机械控制工程传递函数与方框图
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《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数解析
称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：
机械工程控制基础(第六版)课件复习
(n) ( n 1) o (t ) a0 xo (t ) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x
i (t ) b0 xi (t ) bm xi( m) (t ) bm1xi( m1) (t ) b1x
(a) f (t ) ky(t ) m y (t )
f (t ) L [ F ( s)]= 2 j c j 查表法 、有理函数法、部分分式法
1
1
c j
F ( s)e st ds
求法
表1 拉氏变换对照表
2.3 拉氏变换与拉氏反变换
二、拉氏变换的定理 1. 线性定理 L[af1(t)＋bf2(t)]＝aF1(s)＋bF2(s) 2. 平移定理（复数域的位移定理） L[e at f(t)]＝F(s + a) 3. 延时定理（实数域的位移定理） L[f(t-T)]＝e-Ts F(s) 4. 微分定理 df (t ) 若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ ]＝s F(s) - f(0) dt
制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才
考虑扰动的反馈控制系统的传递函数
只考虑给定输入时：
N ( s)
X i ( s ) E ( s) G ( s ) 1
G1G2 GxB 1 G1G2 H
只考虑干扰输入时：
G2 ( s )
X o (s)
B(s)
X i ( s ) E ( s)
H ( s)
G1 ( s )
二、控制系统的基本组成
输入 偏差 信号 信号 给定 环节 反馈 信号 控制 信号 运算及放 大环节 比较 环节 执行 环节 干扰 信号 被控 对象 输出 信号
－
测量 环节 被控制部分
控制部分
i (t ) b0 xi (t ) bm xi( m) (t ) bm1xi( m1) (t ) b1x
(a) f (t ) ky(t ) m y (t )
f (t ) L [ F ( s)]= 2 j c j 查表法 、有理函数法、部分分式法
1
1
c j
F ( s)e st ds
求法
表1 拉氏变换对照表
2.3 拉氏变换与拉氏反变换
二、拉氏变换的定理 1. 线性定理 L[af1(t)＋bf2(t)]＝aF1(s)＋bF2(s) 2. 平移定理（复数域的位移定理） L[e at f(t)]＝F(s + a) 3. 延时定理（实数域的位移定理） L[f(t-T)]＝e-Ts F(s) 4. 微分定理 df (t ) 若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ ]＝s F(s) - f(0) dt
制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才
考虑扰动的反馈控制系统的传递函数
只考虑给定输入时：
N ( s)
X i ( s ) E ( s) G ( s ) 1
G1G2 GxB 1 G1G2 H
只考虑干扰输入时：
G2 ( s )
X o (s)
B(s)
X i ( s ) E ( s)
H ( s)
G1 ( s )
二、控制系统的基本组成
输入 偏差 信号 信号 给定 环节 反馈 信号 控制 信号 运算及放 大环节 比较 环节 执行 环节 干扰 信号 被控 对象 输出 信号
－
测量 环节 被控制部分
控制部分
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
控制工程-传递函数
G(s)
=
T 2s2
1
+ 2x Ts
+1
=
w
2 n
s2
+
2xw n s
+
w
2 n
T：振荡环节的时间常数 ξ：阻尼比 ωn：无阻尼固有频率
南华大学
方框图：
§2-3 典型环节的传递函数
Xi(s)
w
2 n
s2
+
2xw ns
+
w
2 n
X0(s)
例 ： m—k—c 系统：
my..(t ) + cy. (t ) + ky (t ) = f (t )
南华大学
§2-3 传递函数
二、传递函数的性质和特点
1、传递函数和微分方程是一一对应的
微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性） 传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）
2、传递函数只取决于系统本身的固有特性，与外界无关。
南华大学
§2-3 传递函数
3、若输入给定，则输出完全取决于传递函数 Xi(s) G（s） Xo(s)
4、不同物理系统（机械、电气、液压）可能
用形式相同的传递函数来描述——相似原理 能用相同数学模型描述的系统——相似系统
应用意义：可用模拟机进行系统研究 5、分母阶次常高于分子阶次（n≥m）
南华大学
§2-3 传递函数
三、传递函数的零点和极点
传递函数为复变函数，故有零点和极点
G ( s) = K ( s - Z1 )( s - Z2 ) ...( s - Zm ) ( s - P1 )( s - P2 ) ... ( s - Pn )
=
-
控制工程-系统传递函数方块图及其简化
南华大学
§2推-导4：系统传递函数方块图及其简化
X 0 ( s ) = G ( s ) E ( s ) = G ( s)[ X i ( s) - X B ( s)] = G ( s )[ X i ( s ) - X 0 ( s ) H ( s )] = X i (s)G (s) - X 0 (s) G (s) H (s)
GK (s) =
X B(s) E (s)
=
X B(s) X 0(s)
X 0(s) = G(s) H (s) E(s)
可理解为： 相加点断开后，以E(s)为输入， XB (s) 为输出的传递函数。
5、闭环传递函数 GB(s) ：
GB (s) =
X 0 (s) X i (s)
=
G (s)
1 + G(s)H (s)
对于单位反馈：H(s)=1
Xi(s)
+ -
G(s) 1
X0(s)
G (s) G B(s) = 1 + G (s)
§ 系统传递函数方块图及其简化
南华大学
四、具有干扰信号的系统传递函数
扰动
各种电器设备对电视机的干扰
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
南华大学
扰动（干扰信号）：
在控制系统中，除控制信号（输入给定值）外，其它对 输出能产生影响的信号。
有的干扰因素是由于环境造成的，如影响自行车行驶速度的 变化的自然风等；
有的干扰因素是人为原因所致，如影响飞机导航信号的手机 信号等。
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
南华大学
考虑扰动的反馈控制系统的典型方框图如下：
Xi(s) +
-
G1(s)
N (s)
自动控制理论 2-4 传递函数及方块图
1 C2s
1
uo (s)
C2s
1
uo (s)
C2s
18
结构图等效变换例子||例2-11
ui (s) 1
R1
-
R1
C2s
R1C1s 1 R2C2s 1
1 uo (s) C2s
ui (s) 1
R1
R1C2 s (R1C1s 1)( R2C2s 1) R1C2s
1 uo (s) C2s
G(s) uo(s)
1
- R1
R1C2 s
1 u(s)
C1s
1 R2C2s 1
uo (s)
16
ui (s) -
结构图等效变换例子||例2-11
1 R1C1s 1
R1C2 s 1
R2C2s 1
uo (s)
1
G(s) uo (s) (R1C1s 1)(R2C2s 1)
1
ui (s) 1
R1C2s
(R1C1s 1)(R2C2s 1) R1C2s
R
(s)
CR (s) R(s)
1
G1 (s)G 2 (s) G1 (s)G 2 (s)H(s)
N
(s)
C N (s) N(s)
1
G 2 (s) G1 (s)G 2 (s)H(s)
4、R（s） N（s）同时作用
C(s) CR (s) CN (s)(s) R (s)R(s) N (s)N(s)33
(R1C1s 1)(R2C2s 1)
17
解法二：
结构图等效变换例子||例2-11
ui (s)
-
1 I1(s) - 1 u(s)
R1
I (s) C1s
《控制工程基础》3.3
1．串联环节的等效规则 ： ．
2．并联环节的等效规则 ： ．
第 3 章
3.7 7
传递函数方框图的等效简化
传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 说明： 说明： 3．反馈连接及其等效规则 ： ． 1．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（环 ．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（ 前向通道传递函数： 前向通道传递函数： G ( s = X o ( s ) E ( s ) 节的组合）的传递函数，而闭环传递函数才是系统的传递函数； 节的组合）的传递函数，)而闭环传递函数才是系统的传递函数； 反馈通道传递函数： 反馈通道传递函数： H ( s ) = B ( s ) X o ( s ) 2．相加点 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 ．相加点B(s)处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈 开环传递函数： 开环传递函数：GK ( s ) = B ( s ) E ( s ) = G ( s ) H ( s ) 反馈环节
N (s) + G2 (s) H (s)
如考虑扰动的反馈控制系统： 如考虑扰动的反馈控制系统：
X i (s) +
−
只考虑给定输入时： 只考虑给定输入时：G X = 系统总的输出量： 系统总的输出量： X o =
G1G2 1+ G1G2 H
G1 ( s )
+
X o (s)
只考虑扰动输入时： 只考虑扰动输入时：GN =
第 3 章
3.8 8
闭环控制系统的传递函数
多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。 多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。
2．并联环节的等效规则 ： ．
第 3 章
3.7 7
传递函数方框图的等效简化
传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 说明： 说明： 3．反馈连接及其等效规则 ： ． 1．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（环 ．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（ 前向通道传递函数： 前向通道传递函数： G ( s = X o ( s ) E ( s ) 节的组合）的传递函数，而闭环传递函数才是系统的传递函数； 节的组合）的传递函数，)而闭环传递函数才是系统的传递函数； 反馈通道传递函数： 反馈通道传递函数： H ( s ) = B ( s ) X o ( s ) 2．相加点 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 ．相加点B(s)处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈 开环传递函数： 开环传递函数：GK ( s ) = B ( s ) E ( s ) = G ( s ) H ( s ) 反馈环节
N (s) + G2 (s) H (s)
如考虑扰动的反馈控制系统： 如考虑扰动的反馈控制系统：
X i (s) +
−
只考虑给定输入时： 只考虑给定输入时：G X = 系统总的输出量： 系统总的输出量： X o =
G1G2 1+ G1G2 H
G1 ( s )
+
X o (s)
只考虑扰动输入时： 只考虑扰动输入时：GN =
第 3 章
3.8 8
闭环控制系统的传递函数
多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。 多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。
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补充规则
引出点和比较点交换
一般不采用
方块图变换经验法则
1. 引出点和引出点之间可以交换位置 2. 相加点和相加点之间可以交换位置 3. 引出点和相加点之间一般不要互换位置
有几种变 换方法？
例题 1
例题 2
前移会怎 样？
4. 系统方块图的绘制
基本步骤 （1） 列出各个环节的微分方程 （2） 求出各个环节的传递函数 （3） 将各个环节方块图连起来
2 Jl&l cll l m / N
2 N1
阻 惯转 尼 性矩
m
(Jm
J1 N2
)&m
(cm
c1 N2
)m
惯性m负载J&m c阻尼m负载
JsJs1cc
• 转矩和转速之间关系
m
1
m
Js c
电机传递函数
动态忽略,稳态值不能改变
va
Km
m
(R Ls)(Js c)
If L J R c 电路v时a间常数小K于m 机械时间m常数
则其传递函数为
G(s)
Y (s) X (s)
b0sm b1sm1 bm a0sn a1sn1 an
• 系统的传递函数是一种数学模型 • 传递函数适用于线性定常系统 • 传递函数是系统本身的一种属性 • 若传递函数已知，就可以针对不同输入，
研究系统的响应或输出
Y(s) G(s)X (s)
系统传递函数一般形式
G(s) Y (s) K (s z1)(s z2 ) (s zm ) X (s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
注意：零点和极点的概念及特征方程
比例环节
一阶微分
二阶微分
G(s) K s
(is 1)
(Tis 1)
(
2 di
s
2
2di di s
G1(s) Xi
G2(s)
G3(s)
Xo +++
Xi
Xo
G1(s)+G2(s)+G3(s)
反馈运算规则
C(s) G(s)E(s)
E(s) R(s) B(s) R(s) H (s)C(s)
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
注意符号
方块图的变换法则
• 各前向通路中传递函数的乘积保持不变 • 各回路中传递函数乘积保持不变
R(Js c)
系统性能由主导极点来代替
• 测速器
m
Kt vt
负载和位置
m 1 l 1 l
N
s
电机位置控制系统方块图
本节重点
○ 各典型环节的传递函数 ◎ 方块图的变换与化简
作业
2-2 、2-6、2-9 （前4题）
• 积分环节
dxo dt
Kxi ,
t
xo K 0 xidt
G(s) Xo(s) K Xi (s) s
dx r
dt
G(s) X (s) r
(s) s
e
1 C
idt
G(s) E(s) 1/ C I(s) s
• 微分环节
xo
TD
dxi dt
G(s)
X o (s) Xi (s)
TDs
=
1/K B s 1
K
ur
(t)
Ri(t)
1 C
i(t)dt
G(s) Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
R-C串联电路与直流电压接 通，电容上电压建立过程
• 振荡环节
T2
d 2 xo dt 2
2
dxo dt
xo
Kxi
G(s)
X o (s) Xi (s)
T 2s2
K
2Ts 1
G(s)
ui
(t)
Ri(t)
L
di(t) dt
1 C
i(t)dt
u0
(t)
1 C
i(t)dt
LC
d 2u0 dt 2
RC
du0 dt
u0
ui
G(s)
Uc (s) Ui (s)
LCs2
1 RCs
1
G(s)
X (s) U (s)
ms2
1 Bs
K
• 一阶微分
G(s)
X o (s) Xi (s)
TDs 1
测速发电机
x K d
dt G(s) X (s) Ks
(s)
u(t) K d
dt
• 一阶惯性环节
T
dxo dt
xo
Kxi ,
G(s) Xo(s) K Xi (s) Ts 1
特点：输出不能立即跟随输入的变化
F
F B dx Kx dt
G(s) X (s) = 1 F (s) Bs+K
X o (s) Xi (s)
s2
2 n
2ns n2
标准形式
当特征方程的根为实根时，二阶 系统认为是由两个惯性环节串联而成
振荡环节一般包含有两 种形式的储能元件，并且能 量能够互相转换，因此输出 带有振荡的形式
uR (t) Ri(t)
di(t) uL (t) L dt
1
uC (t) C i(t)dt
1)
(Tn2i s2 2Tnis 1)
积分环节
惯性环节
振荡环节
2. 典型环节的传递函数
• 比例环节
x0 (t) Kxi (t)
G(s) X0(s) K Xi (s)
特征：输入输出成比例，不失真，无延迟
Q vA
G(s) V 1 QA
L nm
G(s) L (s) N1 m(s) N2
直流电机位置控制系统
指令与比较环节
磁场控制直流电机
磁场回路
va
iR
L
di dt
拉氏变换
Va IR LsI
电机磁通
Kfi
Hale Waihona Puke 常数电机转矩m K1ia K1K f iai
电机转矩和磁场回路电流关系
m Kmi
励磁回路
转矩
Va
1
i
R Ls
i
Km τm
Va
Km
τm
R Ls
m Jm&m cmm 1
• 二阶微分
G(s) X o (s) 2s2 2 s 1
Xi (s)
3 方框图模型
方框图是系统中每个元件的功能和 信号流向的图解表示。
输入
传递函数 G(s)
输出
比较点
R
C
-
E
+
E=R-C
引出点 C
C
C
串联运算规则 Xi G1(s)
Xo G2(s)
Xi
G1(s)G2(s) Xo
并联运算规则
第 3 节 传递函数与方块图
1.传递函数 2.典型环节传递函数 3.方块图及其化简 4.系统方块图绘制
1. 传递函数
定义： 在全部初始条件为零的假设下，系
统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变 换之比
G(s) Y(s) X (s)
若系统由下列微分方程描述
(n)
( n 1)
(m)
( m 1)
a0 y a1 y an y b0 x b1 x bm x