两角和与差的正弦、余弦、正切公式_(导学案)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1课时）
班级 姓名
一、学习目标：
1. 在学习两角差的余弦公式的基础上，能导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系，能用自己的话简洁地概括出公式的特点。
2.能应用公式解决比较简单简单的求值、化简、恒等证明的有关问题。
3. 应用两角和与差的正弦、余弦公式，解决“ααcos sin b a +”型化简问题。
学习重点：两角和与差的正弦、余弦公式的准确运用
二、学习过程
（一）教材核心知识及推导过程
cos()αβ-=
cos()αβ+=
=+)sin(βα
sin()αβ-=
自我总结4个公式的特点
(二)预习自测：
()()._________sin sin cos cos 1=---ββαββα、
2、计算下列各式的值
（1）οοοο42sin 72cos 42cos 72sin -
（2）οοοο70sin 20sin 70cos 20cos -
（三）自主探究---三角函数的求值
例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛απαπ4cos -4sin ，的值. 分析
解答
.________3sin ,2,23,51cos 1 =⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则、若变式 总结
（四）自主发展1---配凑角求值
例2、已知35sin ,cos 513αβ=
=-，且α为第一象限角，β为第二象限角。
求sin()αβ+和sin()αβ- 分析
解答
变式2、已知443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=
-=-<+<，,2παβπ<-<求cos 2α的值。
总结
自主发展2---公式()θααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用
例3、计算12cos 12sin
3ππ+的值
分析
解答
变式3、教材练习
总结公式
（当堂检测放于后） 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）
班级 姓名
学习目标：类比两角和与差的正弦、余弦公式，能推导并掌握两角和与差的正切公式，进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式
学习重点：两角和与差的正切公式的准确运用
学习过程
（一）两角和与差的正弦、余弦公式
cos()αβ-= cos()αβ+=
=+)sin(βα sin()αβ-=
如何以上公式推导tan()αβ+和tan()αβ-？
（二）两角和与差的正切公式
tan()αβ+=
tan()αβ-=
自我总结以上6个公式的特点
(三)预习自测：
1、计算下列各式的值
οοοο35tan 95tan 135tan -95tan 1+）（ ο
ο
15tan 115tan 12-+）（ （四）自主探究1---三角函数求值
例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-
4tan πα和⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值。
分析
解答
总结
自主探究2---配凑角求值
例2、()的值，求，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
+4tan 414-tan 52tan παπββα
自主探究3---三角函数与一元二次方程的综合
例3、已知22-,22-
πβππαπ<<<<且βαtan tan ，是方程0762
=++x x 的两个根，求βα+的值
(五)当堂检测
1 sin 7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______
3 sin 2sin 3cos 2cos3, ______x x x x x =、若则的值是
()()._________sin sin cos cos 4=+++ββαββα、
5、不查表求cos75°的值.
6、已知510sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+的值是（ ） Ａ.4π
Ｂ.34π
Ｃ.74π
Ｄ.2
π
7、在ABC ∆中，已知5
3
cos ,sin ,135A B ==则cos C 的值是（
） A.15
65 B.56
65 C.1665或5665 D.16
65-
8、化简.sin sin )
sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθ
θβθβββ-+-+-
._________15tan 3115tan 3 9=︒+︒
-、
10、求tan105°的值。
11、已知2
1
tan(),tan(),554π
αββ+=-=求tan()5π
α+的值。
12、)20tan 10(tan 320tan 10tan ︒+︒+︒︒= .。
《3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式》 学案
学习过程复习预习1、用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图的方法；2、函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤：法一法二知识讲解考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_βcos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_βtan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin_αcos_αcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan 2α＝2tan α1－tan2α三、例题精析【例题1】【题干】化简下列各式：(1)(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.【解析】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2cos α＝tan α2.(2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 2 10°＝2sin 210°. ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.【例题2】【题干】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．【解析】∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.【例题3】【题干】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1) 求tan 2α的值；(2)求β.【解析】 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.故tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.【例题4】【题干】 (天津高考)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．【解析】(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2. (2)法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.∴(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＝π6，即α＝π12. 法二：∵由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≠0.∴1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，π4＋α＝π3.即α＝π3－π4＝π12.课堂运用【基础】1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()A．－1B．－2 2C.22D．12．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝()A．－53B．－59C.59 D.533．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是() A．－1 B．1C．2 D．4【巩固】4 . 3－sin 70°2－cos210°＝________.5．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.【拔高】6．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值．7．(2013·岳阳模拟)已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．课程小结1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．21 / 21。
两角和与差的正弦余弦正切公式导学案
两角和与差的正弦余弦正切公式导学案一、知识导入1.热身问题：两角和与差的公式是什么？在何种情况下适用？2.引入话题：今天我们将学习两角和与差的正弦、余弦和正切公式，这些公式在解决三角函数问题时非常有用。
二、学习内容1.两角和的公式导出(1)先导出两个重要的三角函数和差公式：① 余弦和差公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)② 正弦和差公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)③公式推导过程(2)利用正弦和差公式导出正弦两角和公式：① sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)② sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)③将以上两个公式相加可得：sin(a + b) + sin(a - b) = 2sin(a)cos(b)④ 整理得：sin(a + b) = 2sin(a)cos(b) - sin(a - b)2.两角差的公式导出(1)正弦差公式的导出过程与正弦和公式相似，推导思路相同，不再赘述。
(2)余弦差公式的导出过程：① cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)② 令c = -b，代入cos(-c) = cos(c)，得到cos(a - c) =cos(a)cos(c) + sin(a)sin(c)③ 结合两个公式可得cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)3.两角和与差的正切公式(1) 利用sin和cos的定义式得到tan的定义式：tan(a) = sin(a) / cos(a)(2)利用正弦和差公式和余弦和差公式推导得到正切两角和公式：① tan(a + b) = (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)) / (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))② 可以将分子和分母同时除以cos(a)cos(b)，得到：tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))4.注意事项和特殊情况(1)在计算过程中，应注意角度的单位，推导过程中常用弧度制。
学案6：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式学习目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)基础·初探教材整理1两角和与差的余弦公式预习自测1.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．教材整理2两角和与差的正弦公式1．公式y＝a sin x＋b cos x＝____________sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________．预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．()(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()教材整理3两角和与差的正切公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )合作探究类型1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式 例1 (1) sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C ．12D ．32(2)化简求值： ①1＋tan 75°1－tan 75°； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)； ③tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°. 名师指导1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示出或求出第三个．2．化简过程中注意“1”与“tan π4”、“3”与“tan π3”、“12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化． 跟踪训练 1．化简求值：(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°； (2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°； (3)1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°.类型2 给值求值例2 已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫34π＋β＝513，求sin(α＋β)的值. 名师指导1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系．2．常见角的变换为(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α； (2)α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β， α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β； (3)⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4＋β＝π2＋(α＋β)； (4)⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－β＝π2＋(α－β)． 跟踪训练2．已知cos α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan β＝－13，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos(α＋β)．类型3 给值求角 例3 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋β的值． 名师指导1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值． 跟踪训练3．若把本例题的条件改为“α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210”， 试求角α的大小．探究点 辅助角公式的应用探究1 函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈Z )的最大值为2对吗？为什么？探究2 函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？探究3 如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝ba 公式．例4 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________. 名师指导1．对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则． 跟踪训练4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2，2] B ．[]－3，3 C ．[－1，1] D ．⎣⎡⎦⎤－32，32 课堂检测1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°·sin 81°等于( ) A ．12 B ．－12C ．32 D ．－322．已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．－210 B ．210 C ．－25 D ．253．函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A ．π2 B ．πC ．2πD ．4π 4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________．5．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.参考答案基础·初探教材整理1两角和与差的余弦公式cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β预习自测1.【答案】0【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 教材整理2 两角和与差的正弦公式1．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 2.a 2＋b 2aa 2＋b 2ba 2＋b 2预习自测【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确． 教材整理3 两角和与差的正切公式 tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β预习自测【答案】 (1)√ (2)× (3)√【解析】 (1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子． 合作探究类型1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式 例1 (1)【答案】 C 【解析】sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)解：①原式＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.∴原式＝－ 3. ②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.∴原式＝0.③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40°＝ 3. ∴原式＝ 3. 跟踪训练1．解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.(3)原式＝1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°＝－1tan （72°－12°）＝－33.类型2 给值求值例2 解：因为π4<α<34π，所以π2<π4＋α<π.所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos ⎝⎛⎭⎫34π＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫34π＋β＝－1213， 所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝ －⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫34π＋β＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤45×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝6365. 跟踪训练2．解：因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， cos α＝－45，所以sin α＝－35.因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－13，所以cos β＝－31010，sin β＝1010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－45×⎝⎛⎭⎫－31010－⎝⎛⎭⎫－35×1010＝31010.类型3 给值求角 例3 解：∵sin α＝55，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255. 又sin β＝1010，β为锐角， ∴cos β＝1－sin 2β＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.又α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴0<α＋β<π， 因此α＋β＝π4.跟踪训练3． 解：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)， 由cos(α－β)＝35，知sin(α－β)＝45.由sin β＝－210，知cos β＝7210. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝⎛⎭⎫－210＝22. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝π4. 探究点 辅助角公式的应用探究1 【提示】 不对．因为sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 所以函数的最大值为 2.探究2 【提示】 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝⎛⎭⎫35sin x ＋45cos x ， 令cos φ＝35，sin φ＝45， 则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)，所以函数y 的最大值为5.探究3 【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， 令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，则 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝b a确定，或由sin φ＝b a 2＋b 2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)． 例4 【答案】5π6 【解析】 函数为y ＝sin x －3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， 当0≤x <2π时，－π3≤x －π3<5π3， 所以当y 取得最大值时，x －π3＝π2，所以x ＝5π6. 跟踪训练4．【答案】 B【解析】 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以函数f (x )的值域为[－3，3]．故选B ．课堂检测1．【答案】 D【解析】 原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D ． 2．【答案】 B【解析】 因为α是锐角，sin α＝35， 所以cos α＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B ． 3．【答案】 C【解析】 y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以T ＝2π. 4．【答案】 1【解析】 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. 5．解：∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。
两角和与差的正弦余弦正切公式导学案
人生重要的事情是确定一个伟大的目标，并决心实现它。
————Johann Wolfgang von Goethe （德国诗人、剧作家歌德）两角和与差的正弦，余弦与正切公式导学案1、推导两角和与差的正弦、正切公式。
2、两角和与差的正弦、正切公式及变形的灵活运用。
重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。
难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系。
复习回顾：（1）两角差的余弦公式 cos(α-β)=____________________（2）诱导公式五： =-)2cos(απ_____________________（3）同角三角函数基本关系： αtan =_____________________预习课本P128-130预习检测：cos(α+β)= ____________________ sin(α+β)=__________________sin(α-β)=________________ ta n(α-β)=_____________ tan （α+β）=______________cos 20cos70sin 20sin 70-=_______________________sin 72cos 42cos72sin 42-=_________________________二、新课导学※ 学习探究探究任务一：如何利用公式)(βα-C 来推导)cos(βα+以及其他两角和差公式？cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=____________ ＝ ____________探究任务二：应用诱导公式将正弦转化为余弦sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］＝=--])2cos[(βαπ___________ sin(α－β)=)](sin[βα-+＝__________ 探究任务三：利用商关系，实现正切的转化：tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 化简可得 ____________________ tan(α－β)= _________※ 典型例题例1、已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值※ 变式练习 若.________3sin ,2,23,51cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则 已知3tan =α，求)4tan(πα+例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos42cos72sin 42-（2）、cos20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-※ 变式练习)( 37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒2___________※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 自我总结通过本节课的学习，我复习了什么，我学习了什么？。
高三数学《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》学案
四、作业布置
基础知识：课时作业本（基础巩固题组）
拓展提升:课时作业本（能力提升题组）
学习反思
sin 2α＝
cos 2α＝
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝ sin(α＋φ) 或f(α)＝ ·cos(α－φ) .
4.1＋sin 2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin 2α＝(sinα－cosα)2，
sinα±cosα＝ sin .
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tanα.()
2.若cosα＝－ ，α是第三象限的角，则sin 等于()
A.－ B. C.－ D.
3.tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°·tan 40°＝________.
4.(2018·全国Ⅲ卷)若sinα＝ ，则cos 2α＝()
A. B. C.－ D.－
(2)化简： (0<α<π)＝________.
考点二 三角函数式的求值 多维探究
角度1给角(值)求值
【例2－1】(1)计算： ＝________.
(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝ ，cos(α＋β)＝－ .
①求cos 2α的值；
②求tan(α－β)的值.
解
角度2给值求角
【例2－2】(1)(2019·河南六市联考)已知cosα＝ ，cos(α－β)＝ ，若0<β<α< ，则β＝________.
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换
学情分析
学习措施
重点难
点分析
教学重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导，理解与应用
312两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、学案).docx
3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、 教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣, 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变 换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、 教学目标1. 掌握两角和与差公式的推导过程；2•培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； 3.发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
三、 教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina-kbCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、 学情分析 五、 教学方法1. 温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2. 学案导学：见后面的学案。
3. 新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑一情境导入、展示目标一合作探究、精 讲点拨一反思总结、当堂检测一发导学案、布置预习六、 课前准备 多媒体课件 七、 课时安排：1课时 八、 教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：cos （a + 0） = COSGCOS 0-sinosin 0 ； cos （a-0） = cosacos/? + sinasin 0 .这是两角和与差的余弦公式，下而大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决 今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.=sin a cos + cos sin 0 ・sin (a - /?) = sin [a+{-/3)] = sin acos (-^) + cos a sin (-/?) = sin acos p - cos a sin 0让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学牛动手）sin (G + 0) = cos号-(。
两角和与差
高一数学必修4 编号:SX--01—013§3.1《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案 撰稿:付阿丽 审核:尹德荣 时间:09.12.16 姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】 1、会根据三角函数线导出两角差的余弦公式； 2﹑能根据两角差的余弦公式导出其它公式【重点难点】▲重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式▲难点：利用三角函数线导出两角差的余弦公式 【知识链接】 我们在第一章三角函数中经常遇见单角的正弦值、余弦值，那么若已知45=α，15cos )3045cos(30=-=怎么求解β呢？能利用βα、的正弦、余弦值来表示)cos(βα-？cos cos )cos(-=-αβαβ正确吗？【学习过程】阅读课本第124页到125页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:根据三角函数线导出两角差的余弦公式问题1﹑设角βα、为锐角且αβ<，在右图中βα=∠=∠OP P OX P 11,，请作出角α的余弦线OB ，角β的余弦线OA.问题2﹑由问题1中可知βα-=∠POX ，请作出角）（βα-的余弦线OM.问题3﹑由问题1与问题2可得BM OB OM +==-)cos(βα，其中BM OB ,cos α=你能用角βα、的正余弦值来表示吗？尝试用角βα、的正余弦值表示出)cos(βα-.问题4﹑角βα、为锐角且αβ<，我们可得βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=-，当角βα、为任意角时，这个公式仍然适用（推广我们不需要掌握），我们称此公式为________________,简记作_______________, 请求出15cos 的值.阅读课本第128页的内容，尝试回答以下问题：知识点2:两角和的余弦公式问题1﹑请利用两角差的余弦公式βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=-推导出两角和的余弦公式.问题2﹑请求出75cos 的值.知识点3:两角和与差的正弦公式与正切公式问题1﹑前面诱导公式中我们学过)2cos(sin απα-=，结合我们知识点一、二中两角和与差的余弦公式，尝试推导出两角和的正弦公式)sin(βα+？问题2﹑再根据问题1中的公式推导出两角差的正弦公式)sin(βα-=___________.问题3﹑尝试求解75sin 15sin 与.问题4﹑你能根据xxx co s s i n t an =，结合)()(βαβα±±S C 与公式，推导出用任意角βα、的正切表示)t an ()t an (βαβα-+、的公式吗？（不要忘记了正切函数的定义域哦！）问题5、两角和与差的正弦、余弦、正切公式可简记为)(βα±S ，)()(,βαβα±±T C ；你有好的方法进行记忆吗？（本小题口答）.【基础达标】A1﹑已知α为第二象限角，54cos -=α，求)4tan(),4cos(),4sin(πααπαπ-+-的值.B2﹑证明：)4cos()4sin(απαπ+=-（尝试多种方法）.B3﹑已知53sin )cos(cos )sin(=⋅--⋅-ααβαβαβ是第三象限角，求)45sin(πβ+的值.C4、求10tan 70tan 120tan 10tan 70tan ⋅+-的值.【小结】【当堂检测】B1、已知32sin sin =+βα，且34cos cos =-βα，求)cos(βα+的值.【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。
学案3：4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切
4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切学习目标1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．梳理自测一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为________． 3．化简：sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝________．◆以上题目主要考查了以下内容：(1)C (α－β)：cos (α－β)＝ ；(2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝ ；(3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝ ；(4)S (α－β)：sin(α－β)＝ ；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝ .(6)T (α－β)：tan(α－β)＝ .二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1．下列各式的值为14的是( ) A ．2cos 2π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( ) A ．－53 B ．－19C.19D.533．(cos 15°－cos 75°)(sin 75°＋sin 15°)＝( )A.12B.22C.32D ．1 ◆以上题目主要考查了以下内容：(1)S 2α：sin 2α＝ ；(2)C 2α：cos 2α＝ ；(3)T 2α：tan 2α＝ ．三、形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝ ，sin φ＝ ，即tan φ＝b a . 【指点迷津】1．一个源头公式cos(α－β)是所有公式的源头，其它公式可以利用角的变换、公式变形等手段得出．2．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．3．三种应用公式有正用、逆用、变形用．如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)，tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)．cos 2α＝1＋cos 2α2→cos 2α2＝1＋cos α2sin 2α＝1－cos 2α2→sin 2α2＝1－cos α2(降幂公式) cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝±1－cos α2 tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(半角公式) sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4等．考点透析考向一 三角函数的化简(1)化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(0＜α＜π)． (2)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.【类题通法】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则．(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．1．化简：2cos 4x －2cos 2 x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .考向二 三角函数式求值或求角问题(1)若α是第二象限角，sin(π－α)＝1010.求2sin 2 α2＋8sin α2cos α2＋8cos 2α2－52sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值； (2)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)，设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．【类题通法】 (1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题的目的．2．(2014·亳州质检)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan 2α的值；(2)求sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）的值．答案梳理自测一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.A2.7133.32(1) cosαcosβ＋sinαsinβ；(2) cosαcosβ－sinαsinβ；(3)sinαcosβ＋cosαsinβ；(4)sinαcosβ－cosαsinβ；(5)tan α＋tan β1－tan αtan β. (6)tan α－tan β1＋tan αtan β. 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1.D2.B3.C(1)2sin_αcos_α；(2) cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1；(3)2tan α1－tan 2α． 三、 a a 2＋b 2b a 2＋b 2【审题视点】 (1)把分母2＋2cos α开方，通过约分而化简．(2)非特殊角转化为特殊角． 【典例精讲】 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2 ＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2·（－cos α）⎪⎪⎪⎪cos α2. 又∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π.∴cos α2＜0. ∴原式＝cos α2·（－cos α）－cos α2＝cos α. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°（cos 10°＋3sin 10°）cos 10°·2sin 80° ＝2cos 10°cos 40°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2cos 10° ＝22cos(10°－40°)＝22cos 30°＝ 6.1．【解析】原式＝12（4cos 4x －4cos 2x ＋1）2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝（2cos 2 x －1）24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .【审题视点】 (1)寻找已知值与所求代数式的关系．(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，切化弦，求sin 2α的值进而求角α.【典例精讲】 (1)由sin(π－α)＝1010，得sin α＝1010， 又α是第二象限角，∴cos α＝－31010. 而2sin 2 α2＋8sin α2cos α2＋8cos 2α2－52sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝2sin 2 α2＋8sin α2cos α2＋2cos 2 α2＋6cos 2 α2－52⎝⎛⎭⎫sin αcos π4－cos αsin π4 ＝2＋4sin α＋6cos 2α2－5sin α－cos α＝4sin α＋6×1＋cos α2－3sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α因此原式＝4×1010＋3×⎝⎛⎭⎫－310101010－⎝⎛⎭⎫－31010＝－54. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α， 得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)． 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sin α＋cos α≠0. ∴(cos α－sin α)2＝12， ∴sin 2α＝12. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α＝π6，即α＝π12.2．【解析】(1)∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2， ∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2.∴1＋tan α1－tan α＝2. ∴tan α＝13. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝231－19＝34.(2)sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β） ＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β。
学案7：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)【课前准备】1．课时目标（1）了解两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式，并会进行简单的化简、求值等应用．2．基础预探（1）两角和的余弦：cos （α+β）=__________；（2）两角和与差的正弦：sin （α+β）=__________；sin （α－β）=__________；（3）两角和与差的正切：tan （α+β）=__________；tan （α－β）=__________．【知识训练】1．满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是（ ） A ．α=12π13，β=4π3 B ．α=2π，β=3π C ．α=2π，β=6π D ．α=3π，β=6π 2．下列等式中成立的是（ ）A ．2120sin 80sin 20cos 80cos =︒︒-︒︒B ．2117sin 13cos 17cos 13sin =︒︒-︒︒ C ．2220sin 25sin 25cos 70sin =︒︒+︒︒D ．2320sin 50sin 20cos 140sin =︒︒+︒︒ 3．下列四个命题中的假命题是（ ）A ．存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC ．对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β4．已知sin αcos β=－31，cos αsin β=21，则sin （α+β），sin （α－β）的值分别为（ ） A ．61，65 B ．－61，－65 C ．61，－65 D ．－61，65 5．若tan α=21，则tan （α+4π）=____________． 6．已知tan （4π+α）=2，求ααα2cos cos sin 21+的值．【学习引领】在两角和与差的三角函数公式中，对应的角α，β可以是单独的两个角，也可以是对应的两个整体部分所组成的角，比如α=（α+β）－β，β=（α+β）－α，2α=（α+β）+（α－β），2β=（α+β）－（α－β），（4π+α）+（4π－α）=2π等，同时在解答时要注意角的范围的讨论．在实际求解问题过程中，要注意对角的变形与整体思维的考虑．运用两角和与差的三角函数公式时的“四要”：一要审查公式成立的条件；二要弄清两角和与差的三角函数公式中角、函数的排列顺序及式中每一项的符号；三要熟练掌握公式的逆用、反用、变形用；四要注意和、差的相对性．【题型探究】题型一：公式的直接应用例1．已知α，β都是锐角，且sin α=55，cos β=10103，求α+β的值 思路导析：利用两角和的余弦公式分三步进行：①先求α+β的余弦值；②确定α+β所在的范围（或区间）；③求角α+β的值．点评：其实，间接利用公式求解有关角的值的问题，可以结合不同的三角函数值加以解决：①求cos （α+β），在（0，π）内余弦值为22的角是唯一的，故可求之；②求sin （α+β），将角α+β的范围缩小到（0，2π）或更小，使之正弦值为22的角是唯一的；③求tan （α+β），在（0，π）内正切值为1的角也是唯一的．变式练习1：已知α，β是锐角，且sin α=51，cos β=101，求α－β的值．题型二：公式的整体应用例2．求sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）的值．思路导析：这道题的常规方法是利用两角和与差的公式直接展开，再加以必要的合并与化简，而这里的75º与15º均为非特殊角，又要通过必要的两角和与差的公式，最终达到求值的目的．而如果通过整体思维考查，令β=α+15º，通过换元转化加以运算，则更加简单、快捷．点评：这道题充分突出整体思维，通过整体换元，把非特殊角的三角函数的求值问题转化特殊角的三角函数的求值问题，从而使问题迎刃而解．变式练习2：设2)tan(=-βα，3)4tan(=-βπ，则)4tan(απ-等于（ ） A ．71 B ．71- C ．51 D ．51- 题型三：公式的综合应用例3．已知sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围． 思路导析：先把cos α+cos β作为一个整体，利用条件中相关等式的变形与组合，结合同角三角函数基本关系式与两角和的余弦公式，利用三角函数的图象与性质加以综合．点评：综合利用同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角公式、三角函数的图象与性质等来解决相关三角函数式的取值范围问题，关键在是等价变换与应用等．变式练习3：不查表，求下式的值：tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒．【随堂练习】1．tan15°+cot15°等于（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 2．cos75°－cos15°的值等于（ ）A ．26B ．－26C ．－22D ．22 3．cos20ºcos110º+sin20ºsin110º的值为（ ）A ．0B ．－21 C ．21 D ．1 4．锐角βα,满足54cos =α，53)cos(=+βα，则βsin =________． 5．cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=________．6．已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=mm -+11tan α．【参考答案】【课前准备】2．基础预探（1）cos αcos β－sin αsin β；（2）sin αcos β+cos αsin β，sin αcos β－cos αsin β；（3）βαβαtan tan 1tan tan -+，βαβαtan tan 1tan tan +-． 【知识训练】1．A ；【解析】由已知得cos （α+β）=23，代入检验得A ； 2．D ；【解析】根据两角和与差的公式加以判断；3．B ；【解析】由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得sin αsin β=0，∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）；4．C ；【解析】根据两角和与差的正弦公式加以求解；5．3；【解析】tan （α+4π）=4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα=1211121⨯-+=3； 6．解 由tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，解得tan α=31， 于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+）（=32． 【典例导析】例1. 解 ∵α是锐角，sin α=55，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=10103，∴sin β=β2cos 1-=1010， 那么cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β=552·10103－55·1010=22， ∵α，β是锐角，∴0<α+β<π，故α+β=4π．变式练习1：解 ∵α是锐角，sin α=51，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=101，∴sin β=β2cos 1-=10103， 那么cos （α－β）=cos αcos β+sin αsin β=22， ∵α，β是锐角，∴－2π<α－β<2π， 又sin α=51<10103= sin β，则α<β，故α－β=－4π． 例2. 解 令β=α+15º，则sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）=sin （β+60º）+cos （β+30º）－3cos β=sin βcos60º+cos βsin60º+cos βcos30º－sin βsin30º－3cos β =21sin β+23cos β+23cos β－21sin β－3cos β=0． 变式练习2：A ； 【解析】)4tan(απ-＝)]()4tan[(βαβπ---＝)tan()4tan(1)tan()4tan(βαβπβαβπ--+---＝23123⨯+-＝71； 例3. 解析：令t =cos α+cos β， ①而sin α+sin β=22， ② 由①2+②2，得t 2+21=（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2=cos 2α+cos 2β+2cos αcos β+sin 2α+sin 2β+2sin α+sin β=2+2cos （α－β），∴2cos （α－β）=t 2－23∈［－2，2］， ∴t ∈［－214，214］，即cos α+cos β的取值范围为［－214，214］．变式练习3：解 因为tan （23︒+22︒）=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ，所以tan23︒+tan22︒=tan （23︒+22︒）（1－tan23︒tan22︒）， 原式=tan45︒ （1－tan23︒tan22︒）+tan23︒tan22︒=1－tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1；【随堂练习】1．C ；【解析】由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-，∴原式=3333+-+3333-+=4；2．C ；【解析】cos75°－cos15°=cos （45º+30º）－cos （45º－30º）=cos45ºcos30º－sin45ºsin30º－（cos45ºcos30º+sin45ºsin30º）=－2sin45ºsin30º=－22； 3．A ；【解析】cos20ºcos110º+sin20ºsin110º=cos （20º－110º）=cos （－90º）=cos90º=0；4．257；【解析】根据锐角βα,和条件，可得53sin =α，54)sin(=+βα，则βsin =])sin[(αβα-+=αβααβαsin )cos(cos )sin(+-+=257； 5．21；【解析】cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos[90º－（45º+x ）]sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－sin （45º+x ）sin （15º－x ）=cos[（45º+x ）+（15º－x ）]=cos60º=21； 6．证明：∵sin β=m sin （2α+β），∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］，∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α，∴（1－m ）sin （α+β）cos α=（1+m ）cos （α+β）sin α，∴tan （α+β）=m m -+11tan α．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝____________________________________， cos(α－β)＝____________________________________. (2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________. (3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________.(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z )其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝aa 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角．自我检测 1．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________．2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝________.3．cos π12＋3sin π12＝________.4．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是________．5．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________．探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1 求值： (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．变式迁移2 (2010·广州高三二模)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移3 若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．转化与化归思想例 (14分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．【答题模板】解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.[2分]又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1， a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.[7分](2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[9分]又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.[11分]故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365.[14分] 【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a －b |＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.本节主要应用转化与化归思想，即异角化同角．未知角向已知角转化，非特殊角向特殊角转化．【易错点剖析】|a －b |平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ∈(－π2，0)，sin α＝－45，则tan(α＋π4)＝______________.2．(2011·盐城模拟)已知cos(π6－α)＝33，则sin 2(α－π6)－cos(5π6＋α)的值是________．3．(2010·东北育才中学一模)已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.4．函数y ＝2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )的最大值为________．5．求值：sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________.6．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为________．7．函数f (x )＝a sin(x ＋π4)＋3sin(x －π4)是偶函数，则a ＝________.8．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．10．(14分)(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .11．(14分)(2010·济南高三三模)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．。