八年级二次根式复习讲义非常全面

二次根式

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：形如

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1

- 其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A

D

2

______个

【例2】

有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：

1、使代数式

4

3

--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3

B 、x ≥3

C 、 x>4

D 、x ≥3且x ≠4

2

x 的取值范围是

3、如果代数式mn

m 1+

-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=

解题思路：式

子a ≥0），50

,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014

举一反三： 1、

2

()x y =+，则x －y 的值为（ ）

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．3

2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值

3、当a

1取值最小，并求出这个最小值。

已知a

b 是

1

2

a b ++的值。

若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1

2+

的值.

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20

3. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩

||()

() 注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()

()

与()()a a a 20=≥的区别与联系

（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

【例4】

若()2

240a c --=，则=

+-c b a ．

举一反三：

1、若0)1(32

=++-n m ，则m n +的值为 。

2、已知y x ,为实数，且()02312

=-+-y x ，则y x -的值为（ ）

A ．3

B ．– 3

C ．1

D ．– 1

3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2

－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

4、若

1

a b -+

互为相反数，则

()2005

_____________

a b -=。

（公式)0()(2

≥=a a a 的运用）

【例5】

化简：2

1a -+的结果为（ ）

A 、4—2a

B 、0

C 、2a —4

D 、4

举一反三：

1在实数范围内分解因式:

2

3x

-= ；4244m m -+=

4

2

9__________,2__________x x -=-+=

2

1-

3

，则斜边长为

（公式⎩

⎨⎧<-≥==)0a (a )

0a (a a a 2的应用）

【例6】已知2x <,

的结果是

A 、2x -

B 、2x +

C 、2x --

D 、2x -

举一反三：

1、

( )

A ．-3

B ．3或-3

C ．3

D ．9

2、已知a<0

2a │可化简为（ ）

A ．－a

B ．a

C ．－3a

D ．3a

3、若23a

）

A. 52a -

B. 12a -

C. 25a -

D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简

a

a a -++-4962

的结果是（ ）

(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－

2a 5、

2

得（ ）

（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -

6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-221

2＝ ． 7、已知0a

<

【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a

－b │的结果等于（ ）

A ．－2b

B ．2b

C ．－2a

D ．2a

举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化

简：

1______a -=．

【例8】

化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）

（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1

举一反三：

若代数式2，则a 的取值范围是（ ）

Ａ．4a ≥

Ｂ．2a ≤

Ｃ．24a ≤≤

Ｄ．2a =或4a =

【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）

A. a=0

B. a=1

C. a=0或a=1

D. a ≤1

举一反三：

1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）

.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥

2、若03)3(2

=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3

【例10】化简二次根式2

2

a a a +-

的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a

1、把二次根式a a

-1

化简，正确的结果是（ ） A. -a

B. --a

C. -a

D. a

2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，

x x

b

＝ ；a a --11)1(＝ 。 知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】

【例11

】在根式

，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．

1) 4)

0 o

b

a