y =，25y =【分析】把方程变形为250y y -=，把方程左边因式分解得(5)0y y -=，则有y=0或y-5=0，然后解一元一次方程即可．【详解】解：250y y -=， ∴(5)0y y -=， ∴y=0或y-5=0， ∴1205y y ==，． 故答案为：1205y y ==，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，其步骤为：移项，化积，转化和求解这几个步骤． 18．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝1．【答案】14【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 解：根据对角线的长可以求得菱形的面积， 根据S=12ab=12×6×8=14cm 1， 故答案为14．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax+b 的图象与反比例函数y ＝kx的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标是（m ，﹣4），连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝35． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接OB ，求△AOB 的面积．【答案】（1）y ＝﹣12x ，y ＝﹣x ﹣1；（2）72【分析】（1）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，通过解直角三角形求出线段AE 、OE 的长度，即求出点A 的坐标，再由点A 的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可,再由点B 在反比例函数图象上可求出点B 的坐标，由点A 、B 的坐标利用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）令一次函数解析式中y ＝0即可求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，则90AEO ∠=︒．在Rt AEO ∆中，5AO =，3sin 5AE AOC AO ∠==， 3AE ∴=，224OE AO AE ∴=-=，∴点A 的坐标为(4,3)-．点(4,3)A -在反比例函数ky x=的图象上， 34k∴=-，解得：12k =-． ∴反比例函数解析式为12y x =-． 点(,4)B m -在反比例函数12y x=-的图象上，124m∴-=-，解得：3m =， ∴点B 的坐标为(3,4)-．将点(4,3)A -、点(3,4)B -代入y ax b =+中得：4334a b a b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11a b =-⎧⎨=-⎩，∴一次函数解析式为1y x =--．（2）令一次函数1y x =--中0y =，则01x =--， 解得：1x =-，即点C 的坐标为(1,0)-．117()1[3(4)]222AOB A B S OC y y ∆=-=⨯⨯--=．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．20．计算:(1)()3122;x x x -=-(2)23740x x -+=【答案】 (1)1221,3x x ==-;(2) 1241,3x x == 【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解:()()3121x x x -=-()()31210x x x -+-=()()3210x x ∴+-=.320x ∴+=或10x -=解之: 1221,3x x ==- （2）解:将原方程整理为:()()3410x x --=10x ∴-=或340x -=，解之: 1241,3x x ==【点睛】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，点C 在OP 上，满足∠CBP ＝∠ADB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若OA ＝2，AB ＝1，求线段BP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BP ＝1.【分析】（1）连接OB ，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC=90°，即可得出结论；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似三角形的对应边成比例求BP的长．【详解】（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠CBP＝∠ADB，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝2，∴AD＝2OA＝4，∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，∴∠P＝∠D，∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD，∴APAD ＝AOAB，即14BP＝21，解得：BP＝1．【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．22．在一个不透明的口袋中装有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其它都相同，从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率．【答案】两次摸到的球都是红球的概率为1 9 .【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有1种情况，∴两次摸到的球都是红球的概率=19．【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意画出所有情况，再用公式进行求解.23．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析．【分析】（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．【详解】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM=∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△FME ≌△BMH ，∴HM=EM ，EF=BH ，∵CD=BC ，∴CE=CH ，∵∠HCE=90°，HM=EM ，∴CM=ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接AE ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B 、E 、D 在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M 为AF 的中点，∴CM=12AF ，EM=12AF ， ∴CM=ME ，∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME ，∴∠MCF=∠MFC ，∠MFE=∠MEF ，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°-135°-135°=90°，∴CM ⊥ME ．（3）如图3，连接CF ，MG ，作MN ⊥CD 于N ，在△EDM 和△GDM 中，DE DG MDE MDG DM DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EDM ≌△GDM ，∴ME=MG ，∠MED=∠MGD ，∵M 为BF 的中点，FG ∥MN ∥BC ，∴GN=NC ，又MN ⊥CD ，∴MC=MG ，∴MD=ME ，∠MCG=∠MGC ，∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°，∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．24．如果一个直角三角形的两条直角边的长相差2cm ，面积是242cm ，那么这个三角形的两条直角边分别是多少？【答案】一条直角边的长为 6cm ，则另一条直角边的长为8cm ．【分析】可设较短的直角边为未知数x ，表示出较长的边，根据直角三角形的面积为24列出方程求正数解即可．【详解】解：设一条直角边的长为xcm ，则另一条直角边的长为（x+2）cm ．根据题意列方程，得1(2)242x x •+=． 解方程，得：x 1=6，x 2=8-（不合题意，舍去）．∴一条直角边的长为6cm，则另一条直角边的长为8cm．【点睛】本题考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半．25．如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．【答案】周长＝32，面积＝3【分析】由在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，又由对角线AC＝1，即可求得此菱形的边长，进而可求出菱形的周长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的的一半即可求出其面积．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝1．∴菱形ABCD的周长＝4×1＝32，∵BO22843∴BD＝2BO＝3∴菱形ABCD的面积＝12×1×33【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．26．在△ABC中，∠C＝90°．（1）已知∠A＝30°，BC＝2，求AC、AB的长；（2）己知tanA＝24，AB＝2，求AC、BC的长．【答案】（1）AB＝4，AC＝3（2）BC＝2，AC＝1．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB ＝2BC ＝4，AC ＝；（2）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝4，AB ＝，∴BC AC ＝4，∴设BC k ，AC ＝4k ，∴AB k ＝，∴k ＝2，∴BC ＝，AC ＝4k ＝1．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．27．解方程：(x+3)2=2x+1．【答案】x 1=﹣3,x 2=﹣1.【分析】利用因式分解法解方程即可.【详解】(x+3)2=2(x+3) ,(x+3)2﹣2(x+3)=0 ,(x+3)(x+3﹣2)=0,(x+3)(x+1)=0 ,∴x 1=﹣3,x 2=﹣1.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为（ ）A ．14B ．25C ．23D ．59【答案】B【分析】先求出连接两点所得的所有线段总数，再用列举法求出取到长度为3的线段条数，由此能求出在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率．【详解】根据题意可得所有的线段有15条，长度为3的线段有AE 、AC 、FD 、FB 、EC 、BD 共6条，则P （长度为3的线段）=62155=． 故选：B【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 2．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出△ABC 的三边长，再分别求出选项A 、B 、C 、D 中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案. 【详解】如图，223110AB =+AC=2，22212BC =+=A 、三边依次为：25，1，1021225≠≠，∴A 选项中的三角形与ABC ∆不相似； B 52、1，∵102152==，∴B 选项中的三角形与ABC ∆相似； C 、三边依次为：3、5、2，∵102352≠≠，∴C 选项中的三角形与ABC ∆不相似； D 、三边依次为：13 、5、2，∵1022135≠≠，∴D 选项中的三角形与ABC ∆不相似； 故选：B.【点睛】此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.3．下列函数中，y 的值随着x 逐渐增大而减小的是（ ）A ．2y x =B ．2y xC ．2y x =-D ．1y x =- 【答案】D【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．【详解】A 选项函数2y x =的图象是y 随着x 增大而增大，故本选项错误；B 选项函数2y x 的对称轴为0x =，当0x ≤时y 随x 增大而减小故本选项错误；C 选项函数2y x=-，当0x <或0x >，y 随着x 增大而增大故本选项错误； D 选项函数1y x =-的图象是y 随着x 增大而减小，故本选项正确；故选D.【点睛】本题考查了三种函数的性质，了解它们的性质是解答本题的关键，难度不大．4．如图，,,,A B C D 是⊙O 上的点，则图中与A ∠相等的角是（ ）A ．BB ．C ∠ C ．DEB ∠D ．D ∠【答案】D 【分析】直接利用圆周角定理进行判断．【详解】解：∵A ∠与D ∠都是BC 所对的圆周角，∴D A ∠=∠．故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c －m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2﹣4ac ＜0；②abc ＞0；③a-b+c ＞0；④m ＞－2，其中，正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】解：如图所示：图象与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故①错误；∵图象开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＜0，∵图象与y 轴交于x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＞0，故②正确；当x=﹣1时，a ﹣b+c ＞0，故③选项正确；∵二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0有两个不相等的实数根，则m ＞﹣2，故④正确．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．6．如图，在▱ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=42，则△CEF 的面积是（ ）A ．22B 2C ．32D ．42【答案】A 【详解】解：∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE=∠BAE ；又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6，∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=42，∴AG=22AB BG-=2，∴AE=2AG=4；∴S△ABE=12AE•BG=1442822⨯⨯=．∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，∴△ABE∽△FCE，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=14S△ABE=22．故选A．【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．7．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】如图，位似中心为点D ．故选D ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．8．三角形的两边长分别为3和2，第三边的长是方程2560x x -+=的一个根，则这个三角形的周长是( )A ．10B ．8或7C ．7D ．8【答案】B【分析】因式分解法解方程求得x 的值，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，最后求出周长即可．【详解】解：∵2560x x -+=，∴（x －2）（x －3）＝0，∴x －2＝0或x －3＝0，解得：x ＝2或x ＝3，当x ＝2时，三角形的三边2＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋2＝7；当x ＝3时，三角形的三边满足3＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋3＝8，故选：B ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力和三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，将OAB ∆绕着旋转中心顺时针旋转90︒，得到CDE ∆，则旋转中心的坐标为（ ）A ．()1,4B ．()1,2C ．()1,1D ．()1,1-【答案】C 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段OC 与BE 的垂直平分线的交点即为所求．【详解】∵OAB ∆绕旋转中心顺时针旋转90°后得到CDE ∆，∴O 、B 的对应点分别是C 、E ，又∵线段OC 的垂直平分线为y=1，线段BE 是边长为2的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，由图形可知，线段OC 与BE 的垂直平分线的交点为（1，1）．故选C ．【点睛】本题考查了旋转的性质及垂直平分线的判定．10．抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是( )A ．直线x ＝1B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝－2D ．直线x ＝2【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴公式：2b x a=-计算即可． 【详解】解：抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是直线2121x =-=-⨯ 故选B ．【点睛】此题考查的是求抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴公式是解决此题的关键．11．如图，已知ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（ ）A ．33B ．333C ．5D ．25 【答案】D【分析】过B 点作BD ⊥AC 于D ，求得AB 、AC 的长，利用面积法求得BD 的长，利用勾股定理求得AD 的长，利用锐角三角函数即可求得结果．【详解】过B 点作BD ⊥AC 于D ，如图，由勾股定理得，221310AB +，223332AC =+=∵11322ABC S AC BD BC ==⨯，即232BD == 在ABD 中，AD 90B ∠=︒，10AB =2BD =，()()222210222AD AB BD =-=-= ∴2225cos 10AD A AB ===． 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用，面积法求高的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．12．如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos B 的值是（ ）A ．12B ．22C ．3D ．1【答案】B【分析】过点C 作CD ⊥AB ，利用间接法求出△ABC 的面积，利用勾股定理求出AB 、BC 的长度，然后求出CD 的长度，即可得到∠B 的度数，然后得到答案.【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，∴111666362433696615222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=， ∵226335AB +=2262210BC +=， 又∵1152ABC S AB CD ∆=••=, ∴2535CD == 在Rt △BCD 中，252sin 2210CD B BC ===， ∴45B ∠=︒，∴2cos cos 452B =︒=； 故选：B.【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理与网格问题，解题的关键是作出辅助线正确构造直角三角形，利用三角函数值进行求解.二、填空题（本题包括8个小题）13．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．【答案】1【解析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=1．14．已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．【答案】（6﹣cm．【解析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB=12AB，代入数据即可得出BP的长度．【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，则×4=（）cm．∴AP=4-BP=6-故答案为：(6-．【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352，较长的线段=原线段的．15．已知xy＝52，则x yy-的值是_______．【答案】3 2【分析】根据合比性质：--a b c da cb db d=⇒=，可得答案．【详解】由合比性质，得-5-2322x yy==，故答案为：32．【点睛】此题考查比例的性质，利用合比性质是解题关键．16．若α为一锐角，且cos sin60α=︒，则α=．【答案】30°【详解】试题分析：∵3 cos sin60,sin602α=︒︒=，∴3cos2α=.∵α为一锐角，∴30α=︒.考点：特殊角的三角函数值.17．如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为2570m，道路的宽为_______m【答案】1【分析】设道路宽为x米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设道路宽为x米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积得：23220322022570x x，解得：x 1=1，x2=1．∵1＞20，∴x=1舍去．答：道路宽为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．18．如图，一辆汽车沿着坡度为1:3i=的斜坡向下行驶50米，则它距离地面的垂直高度下降了米.【答案】25【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设垂直高度下降了x3x米．根据勾股定理可得：x2+（3x）2=1．解得x=25，即它距离地面的垂直高度下降了25米．【点睛】此题考查三角函数的应用.关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，∴102550b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+4x+5；（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C （﹣6，8），设平移后的点C 的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x 2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C （﹣6，8），∴当点C 落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m 的值为7或9；（3）∵y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2，∴可设P （2，t ），由（2）可知E 点坐标为（1，8），①当BE 为平行四边形的边时，连接BE 交对称轴于点M ，过E 作EF ⊥x 轴于点F ，当BE 为平行四边形的边时，过Q 作对称轴的垂线，垂足为N ，如图，则∠BEF=∠BMP=∠QPN ，在△PQN 和△EFB 中QPN BEF PMQ EFB PQ BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PQN ≌△EFB （AAS ），∴NQ=BF=OB ﹣OF=5﹣1=4，。
一模参考答案与评分标准(松江2019.1)
松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题：1．A ； 2．D ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．C ．二、填空题： 7．31；8．6；9．10；10．15-；11．2x y -=等；12．>；13．50； 14．512；15．3+；16．23；17．53；18．332．三、解答题：19．解：()1222-+=x x y ……………………………………………………（1分）()121222--++=x x y ………………………………………………………（1分） ()3122-+=x y …………………………………………………………………（3分）开口方向：向上……………………………………………………………………（1分） 顶点坐标：（-1，-3）……………………………………………………………（2分） 对称轴：直线1-=x ……………………………………………………………（2分）20．解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ………………………………………（1分）在Rt △ABD 中，ABADA =cos …………………………………………………（2分） ∵53cos =A ，AB=5，∴AD=AB ·cos A =5×53=3……………………………（2分）∴BD=4……………………………………………………………………………（2分） ∵AC=5，∴DC=2…………………………………………………………………（1分） ∴BC=52………………………………………………………………………（2分）∵FG ∥AB ，∴∠FGH =∠B ………………………………………………………（1分） ∴∠ADE =∠FGH …………………………………………………………………（1分） 同理：∠AED =∠FHG ……………………………………………………………（1分） ∴△ADE ∽△FGH ………………………………………………………………（1分）∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆GH DE S S FGH ADE ……………………………………………………………（1分） ∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，∴DF =BG ………………………………………………（1分） 同理：FE =HC ……………………………………………………………………（1分） ∵BG ︰GH ︰HC =2︰4︰3，∴设BG =2k ，GH =4k ，HC =3k∴DF =2k ，FE =3k ，∴DE =5k ……………………………………………………（1分）∴1625452=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆k k S S FGH ADE ……………………………………………………（1分）22．（1）在Rt △APN 中，∠NAP =45°，∴P A =PN ………………………………（1分） 在Rt △APM 中，APMPMAP =∠tan ……………………………………………（2分） 设P A =PN =x ，∵∠MAP =58°∴MAP AP MP ∠⋅=tan =1.6x …………………………………………………（1分） 在Rt △BPM 中，BPMPMBP =∠tan ……………………………………………（2分） ∵∠MBP =31°，AB =5 ∴xx+=56.16.0……………………………………………………………………（2分） ∴ x =3………………………………………………………………………………（1分） ∴MN=MP-NP =0.6x =1.8（米）…………………………………………………（1分） 答：广告牌的宽MN 的长为1.8米．∵AC ·CE=AD ·BC ，∴CEADBC AC =……………………………………………（2分） ∴△ACD ∽△CBE ………………………………………………………………（1分）∴∠DCA=∠EBC …………………………………………………………………（1分） （2）∵AD ∥BC ，∴∠AFB=∠EBC ……………………………………………（1分） ∵∠DCA=∠EBC ，∴∠AFB=∠DCA ……………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，AB=DC∴∠BAD=∠ADC ……………………………（2分） ∴△ABF ∽△DAC ………………（1分） ∴DCAFAD AB =………………………………（1分） ∵AB=DC ，∴AD AF AB ⋅=2…………（1分）24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4） ∴⎩⎨⎧==+--4022c c b …………（1分）， 解得14b c =⎧⎨=⎩………………………（1分）∴抛物线解析式为2142y x x =-++ …………………………………………（1分） （2）()2912142122+--=++-=x x x y …………………………………（1分）∴对称轴为直线x =1，过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO ，∴tan ∠PBO=tan ∠BAO ， ∴PG BO BG AO =……………………………………………（1分） ∴121BG =，∴12BG =…………………………………（1分）∴72OG =，∴P （1，27）………………………………（1分） （3）设新抛物线的表达式为2142y x x m =-++-…（1分）则()0,4D m -,()2,4E m -，DE =2……………………（1分） 过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，∵DE ∥FH ，EO=2OFF（第23题图）EDCBA∴2=1DE EO DO FH OF OH ==，∴FH=1……………………………………………（1分）① 点D 在y 轴的正半轴上，则51,2F m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴52OH m =- ∴42512DO m OH m -==-，∴m=3……………………………………………………（1分） ② 点D 在y 轴的负半轴上，则91,2F m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴92OH m =-∴42912DO m OH m -==-，∴m=5……………………………………………………（1分） ∴综上所述m 的值为3或5.25．解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分） ∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP=（1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分）∴23BE BP ==1分）（2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分） ∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD=DA ，∴FD=DC ，BF=AC …………………（1分） ∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP=k ，则P A=3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A=PB=3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴cos A =…………（1分）PE （备用图1）AB C DF（3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分） ∵∠PBD=∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD=∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A=∠DCA ，∴∠DPE=∠DCP ，∵∠PDE=∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分）∵DE=3,DC=5，∴15=PD …………………………………………………（1分）（备用图2）ABCDPE。
2019年上海市松江区一模试卷及详解(松江2019.1)
初三数学 第1页 共4页松江区2018学年度第一学期期末质量监控初三数学（满分150分，完卷时间100分钟） 2019.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝4，BC=3，那么∠A 的正切值为（ ） （A ）43； （B ）34； （C ）53； （D ）54． 2．把抛物线2x y =向右平移1个单位后得到的抛物线是（ ）（A ）12+=x y ； （B ）12-=x y ；（C ）2)1(+=x y ； （D ）2)1(-=x y ．3．下列各组图形一定相似的是（ ）（A ）两个直角三角形； （B ）两个等边三角形； （C ）两个菱形； （D ）两个矩形． 4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD =2，BD =3，那么由下列条件能判断DE ∥BC 的是（ ） （A ）32=BC DE ； （B ）52=BC DE ； C ）32=AC AE ； （D ）52=AC AE ．5．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） （A ）a r ∥e →； （B ）3a =r ； （C ）a r 与e →方向相同； （D ）a r 与e →方向相反．6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，EF ∥CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是（ ）（A ）BC DE DF AF = ； （B ）DF AFDB DF =； （C ）BC DE CD EF = ； （D ）ABADBD AF =． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（第4题图） A DEBC （第6题图）F E D CA初三数学 第2页 共4页【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知34=b a ，那么bba -=_____． 8．在比例尺为1︰50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实 际距离是___________千米.9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果sinA =52，BC=4，那么AB=________． 10．已知线段AB =2cm ，点C 在线段AB 上，且AC 2=BC ·AB ，则AC 的长___________cm ． 11．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______． 12．如果点()14,A y -、()23,B y -是二次函数22+y x k =（k 是常数）图像上的两点，那么1y _______2y ．（填“>”、“<”或“=”）13．小明沿坡比为1︰3的山坡向上走了100米．那么他升高了______米．14．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，如果AC ＝3，CE ＝5，DF ＝4，那么BD ＝_______．15．如图，已知△ABC ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且13AD AE AB AC ==．设AB a =u u u r r ，DE b =u u u r r，那么AC =u u u r ______________.（用向量、表示）16．如图，已知△ABC ，D 、E 分别是边BA 、CA 延长线上的点，且DE ∥BC ．如果35DE BC =,CE=4，那么AE 的长为_______． 17．如图，已知△ABC ，AB =6，AC =5，D 是边AB 的中点，E 是边AC上一点，∠ADE ＝∠C ，∠BAC 的平分线分别交DE 、BC 于点F 、G ， 那么AFAG的值为_______． 18．如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 坐标为（3，2），∠AOB ＝90°，∠OAB ＝30°，AB 与x 轴交于点C ，那么AC :BC 的值为______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（第18题图）a b cA B CDE F m n（第14题图）（第17题图）GF E DCB A（第16题图）C BA D E A（第15题图）初三数学 第3页 共4页19．（本题满分10分）将二次函数2241y x x =+-的解析式化为()k m x a y ++=2的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．20．（本题满分10分）如图，已知△ABC 中，AB =AC =5，cos A =53．求底边BC 的长．21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ， 点F 在线段DE 上，过点F 作FG ∥AB 、FH ∥AC 分别交BC 于点G 、H ，如果BG ︰GH ︰HC =2︰4︰3．求FGHADES S ∆∆的值．22．（本题满分10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB=5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．（参考数据：sin580.85︒=，cos580.53︒=，tan58 1.60︒=，sin310.52︒=，cos310.86︒=，tan310.60︒=．）23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，E 是对角线AC 上一点，且AC ·CE=AD ·BC .（1）求证：∠DCA=∠EBC ；（2）延长BE 交AD 于F ，求证：AB 2=AF ·AD .24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）CBA（第20题图）（第22题图）AMN P广告牌（第23题图） EDCB A（第21题图）HG FEDBCA初三数学 第4页 共4页如图，抛物线c bx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPC D E(第24题图)初三数学 第5页 共4页松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题：1．A ； 2．D ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．C ．二、填空题： 7．31；8．6；9．10；10．15-；11．2x y -=等；12．>；13．50； 14．512；15．b a 3+；16．23；17．53；18．332．三、解答题：19．解：()1222-+=x x y ……………………………………………………（1分）()121222--++=x x y ………………………………………………………（1分） ()3122-+=x y …………………………………………………………………（3分）开口方向：向上……………………………………………………………………（1分） 顶点坐标：（-1，-3）……………………………………………………………（2分） 对称轴：直线1-=x ……………………………………………………………（2分）20．解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ………………………………………（1分）在Rt △ABD 中，ABADA =cos …………………………………………………（2分） ∵53cos =A ，AB=5，∴AD=AB ·cos A =5×53=3……………………………（2分）∴BD=4……………………………………………………………………………（2分） ∵AC=5，∴DC=2…………………………………………………………………（1分） ∴BC=52………………………………………………………………………（2分） 21．解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B …………………………………………（1分） ∵FG ∥AB ，∴∠FGH =∠B ………………………………………………………（1分）初三数学 第6页 共4页∴∠ADE =∠FGH …………………………………………………………………（1分） 同理：∠AED =∠FHG ……………………………………………………………（1分） ∴△ADE ∽△FGH ………………………………………………………………（1分）∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆GH DE S S FGH ADE ……………………………………………………………（1分） ∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，∴DF =BG ………………………………………………（1分） 同理：FE =HC ……………………………………………………………………（1分） ∵BG ︰GH ︰HC =2︰4︰3，∴设BG =2k ，GH =4k ，HC =3k∴DF =2k ，FE =3k ，∴DE =5k ……………………………………………………（1分）∴1625452=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆k k S S FGH ADE ……………………………………………………（1分）22．（1）在Rt △APN 中，∠NAP =45°，∴P A =PN ………………………………（1分） 在Rt △APM 中，APMPMAP =∠tan ……………………………………………（2分） 设P A =PN =x ，∵∠MAP =58°∴MAP AP MP ∠⋅=tan =1.6x …………………………………………………（1分） 在Rt △BPM 中，BPMPMBP =∠tan ……………………………………………（2分） ∵∠MBP =31°，AB =5 ∴xx+=56.16.0……………………………………………………………………（2分） ∴ x =3………………………………………………………………………………（1分） ∴MN=MP-NP =0.6x =1.8（米）…………………………………………………（1分） 答：广告牌的宽MN 的长为1.8米．23．证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠BCA ………………………………（1分） ∵AC ·CE=AD ·BC ，∴CEADBC AC =……………………………………………（2分） ∴△ACD ∽△CBE ………………………………………………………………（1分）∴初三数学 第7页 共4页∠DCA=∠EBC …………………………………………………………………（1分） （2）∵AD ∥BC ，∴∠AFB=∠EBC ……………………………………………（1分） ∵∠DCA=∠EBC ，∴∠AFB=∠DCA ……………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，AB=DC∴∠BAD=∠ADC ……………………………（2分） ∴△ABF ∽△DAC ………………（1分） ∴DCAFAD AB =………………………………（1分） ∵AB=DC ，∴AD AF AB ⋅=2…………（1分）24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4） ∴⎩⎨⎧==+--4022c c b …………（1分）， 解得14b c =⎧⎨=⎩………………………（1分）∴抛物线解析式为2142y x x =-++ …………………………………………（1分） （2）()2912142122+--=++-=x x x y …………………………………（1分）∴对称轴为直线x =1，过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO ，∴tan ∠PBO=tan ∠BAO ， ∴PG BO BG AO =……………………………………………（1分） ∴121BG =，∴12BG =…………………………………（1分）∴72OG =，∴P （1，27）………………………………（1分） （3）设新抛物线的表达式为2142y x x m =-++-…（1分）则()0,4D m -,()2,4E m -，DE =2……………………（1分） 过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，∵DE ∥FH ，EO=2OF ∴2=1DE EO DO FH OF OH ==，∴FH=1……………………………………………（1分） ① 点D 在y 轴的正半轴上，则51,2F m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴52OH m =- F（第23题图）EDCBA初三数学 第8页 共4页∴42512DO m OH m -==-，∴m=3……………………………………………………（1分）② 点D 在y 轴的负半轴上，则91,2F m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴92OH m =-∴42912DO m OH m -==-，∴m=5……………………………………………………（1分）∴综上所述m 的值为3或5.25．解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分） ∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP=1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分）∴23BE BP ==1分） （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分） ∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD=DA ，∴FD=DC ，BF=AC …………………（1分） ∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP=k ，则P A=3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A=PB=3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴cos A =…………（1分）（3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分） ∵∠PBD=∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD=∠A ……………………………………………………（1分）（备用图2）ABCDPE PE （备用图1）AB C DF初三数学 第9页 共4页∵∠A=∠DCA ，∴∠DPE=∠DCP ，∵∠PDE=∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分）∵DE=3,DC=5，∴15=PD …………………………………………………（1分）。
＜合集试卷3套＞2018年上海市松江区九年级上学期数学期末学业水平测试试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点A，B，C，D都在O上，OA⊥BC，∠AOB=40°，则∠CDA的度数为( )A．40°B．30°C．20°D．15°【答案】C【分析】先根据垂径定理由OA⊥BC得到AB AC=，然后根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵OA⊥BC，∴AB AC=，∴∠ADC=12∠AOB=12×40°=20°．故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．2．下列多边形一定相似的是（）A．两个平行四边形B．两个矩形C．两个菱形D．两个正方形【答案】D【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案．【详解】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A错误，两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B错误，两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C错误，两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D正确，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．3．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ）A ．3(1)10x +=B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++= 【答案】D【分析】根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2， 根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 4．已知如图，线段AB =60，AD =13，DE =17，EF =7，请问在D ，E ，F ，三点中，哪一点最接近线段AB 的黄金分割点（ ）A ．D 点B ．E 点C ．F 点D ．D 点或 F 点【答案】C【分析】根据题意先计算出BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，则E 点为AB 的中点，则计算BD ：AB 和AF ：AB ，然后把计算的结果与0.618比较，则可判断哪一点最接近线段AB 的黄金分割点．【详解】解：∵线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，∴BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，∴BD ：AB=47：60≈0.783，AF ：AB=37：60=0.617，∴点F 最接近线段AB 的黄金分割点．故选：C ．【点睛】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中510.618AC AB -=≈，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 5．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．0ac =C ．0ac <D ．ac 的符号不能确定【答案】A 【分析】由题意根据二次函数的图象与性质即可求出答案判断选项．【详解】解：由图象可知开口向上a ＞0，与y 轴交点在上半轴c ＞0，∴ac ＞0，故选A.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 6．下列说法错误的是（ ）A ．必然事件发生的概率是1B ．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C ．概率很小的事件不可能发生D ．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得【答案】C【解析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1【详解】A 、必然事件发生的概率是1，正确；B 、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；C 、概率很小的事件也有可能发生，故错误；D 、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，故选：C ．【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p ≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0.7．下列命题中，真命题是（ ）A ．所有的平行四边形都相似B ．所有的矩形都相似C ．所有的菱形都相似D ．所有的正方形都相似【答案】D【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】所有正方形都相似，故D 符合题意；故选D ．【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】A【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量．【详解】设白球有x 个，根据题意得： 505202020x ， 解得：x=5，即白球有5个，故选A ．【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．9．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为280m 的矩形花圃（墙长为12m ），围栏总长度为28m ，则与墙垂直的边x 为（ ）A ．4m 或10mB ．4mC ．10mD ．8m【答案】C 【分析】设与墙相对的边长为（28-2x ）m ，根据题意列出方程x （28-2x ）=80，求解即可.【详解】设与墙相对的边长为（28-2x ）m ，则0＜28-2x≤12，解得8≤x ＜14，根据题意列出方程x （28-2x ）=80，解得x 1=4，x 2=10因为8≤x ＜14∴与墙垂直的边x 为10m故答案为C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x 值.10．如图，水平地面上有一面积为30πcm 2的灰色扇形OAB ，其中OA=6cm ，且OA 垂直于地面.将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B 刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O 移动的距离是( )A ．10πcmB ．20πcmC ．24πcmD ．30πcm【答案】A 【解析】如下图，在灰色扇形OAB 向右无滑动滚动过程中，点O 移动的距离等于线段A 1B 1的长度，而A 1B 1的长度等于灰色扇形OAB 中弧的长度l ，∵S 扇形=113022l r l OA π⋅=⨯=，OA=6， ∴10l π=（cm ），即点O 移动的距离等于：10πcm.故选A.点睛：在扇形沿直线无滑动滚动的过程中，由于圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以此时圆心作的是平移运动，其平移的距离就等于扇形沿直线滚动的路程.11．如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是（ ）A ．BM ＞DNB ．BM ＜DNC ．BM=DND ．无法确定【答案】C 【解析】分析：连接BD ，根据平行四边形的性质得出BP=DP ，根据圆的性质得出PM=PN ，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM ，从而得出三角形全等，得出答案．详解：连接BD ，因为P 为平行四边形ABCD 的对称中心，则P 是平行四边形两对角线的交点，即BD 必过点P ，且BP=DP ， ∵以P 为圆心作圆， ∴P 又是圆的对称中心，∵过P 的任意直线与圆相交于点M 、N ， ∴PN=PM ， ∵∠DPN=∠BPM ，∴△PDN ≌△PBM （SAS ）， ∴BM=DN ．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．12．下列说法正确的是（ ）A ．三角形的外心一定在三角形的外部B ．三角形的内心到三个顶点的距离相等C ．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形D ．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125° 【答案】C【分析】分别利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可．【详解】A. 因为只有钝角三角形的外心才在三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边上，该选项错误；B. 三角形的内心到三角形的三边距离相等，该选项错误；C. 若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形，该选项正确；D. 如图，∠C=90︒，∠BAC+∠ABC 18090=︒-︒，AD BE 、分别是角∠BAC 、∠ABC 的平分线，∴∠OAB+∠OBA 190452=⨯︒=︒， ∴∠AOB ()180********OAB OBA ∠∠=︒-+=︒-︒=︒，该选项错误．故选：C【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心及三角形的内切圆与内心，正确把握它们的区别是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．已知线段4a =厘米，9b =厘米，线段c 是线段a 和线段b 的比例中项，线段c 的长度等于________厘米．【答案】1【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【详解】∵线段c 是线段a 和线段b 的比例中项，∴249c =⨯，解得6c =±（线段是正数，负值舍去），∴6cm c =，故答案为：1．【点睛】本题考查比例线段、比例中项等知识，比例中项的平方等于两条线段的乘积，熟练掌握基本概念是解题关键.14．若代数式4x 2－2x －5与2x 2＋1的值互为相反数，则x 的值是____．【答案】1或－23 【解析】由题意得：4x 2－2x －5+2x 2＋1=0，解得：x=1或x=-23， 故答案为：1或-23. 15．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，将BCE 沿BE 折叠为BFE △，点F 落在边AD 上，若8AB =，10BC =，则CE =________．【答案】5【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折叠的性质可求BF=BC=10，EF=CE ，由勾股定理可求AF 的长，CE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，∵将△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，在Rt △ABF 中，22BF AB -=6∴DF=AD-AF=4在Rt △DEF 中，DF 2+DE 2=EF 2=CE 2，∴16+（8-CE ）2=CE 2，∴CE=5故答案为：5【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 16．两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．【答案】2：1．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9， ∴它们对应中线的比4293==． 故答案为：2：1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.17．若一元二次方程230x x m -+=的一个根是2x =，则m =__________．【答案】1【分析】将x=1代入一元二次方程230x x m -+=，即可求得m 的值，本题得以解决．【详解】解：∵一元二次方程230x x m -+=有一个根为x=1，∴11-6+m=0，解得，m=1，故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出m 的值．18．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，连接DE ，要使△ADE ∽△ACB ，还需添加一个条件 （只需写一个）．【答案】AD AE AED B ADE C AC AB∠=∠∠=∠=或或 【解析】试题分析：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似. 所以在本题的条件的需要满足AD AE AED B ADE C AC AB ∠=∠∠=∠=或或考点：相似三角形的判定点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似.三、解答题（本题包括8个小题）19．某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？ （2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）50元；（2）该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.【分析】（1）设该商品的售价是每个x 元，根据利润=每个的利润×销售量，即可列出关于x 的方程，解方程即可求出结果；（2）设该商品的售价为每个x 元，利润为y 元，根据利润=每个的利润×销售量即可得出y 关于x 的函数关系式，然后利用二次函数的性质解答即可.【详解】解：（1）设该商品的售价是每个x 元，根据题意，得：()()30600104010000x x ---=⎡⎤⎣⎦，解之得：150x =，280x =（不合题意，舍去）.答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元；（2）设该商品的售价为每个x 元，利润为y 元，则()()2y x 3060010x 4010x 1300x 30000=---=-+-⎡⎤⎣⎦()2106512250x =--+， ∴当65x =时，利润y 最大，最大利润是12250元.答：该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.【点睛】本题是一元二次方程和二次函数的应用题，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题关键.20．在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．（1）如图1，取点M （1，0），则点M 到直线l ：y ＝12x ﹣1的距离为多少？ （2）如图2，点P 是反比例函数y ＝4x在第一象限上的一个点，过点P 分别作PM ⊥x 轴，作PN ⊥y 轴，记P 到直线MN 的距离为d 0，问是否存在点P ，使d 0＝2105？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图3，若直线y ＝kx+m 与抛物线y ＝x 2﹣4x 相交于x 轴上方两点A 、B （A 在B 的左边）．且∠AOB ＝90°，求点P （2，0）到直线y ＝kx+m 的距离最大时，直线y ＝kx+m 的解析式．【答案】（1）5；（2）点P （2，22）或（22，2）；（3）y ＝﹣2x+1 【分析】（1）如图1，设直线l ：y ＝12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ，过点M 作ME ⊥AB ，先求出点A ，点B 坐标，可得OA ＝2，OB ＝1，AM ＝1，由勾股定理可求AB 长，由锐角三角函数可求解； （2）设点P （a ，4a），用参数a 表示MN 的长，由面积关系可求a 的值，即可求点P 坐标； （3）如图3，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，设点A （a ，a 2﹣4a ），点B （b ，b 2﹣4b ），通过证明△AOC ∽△BOD ，可得ab ﹣4（a+b ）+17＝0，由根与系数关系可求a+b ＝k+4，ab ＝﹣m ，可得y ＝kx+1﹣4k ＝k （x ﹣4）+1，可得直线y ＝k （x ﹣4）+1过定点N （4，1），则当PN ⊥直线y ＝kx+m 时，点P 到直线y ＝kx+m 的距离最大，由待定系数法可求直线PN 的解析式，可求k ，m 的值，即可求解．【详解】解：（1）如图1，设直线l ：y ＝12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ，过点M 作ME ⊥AB ，∵直线l ：y ＝12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ， ∴点A （2，0），点B （0，﹣1），且点M （1，0），∴AO ＝2，BO ＝1，AM ＝OM ＝1，∴AB 22AO BO +14+5∵tan ∠OAB ＝tan ∠MAE ＝OB ME AB AM =， 15ME =， ∴ME 5， ∴点M 到直线l ：y ＝12x ﹣15 （2）设点P （a ，4a ），（a ＞0）∴OM ＝a ，ON ＝4a ， ∴MN ＝22O ON M +＝2216a a+， ∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∠MON ＝10°，∴四边形PMON 是矩形，∴S △PMN ＝12S 矩形PMON ＝2， ∴12×MN×d 0＝2， ∴2216a a +×2105＝4， ∴a4﹣10a2+16＝0，∴a 1＝2，a 2＝﹣2（舍去），a 3＝22，a 4＝﹣22（舍去），∴点P （2，22）或（22，2），（3）如图3，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，设点A （a ，a 2﹣4a ），点B （b ，b 2﹣4b ），∵∠AOB ＝10°，∴∠AOC+∠BOD ＝10°，且∠AOC+∠CAO ＝10°，∴∠BOD ＝∠CAO ，且∠ACO ＝∠BDO ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OD CO BD=， ∴2244a a b a b b-=-- ∴ab ﹣4（a+b ）+17＝0，∵直线y ＝kx+m 与抛物线y ＝x 2﹣4x 相交于x 轴上方两点A 、B ，∴a ，b 是方程kx+m ＝x 2﹣4x 的两根，∴a+b＝k+4，ab＝﹣m，∴﹣m﹣4（k+4）+17＝0，∴m＝1﹣4k，∴y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，∴直线y＝k（x﹣4）+1过定点N（4，1），∴当PN⊥直线y＝kx+m时，点P到直线y＝kx+m的距离最大，设直线PN的解析式为y＝cx+d，∴1402c dc d =+⎧⎨=+⎩解得1 21cb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线PN的解析式为y＝12x﹣1，∴k＝﹣2，∴m＝1﹣4×（﹣2）＝1，∴直线y＝kx+m的解析式为y＝﹣2x+1．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，根与系数关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用参数列出方程是本题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点(4,0)B、(8,0)C、(8,8)D.抛物线的解析式为2y ax bx=+.（1）如图一，若抛物线经过A，D两点，直接写出A点的坐标；抛物线的对称轴为直线；（2）如图二：若抛物线经过A、C两点，①求抛物线的表达式.②若点P为线段AB上一动点，过点P作PE AB⊥交AC于点E，过点E作EF AD⊥于点F交抛物线于点G.当线段EG最长时，求点E的坐标；（3）若1a =-，且抛物线与矩形ABCD 没有公共点，直接写出b 的取值范围.【答案】（1）（4,8）；x=6；（2）①2142y x x =-+；②（6,4）；（3）4b <或9b > 【分析】（1）根据矩形的性质即可求出点A 的坐标，然后根据抛物线的对称性，即可求出抛物线的对称轴；（2）①将A 、C 两点的坐标代入解析式中，即可求出抛物线的表达式；②先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，然后设点E 的坐标为(),216x x -+，根据坐标特征求出点G 的坐标，即可求出EG 的长，利用二次函数求最值即可；（3）画出图象可知：当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B 的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D 点上方时，抛物线与矩形ABCD 没有公共点，将x=4和x=8分别代入解析式中，列出不等式，即可求出b 的取值范围．【详解】解：（1）∵矩形ABCD 的三个顶点(4,0)B 、(8,0)C 、(8,8)D∴点A 的横坐标与点B 的横坐标相同，点A 的纵坐标与点D 的纵坐标相同∴点A 的坐标为：（4,8）∵点A 与点D 的纵坐标相同，且A 、D 都在抛物线上∴点A 和点D 关于抛物线的对称轴对称 ∴抛物线的对称轴为：直线4862x +==． 故答案为：（4,8）；x=6；（2）①将A 、C 两点的坐标代入2y ax bx =+，得 81640648a b a b =+⎧⎨=+⎩解得：124a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 故抛物线的表达式为2142y x x =-+； ②设直线AC 的解析式为y=kx ＋c将A 、C 两点的坐标代入，得8408k c k c =+⎧⎨=+⎩解得：216k c =-⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为216y x =-+设点E 的坐标为(),216x x -+，∵EG ⊥AD ，AD ∥x 轴∴点E 和点G 的横坐标相等∵点G 在抛物线上∴点G 的坐标为21,42x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴EG=()2142162x x x -+--+ =216162x x -+- =()21622x --+ ∵102-< ∴当6x =时，EG 有最大值，且最大值为2，将6x =代入E 点坐标，可得，点E 坐标为（6,4）．（3）当1a =-时，抛物线的解析式为2y x bx =-+如下图所示，当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B 的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D 点上方时，抛物线与矩形ABCD 没有公共点，故1640b -+<或6488b -+>解得：4b <或9b >． 【点睛】 此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握矩形的性质、利用待定系数法求出二次函数和一次函数的解析式、利用二次函数求最值问题和数形结合的数学思想是解决此题的关键． 22．已知关于x 的方程 2(3)30(0)kx k x k +++=≠．（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k 的值．【答案】 (1)证明见解析；（2）正整数13k =或．【分析】（1）证明根的判别式不小于0即可；（2）根据公式法求出方程的两根,用k 表示出方程的根，再根据方程的两个实数根都是整数，进而求出k 的值．【详解】解：（1）证明：()2234369k k k k ∆=+-⋅⋅=-+ 23)0k =-≥（，∴方程一定有两个实数根.（2）解：,3,3a k b k c ==+=，()223)433k k k ∴∆=+-⋅⋅=-（，()332k k x k--±-∴==，1231,x x k∴=-=- ， ∵方程的两个实数根都是整数，∴正整数k =1或1．23．用一根长12cm 的铁丝能否围成面积是72cm 的矩形？请通过计算说明理由.【答案】用一根长12cm 的铁丝能围成面积是72cm 的矩形，理由见解析【分析】设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm ，然后根据矩形的面积公式列出方程，并解方程即可．【详解】解：设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm ．根据题意，得(6)7x x -=解这个方程，得13x =，23x =当13x =时，163x -=；当23x =263x -=答：用一根长12cm 铁丝能围成面积是72cm 的矩形．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用矩形的面积公式列方程是解决此题的关键．24．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A 、B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．【答案】（1）13；（2）游戏规则对甲、乙双方不公平． 【解析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率．（2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．【详解】解：（1）列表如下：∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，∴41P 123==（甲获胜）． （2）∵“和是4的倍数”的结果有3种， ∴()31124P ==乙获胜． ∵1134≠，即P (甲获胜)≠P （乙获胜）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．25．已知抛物线2y x ax b =++与x 轴交于(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C .（1）填空：a = ，b = .（2）如图1，已知5(,0)2E ，过点E 的直线与抛物线交于点M 、N ，且点M 、N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式.（3）如图2，已知(0,1)D ，P 是第一象限内抛物线上一点，作PH y ⊥轴于点H ，若PHD ∆与BDO ∆相似，请求出点P 的横坐标.【答案】（1）4a =-，3b =;（2）直线5:2MN y x =-;（3）P 1397±741±【分析】（1）把(1,0)A ，(3,0)B 代入解析式即可求出a,b 的值；（2）设直线MN 为y=kx-52k ，根据二次函数联立得到一元二次方程，设交点M 、N 的横坐标为x 1,x 2,根据对称性可得x 1+x 2=5,根据根与系数的关系求解k ，即可求解.（3）求出OD,OB ，设P （x,243x x -+），得到HP=x,DH=243x x -+-1=242x x -+,根据PHD ∆与BDO ∆相似分两种情况列出比例式即可求解.【详解】（1）把(1,0)A ，(3,0)B 代入2y x ax b =++得01093b c a c =++⎧⎨=++⎩解得43a b =-⎧⎨=⎩故答案为：-4；3； （2）设直线MN 为y=kx+b ，把5(,0)2E 代入得b=-52k ∴直线MN 为y=kx-52k ， 联立二次函数得kx-52k =243x x -+ 整理得x 2-(k+4)x+52k +3=0 设交点M 、N 的横坐标为x 1,x 2,∵点M 、N 关于点E 对称，∴x 1+x 2=5故k+4=5解得k=1 ∴直线5:2MN y x =-； （3）∵D （0,1），B （3,0）∴OD=1,OB=3，设P （x,243x x -+），则HP=x,DH=243x x -+-1=242x x -+,当PHD ∆∽BOD ∆时，PH BO DH DO =,即2342x x x =-+ 解得x=1397± 当PHD ∆∽DOB ∆时，PH DO DH BO =,即21423x x x =-+ 解得x=741± ∴P 点的横坐标为1397±或741±.【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、函数与方程的关系及相似三角形的性质. 26．计算：3tan30°− tan45°+ 2sin60°【答案】31【分析】先计算出特殊的三角函数值，按照运算顺序计算即可.【详解】解：原式33312=-+313=+=31.【点睛】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．27．计算：|＋20200；-+【答案】1【分析】先根据绝对值的意义、二次根式的性质、零指数幂的意义逐项化简，再合并同类二次根式即可．【详解】原式1=1-．【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解答本题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图,点A 是以BC 为直径的半圆的中点，连接AB ，点D 是直径BC 上一点，连接AD ，分别过点B 、点C 向AD 作垂线，垂足为E 和F ，其中，EF=2，CF=6，BE=8，则AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】D【分析】延长BE 交O 于点M ，连接CM ，AC ，依据直径所对的圆周角是90度，及等弧对等弦，得到直角三角形BMC 和等腰直角三角形BAC ，依据等腰直角三角形三边关系，知道要求AB 只要求直径BC ，直径BC 可以在直角三角形BMC 中运用勾股定理求，只需要求出BM 和CM ，依据三个内角是直角的四边形是矩形，可以得到四边形EFCM 是矩形，从而得到CM 和EM 的长度，再用BE+EM 即得BM ，此题得解.【详解】解：延长BE 交O 于点M ，连接CM ，AC ，∵BC 为直径，∴90M ∠=︒，90BAC ∠=︒又∵由,BE AF CF AF ⊥⊥得：90MEF F ∠=∠=︒,∴四边形EFCM 是矩形，∴MC=EF =2，EM=CF=6又∵BE=8，∴BM=BE+EM=8+6=14, ∴2222142102BC BM MC =+=+=∵点A 是以BC 为直径的半圆的中点,∴AB=AC,∴2222=2BC AB AC AB =+，∴AB=10.故选：D.【点睛】本题考查了圆周角定理的推理——直径所对的圆周角是90度， 矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造两个直角三角形，将已知和待求用勾股定理建立等式.2．关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用根的判别式和题意得到()2=2410k ∆--⨯⨯≥，求出不等式的解集，最后在数轴上表示出来，即可得出选项．【详解】解：∵关于x 的方程220x x k -+=有两个实数根，∴()2=2410k ∆--⨯⨯≥，解得：1k ≤， 在数轴上表示为：， 故选：B ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根的判别式的应用，注意：一元二次方程20ax bx c ++=(0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式为24b ac ∆=-．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．特别注意：当0∆≥时，方程有两个实数根，本题主要应用此知识点来解决．3．将抛物线2y (x 1)=--向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线( )A ．2y x 2=-+B ．2y (x 2)2=--+C ．2y x 2=--D ．2y (x 2)2=---【答案】B【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y (x 1)=--向右平移一个单位所得直线解析式为：2y (x 11)=---； 再向上平移2个单位为：2y (x 11)2=---+，即2y (x 2)2=--+．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4．如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案.【详解】从物体正面观察可得，左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体.故答案为A.【点睛】本题考查三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.6．把二次函数2114y x x =+-化为2()y a x m n =++的形式是 A ．21(1)24y x =++ B ．21(2)24y x =+- C ．21(2)24y x =-+ D ．21(2)24y x =-- 【答案】B【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】原式＝14（x 2＋4x−4） ＝14（x 2＋4x ＋4−8） ＝14（x ＋2）2−2 故选：B ．【点睛】此题考查了二次函数一般式与顶点式的转换，解答此类问题时只要把函数式直接配方即可求解． 7．如图，为了测量路灯离地面的高度，身高1.6m 的小明站在距离路灯的底部（点O ）12m 的点A 处，测得自己的影子AM 的长为4m ，则路灯CO 的高度是（ ）A ．4.8mB ．6.4mC ．8mD ．9.6m【答案】B 【分析】根据平行得：△ABM ∽△ODM ，列比例式，代入可求得结论．【详解】解：由题意得：AB ∥OC ，∴△ABM ∽△OCM ，∴AB AM OC OM= ∵OA=12，AM=4，AB=1.6，∴OM=OA+AM=12+4=16，∴11.646OC = ∴OC=6.4，则则路灯距离地面6.4米.。
上海市松江区2018-2019学年第一学期初三期末质量检测（一模）数学试卷（解..
初三数学 第1页 共4页松江区2018学年度第一学期期末质量监控初三数学（满分150分，完卷时间100分钟） 2019.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝4，BC=3，那么∠A 的正切值为（ ） （A ）43； （B ）34； （C ）53； （D ）54． 2．把抛物线2x y =向右平移1个单位后得到的抛物线是（ ） （A ）12+=x y ； （B ）12-=x y ； （C ）2)1(+=x y ； （D ）2)1(-=x y ．3．下列各组图形一定相似的是（ ）（A ）两个直角三角形； （B ）两个等边三角形； （C ）两个菱形； （D ）两个矩形． 4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD =2，BD =3，那么由下列条件能判断DE ∥BC 的是（ ） （A ）32=BC DE ； （B ）52=BC DE ； C ）32=AC AE ； （D ）52=AC AE ． 5．已知e →为单位向量，a=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） （A ）a ∥e →；（B ）3a = ； （C ）a 与e →方向相同； （D ）a 与e →方向相反．6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，EF ∥CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是（ ） （A ）BC DEDF AF = ； （B ）DFAFDB DF =； （第4题图） A DEB C （第6题图）F E DBA初三数学 第2页 共4页（C ）BC DE CD EF = ； （D ）ABADBD AF =． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知34=b a ，那么bba -=_____． 8．在比例尺为1︰50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是___________千米.9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果sinA =52，BC=4，那么AB=________． 10．已知线段AB =2cm ，点C 在线段AB 上，且AC 2=BC ·AB ，则AC 的长___________cm ． 11．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______． 12．如果点()14,A y -、()23,B y -是二次函数22+y x k =（k 是常数）图像上的两点，那么1y _______2y ．（填“>”、“<”或“=”） 13．小明沿坡比为1︰3的山坡向上走了100米．那么他升高了______米．14．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，如果AC ＝3，CE ＝5，DF ＝4，那么BD ＝_______．15．如图，已知△ABC ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且13AD AE AB AC ==．设AB a = ，DE b =，那么AC = ______________.（用向量a 、b 表示）16．如图，已知△ABC ，D 、E 分别是边BA 、CA 延长线上的点，且DE ∥BC ．如果35DE BC =,CE=4，那么AE 的长为_______． 17．如图，已知△ABC ，AB =6，AC =5，D 是边AB 的中点，E 是边AC上一点，∠ADE ＝∠C ，∠BAC 的平分线分别交DE 、BC 于点F 、G ， 那么AFAG的值为_______． （第18题图）a b cA B CDE F m n（第14题图）（第17题图）GFE DCB A（第16题图）C BA D E A（第15题图）初三数学 第3页 共4页18．如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 坐标为（3，2），∠AOB ＝90°，∠OAB ＝30°，AB与x 轴交于点C ，那么AC :BC 的值为______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）将二次函数2241y x x =+-的解析式化为()k m x a y ++=2的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．20．（本题满分10分）如图，已知△ABC 中，AB =AC =5，cos A =53．求底边BC 的长．21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ， 点F 在线段DE 上，过点F 作FG ∥AB 、FH ∥AC 分别交BC 于 点G 、H ，如果BG ︰GH ︰HC =2︰4︰3．求FGHADES S ∆∆的值．22．（本题满分10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB=5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．（参考数据：sin 580.85︒=，cos580.53︒=，tan 58 1.60︒=，sin 310.52︒=，cos310.86︒=，tan 310.60︒=．）23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，E 是对角线AC 上一点，且AC ·CE=AD ·BC .（1）求证：∠DCA=∠EBC ；（2）延长BE 交AD 于F ，求证：AB 2=AF ·AD .CBA（第20题图）（第22题图）BAMN P广告牌（第23题图）EDCBA（第21题图）HG FEDBCA初三数学 第4页 共4页24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线c bx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）BPD E(第24题图)初三数学 第5页 共4页松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题：1．A ； 2．D ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．C ．二、填空题： 7．31；8．6；9．10；10．15-；11．2x y -=等；12．>；13．50； 14．512；15．b a 3+；16．23；17．53；18．332．三、解答题：19．解：()1222-+=x x y ……………………………………………………（1分）()121222--++=x x y ………………………………………………………（1分） ()3122-+=x y …………………………………………………………………（3分）开口方向：向上……………………………………………………………………（1分） 顶点坐标：（-1，-3）……………………………………………………………（2分） 对称轴：直线1-=x ……………………………………………………………（2分）20．解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ………………………………………（1分）在Rt △ABD 中，ABADA =cos …………………………………………………（2分） ∵53cos =A ，AB=5，∴AD=AB ·cos A =5×53=3……………………………（2分）∴BD=4……………………………………………………………………………（2分） ∵AC=5，∴DC=2…………………………………………………………………（1分）初三数学 第6页 共4页∴BC=52………………………………………………………………………（2分） 21．解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B …………………………………………（1分） ∵FG ∥AB ，∴∠FGH =∠B ………………………………………………………（1分） ∴∠ADE =∠FGH …………………………………………………………………（1分） 同理：∠AED =∠FHG ……………………………………………………………（1分） ∴△ADE ∽△FGH ………………………………………………………………（1分）∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆GH DE S S FGH ADE ……………………………………………………………（1分） ∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，∴DF =BG ………………………………………………（1分） 同理：FE =HC ……………………………………………………………………（1分） ∵BG ︰GH ︰HC =2︰4︰3，∴设BG =2k ，GH =4k ，HC =3k∴DF =2k ，FE =3k ，∴DE =5k ……………………………………………………（1分）∴1625452=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆k k S S FGH ADE ……………………………………………………（1分）22．（1）在Rt △APN 中，∠NAP =45°，∴PA =PN ………………………………（1分） 在Rt △APM 中，APMPMAP =∠tan ……………………………………………（2分） 设PA =PN =x ，∵∠MAP =58°∴MAP AP MP ∠⋅=tan =1.6x …………………………………………………（1分） 在Rt △BPM 中，BPMPMBP =∠tan ……………………………………………（2分） ∵∠MBP =31°，AB =5 ∴xx+=56.16.0……………………………………………………………………（2分） ∴ x =3………………………………………………………………………………（1分） ∴MN=MP-NP =0.6x =1.8（米）…………………………………………………（1分） 答：广告牌的宽MN 的长为1.8米．初三数学 第7页 共4页23．证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠BCA ………………………………（1分） ∵AC ·CE=AD ·BC ，∴CEADBC AC =……………………………………………（2分） ∴△ACD ∽△CBE ………………………………………………………………（1分）∴∠DCA=∠EBC …………………………………………………………………（1分） （2）∵AD ∥BC ，∴∠AFB=∠EBC ……………………………………………（1分） ∵∠DCA=∠EBC ，∴∠AFB=∠DCA ……………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，AB=DC∴∠BAD=∠ADC ……………………………（2分） ∴△ABF ∽△DAC ………………（1分） ∴DCAFAD AB =………………………………（1分） ∵AB=DC ，∴AD AF AB ⋅=2…………（1分）24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4） ∴⎩⎨⎧==+--4022c c b …………（1分）， 解得14b c =⎧⎨=⎩………………………（1分）∴抛物线解析式为2142y x x =-++ …………………………………………（1分） （2）()2912142122+--=++-=x x x y …………………………………（1分）∴对称轴为直线x =1，过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO ，∴tan ∠PBO=tan ∠BAO ， ∴PG BO BG AO = ……………………………………………（1分）∴121BG =，∴12BG =…………………………………（1分）∴72OG =，∴P （1，27）………………………………（1分） （3）设新抛物线的表达式为2142y x x m =-++-…（1分）则()0,4D m -,()2,4E m -，DE =2……………………（1分） 过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，∵DE ∥FH ，EO=2OF ∴2=1DE EO DO FH OF OH ==，∴FH=1……………………………………………（1分）F （第23题图）EDCBA初三数学 第8页 共4页① 点D 在y 轴的正半轴上，则51,2F m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴52OH m =-∴42512DO m OH m -==-，∴m=3……………………………………………………（1分） ② 点D 在y 轴的负半轴上，则91,2F m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴92OH m =-∴42912DO m OH m -==-，∴m=5……………………………………………………（1分） ∴综上所述m 的值为3或5.25．解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分） ∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP=1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分）∴23BE BP ==…………………………………………………………（1分） （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分） ∴CABF DC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD=DA ，∴FD=DC ，BF=AC …………………（1分） ∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP=k ，则PA=3k ， ∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴PA=PB=3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴cos 3A =…………（1分）（3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==（备用图2）ABCDPE P（备用图1）B C DFE初三数学 第9页 共4页∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分） ∵∠PBD=∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD=∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A=∠DCA ，∴∠DPE=∠DCP ，∵∠PDE=∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分）∵DE=3,DC=5，∴15=PD …………………………………………………（1分）。
2019年上海市松江区九年级上册期末教学质量数学试题有答案
松江区第一学期期末质量抽测初三数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt △ABC 中，∠C =90º，如果BC =2，∠A =α，则AC 的长为（ D ） （A ）αsin 2；（B ）αcos 2；（C ）αtan 2；（D ）αcot 2．2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（ C ） （A ）12-=x y ；（B ）()21+=x y ； （C ）x x y +=2； （D ）12--=x x y .3．小明身高1.5米，在某一时刻的影长为2米，同时测得教学大楼的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ A ） （A ）45米；（B ）40米；（C ）90米；（D ）80米．4．已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能判定a ∥b的是（ B ）（A ）a ∥c ，b ∥c； （B=；（C ）a=b 2-；（D ）a =c 2，b =c ．5．如图，在□ABCD 中 ，点E 是边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F .下列各式中，错误的是（ C ） （A ）FCFEAB AE =； （B ）AE AFAB DF=； （C ）AE AF AB BC=；（D ）BCAF BE AE =． 6．如图，已知在△ABC 中，31cos =A ，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，联结EF ，那么△AEF 和△ABC 的周长比为（ B ） （A ）1︰2； （B ）1︰3； （C ）1︰4；（D ）1︰9．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（第6题图）A EFB7．已知34a b =，则2aa b +的值为 76 ． 8．计算：()()n m n m 2213+--=_____n m 421-________． 9．已知抛物线()x x k y 312+-=的开口向下，那么k 的取值范围是____1<k _________． 10．把抛物线2x y =向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为______()24-=x y ___________．11．已知在△ABC 中，∠C =90°，43sin =A ，BC =6，则AB 的长是____8________． 12．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ，如果AC ︰CE =3︰5，BF =9，那么DF =___845_______． 13．已知点A （2，y 1）、B （5，y 2）在抛物线12+-=x y 上，那么y 1_>__y 2．（填“﹥”、“=”或“﹤”） 14．已知抛物线c bx ax y ++=2过（-1，1）和（5，1）两点 ，那么该抛物线的对称轴是直线___2=x _____．15．在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，AD ⊥BC ，垂足为D ，G ，那么AG 的长为 _____2________．16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为____355+_________米．（结果保留根号）17．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为___67____． 18．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =9，32cos =B ，把△ABC 绕着点C 旋转，使点B 与AB 边上的点D 重合，点A 落在点E ，则点A 、E 之间的距离为__54____． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：()︒⋅-︒︒⋅︒+︒30cot 145cos 260cos 30tan 360sin（第17题图）l 1 2 （第12题图）ABC DEF解：原式=312222133323⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+ 3123⨯-=）（121-=12+=20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知点D 是△ABC 的边BC 上一点，且CD BD 21=，设a AB =，=. （1）求向量（用向量a 、b 表示）； （2）求作向量在a 、b 方向上的分向量.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 解：（1） ∵CD BD 21=，∴BC BD 31=∵b BC =，∴b BD 31=∵BD AB AD +=，且a AB = ∴b a AD 31+=（2所以，向量、即为所求的分向量 21．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知AC ∥BD ，AB 和CD 相交于点E ，AC =6,BD =4， F 是BC 上一点，3:2:=∆∆EFC BEF S S . （1）求EF 的长；（2）如果△BEF 的面积为4,求△ABC 的面积.（第20题图）ABD解：（1）∵BD AC ∥，∴DB ACDE CE =∵46==BD AC ，，∴2346==DE CE ∵△BEF 和△CEF 同高，且3:2:=∆∆CEF BEF S S ，∴23=BF CF ∴BFCFDE CE =∴BD EF ∥ ∴BC CF BD EF =，∴534=EF ，∴512=EF（2）∵BD AC ∥，BD EF ∥，∴AC EF ∥ ∴△BEF ∽△ABC∴2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆BC BF S S ABC BEF ∵32=CF BF ，∴52=BC BF ，∵4=∆BEF S ∴2524⎪⎭⎫⎝⎛=∆ABC S ∴25=∆ABC S22．（本题满分10分，每小题各5分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC ，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD 平行），层高AD 为8米，∠ACD =20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A 、B 之间必须达到一定的距离.（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A 、B 之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE 、EF 、FC 三段组成（如图中虚线所示），中间段EF 为平台（即EF ∥DC ），AE 段和FC 段的坡度i =1︰2，求平台EF 的长度.（精确到0.1米） （参考数据：34.020sin ≈︒，94.020cos ≈︒，36.020tan ≈︒）（一楼地面） （第22题图）解：（1）联结AB ，作BG ⊥AB 交AC 于点G ，则∠ABG =90°∵AB ∥CD ，∴∠BAG =∠ACD =20° 在Rt △ABG 中，ABBGBAG =∠tan ∵BG =2.26，36.020tan ≈︒，∴AB26.236.0= ，∴3.6≈AB 答：A 、B 之间的距离至少要6.3米.（2）方法一设直线EF 交AD 于点P ，作CQ ⊥EF 于点Q ∵AE 和FC 的坡度为1︰2，∴21==FQ CQ PE AP 设AP =，则PE =2，PD =8-，∵EF ∥DC ，∴CQ =PD =8- ∴FQ =2（8-）=16-2在Rt △ACD 中，CDADACD =∠tan ∵AD =8，∠ACD=20°，∴CD ≈22.22∵ PE +EF +FQ =CD ，∴2+EF +16-2=22.22，∴EF =6.22≈6.2 答：平台EF 的长度约为6.2米. 方法二延长AE 交DC 于点M∵AE 和FC 的坡度为1︰2，即AM 和FC 的坡度为1︰2 ∴t an ∠AMD =tan ∠FCD∵∠AMD 和∠FCD 都是锐角，∴∠AMD =∠FCD ，∴AM ∥FC ∵EF ∥DC ，∴四边形EMCF 是平行四边形，∴EF =MC ∵21=DM AD ，AD =8，∴DM =16 在Rt △ACD 中，CDADACD =∠tan ∵AD =8，∠ACD=20°，∴CD ≈22.22 ∴GC =C D -DG =6.22，∴EF =6.22≈6.2 答：平台EF 的长度约为6.2米.23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°,D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且CB CE AC ⋅=2.（1）求证：AE ⊥CD ；（2）联结BF ,如果点E 是BC 中点,求证 ∠ EBF=∠EAB .CADFBE证明：（1）∵CB CE AC ⋅=2，∴ACCBCE AC =，又∵∠ACB =∠ECA =90° ∴△ACB ∽△ECA ∴∠ABC =∠EAC∵点D 是AB 的中点，∴CD =AD ∴∠ACD =∠CAD∵∠CAD +∠ABC =90°，∴∠ACD +∠EAC =90° ∴∠AFC =90°，∴AE ⊥CD（2）∵AE ⊥CD ，∴∠EFC =90°，∴∠ACE =∠EFC 又∵∠AEC =∠CEF ，∴△ECF ∽△EAC ∴ECEFEA EC =∵点E 是BC 的中点，∴CE =BE ，∴BEEFEA BE =∵∠BEF =∠AEB ，∴△BEF ∽△AEB ∴∠EBF =∠EAB24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线c bx x y ++-=2过点B (3，0)，C (0，3)，D 为抛物线的顶点. （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C 关于抛物线c bx x y ++-=2对称轴的对称点为E 点，联结BC ，BE ，求∠CBE 的正切值； （3）点M 是抛物线对称轴上一点，且△DMB 和△BCE求点M 坐标.解：（1）∵抛物线c bx x y ++-=2经过点B （3,0）和点C （0,3）（第24题图）∴⎩⎨⎧==++-3039c c b解得⎩⎨⎧==32c b∴抛物线解析式为322++-=x x y由()413222+--=++-=x x x y 得抛物线顶点D （1,4）（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线1=x ，∵点E 与点C （0,3）关于直线1=x 对称，∴点E （2，3） 过点E 作EH ⊥BC 于点H ，由OC =OB =3得BC =23 ∵OC CE EH BC S BCE ⋅=⋅=∆2121 且CE =2， ∴3223⨯=⋅EH 得2=EH∵∠ECH =∠CBO =45°，∴CH =2=EH ，∴22=BH ∴在Rt △BEH 中，21222tan ===∠BH EH CBE (3) 当点M 在点D 的下方时设M （1，m ），对称轴交轴于点P ，则P （1，0），∴BP =2，DP =4 ∴21tan =∠BDP ，∵21tan =∠CBE ，∠CBE 、∠BDP 均为锐角 ∴∠CBE =∠BDP ∵△DMB ∽△BEC ∴BC BE DB DM =或BEBC DB DM =①BCBEDB DM =，∵DM =4-m ，52=DB ，23=BC ，10=BE ∴2310524=-m ，解得32=m ，∴点M （1，32） ②BE BC DB DM =，则1023524=-m ，解得2-=m ∴点M （1，2-）当点M 在点D 的上方时，根据题意知点M 不存在. 综上所述，点M 的坐标为（1，32）或（1，2-）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，43cot =∠ADB ，AB =16．点E 在射线BC 上，点F 在线段BD 上，且∠DEF =∠ADB ． （1）求线段BD 的长；（2）设BE =，△DEF 的面积为y ，求y 关于 的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF 为等腰三角形时，求线段BE 的长．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°在Rt △BAD 中，43cot ==∠AB AD ADB ，AB∴2022=+=AB AD BD（2）∵AD ∥BC ，∴DBC ADB ∠=∠，∵ADB DEF ∠=∠ ∴DBC DEF ∠=∠，∵BDE EDF ∠=∠，∴△EDF ∽△BDE∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆BD DE S S BDE DEF ∵BC =AD =12，BE =，∴CE =12-x ，∵CD =AB =16 ∴在Rt △CDE 中，()400241216222+-=-+=x x x DE∵x x CD BE S BDE8162121=⋅⋅=⨯⨯=∆，∴2220400248⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x y ∴504002423xx x y +-=定义域240≤<x（3）∵△EDF ∽△BDE ，∴当△DEF 是等腰三角形时，△BDE 也是等腰三角形 ⅰ）当BE =BD 时 ∵BD =20，∴BE =20 ⅱ）当DE =DB 时∵DC ⊥BE ，∴BC =CE =12 ∴BE=24 ⅲ）当EB =ED 时作EH ⊥BD 于H ，则BH =1021=BD ADB HBE ∠=∠cos cos ，即BEBHBD AD =∴BE 102012=，∴350=BE 综上所述，当△DEF 时等腰三角形时，线段BE 的长为20或24或350.。
{3套试卷汇总}2018年上海市松江区九年级上学期数学期末综合测试试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．关于x 的一元二次方程2ax x 10-+=有实数根，则a 的取值范围是A ．1a a 04≠≤且B ．1a 4≤C ．1a a 04≠≥－且D ．1a 4≥－ 【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b 2-4ac=1-4a≥0，解得a≤14，因此可知a 的取值范围为a≤14且a≠0. 点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b 2-4ac 的值即可.注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的十数根；当△＜0时，方程没有实数根.2．在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，现给出以下结论：①0abc >；②20b a +=；③930a b c -+=；④2a b c am bm c -+++（m 为实数）其中结论错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线可知： 0a >，0c <，对称轴02b x a=-<，∴0b >，∴0abc <，故①错误；②由对称轴可知： 12b a-=-， ∴2b a =， 20b a ∴-=，故②错误；③()1,0关于1x =-的对称点为()3,0-，∴3x =-时，930y a b c =-+=，故③正确；④当1x =-时，y 的最小值为a b c -+，∴x m =时， 2y am bm c =++， ∴2a b c am bm c -+≤++，故④正确故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键.3．下列四个物体的俯视图与右边给出视图一致的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：几何体的俯视图为，故选C【点睛】本题考查由三视图判断几何体，难度不大．4．如图，ABC ∆中，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，//DE BC ，点H 是边BC 上的一点，连接AH 交线段DE 于点G ，且12BH DE ==，8DG =，12ADG S ∆=，则S 四边形BCED （ ）A ．24B ．22.5C ．20D ．25【答案】B 【分析】由12BH DE ==，8DG =，求得GE=4，由//DE BC 可得△ADG ∽△ABH ，△AGE ∽△AHC ，由相似三角形对应成比例可得DG AG GE ==BH AH HC，得到HC=5，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，S △ABC =40.5，再减去△ADE 的面积即可得到四边形BCED 的面积.【详解】解：∵12BH DE ==，8DG =，∴GE=4∵//DE BC∴△ADG ∽△ABH ，△AGE ∽△AHC ∴DG AG GE ==BH AH HC即84=12HC ， 解得:HC=6∵DG ：GE=2：1∴S △ADG ：S △AGE =2：1∵S △ADG =12∴S △AGE =6，S △ADE = S △ADG +S △AGE =18∵//DE BC∴△ADE ∽△ABC∴S △ADE ：S △ABC =DE 2：BC 2解得：S △ABC =40.5S 四边形BCED = S △ABC - S △ADE =40.5-18=22.5故答案选：B.【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定.5．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=--【答案】C【解析】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B =−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆ =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意． 故选C ．6．下列调查中，适合采用全面调查(普查)方式的是( )A ．了解重庆市中小学学生课外阅读情况B ．了解重庆市空气质量情况C ．了解重庆市市民收看重庆新闻的情况D ．了解某班全体同学九年级上期第一次月考数学成绩得分的情况【答案】D【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.【详解】解：A 、了解重庆市中小学学生课外阅读情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误； B 、了解重庆市空气质量情况，适合抽样调查，故此选项错误；C 、了解重庆市市民收看重庆新闻的情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；D 、了解某班全体同学九年级上期第一次月考数学成绩得分的情况，范围较小，采用全面调查；故此选项正确；故选：D.【点睛】此题主要考查了适合普查的方式，一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．基于以上各点，“了解全班同学本周末参加社区活动的时间”适合普查，其它几项都不符合以上特点，不适合普查．7．如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O ，各边分别与坐标轴平行，其中一边AB 交x 轴于点C ，交反比例函数图像于点P ，且点P 是AC 的中点，已知图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达式是（ ）A ．22y x =B ．4y x =C ．42y x =D ．8y x= 【答案】B【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形OCAD 的面积是8，设()A x y ，，则12P x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，根据8xy =，可得142xy =，再根据反比例函数系数k 的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．【详解】∵矩形的中心为直角坐标系的原点O ，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，∴矩形OCAD 的面积是8，设()A x y ，，则8xy =，∵点P 是AC 的中点，∴12P x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设反比例函数的解析式为k y x =， ∵反比例函数图象于点P ，∴11422k x y xy ===， ∴反比例函数的解析式为4y x =． 故选：B ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数k 的几何意义，得出矩形OCAD 的面积是8是解题的关键．8．小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（ ）A ．12B ．14C ．1D ．34【答案】A【解析】试题分析：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12．故选A．考点：概率公式．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】B【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得∠BOC＝2∠A，进而可得答案．【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，∴∠A＝12∠BOC＝50°．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．在反比例函数y＝13kx的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．若x1＜0＜x2，y1＜y2则k的取值范围是（）A．k≥13B．k＞13C．k＜﹣13D．k＜13【答案】D【分析】利用反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，于是得到1﹣3k＞0，然后解不等式即可．【详解】∵x1＜0＜x2，y1＜y2，∴反比例函数图象分布在第一、三象限，∴1﹣3k＞0，∴k＜13．故选：D．【点睛】此题考查反比例函数的性质，根据点的横纵坐标的关系即可确定函数图象所在的象限，由此得到k的取值范围.11．把抛物线y ＝－12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－12 (x ＋1)2＋1 B ．y ＝－12 (x ＋1)2－1 C ．y ＝－12(x －1)2＋ 1 D ．y ＝－12 (x －1)2－1 【答案】B【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：21y x+112=-－（）.12．如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos B 的值是（ ）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【分析】过点C 作CD ⊥AB ，利用间接法求出△ABC 的面积，利用勾股定理求出AB 、BC 的长度，然后求出CD 的长度，即可得到∠B 的度数，然后得到答案.【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，∴111666362433696615222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=， ∵226335AB +=2262210BC +=，又∵1152ABC S AB CD ∆=••=, ∴2535CD ==在Rt △BCD 中，252sin 2210CD B BC ===， ∴45B ∠=︒，∴2cos cos 452B =︒=； 故选：B.【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理与网格问题，解题的关键是作出辅助线正确构造直角三角形，利用三角函数值进行求解.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π).【答案】38π 【解析】试题分析：将左下阴影部分对称移到右上角，则阴影部分面积的和为一个900角的扇形面积与一个450角的扇形面积的和：2290145133603608πππ⨯⨯⨯⨯+=． 14．如图所示，等边△ABC 中D 点为AB 边上一动点，E 为直线AC 上一点，将△ADE 沿着DE 折叠，点A 落在直线BC 上，对应点为F ，若AB ＝4，BF ：FC ＝1：3，则线段AE 的长度为_____．【答案】135或14 【解析】点E 在直线AC 上，本题分两类讨论，翻折后点F 在BC 线段上或点F 在CB 延长线上，根据一线三角的相似关系求出线段长．【详解】解：按两种情况分析：①点F 在线段BC 上，如图所示，由折叠性质可知∠A ＝∠DFE ＝60°∵∠BFD+∠CFE＝120°，∠BFD+∠BDF＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠B＝∠C∴△BDF∽△CFE，∴BD DF BF CF EF CE==∵AB＝4，BF：FC＝1：3∴BF＝1，CF＝3设AE＝x，则EF＝AE＝x，CE＝4﹣x∴1 34 BD DFx x ==-解得BD＝34x-，DF＝4xx-∵BD+DF＝AD+BD＝4∴34 44xx x+= --解得x＝135，经检验当x＝135时，4﹣x≠0∴x＝135是原方程的解②当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知△BDF∽△CFE∴BD DF BF CF EF CE==∵AB＝4，BF：FC＝1：3，可得BF＝2，CF＝6 设AE＝a，可知AE＝EF＝a，CE＝a﹣4∴2 64 BD DFa a==-解得BD＝124a-，DF＝24aa-∵BD+DF＝BD+AD＝4∴122444aa a+=--解得a＝14经检验当a＝14时，a﹣4≠0∴a＝14是原方程的解，综上可得线段AE的长为135或14故答案为135或14【点睛】本题考查了翻折问题，根据点在不同的位置对问题进行分类，并通过一线三角形的相似关系建立方程是本题的关键．15．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．【答案】﹣45＜a＜47【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A、B坐标分别为（0，1），（6，1），∴线段AB的解析式为y＝1．机器人沿抛物线y＝ax2﹣1ax﹣5a运动．抛物线对称轴方程为：x＝2，机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y＝1只有一个交点．所以抛物线经过点A下方．∴﹣5a＜1解得a＞﹣45．1＝ax2﹣1ax﹣5a，△＝0即36a 2+16a ＝0，解得a 1＝0（不符合题意，舍去），a 2＝49． 当抛物线恰好经过点B 时，即当x ＝6，y ＝1时， 36a ﹣21a ﹣5a ＝1，解得a ＝47综上：a 的取值范围是﹣45＜a ＜47 【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.16．两同学玩扔纸团游戏，在操场上固定了如下图所示的矩形纸板，E 为AD 中点，且∠ABD ＝60°，每次纸团均落在纸板上，则纸团击中阴影区域的概率是________.【答案】18【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据E 为AD 中点得出S △ODE 12=S △OAD ，进而求解即可． 【详解】∵ABCD 是矩形， ∴S △AOD =S △AOB =S △BOC =S △COD 14=S 矩形纸板ABCD ． 又∵E 为AD 中点，∴S △ODE 12=S △OAD ， ∴S △ODE 18=S 矩形纸板ABCD ， ∴纸团击中阴影区域的概率是18． 故答案为：18． 【点睛】 本题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．17．点()2,3P -关于x 轴的对称点1P 的坐标是__________．【答案】()2,3【分析】根据对称点的特征即可得出答案.【详解】点()2,3P -关于x 轴的对称点1P 的坐标是()2,3，故答案为()2,3.【点睛】本题考查的是点的对称，比较简单，需要熟练掌握相关基础知识.18．如图，正方形ABCO 与正方形ADEF 的顶点B 、E 在反比例函数4y x=(0)x >的图象上，点A 、C 、D 在坐标轴上，则点E 的坐标是_____.【答案】(551)【分析】设点E 的坐标为(,)a b ，根据正方形的性质得出点B 的坐标，再将点E 、B 的坐标代入反比例函数解析式求解即可.【详解】设点E 的坐标为(,)a b ，且由图可知0a b >>则,OD a DE AD b ===AB OA OD AD a b ∴==-=- ∴点B 的坐标为(,)a b a b --将点E 、B 的坐标代入反比例函数解析式得：44b a a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩ 整理得：42ab a b =⎧⎨-=⎩ 解得：5151a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或1515a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0,0a b >>，舍去）故点E 的坐标为(551).【点睛】本题考查了反比例函数的定义与性质，利用正方形的性质求出点B 的坐标是解题关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD ＝2m ．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH ＝37°，∠DBH ＝67°，AB ＝10m ，请你根据以上数据计算GH 的长．（参考数据tan67°125≈，tan37°34≈）【答案】GH的长为10m．【分析】延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，设DE=xm，则CE=（x+2）m，通过解直角三角形可得出AE=tan37CE︒，BE=tan67DE︒，结合AE-BE=10可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再将其代入GH=CE=CD+DE中即可求出结论．【详解】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示．设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝AECE，tan67°＝BEDE，∴AE＝tan37CE︒，BE＝tan67DE︒．∵AE﹣BE＝AB，tan67°125≈，tan37°34≈∴tan37CE︒﹣tan67DE︒＝10，即x234+﹣x125＝10，解得：x＝8，∴DE＝8m，∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m．答：GH的长为10m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由AE-BE=10，找出关于DE的长的一元一次方程是解题的关键．20．若抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，且该抛物线经过点（3，0）．（1）求该抛物线对应的函数表达式．（2）当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为．（3）若方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，则n的取值范围为．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）﹣1≤y≤5；（3）n≥﹣1．【分析】（1）由对称轴x＝1可得b=-2a，再将点（3，0）代入抛物线解析式得到9a+3b-3=0，然后列二元一次方程组求出a 、b 即可；（2）用配方法可得到y ＝（x ﹣1）2﹣1，则当x=1时，y 有最小值-1，而当x=-2时，y=5，即可完成解答； （3）利用直线y=n 与抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣1有交点的坐标就是方程ax2+bx-3=n 有实数解，再根据根的判别式列不式、解不等式即可.【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴﹣2b a＝1，即b ＝﹣2a ， ∵抛物线经过点（3，0）．∴9a+3b ﹣3＝0，把b ＝﹣2a 代入得9a ﹣6a ﹣3＝0，解得a ＝1，∴b ＝﹣2，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣1，∴x ＝1时，y 有最小值﹣1，当x ＝﹣2时，y ＝1+1﹣3＝5，∴当﹣2≤x ≤2时，则函数值y 的取值范围为﹣1≤y ≤5；（3）当直线y ＝n 与抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣1有交点时，方程ax 2+bx ﹣3＝n 有实数根，∴n ≥﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的性质及其与二元一次方程的关系，把求二次函数图像与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解答本题的关键.21．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣2）．（I ）求此反比例函数的解析式；（II ）当y≥2时，求x 的取值范围．【答案】 (I) y ＝﹣4x；(II) 当y≥2时，﹣2≤x ＜1 【分析】（I ）利用待定系数法可得反比例函数解析式；（II ）利用反比例函数的解析式不求出2y 的点，利用函数图象即可求得答案.【详解】（I ）设解析式为y ＝k x， 把点（2，﹣2）代入解析式得，﹣2＝2k ， 解得：k ＝﹣4∴反比例函数的解析式y ＝﹣4x；（II）当y＝2时，x＝﹣2，如图，所以当y≥2时，﹣2≤x＜1．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确求出函数解析式，画出函数图象的草图．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣4）、B（0，﹣4）、C（1，﹣2）．（1）△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1，不用画图，请直接写出△A1B1C1的顶点坐标：A1，B1，C1；（2）在图中画出△ABC关于原点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，请直接写出△A2B2C2的顶点坐标：A2，B2，C2．【答案】（1）（2，4），（0，4），（﹣1，2）；（2）作图见解析；（4，﹣2），（4，0），（2，1）．【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解可得；（2）利用旋转变换的定义和性质作出对应点，再首尾顺次连接即可得．【详解】（1）△A1B1C1的顶点坐标：A1（2，4），B1（0，4），C1（﹣1，2），故答案为：（2，4），（0，4），（﹣1，2）．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，﹣2），B2（4，0），C2（2，1），故答案为：（4，﹣2），（4，0），（2，1）．【点睛】本题考查中心对称图形和旋转变换，作旋转变换时需注意旋转中心和旋转角，分清逆时针和顺时针旋转.23．计算：2cos45°32-tan30°cos30°+sin260°．2【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：原式2 23333 222322⎛⎫=⨯-⨯⨯+ ⎪⎪⎝⎭234+342【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．24．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？【答案】销售单价为35元时，才能在半月内获得最大利润.【解析】本题考查了二次函数的应用.设销售单价为x元，销售利润为y元．求得方程，根据最值公式求得．解：设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000当x=1400220-⨯-（）=35时，才能在半月内获得最大利润25．为了“创建文明城市，建设美丽台州”，我市某社区将辖区内一块不超过1000平方米的区域进行美化．经调查，美化面积为100平方米时，每平方米的费用为300元．每增加1平方米，每平方米的费用下降0.2元。
上海市松江区2018-2019学年九年级第一学期期末(一模)教学质量检试题(解析版)
松江区2018~2019学年第一学期教学质量调研试卷九年级理化（物理部分）一、选择题1.下列物理量中，属于物质特性的是A. 质量B. 密度C. 压强D. 浮力【答案】B【解析】物质的特性指一种物质区别与其它物质的主要特征，物质状态不变时，物质特性不变，所以只有密度是特性.故选B.点睛：解答本题的关键是把握密度的本质．密度是物质的一种特性，对于同一种物质，在不变的温度和状态下，密度是不变的，与它的体积、质量、位置等无关.2.以下事例中，属于增大压强的是A. 书包背带很宽B. 载重汽车有很多车轮C. 针尖做得很尖锐D. 滑雪运动员站在雪橇上滑雪【答案】C【解析】试题分析：A．书包背带很宽，在压力一定的情况下，通过增大受力面积，减小压强；B．载重汽车有很多车轮，在压力一定的情况下，通过增大受力面积，减小压强；C．针尖做得很尖锐，在压力一定的情况下，通过减小受力面积，增大压强;D．滑雪运动员站在雪橇上滑雪，在压力一定的情况下，通过增大受力面积，减小压强。
考点：压强点评：根据压强的公式可知，增大压强的方法：压力一定，增大受力面积；受力面积一定，减小压力；同时减小压力，增大受力面积。
3.浸没在水中体积相等的实心铝球和铜球（已知ρ铝<ρ铜），它们所受浮力的大小关系为A. 铝球大B. 铜球大C. 大小相等D. 无法确定【答案】C【解析】【详解】根据题意知道，体积相等的实心铝球和铜球浸没在水中，所以两球排开水的体积相同，由知道，两球受到的浮力相同，故选C。
4.以下事例中所用科学方法相同的是（1）串联电路的总电阻概念；（2）探究浮力大小与物体排开液体体积的关系；（3）探究液体内部压强与深度的关系；（4）把电流与水流做比较；（5）探究串联电路中电流的规律。
A. （1）与（3）B. （2）与（3）C. （2）与（4）D. （1）与（3）与（5）【答案】B【解析】【详解】（1）串联电路的总电阻概念，用一个电阻替代串联电路的总电阻，即采用的是“等效替代法”；（2）探究浮力大小与物体排开液体体积的关系时，需要控制液体的种类不变，所以，采用的是“控制变量法”；（3）探究液体内部压强与深度的关系，需要控制液体的种类不变，所以，采用的是“控制变量法”；（4）把电流与水流做比较，是用看得见的电流类比看不见的水流，运用的是“类比法”；（5）探究串联电路中电流的规律，采用的是多次试验得出普遍规律的方法；综上所述，只有（2）与（3）所用科学方法相同，故选B。