九年级上册数学21.1 一元二次方程(教案)
第二十一章一元二次方程
21.1 一元二次方程
【知识与技能】
1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.
2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.
【过程与方法】
经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
【情感态度】
进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.
【教学重点】
一元二次方程的概念及其一般表现形式.
【教学难点】
从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.
一、情境导入,初步认识
(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？
【教学说明】设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有关简单黄金分割问题）可激发学生学习兴趣，进而增强求知欲望.
二、思考探究，获取新知
由上述问题，我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.
探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)
【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?
【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.
探究2见教材2~3页问题2.
【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:
(1)这次排球赛共安排场;
(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样共应有场比赛；
(3)由此可列出的方程为，化简得.教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）
【讨论结果】设应邀请x个队参赛，通过分析可得到1
2
·x·（x-1）=28,化
简，得x2-x=56，即x2-x-56=0.
观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：
（1）方程各项都是整式；
（2）方程中只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2.
【归纳结论】
1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
想一想
1.二次项的系数a为什么不能为0?
2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c都一定是正数吗？谈谈你的看法.
【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.
探究3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：
可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
思考
1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？
2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？
【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；
2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为
x1=m,x2=n.
三、典例精析，掌握新知
例1 已知关于x的方程(m+2)x|m|+3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程.
分析:观察方程特征，依定义建立关于m的方程，再考虑其二次项系数不能为0，可得到结论.
解：由题意有
2
20
m
m
=
+≠
⎧⎪
⎨
⎪⎩
,∴m=2.
因此原一元二次方程为4x2+3x+2=0.
例2将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次
项系数、一次项系数及常数项.
解：去括号，得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.
四、运用新知，深化理解
1.下列各式中，是一元二次方程的是（）
A.3x2+1x=0
B.ax2+bx+c=0
C.(x-3)(x-2)=x2
D.(3x-1)(3x+1)=3
2.关于x的方程（k-1）x|k|+1-2x=3是一元二次方程，则k= .
3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4，则m的值为.
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x;
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x.
【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后
全班同学核对答案即可.
【答案】1.D 2.-1 3.-37/2
4.(1)4x2-25=0,其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；
(2)x2-2x-100=0,其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-2,-100;
(3)x2-3x+1=0，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，-3，1.
五、师生互动，课堂小结
教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳.
(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；
（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无？为什么？
（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？
【教学说明】师生共同回顾，注重学生的交流发言.
1.布置作业：从教材“习题21.1”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.。
人教版九年级数学上册- 一元二次方程教案
21．1 一元二次方程一、学习目标1、正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；2、知道一元二次方程的一般形式是20(ax bx c a b c ++=、、是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；3、理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件；4、通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。
重难点关键 1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．知识准备1、只含有_____个未知数，且未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元一次方程2、方程2（x+1）=3的解是____________3、方程3x+2x=0.44含有____个未知数，含有未知数项的最高次数是_____，它____ （填“是”或“不是”）一元一次方程。
一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x 的方程(k ＋1)x|k －1|＋kx ＋1＝0是一元二次方程，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1.∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x 2－2x ＝0的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( )A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.达标检测1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．一元二次方程的一般形式是__________．4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．5．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________．6.方程x （4x+3）=3x+1化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______________，一次项系数是_______________，常数项是____________________.7、(1)方程n nx x +=-72中，有一个根为2，则n 的值.(2)一元二次方程()01122=-+++m x x m 有一个解为0，试求方程210m -=的解。
21.1 一元二次方程(教案)
课题：21.1一元二次方程一、教学目标1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程的概念.2.难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：……（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.（师出示下面的板书）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：……（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做二次项，a 是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b 是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？生：常数项是0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）师：（指4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是4x2，二次项系数是4.师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：……（多让几名同学回答）师：这个方程的一次项可以写成0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是0x，一次项系数是0.师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？生：常数项是-9.师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.（三）试探练习，回授调节1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .（四）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下？生：……（让一两名学生小结）（作业：P28习题1）四、板书设计一元一次方程：3x-5=03x(x-1)=5(x+2)一元二次方程：x2-x=56 3x2-3x=5x+104x2-9=0 3x2-8x-10=0x2+3x=0 一元二次方程的一般形式：3y2-5y=7 ax2+bx+c=0，其中a是二次项系数，b是一次项系只含有一个未知数……叫做数，c是常数项一元二次方程.课题：22.1一元二次方程（第2课时）一、教学目标1.知道什么是一元二次方程的解（根）.2.会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法.2.难点：直接开平方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .（二）尝试指导，讲授新课师：（板书：2x-6=0）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左边=2×3-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右两边恰好相等.师：（板书：x2-x=0）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：解是x=0.（师板书：x=0）师：（指准方程）把x=0代入方程，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方程的一个解.师：除了x=0，这个方程还有没有别的的解？生：x=1.（师板书：x=1）师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次方程的一个解.师：可见x2-x=0有两个解，一个解x1=0（边讲边标下标），另一个解x2=1（边讲边标下标）.师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根）），所以也可以这样说，（指准板书）x2-x=0有两个根，一个根x1是0，另一个根x2是1.师：下面请同学们做一个练习.（三）试探练习，回授调节3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：（板书：x2-36=0）刚才我们求了x2-36=0这个一元二次方程的两个根，x1=6，x2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x（边讲边把x2-36=0中的0改为2x），x2-36=2x这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子.（师出示例题）例解下列一元二次方程：(1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15.（师边讲解边板书，解题过程如下所示）解：(1)原方程化成29x=4.开平方，得3x=2±，x1=32，x2=-32.(2)原方程化成2(2x-1)=5.开平方，得2x-1=5±x1=5+12，x2=-5+12.师：（指准例题）从这两个题目，哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步骤？生：……（让一两名好生概括）师：（指准例题）用直接开平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化成什么2＝常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）.师：下面请同学们按这三步来做两个题目.（五）试探练习，回授调节5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根.（作业：P28习题3，P42习题1）四、板书设计2x-6=0解是x=3 直接开平方法例x2-x=0解是x1=0,x2=1 第一步：化成什么2＝常数；x2-36=2x 第二步：开平方，降次；第三步：解一元一次方程.。
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》一. 教材分析《一元二次方程》是人民教育出版社九年级上册数学的一个重要内容，它标志着学生从简单方程的认识过渡到更复杂的一元二次方程的解决。
本节内容通过实例引入一元二次方程，使学生了解一元二次方程的定义、特点以及解法。
教材通过问题驱动，引导学生探索求解一元二次方程的方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了简单方程的解法、不等式的性质等知识，具备了一定的数学基础。
但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其定义和解法。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知困难，通过实例和问题引导学生理解和掌握一元二次方程。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义和特点；2.学会求解一元二次方程的配方法、公式法等基本方法；3.能够应用一元二次方程解决实际问题；4.培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和特点；2.一元二次方程的解法；3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实际问题，引导学生认识一元二次方程；2.问题驱动：提出问题，引导学生探索求解一元二次方程的方法；3.小组合作：分组讨论，共同探索一元二次方程的解法；4.归纳总结：引导学生总结一元二次方程的解法，并应用于实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的定义、解法等知识；2.实例材料：准备生活中的实际问题，用于导入和巩固知识；3.练习题库：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于巩固和拓展知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线与x轴的交点问题，引导学生认识一元二次方程。
通过问题驱动，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义、特点和解法。
通过实例演示和讲解，使学生理解和掌握一元二次方程的基本解法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法。
21.1一元二次方程教案
（三）一元二次方程的根
下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
―4，―3，―2，―1，0，1，2，3，4．
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有―2和―3满足方程的等式，所以x＝―2或x＝―3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
课题
21.1.1一元二次方程
课型
新授
第 1 课时
教学
目标
课标要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
1、了解一元二次方程的概念；
2、应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
3、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难
点
教学重点
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程（必须满足三个特征）
练习：下列方程哪些是一元二次方程。
（1）x2=0，（2）x2+xy-1=0，（3）3x2+2x=1,（4）ax2-2x+5=0,
（5）x(x+2)=x2,（6） ,（7）-x2+5x+ =0
3.一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个这个一元二次方程的解，一元二次方程方程的解也叫做一元二次Байду номын сангаас程的根。
三、作业布置：
习题21.1复习巩固1、3
板
书
设
计
21.1一元二次方程
人教版九年级数学上册21.1 一元二次方程优质教案
教学目标（三维目标）
知识与技能目标：掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项
过程与方法目标：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．
情感态度与价值观目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．。
备课
四、巩固练习分三个层次单一知识点相对应练习、知识点综合训练、拔高训练 ，习题设计有选择余地
练习1：教材P．4中1，2．
练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：．
（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；
（5）2tx（x-5）＝7-4tx．
（5）2x2＝5y；
（6）-x2＝0
(2)学生举例说一些一元二次方程，讨论。
4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． ax2称二次项，bx称一次项， c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．
一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．
教学反馈
签字
格式要求：①页面设置：页边距（厘米）：上：2厘米，下：2厘米，右：5厘米；行距设置为固定值18磅;纸张：A4。
②编辑要求：正文部分，所有标题类：宋体三号；正文：仿宋小四号；
1．复习提问
（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？
人教版数学九年级上册21.1.1一元二次方程(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（2）掌握求解一元二次方程的常用方法：因式分解法、配方法、公式法（韦达定理）。能够灵活运用这些方法求解一元二次方程。
（3）掌握判别式Δ = b^2 - 4ac的作用，判断一元二次方程的根的性质（两个实数根、一个实数根、无实数根）。
（4）结合实际问题，建立一元二次方程模型，解决实际应用问题。
举例：求解方程x^2 - 5x + 6 = 0，通过因式分解法得到两个实数根；求解方程x^2 - 2x + 1 = 0，通过配方法得到一个实数根；求解方程ax^2 + bx + c = 0（给出具体a、b、c的值），运用公式法得到根的值。
4.培养学生的数学建模能力：结合实际问题，引导学生建立一元二次方程模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课将着重培养学生的逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等核心素养，使学生在掌握一元二次方程知识的基础上，提升综合运用数学知识解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）一元二次方程的定义及其一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a≠0）。理解一元二次方程的结构特点，识别方程中的二次项、一次项和常数项。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作都表现得不错，能将所学知识应用到实际问题中。但在小组讨论过程中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对问题不够熟悉或者缺乏自信。在以后的教学中，我要注意引导这些学生积极参与，提高他们的自信心。
21.1一元二次方程(作业教学设计)2024-2025学年九年级数学上册同步备课(人教版)
5. 一元二次方程的实际应用：工厂的总利润=售价×销售数量-成本。销售数量为150件，成本为10元/件，超过100件后的增加成本为150-100=50件，每件增加成本1元，所以总成本为10×100+1×50=1500元。总利润=20×150-1500=1800元。
答案：
1. 解一元二次方程：x²-4x+3=0，通过求根公式，得x=1或x=3。
2. 因式分解解一元二次方程：2x²+5x-3=0，因式分解为(2x-1)(x+3)=0，得x=1/2或x=-3。
3. 配方法解一元二次方程：x²+4x+3=0，配方得(x+2)²=1，得x=-2±√1，即x=-1或x=-3。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕一元二次方程问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验一元二次方程知识的应用，提高实践能力。
在一元二次方程新课呈现结束后，对一元二次方程知识点进行梳理和总结。
教师备课：
深入研究教材，明确一元二次方程教学目标和一元二次方程重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保一元二次方程教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习一元二次方程的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入一元二次方程学习状态。
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
知识拓展：
介绍与一元二次方程内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。
初中数学精品教案：一元二次方程--教学设计
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容一元二次方程的概念；根据实际问题中的数量关系建立方程模型.2.内容解析一元二次方程是在一元一次方程基础上“次”的推广，它是解决诸多实际问题的桥梁。
本节课以实际问题为背景，建立数学模型，列出一元二次方程，引导学生观察这些方程的共同特点，并类比一元一次方程，归纳得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一元二次方程一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果．这样编排有利于学生理解并接收新知识，有充分地反映出一元二次方程以及有关概念来源于现实世界，是刻画现实世界的一个有效数学模型.一元二次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。
本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用。
基于以上分析，本节课的重点是：由实际问题列出一元二次方程和形成一元二次方程的概念.二、教学目标与解析1.教学目标（1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念.（2）使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般形式以及确定项和系数.（3）了解一元二次方程根的概念.2．目标解析（1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程．学生能了解一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，培养学生分析问题和解决问题的能力及用数学思维的意识.（2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，让学生从数学符号的角度，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数．（3）会判断一个数是否是一元二次方程的根.三、教学问题诊断分析我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初三数学一元二次方程教案优秀5篇
初三数学一元二次方程教案优秀5篇数学《一元二次方程》教案设计篇一教学目标1、了解整式方程和一元二次方程的概念；2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1、教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( ），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
元二次方程的应用篇二12.6 一元二次方程的应用（三）一、素质教育目标（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题。
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识。
二、教学重点、难点1.教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题。
2.教学难点：有关增长率之间的数量关系。
下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了。
三、教学步骤（一）明确目标。
新人教版初中数学九年级上册《第二十一章一元二次方程：21.1一元二次方程》优质课教案_0
21.1《一元二次方程》教学设计一、教学内容一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式及一元二次方程的解（根）的概念．二、教学目标（1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，并理解一元二次方程的概念．（2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式．（3）会判定一个数是否是方程的根及解决一些概念性的题目．（4）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．三、教学重、难点重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点1. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．2. 判定一个数是否是方程的根．课时安排1课时．四、教学过程设计（1）复习回顾1、什么叫做方程？2、我们都学过哪些方程？3、我们如何定义方程的“元”和“次”？（2）探究新知1、集思广益方程 2240+-=x x 属于什么方程？其他实际问题中是否也能列出这一类方程呢？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为(100―2x ) cm ，宽为(50―2x ) cm ．根据方盒的底面积为3600 cm 2，得(100―2x )(50―2x )＝3 600．整理，得 4x 2―300x ＋1 400＝0.化简，得 x 2―75x ＋350＝0问题一、如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 2cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题二、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析： 全部比赛共有28场． 若设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其他x-1个队各赛一场，比赛共有x(x-1)/2场，由此，我们可以列出方程x(x-1)/2=28，化简得x 2―x=56.042)2(22=-++-m x x m 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．学生活动：思考交流以上三个方程有什么共同点？老师点评：（1）等号两边都是整式；(2）只含一个未知数x ；（3）未知数的最高次数是2；二元一次方程的概念：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比。