图形的旋转(答案)

图形的旋转

一：教学目标：

1．理解图形的旋转及旋转中心、旋转角的概念．

2．会识别旋转对称图形，求旋转对称图形的旋转角，并能运用旋转变换解决一些有关图形变换问题． 3．灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．

二：教学重难点：

重点：旋转前后图形全等。

难点：旋转问题中要抓住旋转过程中不变的特殊角，由此构造特殊三角形。

三：基础知识：

1.旋转的定义：在同一平面内，把一个图形绕着某一点由一个位置旋转一定的角度到另一个位置的运动，叫做旋转，其中这个点叫做这种运动的旋转中心，这个角度叫做旋转角，旋转前后重合的点叫做对应点。

说明：旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为主体图形。因此，“在同一平面内”这一条件不可忽视。

2.旋转的性质：

（1）对应点到旋转中心的距离________;

（2）每组对应点与旋转中心连线的夹角相等，等于________; （3）旋转前后的两个图形是________的；（对应线段________）

3．旋转对称图形：一个图形绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后与自身重合，这个图形就叫做旋转对称图形。

4.简单的旋转作图步骤：

（1）连点：将原图中的一个关键点与旋转中心连接。

（2）转角：将（1）中所连接的线段绕旋转中心沿指定的方向旋转一定的旋转角，得到这个关键点的对应点。

（3）连接：重复（1）（2），将原图中所有关键点的对应点找出来，再按原图中的顺序，依次连接成图。 5.中心对称图形是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形，比如正三角形是旋转对称图形，担不是中心对称图形（边数为奇数的正多边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是旋转对称图形又是中心对称图形）

四：典型例题

例1．如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针旋转，与△'CBP 重合，若22' PP ，

N

M

E

B

A D

C

(1)猜想△'PBP 的形状，并说明理由; (2)求△'PBP 的面积;

练习1.在ACD ∆中，︒=∠120ACD ，把AC D ∆绕顶点C 逆时针旋转︒60，得到BCE ∆，AD 交EC 于N ，BE 交AC 于M ，连接AB ，DE ，MN ；

（1）判断CDE ABC ∆∆和的形状，请说明理由；

（2）试确定MN 与BD 的位置关系，请说明理由；

练习2. 16、如图所示，正方形A B C D 的边C D 在正方形E C G F 的边C E 上，连接B E D G ，．

（1）求证：BE D G =．

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

例2．（2008，黑龙江）已知正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 沿顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ，当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时（如图1），易证BM+DN=MN ． （1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3所示的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直

P'

P D

C

B

A

E F

G

D

A

B

C

接写出你的猜想．

解析 （1）BM+DN=MN 成立．如图2，把△AND 绕点A 沿顺时针转90°，得到△ABE ， 可证得E ，B ，M 三点共线．证得：∠EAM=∠NAM ．易证：△AEM ≌△ANM ． ∴ME=MN ．又∵ME=BE+BM=DN+BM ． ∴DN+BM=MN ．

（2）DN-BM=MN ．

点拨 本题要善于运用∠MAN=45°，则有∠BAM+∠DAN=45°，•于是想到将∠BAM 与∠DAN 放在一起，因此有了旋转△ADN 的想法，从而构建全等三角形．也可在CB•的延长线上取BE=DN ．先证△DAN ≌△BAE ，则AE=AN ，BE=DN ，再证△EAM ≌△NAM ，也可得EM=MN=EB+BM=BM+DN ．

练习1.如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．

解：（1）CD=BE ．理由如下：（1分） ∵△ABC 和△ADE 为等边三角形， ∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD=60°， ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC ， ∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC ，（3分） ∴CD=BE ．（4分）

图1 图2 图3

（2）△AMN 是等边三角形．理由如下：（5分） ∵△ABE ≌△ACD ， ∴∠ABE=∠ACD

∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点， ∴,,2

1,21CN CD BE BM ==

=

∵AB=AC ，∠ABE=∠ACD ， ∴△ABM ≌△ACN ．

∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ．（6分）

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∴△AMN 是等边三角形．（7分） 设AD=a ，则AB=2a ． ∵AD=AE=DE ，AB=AC ， ∴CE=DE ．

∵△ADE 为等边三角形， ∴∠DEC=120°，∠ADE=60°， ∴∠EDC=∠ECD=30°， ∴∠ADC=90°．（8分）

∴在Rt △ADC 中，AD=a ，∠ACD=30°， ∴a CD 3=

∵N 为DC 中点， ∴a DN 23=，

∴a a a AD

DN

AN 27232

2

2

2

=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

+=

∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形，

练习2.已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG =CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．