经济计量学第四讲(1)多元回归模型及其估计问题
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计量经济学-第4章 多元回归：估计与假设检验
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
Q Q Q 4-13Q
b1 0 b2 0 b3 0 bk 0
Q
n
ei2
i 1
n
ˆ (Yi Yi ) 2
i 1
n
(Yi (b1 b2 X 2i b3 X 3i bk X ki ))2
方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。
Bt 被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情 况下，Xt 每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化；或者说 给出了Xt的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他 4-7 变量）影响。
4.1 三变量线性回归模型
样本回归函数：用来估计总体回归函数
4-23
d . f . 30
4.5 古董钟拍卖价格一例
4-24
4.5 古董钟拍卖价格一例
ˆ Pr icei 1336.049 12.74138 Age 85.76407 Bidder se (175.2725)(0.912356)(8.801995) t (7.622698)(13.96537)(9.743708) R 2 0.890614 F 118.0585 p值 0.0000)(0.0000) d . f . 29 （
4-6
4.1 三变量线性回归模型
Yi B1 B2 X 2t B3 X 3t Bk X kt ut t 1, 2 n
也被称为总体回归函数的随机表达形式。
它的非随机表达式为：
E(Yt / X 2t , X 3t , X kt ) B1 B2 X 2t B3 X3t Bk X kt
t检验
设计原假设与备择假设：
Q Q Q 4-13Q
b1 0 b2 0 b3 0 bk 0
Q
n
ei2
i 1
n
ˆ (Yi Yi ) 2
i 1
n
(Yi (b1 b2 X 2i b3 X 3i bk X ki ))2
方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。
Bt 被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情 况下，Xt 每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化；或者说 给出了Xt的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他 4-7 变量）影响。
4.1 三变量线性回归模型
样本回归函数：用来估计总体回归函数
4-23
d . f . 30
4.5 古董钟拍卖价格一例
4-24
4.5 古董钟拍卖价格一例
ˆ Pr icei 1336.049 12.74138 Age 85.76407 Bidder se (175.2725)(0.912356)(8.801995) t (7.622698)(13.96537)(9.743708) R 2 0.890614 F 118.0585 p值 0.0000)(0.0000) d . f . 29 （
4-6
4.1 三变量线性回归模型
Yi B1 B2 X 2t B3 X 3t Bk X kt ut t 1, 2 n
也被称为总体回归函数的随机表达形式。
它的非随机表达式为：
E(Yt / X 2t , X 3t , X kt ) B1 B2 X 2t B3 X3t Bk X kt
t检验
设计原假设与备择假设：
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
Page 2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
计量经济学-多元回归PPT课件
. 28
F与t的关系（一元回归模型）
Y i B 1 B 2X 2 u
检验统计:t 量 b2 b2
b2 x2
sb2 ˆ / x2
e2
n2
t2
b22 x 2 e2
yˆ 2 / 1 e2
F
n2
n .2
29
. 5
4.3 多元回归参数的估计
Y i B 1 B 2 X 2 i B 3 X 3 i u i
最小二乘准则： 真实值与拟合值的离差平方和最小。
e n
n
2
i
Yi
2
Yˆi
i1
i1
n
2
Yi b1b2 X2i b3 X3i
i1
. 6
回归系数的OLS估计量
b1Yb2X2b3X3 b2x2i yx i2 2 i xx 3 23 2 ii (x 3 x i2 yiix3 i)x 22ix3i
-------------------------------------------------------------------------------------
y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------------------------------------------------------------------------------
educ: 受教育的年数 exper: 工作经历 tenure: 现任职务的任期 当一个人在同一企业多待一年，对工资的影响？
. 19
多元回归的拟合优度R2
多元相关系数（复相关系数）： R 2 ✓ 度量因变量Y与所有解释变量的线性相关程度。 简单相关系数r： ✓ 度量因变量Y与解释变量Xi的线性相关程度。 ✓ 一元回归模型的r2=相关系数r的平方
计量经济学 多元线性回归模型及参数估计 ppt课件
i
)
i 1 n
E(X
ik i )
0 0 0
i1
i 1
i1
0
计量经济学 多元线性回归模型及参 数估计
二、多元线性回归模型的参数估计
1.普通最小二乘估计
随机抽取被解释变量和解释变量的n组样本观测值
X i 1 ,X i 2 , ,X i, Y k i i 1 , 2 , , n
则有
YX ˆe
其中
Y 1
Y
Y2
Y n
1 X 1
X11
X21
X12
X22
X1k X2k
1 Xn1
Xn2
Xnk
n(k1) 1
e
e2
e n
计量经济学 多元线性回归模型及参 数估计
2.多元线性回归模型的基本假定(见教材P64-65)
习惯上，把常数项看成为一个虚变量（记作Xio） 的系数，在参数估计过程中该虚变量的样本观测值 始终取1（即Xi0 ≡1）。
这样： 模型中解释变量的数目为（k+1）。
计量经济学 多元线性回归模型及参 数估计
• 多元线性回归模型的矩阵表达式为： 注意这里的符号
YX
和教材P63的对 应关系。
其中
Y
Y Y
一、多元线性回归模型及其基本假定 二、多元线性回归模型的参数估计 三、OLS参数估计量的统计性质 四、样本容量问题 五、多元线性回归模型实例
计量经济学 多元线性回归模型及参 数估计
一、多元线性回归模型及其基本假定
• 由于：
– 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个原 因变量的影响；
– “从一般到简单”的建模思路。
秩(X)=k+1，即Xn×(k+1)为列满秩矩阵。
经济计量学第四讲(1)多元回归模型及其估计问题
表示Y的变异 被X2和 X3联合 解释的比例
东北财经大学数量经济系
二、美国的期望扩充菲利普斯曲线
ˆ ˆ Yi 1 2 X
2i
ˆ ˆ 3 X 3i u i
ˆ
东北财经大学数量经济系
三、从复回归的角度看简单回归：设定偏误初探（1）
Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i u i （假设为真实的模型）
2
的ML估计量
2
~2
ˆ i2 u
n
与解释变量的个数无关
东北财经大学数量经济系
第三节 复判定系数R 2与复相关系数
一、复判定系数的计算及含义 二、美国的期望扩充菲利普斯曲线 三、从复回归的角度看简单回归：设定偏误初探 四、R 2及校正R 2
五、偏相关系数
六、案例：柯布—道格拉斯生产函数：函数形式再议 七、多项式回归模型
东北财经大学数量经济系
(一)OLS估计量（2）
对未知参数求微分 ∂ RSS ^ ^ ^ =2 ( Y - 1- 2X2 - 3X3)(-1) = 0 ^ ∂ 1
^ ^ ^ ∂ RSS =2 ( Y - - X - X )(-X ) = 0 1 2 2 3 3 2 ^ ∂
七、多项式回归模型
（一）模型的形式
Yi 0 1 X
2i
2X
2 2i
ui
只有一个解释变量，但以不同的乘方出现；
模型是参数线性的； 不会产生多重共线性的问题。
东北财经大学数量经济系
（二）估计总成本函数
Yi 0 1 X
2i
2X
2 2i
ui
符 号
东北财经大学数量经济系
第04章 多元回归分析1
∑
y t2
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0
stata中级计量经济学-多元线性模型：设定和估计PPT课件
通用形式为：
y f x1, x2 ,L , xK x11 x22 L xK K
i是未知待估参数， 是无法观测的满足一定限制条件的误差项。
• 例如:
– 对某商品的需求和收入、价格有关; – 工资方程里年龄和教育效应 – 影响经济增长的因素：资本、劳动力、人力资本、区位因素、基
础设施等
简单线性模型:y = X 二次多项式模型：y 1x 2x2
对数线性常弹性模型：lny 0 kk lnxk
半对数模型：lny 0 1x t ; y 0 1 lnx
超越对数模型：lny kk lnxk 1 / 2 k lkl lnxk lnxl
.
*例：超越对数模型
K
l 1 kl
ln
xk
ln
xl
2020/5/31
.
9
例：工资方程
logWAGEi 0 1Si 2TENUREi 3EXPERi i
• 其中，WAGE=工资率；S=接受教育年限，TENURE=当前工 作岗位的持续年限，EXPER=劳动经验（即当前与以往的工 作总年限）。该方程满足线性形式，y=log(WAGE)。因变 量取对数形式，称为“半对数形式”，该方程是通过下述的 工资率水平与自变量的非线性关系得到的：
零条件期望（严格外生性）：E[εi |X]=0。样本中第i次观测 到的干扰的期望值，不是任何一次观测到的自变量的函数。 也就是说自变量不能为预测干扰项提供信息。并且
E[εi ]=EX[E[εi |X]]=0.
球形干扰：同方差和无自相关 vari | X 2 ,cov i, j | X 0,i j
– 我们假设样本中每一个观测值都是由如下过程生成的：
yi xi11 xi22 L xiK K i
y f x1, x2 ,L , xK x11 x22 L xK K
i是未知待估参数， 是无法观测的满足一定限制条件的误差项。
• 例如:
– 对某商品的需求和收入、价格有关; – 工资方程里年龄和教育效应 – 影响经济增长的因素：资本、劳动力、人力资本、区位因素、基
础设施等
简单线性模型:y = X 二次多项式模型：y 1x 2x2
对数线性常弹性模型：lny 0 kk lnxk
半对数模型：lny 0 1x t ; y 0 1 lnx
超越对数模型：lny kk lnxk 1 / 2 k lkl lnxk lnxl
.
*例：超越对数模型
K
l 1 kl
ln
xk
ln
xl
2020/5/31
.
9
例：工资方程
logWAGEi 0 1Si 2TENUREi 3EXPERi i
• 其中，WAGE=工资率；S=接受教育年限，TENURE=当前工 作岗位的持续年限，EXPER=劳动经验（即当前与以往的工 作总年限）。该方程满足线性形式，y=log(WAGE)。因变 量取对数形式，称为“半对数形式”，该方程是通过下述的 工资率水平与自变量的非线性关系得到的：
零条件期望（严格外生性）：E[εi |X]=0。样本中第i次观测 到的干扰的期望值，不是任何一次观测到的自变量的函数。 也就是说自变量不能为预测干扰项提供信息。并且
E[εi ]=EX[E[εi |X]]=0.
球形干扰：同方差和无自相关 vari | X 2 ,cov i, j | X 0,i j
– 我们假设样本中每一个观测值都是由如下过程生成的：
yi xi11 xi22 L xiK K i
计量经济学多元线性回归
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki
i=1,2…n
• 根据最 小二乘原 理，参数 估计值应
该是右列
方程组的 解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
中n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
可以证明，随机误差项u的方差的无偏估 计量为：
ˆ 2
e
2 i
e e
n k 1 n k 1
2、极大似然估计
• 对于多元线性回归模型
易知 Yi ~ N (Xiβ , 2 )
• Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率
L(βˆ , 2 ) Y1,Y2 ,,Yn )
1
e
1 2
2
(Yi
(
ˆ0
ˆ1
i1
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
X 2i ˆk ˆk X ki ˆk X ki
X ki) ) X 1i )X 2i
Yi Yi Yi
X 1i X 2i
(ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是 总体回归函数中随机扰动项ui的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ Xβˆ
其中：
ˆ0
βˆ
ˆ1
ˆ k
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Y = 2 X2 度量了在保持X3 不变的条件下， X2 改变一个单位Y的平均改变量。
Y X3
= 3
度量了在保持 X2 不变的条件下， X3 改变一个单位Y的平均改变量。
三、偏回归系数的OLS与ML估计
(一)OLS估计量 （1）
ˆ ˆ ˆ ˆ 样本回归函数： Y X X u i 1 22 i 3 3 i i
( Y ＝E i X 2 i,X 3 i )+ u i
系统变化部分 非系统变化部分
2和3 是偏回归系数
二、经典线性回归模型的假定
1. 干扰项 u 的均值为零； 2. 各干扰项 u 之间无自相关； 3. 同方差性或干扰项 u 的方差相等； 4. 干扰项 u 与各解释变量X 的协方差为零； 5. 正确地设定模型； 6. X诸变量之间没有精确的线性关系。
2 x 3 i
ˆ) var( 2
2 2 2 2 x x ( x x ) 2 i 3 i 2 i 3 i
2 x 2 i
ˆ var( ) 3
2 2 2 2 x x ( x x ) 2 i 3 i 2 i 3 i
(二)OLS估计量的方差和标准误差（2）
(一)OLS估计量（4）
解正规方程组得
ˆ ˆX ˆX β Y β β 1 2 2 3 3
(yx2)(x32) - (yx3)(x2x3) ^ = 2 (x22)(x32) - (x2x3)2
^ = 3
(yx3)(x22) - (yx2)(x2x3) (x22)(x32) - (x2x3)2
2 ~
n
与解释变量的个数无关
第三节 复判定系数R 2与复相关系数
一、复判定系数的计算及含义 二、美国的期望扩充菲利普斯曲线 三、从复回归的角度看简单回归：设定偏误初探 四、R 2及校正R 2
五、偏相关系数
六、案例：柯布—道格拉斯生产函数：函数形式再议 七、多项式回归模型
一、复判定系数的计算及含义（1）
ˆ ˆ ˆ ˆ Y X X u i 1 22 i 3 3 i i
ˆ
三、从复回归的角度看简单回归：设定偏误初探（1）
Y X X u （假设为真实的模型） i 1 2 2 i 3 3 i i
（省略变量X3）
Y b b X u i 1 12 2 i 1 i
X 对 Y 的直接影响 2 2 b b X 对 X 的直接影响 32 12 2 3 X 对 Y 的直接影响 2 X 对 Y 的直接影响 3 3
1.总离差平方和的分解
2 ˆ ( Y Y ) + ( Y Y) = i i
2
2 ˆ ( Y Y ) i i
总离差平方和TSS
残差平方和RSS
回归平方和ESS
一、复判定系数的计算及含义（2）
2. R2的定义
ESS R TSS
2
表示Y的变异 被X2和 X3联合 解释的比例
二、美国的期望扩充菲利普斯曲线
OLS就是要选择未知参数，使得残差(RSS)平 方和最小，即
2 ˆ u min. RSS = min. i
= min.
2 ˆ ˆ ˆ ( Y X X ) i 1 2 2 i 3 3 i
(一)OLS估计量（2）
对未知参数求微分 ∂ RSS ^ ^ ^ =2 ( Y X ^ 1 2 2 3X3)(-1) = 0 ∂ 1
计量经济学
Econometrics
王维国
东北财经大学
第四讲（1）多元回归模型及其估计问题
第一节 三变量模型：符号与假定
第二节 对复回归方程的解释 第三节 复判定系数R 2与复相关系数
第一节 三变量模型：符号与假定
一、三变量的总体回归模型
二、经典线性回归模型的假定
一、三变量的总体回归模型
Y X X u i 1 2 2 i 3 3 i i
^ ^ ^ ∂ RSS =2 ( Y - X 1 2 2 3X3)(-X2) = 0 ^ ∂
2
∂ RSS ^ ^ ^ =2 ( Y X 1 2 2 3X3)(-X3) = 0 ^ ∂
3
(一)OLS估计量（3）
整理方程：
^ ^ ^ n1 + 2 X2 + 3 X3 = Y ^ X + ^ X 2 + ^ X X = X Y 2 2 2 3 3 2 3 2 ^ X + ^ X X + ^ X 2 = X Y 1 3 2 2 3 3 3 3
OLS估ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量得标准误差
表示 OLS估 计量
ˆ ) var( ˆ) se ( s s
回归的标准误
2 2 ˆ ˆ u u i i 2 ˆ n k n 3
2
的无偏估计量
模型中未知参数的个数
(三)OLS估计量的性质
1.回归线（面）经过均值 Y ， X 2和X 3。
(二)OLS估计量的方差和标准误差（1）
ˆ) var( 1
2 2 2 2 2 X x X x 2 X X x 1 2 3 i 3 2 i 2 3 2 ix 3 i 2 2 2 n x x ( x 2 i 3 i 2 ix 3 i)
第二节 对复回归方程的解释
一、总体复回归函数 二、偏回归系数的含义 三、偏回归系数的OLS与ML估计
一、总体复回归函数
E ( Y i X 2 i,X 3 i) ＝
X X 1 2 2 i 3 3 i
多个解释变量的 固定值为条件的 回归分析
二、偏回归系数的含义
Y X X u i 1 2 2 i 3 3 i i
2.估计的均值等于实测均值，即 3.残差的均值等于0，即
ˆ Y Y
ˆ 0 u
4.残差和预测值不相关，即 5.残差和诸Xs不相关，即
ˆy ˆ 0 u
s
ˆ u X 0
(四)最大似然估计量
复回归系数的ML 估计量和OLS估计 量相同。
2 ˆ ui
u N ( 0 , ) i~
2
2
的ML估计量
Y X3
= 3
度量了在保持 X2 不变的条件下， X3 改变一个单位Y的平均改变量。
三、偏回归系数的OLS与ML估计
(一)OLS估计量 （1）
ˆ ˆ ˆ ˆ 样本回归函数： Y X X u i 1 22 i 3 3 i i
( Y ＝E i X 2 i,X 3 i )+ u i
系统变化部分 非系统变化部分
2和3 是偏回归系数
二、经典线性回归模型的假定
1. 干扰项 u 的均值为零； 2. 各干扰项 u 之间无自相关； 3. 同方差性或干扰项 u 的方差相等； 4. 干扰项 u 与各解释变量X 的协方差为零； 5. 正确地设定模型； 6. X诸变量之间没有精确的线性关系。
2 x 3 i
ˆ) var( 2
2 2 2 2 x x ( x x ) 2 i 3 i 2 i 3 i
2 x 2 i
ˆ var( ) 3
2 2 2 2 x x ( x x ) 2 i 3 i 2 i 3 i
(二)OLS估计量的方差和标准误差（2）
(一)OLS估计量（4）
解正规方程组得
ˆ ˆX ˆX β Y β β 1 2 2 3 3
(yx2)(x32) - (yx3)(x2x3) ^ = 2 (x22)(x32) - (x2x3)2
^ = 3
(yx3)(x22) - (yx2)(x2x3) (x22)(x32) - (x2x3)2
2 ~
n
与解释变量的个数无关
第三节 复判定系数R 2与复相关系数
一、复判定系数的计算及含义 二、美国的期望扩充菲利普斯曲线 三、从复回归的角度看简单回归：设定偏误初探 四、R 2及校正R 2
五、偏相关系数
六、案例：柯布—道格拉斯生产函数：函数形式再议 七、多项式回归模型
一、复判定系数的计算及含义（1）
ˆ ˆ ˆ ˆ Y X X u i 1 22 i 3 3 i i
ˆ
三、从复回归的角度看简单回归：设定偏误初探（1）
Y X X u （假设为真实的模型） i 1 2 2 i 3 3 i i
（省略变量X3）
Y b b X u i 1 12 2 i 1 i
X 对 Y 的直接影响 2 2 b b X 对 X 的直接影响 32 12 2 3 X 对 Y 的直接影响 2 X 对 Y 的直接影响 3 3
1.总离差平方和的分解
2 ˆ ( Y Y ) + ( Y Y) = i i
2
2 ˆ ( Y Y ) i i
总离差平方和TSS
残差平方和RSS
回归平方和ESS
一、复判定系数的计算及含义（2）
2. R2的定义
ESS R TSS
2
表示Y的变异 被X2和 X3联合 解释的比例
二、美国的期望扩充菲利普斯曲线
OLS就是要选择未知参数，使得残差(RSS)平 方和最小，即
2 ˆ u min. RSS = min. i
= min.
2 ˆ ˆ ˆ ( Y X X ) i 1 2 2 i 3 3 i
(一)OLS估计量（2）
对未知参数求微分 ∂ RSS ^ ^ ^ =2 ( Y X ^ 1 2 2 3X3)(-1) = 0 ∂ 1
计量经济学
Econometrics
王维国
东北财经大学
第四讲（1）多元回归模型及其估计问题
第一节 三变量模型：符号与假定
第二节 对复回归方程的解释 第三节 复判定系数R 2与复相关系数
第一节 三变量模型：符号与假定
一、三变量的总体回归模型
二、经典线性回归模型的假定
一、三变量的总体回归模型
Y X X u i 1 2 2 i 3 3 i i
^ ^ ^ ∂ RSS =2 ( Y - X 1 2 2 3X3)(-X2) = 0 ^ ∂
2
∂ RSS ^ ^ ^ =2 ( Y X 1 2 2 3X3)(-X3) = 0 ^ ∂
3
(一)OLS估计量（3）
整理方程：
^ ^ ^ n1 + 2 X2 + 3 X3 = Y ^ X + ^ X 2 + ^ X X = X Y 2 2 2 3 3 2 3 2 ^ X + ^ X X + ^ X 2 = X Y 1 3 2 2 3 3 3 3
OLS估ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量得标准误差
表示 OLS估 计量
ˆ ) var( ˆ) se ( s s
回归的标准误
2 2 ˆ ˆ u u i i 2 ˆ n k n 3
2
的无偏估计量
模型中未知参数的个数
(三)OLS估计量的性质
1.回归线（面）经过均值 Y ， X 2和X 3。
(二)OLS估计量的方差和标准误差（1）
ˆ) var( 1
2 2 2 2 2 X x X x 2 X X x 1 2 3 i 3 2 i 2 3 2 ix 3 i 2 2 2 n x x ( x 2 i 3 i 2 ix 3 i)
第二节 对复回归方程的解释
一、总体复回归函数 二、偏回归系数的含义 三、偏回归系数的OLS与ML估计
一、总体复回归函数
E ( Y i X 2 i,X 3 i) ＝
X X 1 2 2 i 3 3 i
多个解释变量的 固定值为条件的 回归分析
二、偏回归系数的含义
Y X X u i 1 2 2 i 3 3 i i
2.估计的均值等于实测均值，即 3.残差的均值等于0，即
ˆ Y Y
ˆ 0 u
4.残差和预测值不相关，即 5.残差和诸Xs不相关，即
ˆy ˆ 0 u
s
ˆ u X 0
(四)最大似然估计量
复回归系数的ML 估计量和OLS估计 量相同。
2 ˆ ui
u N ( 0 , ) i~
2
2
的ML估计量