多元函数微分法及其应用总结

第九章 多元函数微分法及其应用总结

多元函数的概念

对应规则、定义域、

值域、图形

二重极限()()()00,,lim

,x y x y f x y →的定义、与()0lim x x f x →的区别

极限的计算(P61、

P62、P63(6))

二元函数的连续性

()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →=

二元函数

(),f x y 在区域D

连续

在有界闭区域上的连续函

数

(),f x y 的性质 有界性、有最值、

介值性

多元初等函数

多元初等函数在其定

义域内就是连续函数

多元函数的偏导数

(),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y 的偏导数()00,x f x y ,()00,y f x y 的定义

例如,计算

()()00000,,lim x f x x y f x x y x ∆→+∆--∆∆

(),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y 的偏导数()00,x f x y ,()00,y f x y 的几何解释

(),z f x y =对x ,y 的偏导数(),x f x y ,(),y f x y 的定义

算法练习(P69、1,4)

多元函数的高阶偏导数(P69、6(1),7,8)

多元函数的全微分

(),z f x y =,

()(),,x y dz f x y dx f x y dy =+推广到更多元的函数

算法练习(P75、

1(1),2,3)

多元复合函数的求导法则

树形法则(P82、

1,3,8,10)

隐函数求导法则

若(),0F x y =,则x y F dy dx F =-

若(),,0F x y z =,

则x z F z x F ∂=-∂,y z F z y F ∂=-∂

算法练习(P89、1,3(补

充计算dz))

多元函数求极值

算法练习(P118、

2,5,7,P116、例7)

曲面

(),z f x y =或者 (),,0F x y z =在点()000,,x y z 的切平面方程、法线方程 算法练习(P99、例6,

例7,P100、8,9)

曲线()x x t =,()y y t =,()z z t =或

者()y y x =,

()z z x =在点()000,,x y z 处的切线方程、法平面方程

算法练习(P94、例

4,P100、4)

例如,求曲线x t =,2

2y t =,3z t =的点,满足条件:该点切向量平行于平面1x y z ++=。

解:由于切向量为()2

1,4,3t t ,垂直于()1,1,1,所以

()()2

1433110t t t t ++=++=

13t =-或者1t =-,所求的点为

0121,,3927M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()11,2,1M --。

例如,求一函数(),z f x y =使之满足条件

(),1

xx f x y =,()0,1f y =,()0,x f y y =。

解:由(),1xx f x y =得

(),x f x y x ay b =++,

由()0,x f y y =得1a =,0b =, (),x f x y x y =+,

()21,2

f x y x xy cy d =+++, 由()0,1f y =得0c =,1d =, 从而 ()2

1,12f x y x xy =++。