二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
二次量子化
12
§2 N个全同粒子体系的波函数 ——粒子数表象
13
由上得知：
• Fermi子
A k1 ...kN
(q1...qN
)
• Bose子
s n1 ...nN
(q1...qN
)
1
N!
P
P P[k1 (q1)k2 (q2 )...kN (qN )]
N
ni !
i1
N!
P
P[k1 (q1)...kN (qN )]
14
Slater行列式
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性
† 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
15
坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出，描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐，故引入粒子数表象， 即，无需进行编号， 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可， 为此，此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose子，脱离q表象，有
A k1k2
(q1, q2 )
1 2
(1
P12 )k1
(q1 ) k
2
(q2
)
1 2
[
k1
(q1
)
k
2
(q
2
)
k1
(q
2
)
k
2
(q1
)]
1 k1 (q1) k1(q2 ) 2 k 2 (q1) k 2 (q2 )
以上式知，若k1=k2,则
A k1k2
(q1, q2 )
即此种态不存在，
Pauli原理。（不能有两个全同的Fermi子处于同一个
满足[ai , ai ] 1，[ai , a j ] [ai , a j ] 0 其归一化能量本征态为
二次量子化基础
二次量子化基础大体思想一次量子化大体方程为Schr odinger 方程 ψψμψ),(222t r V t i +∇-=∂∂. 任意状态),(t x ψ可在Hilbert 空间按基矢)(x i ϕ展开为 ∑=)()(),(x t a t x i i ϕψ,基矢)(x i ϕ可为某不含时Hamiltonian 的本征态)()()()(2)(22r E r r U r r H i i i i i ϕϕϕμϕ=+∇-=.二次量子化的大体思想确实是将按基矢)(x i ϕ展开的Schr odinger 方程（或其它场方程）的解),(t x ψ看做场算符，展开系数+i i a a ,为相应于单粒子态)(x i ϕ的湮灭算符和产生算符。
1. Hartree-Fock 自洽场方式H-F 方式是一种有效的近似方式，在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时取得较好结果。
这种方式便于作独立粒子近似，即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。
考虑由N 个全同Fermi 子组成的系统, 设粒子间有二体彼此作用，Hamiltonian 为∑∑≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=i ji j i i i r r V t r V m H ),(21),(222 （1）计及互换反对称性，试探波函数可表或Slater 行列式)()( )()()()()()()(!1),,2,1(21N 2221212111N N N N N q q q q q q q q q N N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ =（2）式中i ϕ为正交归一的单粒子态。
利用（2），能量平均值为∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇->==<*i i ir t x V m r x d H H )(),(2)(||223ϕϕψψ∑⎰⎰∑⎰⎰≠**≠**''''-''''+ji j i j i ji j i j i r r r r V r r x xd d r r r r V r r x xd d )()(),()()(21)()(),()()(213333ϕϕϕϕϕϕϕϕ （3）利用散度定理和i ϕ在边界为零，上式第1项为⎰∑∇•∇*i i x d mϕϕ322 , 即⎰∑⎰∑⎰∑=∇•∇+∇=∇•∇***iii ii i i i x d x d x d 0)(3323ϕϕϕϕϕϕ. 证明：N =2时，)]()()()([2112212211r r r r ϕϕϕϕψ-=, )]()()()([21||12212211231321r r r r x d x d ****->=∇<⎰⎰ϕϕϕϕψψ )]()()()([1221221121r r r r ϕϕϕϕ-∇•)]()()()( )()()()()()()()( )()()()([2112211221211121122221122111212211211122222313r r r r r r r r r r r r r r r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∇+∇-∇-∇=********⎰⎰利用i ϕ的正交归一性，对r 2积分后得⎰∇+∇>=∇<**)],()()()([21||1221121121111321r r r r x d ϕϕϕϕψψ 同理⎰∇+∇>=∇<**)]()()()([21||2222222122212322r r r r x d ϕϕϕϕψψ 因此，略去x 和r 的下脚标后，有∑⎰∑=*=∇=>∇<2123212)()(21||i i i j jr r x d ϕϕψψ （4） ⎰⎰****->=<),()]()()()([21|),(|212112************r r V r r r r x d x d r r V ϕϕϕϕψψ )]()()()([12212211r r r r ϕϕϕϕ-⎰⎰****+=)]()(),()()()()(),()()([21122121122122112122112313r r r r V r r r r r r V r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕ)]()(),()()()()(),()()(22112112211221212211r r r r V r r r r r r V r r ϕϕϕϕϕϕϕϕ****--（5）此即（3）式中后两项的展开形式，证毕。
二次量子化理论
s 2 s1 SM
2 s- S
就是说，这时交换两粒子，使系统自旋波函数多出 (- 1)
。可是，另一方面，根据自旋与
对 称 性的 关系的相对论量子力学 结论，这 全同双 粒子系统的 总波 函 数在粒子交换时 应出
(- 1)2 s （ s 为整数时 + 1 ，半整数时 - 1 ，前者对应玻色子系统对称波函数，后者对应费米子
y PN (x N ) 】 Sy P1 (x1 )y P2 (x2 )L
2． 两个全同粒子体系 a） 设这个系统由费米在组成，所以它的总波函数必定相对于两粒子交换为反对称的， 即，如交换坐标是对称的，则交换自旋就必定是反称的，反之亦然。如果忽略一些小的相对 论效应， 则系统的哈密顿可分解为空间部分与自旋部分之积， 这样系统的波函数就可以写成 一个空间部分和一个自旋部分的乘积——可分离自旋变量，那么自旋部分波函数被合成为
k
由y nA 表达式得到一个重要结论：如果在 n1 , n 2 , L 中有任何两个数值相同，系统的 1 , n2 ,L 反对称波函数将为零，只当它们全部都不同时，系统的反对称的波函数才不为零，由此，费 米子系统中，不可能有两个（或更多个）粒子在同一时刻处于同一态上，这就是“泡利不相 容原理（1925） ” 。 <玻色子体系> 与费米子体系不同，玻色子体系是由对称波函数描述的，于是不存在泡利不相容原理 那样的现象，所以同一个单粒子态上可以被不止一个粒子所占据，就是说， n1 , n 2 , L 中有 些是相同的（就它们是态编号来说） ，或 n1 , n 2 , L 可以大于 1（就它们是粒子数来说） 。 一个特殊的基本的对称态可表为
S yn (x1 , x 2 , Lx N ) = 1 , n2 ,L
二次量子化粒子数算符和哈密顿量算符对易关系
二次量子化是量子力学中的一个重要概念，它将系统的宏观描述从波函数转换为了场算符。
在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符是非常重要的概念，它们之间的对易关系对于描述物质的性质和行为有着重要的意义。
本文将从二次量子化的基本理论入手，探讨粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系的意义及其在物理学中的应用。
一、二次量子化的基本理论二次量子化是对一次量子化的推广，它主要应用于多体系统的描述。
在一次量子化中，系统的状态由单粒子波函数描述，而在二次量子化中，系统的状态则由多个单粒子波函数乘积构成的波函数描述。
二次量子化的基本思想是将粒子视为一个场，而不是单个粒子，场的激发态就是粒子数不同的态。
在二次量子化中，系统的态可以用多个产生算符作用在真空态上得到。
二、粒子数算符和哈密顿量算符粒子数算符是用来描述系统中粒子的数目的算符，它作用在系统的态矢量上得到系统中粒子的数目。
而哈密顿量算符则是描述系统的能量的算符，它是系统动力学性质的标量函数。
粒子数算符和哈密顿量算符在二次量子化中有着重要的地位，它们之间的对易关系对于描述系统的行为和性质有着重要的意义。
三、粒子数算符和哈密顿量算符的对易关系在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来描述系统的性质。
粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来确定系统的基态能量和激发态能量。
在一个系统中，如果粒子数算符和哈密顿量算符对易，那么系统的粒子数是守恒的，在准经典极限下，这就相当于系统的宏观性质。
而如果粒子数算符和哈密顿量算符不对易，那么系统的粒子数就不是守恒的，这就相当于系统的量子性质。
四、粒子数算符和哈密顿量算符对易关系的应用粒子数算符和哈密顿量算符对易关系在物理学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述凝聚态物质中的超流、超导、玻色-爱因斯坦凝聚等现象。
它们还可以用来描述量子场论中的费米子、玻色子以及它们之间的相互作用。
粒子数算符和哈密顿量算符对易关系还可以用来描述量子信息学中的量子比特、量子纠缠、量子密度矩阵等量子信息学的现象。
二次量子化
二次量子化说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。
波色子统计法；相同粒子时不可分辨的。
而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。
所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。
泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。
实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。
用12(,......)n ϕεεε代表N 个相同粒子得ε表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。
因而波函数只能改变亦个 常数因子。
即()()121212,......,......n n ϕεεελεεε= 121λ= 俩此交换这对粒子，得2121λ= 故121λ=± 1213141.........n λλλλ===可知波函数只能时全对称或全反对称得。
由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。
由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。
按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。
一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。
例如一种最简单得全对称波函数是()()()12.........n αααϕεϕεϕε这个波函数表示任意N 个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。
不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。
因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。
可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。
二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N 粒子B 值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B 值为b 得粒子。
产生算符和消灭算符由于()12.....N N 得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....N N ，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12N N 时各个算符得本征值。
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式（无相互作用）
由于泡利不相容原理的存在，要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点，人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法，就是二次量子化。 二次量子化的引入：Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义：
+
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
二次量子化方法
•
•
3 i 1
( xi
)
(
xi )
•
t
3 i 1
( xi
)
xi
将上式带入动力学方程可得
S t2 dt t1
dx
t
•
3 i 1
xi
(
( xi
)
)
0
由于 任意，所以上式可得出
3
t
•
i1
xi
( (
)0 xi )
我们引入广义坐标相联系的广义动量
本证函数集
a (x) k (x)
1 eik x
利用的正交归一性 a (x) (x)dx
可得算符展开式是逆变换关系
a (x) (x, t)dx ba (t)
a (x) (x, t)dx ba (t)
利用变换关系和算符对易关系得出
ba (t ), b (t ) 0
ba
(t
)
,
b
V dx (x)x (x)
b a
b
V
其中矩阵元
V
dx
(
x)V
(
x)
动力学方程
二次量子化中的力学量是通过场算符来构造的，如果一次量子化中采用薛定谔绘景， 那么二次量子化采用海森堡绘景
F t
1
i
F
(t
),
H
以算符是运动方 程为例
(x,t)
t
1
i
( x, t ),
H
(t)
量子场的哈密顿算符 H (t) dx (t)H (x) (t)
( x, t )
•
•
场的哈密顿密度 (x, , t)
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二次量子化
二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。
普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。
但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。
二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。
相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。
然而，现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。
其一：只用作为埸的自由度的广义坐标，是一维的无穷多个指标的广义坐标，也就是说尽管是多个指标，它在空间的自由度却仅有一维。
无穷多个指标的广义坐标，只分别对应无穷多个光量子，描写它们一维的状态。
为了描写物质埸的矢量性，物质埸
的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标，必须把推广成，对应物质埸在处的振动的动量，对应物质波的几率密度，即传统的二次量子化理论中的态函数。
在各类物理文献（包括科普）中，我们都能经常看到一个术语，即二次量子化，一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。
然而，所谓的二次量子化其实是一个错误的概念，至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念，其产生及仍被使用有着一定的历史根源。
但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法，否
则也没有特别说明的必要了，而是依然存在于物理文献中的误解，它还在误导着更多的人。
量子场论的产生是这样一个过程。
物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学，以薛定谔方程来描述，然后为了统一量子力学和狭义相对论，或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学，他们认为有必要“推广”薛定谔方程，从而找到了克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程，进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量，而是所谓的场，一类在时空每一点都有取值的函数，对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。
可是把诸如克莱恩－戈登之类的方程看成薛定谔方程的推广是错误的，正是当年人们这一错误认识导致了二次量子化的提出和使用，并且把量子力学称为经典力学的一次量子化。
下面我们简单分析一下。
先从经典点粒子力学说起。
经典点粒子力学的研究对象是点粒子，点粒子在空间（即位形空间）中的位置由空间坐标表示，其动力学，即其位置随时间的演化由一个或一组动力学方程所描述，方程的变量是坐标及其时间导数。
人们又发现点粒子的动力学也可以等价地通过其位置和动量来描述，一个粒子的位置和动量所构成的空间成为该粒子的相空间，粒子在位形空间中的可能轨迹等价于其相空间中的一条曲线。
二十世纪初，一些我们现在已经熟知的原因引发了量子力学革命，物理学家们发现微观世界很大程度上不能为经典相空间所描
述，因为一个粒子的位置和动量不能同时被确定，同时粒子也没有一条可在其位形空间中精确确定的轨迹，也就是说粒子在空间某一点出现只能依据一定的概率，为了正确描述微观世界的物理规律，波函数应运而生注一。
波函数，又称量子波函数，是粒子位置（或动量）的函数，它的模的平方表征粒子在某个点出现的概率，而波函数所遵循的演化方程正是薛定谔方程，基于薛定谔方程的量子力学描述也称作波动力学，经典点粒子由波动力学中的波包所代替。
现在我们可以说薛定谔方程不是一个经典动力学方程，而是描述量子力学的波动方程。
进一步研究显示薛定谔方程并不满足（从而量子力学也不满足）狭义相对论。
那么怎样才能统一量子力学和狭义相对论呢？很自然地，人们想到了推广薛定谔方程。
基于基本的狭义相对性原理，克莱恩－戈登方程第一个被发现，考虑到作为薛定谔方程的推广，其变量都使用了波函数常用的符号。
很快人们发现克莱恩－戈登方程描述的并非是某个符合狭义相对论的粒子的波函数，因为一旦如此，将会出现该粒子在某个点的概率可能为负，这显然是不对的。
如此，要找到符合狭义相对论的量子力学，必须摈弃传统的粒子概念，而把克莱恩－戈登方程的变量解释为场注二，一个在时空每个点都有取值的函数。
也就是说，克莱恩－戈登方程仅仅是一个关于场的经典动力学方程，场是这个方程的动力学量，其地位相当于经典点粒子动力学方程中的位形变量。
要将这样一个理论量子化必然要对场进行量子化，而场量子化在波动力学的框架下并不容易，反而在与波动力学等价的矩阵力学框架下容易被实现。
因此，与量子力学中点粒子波函数对应的场的
量子波函数长期为人们所忽视，反而早期将场与薛定谔方程中波函数的错误对应一直存在。
那么什么是场的量子波函数？
我们知道点粒子波函数是位形这一经典动力学量的函数，那么场的波函数也应该是场地函数。
不错，正是如此，只是场本身已经是一个时空坐标的函数，而我们通常把函数的函数叫做泛函。
那么我们说，量子场论中的波函数是场的一个泛函，它仍然满足薛定谔方程注三。
对一个经典力学系统只能进行一次量子化，一个被薛定谔方程所描述的系统已经是一个量子系统，怎么还能进行第二次量子化呢？量子力学是对经典点粒子力学的量子化，量子场论则是对经典场论的量子化，而不是对一个已被波动力学所描述的量子系统的再次量子化！这个误解（特别是把克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等当作薛定谔方程的类比拓展）至今还存在于一些教科书中不能不说是种遗憾。
注一：这里及下文我都尽量简化了说法，连量子态、希尔伯特空间、算符，对易子等等我都没有提及，但这样应该不会影响对文章的理解。
注二：这里有个细节，经典场的概念是有的，比如温度场，但克莱恩－戈登方程中的场变量其实没有经典对应，勉强说来，其经典对应可以看作是无穷多个经典谐振子（空间每个点都有一个）构成的系统。
如此看来，克莱恩－戈登方程作为一个描述经典场的动力学方程是没有意义的，它必须被量子化，那么我们更加不能说这个量子化是所谓
的二次量子化了。
另外，对于狄拉克方程和麦克斯韦尔方程我没有进行类似讨论。
注三：当然，这个薛定谔方程是以泛函形式呈现的，特别地，其中与点粒子薛定谔方程中哈密尔顿量所作用部分对应的是泛函导数和积分。
另注：数学上也许可以通过范畴间的函子构建纯粹基于希尔伯特空间的二次量子化乃至Ｎ次量子化（参看
/baez/nth_quantization.html），但我认为和物理上从量子力学到量子场论还是有区别的。