量子物理之角动量空间量子化模型
物理 量子力学处理
定态薛定谔方程表示为： 定态薛定谔方程表示为：
1 2 ψ 1 ψ (r )+ 2 (sinθ ) 2 r θ r r r sinθ θ
1 e2 2ψ 2m )ψ = 0(1) + 2 2 + 2 (E + 2 4πε0r r sin θ
设方程的解
ψ = ψ (r,θ , ) = R(r)Θ(θ )Φ( )
量子力学习题课
一、选择题 1、金属的光电效应的红限依赖于： 、金属的光电效应的红限依赖于： （A）入射光的频率 ） （C）金属的逸出功 ） （B）入射光的强度 ） （D）入射光的频率和金属的逸出功 ） 与金属性质有关。 A= eU0 与金属性质有关。 =
A 解： ∵ν 0 = h
C
2、光电效应和康普顿效应都含有电子与光子的相互作用过程， 、光电效应和康普顿效应都含有电子与光子的相互作用过程， 在下列几种理解中，正确的是： 在下列几种理解中，正确的是： （A）两种效应中电子与光子两者组成的系统都服从动量守恒 ） 和能量守恒定律； 和能量守恒定律； （B）两种效应都相当电子与光子的弹性碰撞过程； ）两种效应都相当电子与光子的弹性碰撞过程； （C）两种效应都属于电子吸收光子的过程； ）两种效应都属于电子吸收光子的过程； （D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于 ）光电效应是吸收光子的过程， 光子与电子的弹性碰撞过程。 光子与电子的弹性碰撞过程。 光电效应过程： 解：光电效应过程： 电子吸收光子，过程能量守恒。 电子吸收光子，过程能量守恒。 康普顿效应： 为光子与电子弹性碰撞过程。过 康普顿效应： 为光子与电子弹性碰撞过程。 程满足能量守恒和动量守恒。 程满足能量守恒和动量守恒。
= ∑2(2l + 1) = 2n2
第3章_量子力学中的角动量
U = −M ⋅ B = −MB cosθ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按错误！未找到引用源。式，原子在 z 方向所受的力是
Fz
= − ∂U ∂z
=
M
∂B cosθ ∂z
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cosθ =+1 和-1 两个值。
为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电
36
电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色: (a) 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。 (b) 它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当 → 0 时，自旋效应消失 这可以从错误！未找到引用源。式看出。 (c) 它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向 的投影只取± / 2 两个值。 （1）、自旋算符 自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。自旋既然是角动量， 自旋算符必须满足
40
χ (1) = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ (2) = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (3) = χ1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (4) = χ−1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) 3、耦合表象（ S 2, Sz ）的基矢 （ S 2 , Sz ）的本征态可以由（ S1z ，S2z ）的本征态 χ1/ 2 (s1z ) ，χ−1/ 2 (s1z ) ，χ1/ 2 (s2z ) ，χ−1/ 2 (s2z ) 组合得到 χ11 = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ1,−1 = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z )
量子力学中的角动量
h
π
根据对应原理，定义角动量算符 r r r L=r×p 在球坐标中，相应的算符
ˆ = −ih ∂ Lz ∂φ
ˆ2 = −h 2 1 ∂ L sin θ ∂θ Schrödinger方程
∂ 1 ∂2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ φ
h2 2 r r ∂ − 2m ∇ + V (r , t ) ψ = ih ∂t ψ (r , t )
，可以得到
N很大时，作经典近似，考虑相临能级 跃迁，频率的表示应相同（对应原理）
2
2 Rhc e = n3 2π
4 πε 0 h 1 综合各式： r n = m e 2 e 4πε 0 me r 3
n2
进一步推导，经典的角动量 代入r的表达式，最后得到
me e 2 r L = me vr = 4πε 0
L = nh
我们由一堆复杂的公式得到一个如此简单优美的结 果，这是令人惊异的，无疑暗示了新物理的出现， 而且促使我们相信这个式子是正确的。接下来需要 的就是通过实验证明它。 Stern-Gerlach实验（1921） 德布罗意假设：电子波长 驻波条件 2πr = nλ 即
λ=
h h = p mv
mvr = n
量子力学中，假设态形成线性的流形。将经典 物理中对称性只是有趣的观测，变成了一个很 有用的技术。 通过对称性可以对算符分类，这样促进了群论 的研究。
迄今为止我们讨论了角动量的基本理论，但是 这远远不足，主要还有 一、欧拉转动及相应的数学描述 二、两个及两个以上角动量的耦合，C-G系数 三、张量转动，张量积及矩阵元， Wigner- Eckart 定理
[
r2 L ,H = 0
写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式
写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式1. 引言1.1 概述本文旨在探讨全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式。
在量子力学中，全同粒子系统是一类具有相同物理性质的粒子组成的系统，它们之间没有任何区别。
而总轨道角动量lz和l2则是描述这些粒子在空间中运动时所拥有的角动量。
1.2 文章结构本文按照以下结构进行论述：首先，我们将介绍全同粒子系统总轨道角动量lz 的定义，并给出相关概念和数学表示；其次，我们将阐述lz的本征值及其对应的本征态表示；最后，我们将推导和解释lz的二次量子化表达式。
随后，我们将进行类似的分析并讨论全同粒子系统总轨道角动量l2的二次量子化形式。
1.3 目的本文旨在深入理解全同粒子系统总轨道角动量lz和l2，并通过推导和解释其二次量子化形式，进一步揭示全同粒子系统中这两个重要物理概念的内涵和意义。
这对于更好地理解多粒子体系及其特性、研究复杂体系的性质和行为具有重要的理论与实际意义。
同时，本文还将探讨相关研究的未来发展方向。
以上是“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写。
2. 全同粒子系统总轨道角动量lz的二次量子化形式2.1 全同粒子系统总轨道角动量lz的定义在全同粒子系统中，总轨道角动量lz表示所有单个粒子的轨道角动量在z方向上的矢量和。
它是各个粒子的单个轨道角动量lz值之和。
2.2 lz的本征值和本征态表示根据量子力学理论，lz具有离散值，可用来描述全同粒子系统在z方向上的旋转运动。
其本征值为mħ，其中m为整数或半整数，ħ为约化普朗克常数。
对于N个全同粒子构成的系统，其总轨道角动量lz可以通过求解含有N个因素化项的哈密顿算符得到。
由于全同粒子系统需要满足泡利不相容原理，因此泡利原理会导致只有一部分选定组态有效。
2.3 lz的二次量子化表达式推导与解释在二次量子化中，我们使用产生算符a†和湮灭算符a来描述波函数。
这些算符与单个粒子态以及多体态之间的关系如下所示：$$\begin{align*}a^\dagger_i |0⟩ & = \text{产生一个粒子在单粒子态} |i⟩ \\a_i |0⟩ & = 0\end{align*}$$其中，$|0⟩$表示全空模式，没有任何粒子。
波尔模型角动量量子化
波尔模型角动量量子化波尔模型是描述原子结构的经典模型之一，它对电子角动量的量子化提供了重要线索。
本文将从波尔模型的基本假设出发，详细讨论角动量的量子化以及其对原子结构和光谱的影响。
波尔模型的核心假设是：电子在原子中沿着特定的轨道运动，并具有固定的能量。
根据经典物理学的角动量理论，电子的角动量可以表示为L=mvr，其中m是质量，v是速度，r是轨道半径。
然而，根据量子力学理论，电子的角动量并不是连续可取的，而是量子化的，即只能取特定的数值。
根据波尔模型，电子的角动量量子化条件是：L=nħ，其中n是一个整数，ħ是普朗克常量的一半。
这意味着电子的角动量只能取离散的数值，且与普朗克常量有关。
这个量子化条件对应了电子运动的稳定性，即电子只能处于特定的轨道上，不会发生能量的连续跃迁。
通过角动量的量子化，波尔模型解释了原子光谱中的谱线现象。
原子光谱是原子在受激后发射出的特定波长的光线，波尔模型成功地解释了氢原子光谱中的巴尔末系列。
根据波尔模型，电子从高能级跃迁到低能级时会发射出特定波长的光子，其波长与电子能级差相关。
这与实验观测到的光谱谱线相吻合，验证了波尔模型的有效性。
波尔模型的成功不仅仅在于解释了光谱现象，还为后续量子力学的发展提供了重要线索。
波尔模型的角动量量子化条件为后来的量子力学理论奠定了基础。
在量子力学中，角动量的量子化条件被推广为L²ħ²，其中L²是角动量算符的平方，表示角动量大小的平方，而不仅仅是角动量的大小。
这种推广使得角动量的量子化条件更加普适，适用于各种情况下的粒子运动。
波尔模型对角动量的量子化的描述为我们理解原子结构和原子光谱提供了重要的线索。
通过角动量的量子化，我们可以预测电子在原子中的运动轨道和能级分布，以及原子光谱中的谱线位置和强度。
同时，波尔模型的角动量量子化条件也为后续量子力学的发展提供了重要的理论基础。
总结起来，波尔模型的角动量量子化是对电子角动量的限制条件，它解释了原子光谱中的谱线现象，并为后续量子力学的发展提供了重要线索。
玻尔原子模型 角动量量子化
玻尔原子模型角动量量子化
玻尔原子模型和角动量量子化是两个密切相关的概念，下面将分章节回答你的问题。
一、玻尔原子模型
玻尔原子模型是由丹麦物理学家尼尔斯·玻尔于1913年提出的，它是对氢原子的电子结构进行描述的一种模型。
玻尔原子模型的基本假设是：电子在原子中的运动是圆周运动，电子只能在特定的能级上运动，电子在不同能级之间跃迁时会发射或吸收特定频率的光子。
二、角动量量子化
角动量量子化是描述原子中电子角动量的一种理论。
根据量子力学的原理，电子的角动量只能取特定的离散值，这些离散值被称为角动量量子数。
角动量量子数的取值范围是整数或半整数，用l表示。
具体地，对于一个给定的电子，它的角动量量子数l的取值范围是0到n-1，其中n是电子所处的能级。
三、玻尔原子模型与角动量量子化的关系
玻尔原子模型中，电子在原子中的运动是圆周运动，因此电子具有角动量。
根据
角动量量子化的理论，电子的角动量只能取特定的离散值，这与玻尔原子模型的假设是一致的。
具体地，对于氢原子，它只有一个电子，因此电子的角动量量子数l只能取0。
对于其他原子，电子的角动量量子数l的取值范围是0到n-1，其中n是电子所处的能级。
总结：
玻尔原子模型和角动量量子化是密切相关的概念，玻尔原子模型描述了电子在原子中的运动，而角动量量子化描述了电子的角动量。
玻尔原子模型的假设与角动量量子化的理论是一致的，电子的角动量量子数只能取特定的离散值。
第二章量子力学
原子的总角动量 总角动量量子数 J 原子的总角动量 PJ = J ( J + 1) h 总角动量z分量量子数 mJ = − J , − J + 1,L, J − 1, J 原子总角动量的z分量 PJz = mJ h 角动量及其z分量与量子数之间关系的一般规律性： ⎯⎯角动量与量子数的关系为
PJ = J ( J + 1) h
远远不够。如： 四个量子数的物理含义是什么？ 固体中电子态与孤立原子相比有何差别？ ——结合成键过程中电子态如何改变
各类材料的电导率σ与载流子
材料类 超导体 导体 107～105 半导体 105～10-5 绝缘体 10-9～10-18
σ (Ω-1m-1) ≥1015
载流子
电子对 自由电子 电子、空穴 电子和/或离子
量子力学基础
1. De Broglie假设——微观粒子的波动性
（1） De Broglie假设(1924)
自由粒子 (E 、 p )∼平 面 波 (ν 、λ ) ，其中：
E = hν = hω
p = hk
间的关系为：
h = 2 π h = 6.623 × 10 −34 Js 为普朗克常数，k为粒子的波矢，它与波长之
PS = 6h
PJ = 2 5h
PSz = −2h, − h, 0, h, 2h
PJ Z = −4h, − 3h,L, 3h, 4h
亚电子层未达或超过半满时： 轨道角动量与自旋角动量分别为反平行 和平行。
氢分子中的电子态与原子结合能 固体中原子结合能一般可用下面 公式表达：
a b U (r) = − m + n r r
三、孤立原子中电子的排布与角动量合成 例：基态Fe原子(Z=26)的核外电子排布及角动量 全满的亚电子层—如3p6：L＝S＝J＝0，各角动量都为0； 未满的亚电子层为3d6：电子的排布情况
量子力学角动量公式
量子力学角动量公式量子力学中的角动量公式，就像是一把神奇的钥匙，能为我们打开微观世界的神秘大门。
在我们日常生活的宏观世界里，对于物体的转动和角动量的理解相对直观。
比如说，一个旋转的陀螺，我们能清楚地看到它的转动。
但在微观世界中，角动量的概念和表现可就大不相同啦。
咱先来说说量子力学角动量的基本公式：$J^2 = j(j + 1)\hbar^2$ 以及 $J_z = m_j\hbar$ 。
这里的 $j$ 代表角量子数，$m_j$ 则是磁量子数，而 $\hbar$ 是约化普朗克常数。
记得有一次，我给学生们讲解这个公式的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这东西看不见摸不着的，学它有啥用啊？”我笑着跟他们说：“同学们，就好比你们在玩拼图，每一块拼图看起来没啥特别，但当它们都拼在一起，就能呈现出一幅完整美丽的画面。
量子力学的角动量公式也是这样，虽然单个看起来有点复杂和抽象，但当它和其他的知识结合起来，就能让我们理解原子、分子，甚至是整个微观世界的运行规律。
”那咱们再深入一点聊聊这个公式。
在量子力学里，角动量不再是像宏观世界那样连续变化的，而是离散的、量子化的。
这就好比上楼梯，你只能站在特定的台阶上，而不能处于两个台阶之间的位置。
比如说氢原子中的电子，它的角动量就遵循这些公式。
电子的状态不是随意的，而是由特定的角量子数和磁量子数决定。
这就决定了电子能处于哪些特定的轨道，从而影响着原子的化学性质和物理性质。
再举个例子，在研究晶体结构的时候，角动量公式也发挥着重要作用。
晶体中的原子或者离子的排列方式，与它们的角动量特性息息相关。
想象一下，我们就像是微观世界的探险家，而角动量公式就是我们手中的地图和指南针。
它指引着我们在这个充满神秘和奇妙的微观领域中前行，让我们能够揭示那些隐藏在微小尺度下的奥秘。
总之，量子力学角动量公式虽然看似复杂难懂，但它却是我们探索微观世界的有力工具。
只要我们用心去理解，去探索，就能发现它背后所蕴含的无尽奥秘和美妙。
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n是主量子数。
根据氢原子的定态薛定谔方程解得的能级公式 与玻尔氢原子理论所得结果完全相同，但是不 需要象玻尔理论那样人为地加上量子化条件。 (2)氢原子中电子的角动量也只能取分立的值，其大小为
R(r)，Θ(θ)和Φ(φ)分别是 r，θ和φ的函数。
经过严密数学运算，可得三个函数所满足的三个常微分方程
d 2 2 m 0, 其中ml和λ是常数。 l 2 d 解这些微分方程并利用波 ml2 1 d d (sin ) ( 2 ) 0 函数标准条件(单值，连续 sin d d sin
其中，e为电子电量，r 为电子到核的距离。
由于V(r)不随时间改变，所以是一个定态问题。
2me e2 电子绕核运动的 2 2 (E ) 0 薛定谔方程为 h 4π 0 r
势能是球 对称的。
直角坐标和球坐标变换如下 x = rsinθcosφ，y = rsinθsinφ，z = rcosθ。
2me 1 d 2 dR e2 ( r ) [ ( E ) ]R 0 r 2 dr dr h2 4π 0 r r 2
和有限)和归一化条件，可 得出一些重要的结论。
{范例14.8} 角动量空间量子化模型
根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子 化模型，求出角动量与特定方向(例如Bz方向)的夹角。
ml Lz arccos arccos L l (l 1)
由于ml是整数，所以角动量只能取一些特定的方向。
当氢原子中电 子的角量子数 为1时，轨道角 动量为1.414ħ。
轨道磁量子数 可取-1，0，1， 这时，轨道角 动量与竖直方 向的夹角分别 为45º ，90º 和 135º 。
{范例14.8} 角动量空间量子化模型
根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子 化模型，求出角动量与特定方向(例如Bz方向)的夹角。
电子在球坐标系中的薛定谔方程为 1 2 1 1 2 2me e2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 (E ) 0 2 2 r r r r sin r sin h 4π 0 r ψ=ψ(r,θ,φ)是球坐标系中的波函数。 设ψ(r,θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)，
L l (l 1)h
(l = 0，1，2，…，n - 1)
l为角量子数或副量子数。 对于同一个n值，l可以取 从0到n - 1共n个不同的值。
l = 0，1，2，3，4，5 的状态通常用字母 s，p，d，f，g，h表示。
{范例14.8} 角动量空间量子化模型
根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子 化模型，求出角动量与特定方向(例如Bz方向)的夹角。 (3)在量子力学中，氢原子核外电子的角动量在空间任意 方向(如外磁场方向)的投影也是不连续的，只能取一些 特殊的不连续的值Lz = mlħ (ml = 0，±1，±2，…，±l) Bz 即：角动量在空间任一方向的投影也是量子 L 化的，这种现象称为角动量空间量子化。 Lz=mlħ θ 对于确定的l，ml只能取0，±1，±2，…， ±l共2l + 1个值，ml称为轨道磁量子数。 O Lr (L在LxLy平面的投影用Lr表示。) 如图所示，角动量与某一方向的夹角为
当氢原子中电 子的角量子数 为4时，轨道角 动量为4.472ħ。
轨道磁量子数 可取-4到4共9 个整数，这时， 轨道角动量与 竖直方向的最 小夹角为26.57º ， 最大夹角为 153.4º 。
当角量子数为 5时，轨道角 动量为5.477ħ。
轨道磁量子数可 取-5，-4，...，4， 5，共有11个值， 因而轨道角动量 与竖直方向的夹 角有11个不同值。
当氢原子中电 子的角量子数 为2时，轨道角 动量为2.450ħ。
轨道磁量子数可 取-2，-1，0，1， 2，这时，轨道 角动量与竖直方 向的夹角分别为 35.26º ，65.9º ， 和9时，轨道角 动量为3.464ħ。
轨道磁量子数 可取-3，-2，-1， 0，1，2，3， 这时，轨道角 动量与竖直方 向的最小夹角 为30º ，最大夹 角为150º 。
{范例14.8} 角动量空间量子化模型
根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子 化模型，求出角动量与特定方向(例如Bz方向)的夹角。
[解析]氢原子是由质子和电子组成的系统，质子形成带 正电的原子核，其质量是电子质量的1836倍，因此在电 子绕核运动时可认为原子核是静止的。
2 e 电子和原子核之 V (r ) 4π 0 r 间的电势能为