不定积分的定义和性质-PPT课件
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不定积分的概念与性质ppt课件
例4 求 tan2 xdx
例6 求
1 sin2 x cos2 x dx
22
小结
一、不定积分的概念
（原函数、不定积分的定义及几何意义）
二、不定积分的性质
（互逆性质、线性性质）
三、直接积分法
可导函数F(x),使对任一 x I 都有F ( x) f ( x)
➢唯一性
(F(x)) f (x) (F(x) C) f (x)
若函数f(x)在区间I上存在原函数，则原函数不唯一
➢结构
F(x)的一个原函数
{f (x)的原函数} {F(x)+C} 设( x)是f (x)的另一个原函数任,则意常数( x) F( x) C
三、直接积分法举例
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot x C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arc cot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arc cos x C
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
ln a
高等数学课件4-1不定积分的定义
积分常数：对任 意函数f(x)，有 ∫(f(x)dx)=∫(f(x )dx)+C，其中C 为积分常数
积分上限函数： 对任意函数f(x)， 有 ∫(f(x)dx)=F(x) +C，其中F(x)为 积分上限函数， C为积分常数
PART THREE
直接积分法是一种常用的不定积分计算方法 直接积分法适用于求解简单、常见的不定积分 直接积分法需要掌握基本的积分公式和技巧 直接积分法需要根据积分公式和技巧进行计算，得出结果
步骤：选择合适 的辅助函数，进 行积分，然后利 用积分公式进行 求解
应用：适用于求 解含有三角函数、 指数函函数， 避免积分过程中 出现错误
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
积分示例：∫(x^2+1)/(x^2-1)dx
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
注意事项： a. 确保Q(x)在积分区间内至少有一个根 b. 确保P(x)在 Q(x)的根处可导 c. 确保P(x)在Q(x)的根处的值不为0
a. 确保Q(x)在积分区间内至少有一个根 b. 确保P(x)在Q(x)的根处可导 c. 确保P(x)在Q(x)的根处的值不为0
积分步骤： a. 确定被积函数P(x)/Q(x) b. 确定Q(x)的根 c. 确定 Q(x)的根的乘积 d. 确定P(x)在Q(x)的根处的值 e. 计算积分
a. 确定被积函数P(x)/Q(x) b. 确定Q(x)的根 c. 确定Q(x)的根的乘积 d. 确定P(x)在Q(x)的根处的值 e. 计算积分
不定积分是微分方程的解
不定积分可以用来求解微 分方程
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
不定积分讲解课件
也是f(x)的原函数.(2)f(x)的任意两个原函数之间仅相差一
个常数. 证明: (1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的 原函数 (2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于 [G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 所以 G(x)-F(x)=C, G(x)=F(x)+C 。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原 函数只相差一个常数.
4
4
24
1sin2x,1cos2x,1cos2x.是同一函数的原函数.
2
4
2
所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致, 但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数
二、基本积分表
由于微分和积分是互为逆运算, 所以把第二章中的
基本微分公式逆写, 就得到基本积分表。
例5
d x
x
3
解 :d x3 xx 3 d xx 3 3 1 1C 2 x 1 2C
下面的问题是已知原函数的存在,怎样求? 定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在 原函数F(x), 即对于任意的x∈I，都有 F ’(x) = f (x).
例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续, 它们都有原函数。
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C
代入初值条件，得到 2=1+C，C=2-1=1 f(x)=x2+1
[ f ( x ) d x ] f ( x ) d f ( x ) d x f ( x ) d x f(x )d x f(x ) C df(x ) f(x ) C
由此可见, 微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后 求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵 消后相差一个常数.
个常数. 证明: (1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的 原函数 (2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于 [G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 所以 G(x)-F(x)=C, G(x)=F(x)+C 。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原 函数只相差一个常数.
4
4
24
1sin2x,1cos2x,1cos2x.是同一函数的原函数.
2
4
2
所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致, 但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数
二、基本积分表
由于微分和积分是互为逆运算, 所以把第二章中的
基本微分公式逆写, 就得到基本积分表。
例5
d x
x
3
解 :d x3 xx 3 d xx 3 3 1 1C 2 x 1 2C
下面的问题是已知原函数的存在,怎样求? 定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在 原函数F(x), 即对于任意的x∈I，都有 F ’(x) = f (x).
例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续, 它们都有原函数。
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C
代入初值条件，得到 2=1+C，C=2-1=1 f(x)=x2+1
[ f ( x ) d x ] f ( x ) d f ( x ) d x f ( x ) d x f(x )d x f(x ) C df(x ) f(x ) C
由此可见, 微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后 求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵 消后相差一个常数.
4.不定积分。PPT
三、 不定积分的几何意义
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
《数学分析》第8章 不定积分ppt课件
证 (i) 由 (F( x) C) F ( x) f ( x), 知 F( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数.
(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0.
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ( x) k( x).
定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若 F ( x) f ( x)， x I ,
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x)C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y F(x) ( x0 , y0 )
O
x
满足条件 F ( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ( x) f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
s(t), 使 s(t) v(t).
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
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C.
7
例4 求积分 3x e x dx.
2 根据积分公式（2）
解 3x e xdx (3e)xdx l(n3(e3x)ex)dxCx1311xlenx3C C
对被积函数稍加变形，化为指 数函数形式。据公式（13）
(13) axdx ax C; lna
(2) xdxx1 1C (1);
(3) dxxln| x|C;
说明： x
0
dx x
ln
x
C,
x0,[ln(x)] 1 ( x) 1
x
x
dxx ln(x)C,
dx x
ln|
x|
C.
(4) 11x2dxarctanxC; (1 0 ) s e cxta n x d x s e cx C ;
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C.
1
( 1)
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1 ) k d x k x C(k 是 常 数 ）
三、不定积分的性质
(1) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx;
(2) kf(x)dxk f (x)dx.（k 是常数，k 0)
现证(1) f(x)dxg(x)dx
f(x)dxg(x)dx f(x)g(x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
例5 求积分
3 (1x2
2 )dx.
1x2
解:
3 ( 1x2
2 1x2
)dx
3
1 dx2 1x2
1 dx 1x2
3arctanx2arcsinx C 1 x x2
例6 求积分 x (1 x 2 ) d x.
1 2x2
x2
(1
x2
dx )
1 x2 x2 x2 (1 x2 )
dx
1dx 1 dx
x2
1x2
1arctanxC. x
例8 求积分 1说c1o明s 2：x 以要dx上进. 几行例恒中等的变被形积，函才数能都使需用
解
1 dx 1 cos 2x
基本1积分表.
6
例2 求
1 1 x2 dx.
解:
arctanx
1 1x2
,
பைடு நூலகம்
11x2dxarctanxC.
二、不定积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
ddxf(x)dxf(x),
d[f(x)dx]f(x)dx,
F(x)dxF(x)C,
dF(x)F(x)C.
第一节 不定积分的定义和性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义1 设函数 f ( x ) 在某区间上有定义，如果存在函数F ( x ) ，
对于该区间上任一点 x ，使
F '(x )f(x )或 d F (x )f(x )d x
12cos2
dx x1
1 2
1 cos2
x
dx
1 tan x C. 2
四、不定积分的几何意义
若 y F(x)是 f ( x ) 的一个原函数，则称 y F(x)的图形是
解： 1 x x 2 d x x (1 x 2 )
x (1 x2)dx x(1 x2)
1 1 x2
1 x
dx
11x2 dx1xdx a rc ta n x ln x C .
1 2x2
例7 求积分
x2
(1
x2
dx. )
解
(5)
1 dxarcsinxC; 1x2
( 1 1 )c s c x c o tx d x c s c x C ;
(6) cosxdxsinxC ; (12) exdxexC;
(7 ) sinxd xco sxC ; (13)
axdx ax C; lna
则称函数 F ( x ) 是已知函数 f ( x ) 在该区间上的一个原函数。
例 sinx cosx
sin x是cos x的原函数.
lnx 1 (x0)
x
ln x是 1 在区间(0,)内的原函数. x
原函数存在定理：
如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导 函数 F ( x ) ， 使x I 都有F(x)f(x).
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sinx cosx sinxC cosx（C为任意常数）
s in x C ,s in x 都 是 c o s x 的 原 函 数 。
关于原函数的说明：
（1）若 F(x)，f(则x)对于任意常数 ， C F(x) C 都是 f ( x ) 的原函数。
(8) co d sx 2xsec2xdxtanxC ;
有一个导数公式就 相应地有一个不定
(9 ) sin d x 2xcsc2xd x co txC ;
积分公式。
例3 求积分 x2 xdx.
解
x2 xdx
5
x 2dx
5 1
x2 C 5 1
2
7
x2
称为 f ( x )在区间 I 内的不定积分，记为 f ( x)dx 。
即： f(x)dxF(x)C
积分号
被积 函数
积分 变量
积分常数
求不定积分的中心问题是
寻求被积函数f ( x ) 的一个
原函数。
例1 求 x 5 d x .
解:
x6 6
x5,
x5dx x6 C.
（2）若 F ( x和) G都( x是) 的f 原( x函) 数，则
F(x)G(x)C（C为任意常数）
证： F (x) G (x)F (x) G (x)f(x)f(x)0
F(x)G (x)C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间 I 内，函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数