北京市2019_2020学年上学期九年级各区期末数学考试卷试题分类：《基础选择》
【精选】2019-2020学年北京市西城区九年级上册期末数学试卷(有答案)
2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣47．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．14．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝（m）．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：1212抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝（用α的代数式表示），∠BFC的度数为°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝，b＝．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝°，此时OM和BD′之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S＝＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，∴方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝4．【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝10，∴EC＝×10＝4，故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于4．【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，解得：k＝4，因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形ODPC的面积等于4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．14．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为1．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE ∽△ACB．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：1212抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x与x轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的2倍【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝α﹣45°（用α的代数式表示），∠BFC 的度数为45°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．【分析】（1）依据双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，k的值；（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．【解答】解：（1）∵双曲线y ＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，∴点A与点B关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝1，∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得k＝2；（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1，∴点P的坐标为（1，2），∴直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，∴直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）2122【分析】先利用直角作出BD ，再用勾股定理求出BD ，再用锐角三角函数求出AB ，AD ，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD ⊥l 于点D ，在Rt △CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝13，∴cos C ＝cos α＝，∴CD ＝BC •cos C ＝13×＝5，BD＝＝12， 在Rt △ABD 中，BD ＝12，sin A＝，∴tan A ＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D 为圆心，9为半径作弧与射线l 交于点A ，连接AB ，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB 和AD ．24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，∠DCE ＝∠B ．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tan B＝，设AC＝2k，则BC＝3k，根据勾股定理得，AB＝k，23∴sin B ＝＝，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sin D＝sin B＝，在Rt△CDF中，sin D＝＝，∴cos B＝设CF＝2m，DE＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF ＝，在Rt△BOF中，BF＝＝k，∴BC＝BF+CF＝k+＝3k，∴k＝8，∴OB＝k＝4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；24（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在C的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝1，b＝0．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【解答】解：（1）当a＝3时，y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a，∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x，25∴k＝1，b＝0，故答案为：y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为（2t，﹣1）；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得x＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；26②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t ＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150°，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．2728【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD ′+∠C ′D ′B ＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N ，根据三角形的中位线的性质得到EM ∥OC ′，EM＝OC ′，根据相似三角形的性质得到∠AOM ＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C ′D ′∥AB ，∴∠ABD ′+∠C ′D ′B ＝180°，∵∠ABO ＝∠C ′D ′O ＝60°，∴∠OBD ′+∠BD ′O ＝60°，∴∠BOD ′＝120°，∴∠BOC ′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM ⊥BD ′；故答案为：150，垂直；（2）OM ⊥BD ′，OM＝BD ′，证明：取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N ，∵AC ′的中点M ，∴EM ∥OC ′，EM ＝OC ′，∴∠OEM +∠AOC ′＝180°，∵∠AOB ＝∠C ′OD ′＝90°，∴∠BOD ′+′AOC ′＝180°，∴∠OEM ＝∠BOD ′，∵∠OAB ＝∠OC ′D ′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是点Q1；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．【分析】（1）①利用内对称点的意义即可得出结论；②先判断出点O关于直线AB的对称点P'在直线y＝x﹣1上，即可判断出结论；（2）判断出DE与圆C相切时，圆C最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论．【解答】解：（1）29。
2019-2020学年北京市西城区九年级上期末数学试卷(有答案)【推荐】.doc
2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共i6分，每小题2分）i .如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°，如果 AC = 3, AB = 5,那么 sinB 等于（） 系是（ ）圆心角为60 °,且半径为i2的扇形的面积等于（ ）5.如图，AB 是O O 的直径，CD 是O O 的弦，如果/ ACD = 34°，那么/ BAD 等于（） A . 34° B . 46° C . 56° D . 66°6. 如果函数y =X 2+4X -m 的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）A . m <4B . m v 4C . m >- 4D . m >- 47. 如图，点P 在厶ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ ABP s^ACB , 那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）C .2. 点 A (1, y i ) ,B （3, y 2）是反比例函数y= 图象上的两点，那么y i , y 2的大小关3. C . y i v y 2 A . y i > y 2 抛物线y =（X - 4） 2- 5的顶点坐标和开口方向分别是（B . y i = y D •不能确定A . ( 4,- 5),开口向上 B. (4,- 5),开口向下C . (- 4,- 5),开口向上D . (- 4,- 5),开口向下4. A . 48 n B . 24 n C . 4n D . 2nA •/ AB P —C B •/ APB — ABCC . ABJAP?ACD -8. 如图，抛物线y = ax 2+bx+3 (a ^0)的对称轴为直线x = 1,如果关于x 的方程ax 2+bx9. _____________________________________ 抛物线y = x 2+3与y 轴的交点坐标为 10 .如图，在△ ABC 中，D , E 两点分别在AB , AC 边上，DE // BC ,如果話r , AC =11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P (x , y )与点A (2, 2)在同一个反比例函数的图象上，PC 丄y 轴于点C , PD 丄x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积 等于 _______ .C . 116分，每小题2分)4,那么该方程的另一个根为( 、填空题(本题共12 .如图，直线y1 = kx+n (0)与抛物线y2= ax2+bx+c (a^0)分别交于A (- 1, 0),B (2,- 3)两点，那么当y1>y2时，x的取值范围是13. 如图，O O的半径等于4,如果弦AB所对的圆心角等于120° 那么圆心O到弦AB的距离等于 ______14. 2019-20209月热播的专题片《辉煌中国--圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E,最长的斜拉索CE长577m,记CE与大桥主梁所夹的锐角/ CED为a，那么用CE的长和a的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD二 ________（m）图1苏通长江大桥图2苏通谟江大挤主桥示意蚩15. 如图，抛物线y= ax2+bx+c （a^0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B （4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE// AB,并与抛物线的对称轴交于点巳现有下列结论：① a>0；② b>0；③ 4a+2b+c v0；④ AD+CE = 4.其中416. 如图，O O的半径为3, A，P两点在O O上，点B在O O内，tan/ APB= , AB丄AP.如果OB丄OP,那么OB的长为 ________三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分)17. 计算：2sin30° +cos?45°- tan60°.18. 如图，AB// CD , AC 与BD 的交点为E,Z ABE=/ ACB.(1)求证：△ ABE s^ ACB；(2)如果AB= 6, AE= 4,求AC, CD 的长.19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C i：y=- x2+2x.(1) 补全表格：抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标y=- x2+2x(1, 1) (0, 0)(2)将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1, C2,并直接回答: 抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍.20. 在△ ABC 中，AB=AC = 2,Z BAC = 45° .将△ ABC 绕点A 逆时针旋转口度(0v av 180)得到△ ADE, B, C两点的对应点分别为点D, E, BD , CE所在直线交于点F .(1)当厶ABC旋转到图1位置时，/ CAD = ________ (用a的代数式表示)，/ BFC的度数为_______ ° ；(2)当a45时，在图2中画出△ ADE,并求此时点A到直线BE的距离.21 •运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h(m)与它的飞行时间t( s)满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示.t (s) 00.51 1.52…h (m) 08.751518.7520…(1)求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围)；(2) 求小球飞行3s时的高度；(3) 问：小球的飞行高度能否达到22m?请说明理由.22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=[(心0)与直线旳=一」；的交点为A (a, -1)，B(2, b)两点，双曲线上一点P的横坐标为1,直线PA, PB与x轴的交点分别为点M， N,连接AN.(1)直接写出a, k的值；(2)求证：PM = PN, PM丄PN.23. 如图，线段BC长为13,以C为顶点，CB为一边的/ a满足C0S a二一.锐角△ ABC的顶点A落在/ a的另一边I上，且满足sinA=,.求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边•（图中提供的单位长度供补全图形使用）24 •如图，AB是半圆的直径，过圆心0作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在0D 上，/ DCE = / B.（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD = 10，tanB=「，求半圆的半径.225. 已知抛物线G：y=x - 2ax+a- 1 （a为常数）.（1）当a = 3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P （p, q）.①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①② 可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在___________ 的图象上.A. —次函数B.反比例函数C.二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H : y=x2- 2ax+N （a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： ____________________ （用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y= kx+b（ k, b为常数，k M 0）中，k= _______ ，b = _____ .226. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y= ax+bx+c (a^0)经过A (- 1, 0),且顶点坐标为B(0, 1).(1)求抛物线M的函数表达式；(2)设F (t, 0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M i.①抛物线M1的顶点B1的坐标为________ ;②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围.A 0-- ■ ------ ■ * X—27. (7分)如图1,在Rt△ AOB 中，/ AOB= 90°,/ OAB= 30°，点C 在线段OB 上,OC= 2BC,AO边上的一点D满足/ OCD = 30° •将△ OCD绕点O逆时针旋转口度(90。
2019-2020学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷
6.如图， 交 于点 ， 切 于点 ，点 在 上．若 ＝ ，则 为（）
A. B. C. D.
7.在同一平面直角坐标系 中，函数 ＝ 与 的图象可能是（）
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系 中，将横纵坐标之积为 的点称为“好点”，则函数 ＝ 的图象上的“好点”共有（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
①若点 在直线 上，则点 的 倍相关圆的半径为________．
②点 在直线 上，点 的 倍相关圆的半径为 ，若点 在运动过程中，以点 为圆心， 为半径的圆与反比例函数 的图象最多有两个公共点，直接写出 的最大值．
参考答案与试题解析
2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
如图，在 与 中， ，且 ＝ ．求证： ．
某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 的平均速度用 到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度 与时间 有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过 ，那么返程时的平均速度不能小于多少？
如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： ＝ ；
（1）在点 ， 中，存在 倍相关圆的点是________，该点的 倍相关圆半径为________．
（2）如图 ，若 是 轴正半轴上的动点，点 在第一象限内，且满足 ＝ ，判断直线 与点 的 倍相关圆的位置关系，并证明．
（3）如图 ，已知点 的 ， ，反比例函数 的图象经过点 ，直线 与直线 关于 轴对称．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
反比例函数 的图象经过 ， 两点，则 ．（填“ ”，“＝”或“ ”）
如果关于 的一元二次方程 ＝ 的一个解是 ＝ ，则 ＝________．
2019-2020学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷
析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1
B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3
D．y＝2（x+1）2+1
6．（2 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标是（﹣2，0），点 B 的坐标是（0，6），
①在 P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O 的环绕点是
；
②直线 y＝2x+b 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，若线段 AB 上存在⊙O 的环绕点，求
b 的取值范围；
3
3
（2）⊙T 的半径为 1，圆心为（0，t），以（m， m）（m＞0）为圆心， m 为半径的所
3
3
有圆构成图形 H，若在图形 H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出 t 的取值范围．
D．
2．（2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，F 为 BC 的中点，延长 AD 至点 E，使 DE：AD＝
1：3，连接 EF 交 DC 于点 G，则 S△DEG：S△CFG 等于（ ）
A．4：9
B．2：3
C．9：4
D．3：2
3．（2 分）抛物线 y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴是（ ）
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2019-2020 学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分第 1-8 题均有四个选项符合题意的选项只有一个
1．（2 分）我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图
2019-2020年北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案-精华版
北京市西城区第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A.35 B. 45 C. 34 D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x =-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）．A.12y y >B.12y y =C.12y y <D.不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A.m ≤4B.<4mC. m ≥4-D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）．A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．ABACBP CB =8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系Oy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系Oy 中，双曲线k y x =（≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（，b 为常数，≠0）中，= ，b= ．26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系Oy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。
2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．14．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：96．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则∠P 的正切值为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可．解：“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件；“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B符合题意；“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；“三角形的内角和是180°”因此“三角形的内角和是360°”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选：A．3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据概率＝所求情况数与总情况数之比解答即可．解：∵共3个素数，分别是5，7，11，∴抽到的数是7的概率是；故选：C．4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答．解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：D．6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．解：如图，∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（1，3）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．解：∵射线l的端点为（0，1），l∥x轴，∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．故答案为：答案不唯一，如y＝．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为2．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＝，∴，，∴AB＝2，故答案为2．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故答案为：．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为．【分析】：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD＝∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD＝，从而得到tan∠P的值．解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠APB＝∠AOB，∴∠AOD＝∠APB，在Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝，∴tan∠P＝．故答案为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为2．【分析】根据根与系数的关系解答即可．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），∴m+n＝﹣＝2．故答案是：2．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为0.920（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，故答案为：0.920；（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，m×0.920×x＝m×0.880，解得，x＝，故答案为：．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对对③进行判断．解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），∵S△AOC＝3，S△BOD＝3，∴S△AOC＝S△BOD；所以①正确；∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，∴S△POA＝S△POB；所以②正确；∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（﹣）＝3﹣，∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，所以m＝2n（舍去）或m＝﹣n，此时P点为无数个，所以③正确．故答案为①②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式＝＝1．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tan C＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝4，BD＝，∵在Rt△ADC中，tan C＝，AD＝4，∴，∴CD＝3．∴BC＝BD+CD＝．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．∴AB＝BD．∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．∴∠BDA＝45°．∴∠ADC＝30°．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，从而得出不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集．解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2＝a（x+1）2﹣1，把（0，0）代入得a＝1，∴y2＝x2+2x；（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．故答案为：x＜﹣2或x＞1．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴OA＝OD．∵点C为OA的中点，CD⊥AB，∴AD＝OD．∴OA＝OD＝AD．∴△OAD是等边三角形．∴∠AOD＝60°．∴∠ABD＝30°．（2）如图2，∵∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝30°．∵∠ADO＝60°．∴∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝2．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；【分析】阅读材料：证明△ACP∽△CBP．得出．由等腰直角三角形的性质得出CB＝AC得出＝．PC＝AP＝．得出PB＝PC＝2．解决问题：证明△ACP∽△CBP．得出＝，设AP＝a，则PC＝，得出PB＝3a．即可得出．【解答】阅读材料：解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴CB＝AC，∴＝．∵AP＝1，∴PC＝AP＝．∴PB＝PC＝2．故答案为：∠PBC；；2；解决问题：解：作AD⊥BC于D，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，∴AD＝AC，CD＝AD，∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴＝＝，设AP＝a，则PC＝，∴PB＝3a．∴．24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD 的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴AB＝2，CD＝．（2）AB＞CD．证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴AB＝2a，CD＝．∵a＞0，∴2a＞．∴AB＞CD．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为 2.98和1.35 cm．【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当DF＝2cm时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．【分析】（1）将点（3，3）代入解析式即可求得；（2）把y＝4代入y＝x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求得；（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论．解：（1）将点（3，3）代入y＝ax2+bx，得9a+3b＝3．∴b＝﹣3a+1．（2）令x+4a+4＝4，得x＝﹣4a．∴B（﹣4a，4）．（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∵A（1，4），B（﹣4a，4）∴点A、B所在的直线为y＝4，由（1）得b＝1﹣3a，则抛物线可化为：y＝ax2+（1﹣3a）x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点时，且抛物线的顶点在点A、B之间，则1≤≤﹣4a或﹣4a≤≤1，方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，即（1﹣3a）2+16a＝0，解得a1＝﹣，a2＝﹣1，当a1＝﹣时，＝6（不符合题意），当a2＝﹣1时，＝2，则1≤≤﹣4a成立．②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a+1﹣3a＝4，解得a＝﹣；∴a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上：a的取值为：a＝﹣1或a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∵∠MON＝120°，∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∴∠OAC＝∠DCB；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，由旋转得：∠CBD＝150°，∴∠AEC＝∠CBD，∵OA＝OB，OE＝OC，∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，∴△AEC≌△CBD（ASA），∴CD＝CA；（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，∴△OFC是等边三角形，∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，在△CFH和△COA中，，∴△CFH≌△COA（SAS），∴∠H＝∠OAC，∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，∵CA＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为（0，1），线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为6；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝，CQ＝．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①当k＝1时，y＝x+4，Q（t﹣4，t），P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B （m，0），则圆心为C（，1），由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式为y＝﹣x++1，Q 点横坐标为﹣＝t﹣4，则C（2t﹣5，1），再由CQ＝AC，得到t＝6或t＝2；②y ＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），PQ是圆的切线，AO是圆的弦，则有PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以1﹣2＜k≤﹣；当k ＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以≤k＜1+2．解：（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，∴PQ＝，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣4，t），∵1≤PA≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），∴C（，1），∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y＝﹣x++1，∴Q点横坐标为﹣，∴﹣＝t﹣4，∴m＝4t﹣10，∴C（2t﹣5，1），∵CQ＝AC，∴（2t﹣5）2+1＝2（t﹣1）2，∴t＝6或t＝2，∴t的最大值为6；故答案为6．②∵﹣1≤x≤1，∵y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝﹣，∴1﹣2＜k≤﹣；当k＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝，∴≤k＜1+2．。
2019-2020年北京市东城区九年级上册期末考试数学试题有答案【优质版】
北京市东城区第一学期期末统一测试初三数学学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．关于的一元二次方程2+4+=0有两个相等的实数根，则的值为 A ．=4 B ．=﹣4 C ．≥﹣4 D ．≥4 2．抛物线y =2+2+3的对称轴是A ．直线=1B ．直线=﹣1C ．直线=﹣2D ．直线=23．剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是A B C D4．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是A ．甲组B ．乙组C ．丙组D ．丁组5．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =--先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是 A ．2(1)1y x =++ B ．2(3)1y x =-+ C ．2(3)5y x =-- D ．2(1)2y x =++ 6．已知点A （2，y 1），B （4，y 2）都在反比例函数ky x=（＜0）的图象上，则y 1，y 2的大小关系为 A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1=y 2D ．无法确定7．如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6. 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是y8. 如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的 侧面积为 A ．30πcm 2 B ．48πcm2 C ．60πcm 2D ．80πcm 29. 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB =90°，∠A =25°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是 A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用. 名为“数据包络分析”（简称DEA ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资配置.为了解出租车资的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA 值进行调查，调查发现， DEA 值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，且0a ≠），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是 A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是 ．12．已知m 是关于的方程2﹣2﹣3=0的一个根，则2m 2﹣4m = ．14. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为 米．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC =以点C 为圆心，CB 的长为半 径画弧，与AB 边交于点D ,将BD 绕点D 旋转°180后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为 .16．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0,0），B （2,2），菱形的对角线的交点D 的坐标为 ；菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D 的坐标为 .三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程： 22410x x --=.18. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，∠B =∠DAC ，若BC =8，求AC 的长. E F DB CA19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB =8，CD =6，求BE 的长．20．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， Rt △ABO 的边AB 垂直于轴，垂足为点B ，反比例函数11k y x=（＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ， OB =4，AB =3． （1）求反比例函数11k y x=（＞0）的解析式； （2）设经过C ，D 两点的一次函数解析式为22y k x b =+，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当21y y ＞时， 的取值范围．21．列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为20m 2，求原正方形空地的边长．22． 按照要求画图：（1）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A ，B ，C 的对应点为点A 1，B 1，C 1．画出旋转后的△A 1B1C 1；（2）下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24.在平面直角坐标系Oy 中，对称轴为直线=1的抛物线y = -2+b +c 与轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点B 的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 的坐标为（0，1），点P 是抛物线上的动点，若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，求点P 的坐标．25. 如图，AB 是⊙O 的直径， AC 是弦，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，连接BD ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若BD DE =，AD =CE 的长．图2CBA图3CBA图1CBA26. 问题探究： 新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）． 解决问题：已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC=（1）如图1，若AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是△ABC 的一条等积线段，求AD 的长； （2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）27． 在平面直角坐标系O y 中，抛物线224y mx mx m =-+-（0m ≠）与 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，-3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最 小，求点P 的坐标；（3）将抛物线在B ，C 之间的部分记为图象G （包含B ，C 两点），若直线y=5+b 与图象G 有公共点，请直接写出b 的取值范围．28. 点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点． （1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF =30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．29．在平面直角坐标系Oy 中，有如下定义：若直线l 和图形W 相交于两点，且这两点的距离不小于定值，则称直线l 与图形W 成“相关”，此时称直线与图形W 的相关系数为.（1）若图形W 是由()12--，A ，()1,2-B ，()12，C ，()12-，D 顺次连线而成的矩形： ○1l 1：y =+2，l 2：y =+1，l 3：y = --3这三条直线中，与图形W 成“2相关”的直线有________; ○2画出一条经过()10，的直线，使得这条直线与W 成“5相关”；○3若存在直线与图形W 成“2相关”，且该直线与直线y =平行，与y 轴交于点Q ，求点Q纵坐标Q y 的取值范围；（2）若图形W 为一个半径为2的圆，其圆心位于轴上.若直线333+=x y 与图形 W 成“3相关”，请直接写出圆心的横坐标K x 的取值范围.备用图北京市东城区第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）题8分）17．解方程：22410x x --=解： 2122x x -=.…………1分 212112x x -+=+ . …………2分 23(1)2x -=. …………3分 12x =±. ∴ 121,122x x =+=-. …………5分 18. 解：∵∠B =∠DAC ，∠C =∠C ，∴ △ABC ∽△DAC . …………2分 ∴AC BCCD AC=. ∴ 2AC CD BC =⋅． …………3分 ∵ AD 是中线， BC =8，∴ 4CD =.…………4分 ∴ AC =…………5分 19. 解：连接OC . …………1分∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴点E 是CD 的中点. …………2分 在Rt △OCE 中，222OE CE OC +=， ∵ AB =8，CD =6， ∴ 可求OE =…………4分∴ 4BE =. …………5分20.（1）由题意可求点C 的坐标为（2，32）. …………1分 BC∴反比例函数的解析式为13yx=（＞0）. …………2分（2）可求出点D的坐标为（4，34）. …………3分∴可求直线CD的解析式239-84y x=+. …………4分当2＜＜4时，21y y＞. …………5分.21．解：设原正方形空地的边长为m．…………1分根据题意，得()()1220x x--=．…………2分解方程，得126,3(x x==-舍）…………4分答：原正方形空地的边长为6m．…………5分22．解：（1）旋转后的△A1B1C1如下图：C1B1A1…………3分（2）根据题意画图如下：符合其中的两种即可．…………5分23．解：（1）所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；………3分（2）不公平．以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13． ∵59＞13， ∴ 甲获胜的概率大，游戏不公平．…………5分24. 解：（1）由题意可求点A 的坐标为（3,0）．将点A （3,0）和点B （-1,0）代入y = -2+b +c ， 得 0=-9+3,01.b c b c +⎧⎨=--+⎩解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩∴ 抛物线的解析式223y x x =-++． …………3分 （2）可求出点C 的坐标为（0,3）． 由题意可知 满足条件的点P 的纵坐标为2． ∴ 223=2x x -++．解得 1211x x ==∴ 点P 的坐标为(12)+或(12)-． …………5分25.（1）证明：连接OD ．∵ OA =OD ，∴ ∠BAD =∠ODA ． ∵ AD 平分∠BAC ， ∴ ∠BAD =∠DAC ． ∴ ∠ODA =∠DAC ．∴ OD ∥AE ． ∵ DE ⊥AE ， ∴ OD ⊥DE ．ECBAHG CBA∴ DE 是⊙O 的切线． …………2分（2）解：∵ OB 是直径，∴ ∠ADB =90°． ∴ ∠ADB =∠E ．又∵ ∠BAD =∠DAC ，∴ △ABD ∽△ADE ． ∴AB BD AD DE ==∴ 10AB =．由勾股定理可知BD =连接DC ，∴BD DC == ∵ A ,C ,D ,B 四点共圆. ∴ ∠DCE =∠B. ∴ △DCE ∽△ABD ． ∴AB BDDC CE=. ∴ CE =2.…………5分26. 解：（1）在Rt △ADC 中，∵AC ==45C ∠°，∴ 2AD =． …………1分（2）符合题意的图形如下所示：为AC中点，BE =EGH ∥BC，GH =.…………5分意可得，43m -=- .27.解：（1）由题1.m ∴=∴ 抛物线的解析式为：223y x x =--.…………2分（2）点A 关于抛物线的对称轴对称的点是B ，连接BC 交对称轴于点P ，则点P 就是使得PA+PC 的值最小的点.可求直线BC 的解析式为3y x =-.∴ 点P 的坐标为（1,-2）. …………5分（3）符合题意的b 的取值范围是-15≤b ≤-3. …………7分28.解：（1）OE =OF . …………1分（2）补全图形如右图. …………2分OE =OF 仍然成立. …………3分 证明：延长EO 交CF 于点G . ∵ AE ⊥BP ， CF ⊥BP ，∴ AE ∥CF . ∴ ∠EAO =∠GCO.又∵ 点O 为AC 的中点，∴ AO =CO. ∵ ∠AOE=∠COG ， ∴ △AOE ≌△COG.∴ OE =OF.…………5分（3）CF OE AE =+或CF OE AE =-. …………7分 29.解：（1）① 1l 和2l . …………2分② 符合题意的直线如下图所示. …………4分夹在直线a 和b 或c 和d 之间的（含直线a ，b ，c ，d ）都是符合题意的.○3设符合题意的直线的解析式为 .y b =+ 由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1,1），（1，-1）.分别代入可求出1211b b ==-.∴ 11Q y -≤≤+ …………6分（2）33K x -≤≤- …………8分。
2019-2020学年北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案-最新推荐
北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）． A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A.m ≤4B.<4mC. m ≥4-D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB AC BP CB= 8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2019-20209月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 h （m ） 0 8.75 （1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的 计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径． 25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段 AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。
北京市东城区2019-2020学年九年级上期末考试数学试题含答案新人教版
东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测初三数学学校班级 姓名 考号 考 生 须 知1．本试卷共 8页，共三道大题， 28道小题，满分 100 分.考试时间 120 分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号 .3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效 .4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 . 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回 .、选择题 （本题共 16 分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的223．若要得到函数 y x 1 +2 的图象，只需将函数 y x 2的图象A．y 2> y 1>0B ． y 1> y 2>0C ． y 2<y 1<0D ． y 1< y 2< 05．A，B 是 O 上的两点，OA=1， AB 的长是1π 3，则∠ AOB 的度数是 A ． 30 B ． 60° C ． 90° D ．120°6．△DEF 和△ ABC 是位似图形， 点 O 是位似中心， 点 D ， E ，F分别是 OA,OB,OC 的中点，若△ DEF 的面积是 2，则 △ ABC 的面积是A ．2B ． 4A ．1B ． 2C ． 2D ． 2 2A ．先向右平移 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B ．先向左平移 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C ．先向左平移个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 D ．先向右平移个单位长度，再向下平移 2 个单位长度4． 点 A x 1,y 1 ， B x 2,y 2 都在反比例函数y 2的图象上，若 x 1<x 2<0 ，则 x12. 边长为 2 的正方形内接于 M ，则 M 的半径是D．827．已知函数y -x2 bx c ，其中b>0， c<0 ，此函数的图象可以是8．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数（n）成活数（m）成活率（m/n）移植棵数（n）成活数（m）成活率（m/n）50 47 0.940 1500 1335 0.890270 235 0.870 3500 3203 0.915400 369 0.923 7000 6335 0.905750 662 0.883 14000 12628 0.902 面有四个推断：③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵；④若小张移植20 000 棵这种树苗，则一定成活18 000 棵.其中合理的是A ．①③B ．①④ C. ②③ D．②④、填空题（本题共16 分，每小题2 分）①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890 ；0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，9．在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，cosA 3，AB=6，则AC 的长是B 的坐标10．若抛物线y x2 2x c 与 x 轴没有交点，写出一个满足条件的 c 的值：11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，若点B 与点A 关于点O 中心对称，则点11 题图12 题图12.如图，AB是O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交O于点D.若CD=1，AB=4, 则O的半径是.13.某校九年级的4 位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度. 为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）. 经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA 的长分别为0.7m,0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6 m，则旗杆MN的高度为14.O是四边形ABCD的外接圆, AC平分∠ BAD ，则正确结论的序号是① AB= AD ; ②BC=CD; ③ AB AD ; ④∠ BCA=∠ DCA; ⑤ BC CD15.已知函数y x 2-2x-3 ，当-1≤x≤ a时，函数的最小值是-4，则实数 a 的取值范围是. 16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A 8,0 ，C 0,6 ，矩形OABC 的对角线交于点P，点M 在经过k点P 的函数y x>0 的图象上运动，k 的值x为,OM 长的最小值为.三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28 题8 分)第13 题图17．计算： 2cos30 -2sin 45 +3tan 60 + 1- 2 .18． 已知等腰△ ABC 内接于 O , AB= AC ，∠ BOC =100 °，求△ ABC 的顶角和底角的度数21．北京 2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、 物理、生化（生物和化学） 、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目 .历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参 加考试，其中物理、生化须至少选择一门． （1）写出所有选考方案（只写选考科目） ；（ 2）从（ 1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率 .22.如图，在 Rt △ABC 中，∠A=90°，∠C=30°.将△ ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△ ABC 其中点A , C 分别是点 A ， C 的对应点 .（1） 作出△ A BC （要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 ） ； （2）连接 AA ,求∠ CAA 的度数 .19. 如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ⊥ BC ，点 E 在 AB 上，∠ DEC=90°. 1）求证：△ ADE ∽△ BEC.2）若 AD=1，BC=3，AE=2, 求 AB 的长.20．在△ ABC 中，∠ B=135°，AB= 2 2 ，BC=1.23．如图，以40 m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：2s）之间具有函数关系h 20t 5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15 m?k24．在平面直角坐标系xOy 中，直线y 2x 4与反比例函数y （k≠0）的图象交于点xA 3,a 和点B ．1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；k2）直接写出不等式<2x 4 的解集．x25．如图，在△ ABC 中，AB=AC,以AB为直径的O与边BC，AC分别交于点D，E.DF 是O 的切线,交AC 于点F ．1）求证：DF ⊥ AC；2）若AE=4，DF=3，求tan A．26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2﹣ 2mx+n（m≠0）与 x 轴交于点 A,B，点 A 的坐标为（ -2，0 ）．1）写出抛物线的对称轴；12）直线 y 21 x-4m-n过点 B，且与抛物线的另一个交点为 C ．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点 P 为抛物线对称轴上的动点， 过点 P 的两条直线 l 1: y=x+a 和l 2 : y=-x+ b 组 成图形 G.当图形 G 与线段 BC 有公共点时，直接写出点 P 的纵坐标 t 的取值范 围.27． 如图 1，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=2，BC=2 3 ，以点 B28．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形 G ，若在图形 G 上存在一点 N ，使 M ，N两为圆心， 3 为半径作圆．点 P 为 B 上的动点，连接 PC ，作PC PC ，使点 P 落在直线 BC 的上方，且满足 PC :PC 1: 3 ，连接 BP ， AP ．（1）求∠ BAC 的度数，并证明△ （2）若点 P 在 AB 上时，①在图 2 中画出△ AP'C ；②连接 BP ，求 BP 的长；AP C ∽△ BPC ；图 13）点 P 在运动过程中， BP 是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP 取得最大值或最小值时∠ PBC 的度数；若没有，请说明理由．备用图点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙ O 的半径为3 时，在点P1（1,0），P2（3,1），P3（7 ,0），P4（5,0）中，⊙ O2的和睦点是 _________ ；（2）若点P（4,3）为⊙ O 的和睦点，求⊙ O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y=﹣1上，将点A 向上平移4 个单位长度得到点B，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C，D 两点都在AB 右侧．已知点E（2, 2 ），若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标x A的取值范围．东城区2019-2020 学年年九年级期末数学答案18、9、2 10、2 11、（2，－1）512、213、1514、15、16、17、1-5：ACBCB 6-8：DDC19、20、21、22、24、23、24、25、26、27、【答案】解：（1）①在IdMBC 中・：AC = 2, BC = 2 忑 ：・ tan ΔBAC = =二4 = V5AC 2ΛZΛ4C = 60O .. AC 2 IpClBC 2√3 √3 PC √3 • M P l C I• • = ------- =—=BC PC √3Y ZACB = ZACP ÷ ZpCB = 90 ZP'CP = ZP i CA^zACP = 90:UA="CB由⑴可 XnZA4C = 60,•••乙4B(∙ = 90 - ZBAC = 30 ∙∙∙∕1B = 2∕C = 4I MIySMPC：・ ZF AC = ZPBC = 3®.AP' P'C I• • -- 二 --- 二-KPH PC √3•••点 P^AB h/.ra≡√3∙∙∙ AApysWPc(2)①28、。
2019-2020北京市各区九年级上期末数学试卷28题
（东城）28． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若︒<∠≤︒18060MPN ，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在)2,0(),1,1(),0,1(321P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以)0(33,>m m m ）（为圆心，m 33为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围．（西城）28．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC 的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.（1）在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，①如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；图1 图2（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线=y x上运动（P不与O重合），将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当34≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围.（海淀）28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______．（2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M 的12倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6y x=的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关于y 轴对称．①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．②点D 在直线AB 上，点D 的31倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数6y x=的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.图 1图 2图 3（朝阳）28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，点B 在x 轴上，以AB 为直径作⊙C ，点P 在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作⊙C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点P 的离点.例如，图1中的Q 为点P 的一个离点.(1)已知点P (0，3)，Q 为P 的离点.①如图2，若B (0，0)，则圆心C 的坐标为 ，线段PQ 的长为； ②若B (2，0)，求线段PQ 的长；(2)已知1≤P A ≤2, 直线l ：3y kx k =++（k ≠0）.①当k =1时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为 ； ②记直线l ：3y kx k =++（k ≠0）在11x -≤≤的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围.图2图1（石景山）28．在ABC △中，D 是边BC 上一点，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，如果与边BC 有交点E （不与点D 重合），那么称»DE为ABC △的A -外截弧． 例如，右图中»DE是ABC △的一条A -外截弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △存在A -外截弧，其中点A 的坐标为(5,0)， 点B 与坐标原点O 重合．（1）在点1(0,2)C ，2(5,3)C -，3(6,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ； （2）若点C 在直线2y x =-上， ①求点C 的纵坐标的取值范围；②直接写出ABC △的A -外截弧所在圆的半径r 的取值范围．EDCBA（门头沟）28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：如果点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，那么称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记作 d （M ，N ）．若图形M ，N 的“近距离”小于或等于1，则称图形M ，N 互为“可及图形”． （1）当⊙O 的半径为2时，①如果点A （0，1），B （3，4），那么d （A ，⊙O ）=________,d （B ，⊙O ）= _________； ②如果直线与⊙O 互为“可及图形”，求b 的取值范围；（2）⊙G 的圆心G 在轴上，半径为1，直线与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，如果⊙G 和∠CDO 互为“可及图形”，直接写出圆心G 的横坐标m 的取值范围．y x b =+x 5y x =-+（房山）28. 如图28-1，已知线段AB 与点P ，若在线段AB 上存在．．点Q ，满足PQ AB £，则称点P 为线段AB 的“限距点”.图28-1（1） 如图28-2，在平面直角坐标系xOy中，若点)01-(，A ，)01(，B .① 在)20(，C ，)2--2(，D ，)3-1(，E 中，是线段AB 的“限距点”的是________；② 点P 是直线1+=x y 上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围.图28-2（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点)1(，t A ，)1-(，t B ，直线32+33=x y 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N . 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范围.（大兴）28. 在平面直角坐标系xOy中，已知P（a,b）,R（c,d）两点，且a≠c，b≠d，若过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S,连接PR，则称△PRS为点P,R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S',连接PR，则称△RP S'为点R,P，S'的“坐标轴三角形”.右图为点P，R,S的“坐标轴三角形”的示意图.（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A,B,C的“坐标轴三角形”，则点C 的坐标为 ;(2)已知点D（2，1），点E（e，4），若点D,E,F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e 的值.，点M（m,4）.若在⨀O上存在一点N，使得点N ，M, G的“坐（3）若⨀O的半径为3√22标轴三角形”为等腰三角形，求m的取值范围.（顺义）28．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于x 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l对称，则称点P 2是点P 关于x 轴，直线l 的二次对称点． （1）如图1，点A (0，-1)．①若点B 是点A 关于x 轴，直线l 1：x =2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ②点C (-4，1)是点A 关于x 轴，直线l 2：x =a 的二次对称点，则a 的值为 ； ③点D (-1，0)是点A 关于x 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为 ； （2）如图2，⨀O 的半径为2．若⨀O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴，直线l 4：x = b的二次对称点，且点M ′在射线x y 3=(x ≥0)上，b 的取值范围是；（3）E (0,t )是y 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴，直线l 5:x y 33=的二次对称点，且点N ′在x 轴上，求t 的取值范围．图1 图2（昌平）28．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB 和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB 的可视点，且当P A＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）∠如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；∠若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．图1 备用图（平谷）28．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是，“和谐距离”是；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．（密云）28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足1322r d r≤≤，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（32-，2），D（12，12-）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．备用图。