二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
二次量子化基础
二次量子化基础大体思想一次量子化大体方程为Schr odinger 方程 ψψμψ),(222t r V t i +∇-=∂∂. 任意状态),(t x ψ可在Hilbert 空间按基矢)(x i ϕ展开为 ∑=)()(),(x t a t x i i ϕψ,基矢)(x i ϕ可为某不含时Hamiltonian 的本征态)()()()(2)(22r E r r U r r H i i i i i ϕϕϕμϕ=+∇-=.二次量子化的大体思想确实是将按基矢)(x i ϕ展开的Schr odinger 方程（或其它场方程）的解),(t x ψ看做场算符，展开系数+i i a a ,为相应于单粒子态)(x i ϕ的湮灭算符和产生算符。
1. Hartree-Fock 自洽场方式H-F 方式是一种有效的近似方式，在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时取得较好结果。
这种方式便于作独立粒子近似，即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。
考虑由N 个全同Fermi 子组成的系统, 设粒子间有二体彼此作用，Hamiltonian 为∑∑≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=i ji j i i i r r V t r V m H ),(21),(222 （1）计及互换反对称性，试探波函数可表或Slater 行列式)()( )()()()()()()(!1),,2,1(21N 2221212111N N N N N q q q q q q q q q N N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ =（2）式中i ϕ为正交归一的单粒子态。
利用（2），能量平均值为∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇->==<*i i ir t x V m r x d H H )(),(2)(||223ϕϕψψ∑⎰⎰∑⎰⎰≠**≠**''''-''''+ji j i j i ji j i j i r r r r V r r x xd d r r r r V r r x xd d )()(),()()(21)()(),()()(213333ϕϕϕϕϕϕϕϕ （3）利用散度定理和i ϕ在边界为零，上式第1项为⎰∑∇•∇*i i x d mϕϕ322 , 即⎰∑⎰∑⎰∑=∇•∇+∇=∇•∇***iii ii i i i x d x d x d 0)(3323ϕϕϕϕϕϕ. 证明：N =2时，)]()()()([2112212211r r r r ϕϕϕϕψ-=, )]()()()([21||12212211231321r r r r x d x d ****->=∇<⎰⎰ϕϕϕϕψψ )]()()()([1221221121r r r r ϕϕϕϕ-∇•)]()()()( )()()()()()()()( )()()()([2112211221211121122221122111212211211122222313r r r r r r r r r r r r r r r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∇+∇-∇-∇=********⎰⎰利用i ϕ的正交归一性，对r 2积分后得⎰∇+∇>=∇<**)],()()()([21||1221121121111321r r r r x d ϕϕϕϕψψ 同理⎰∇+∇>=∇<**)]()()()([21||2222222122212322r r r r x d ϕϕϕϕψψ 因此，略去x 和r 的下脚标后，有∑⎰∑=*=∇=>∇<2123212)()(21||i i i j jr r x d ϕϕψψ （4） ⎰⎰****->=<),()]()()()([21|),(|212112************r r V r r r r x d x d r r V ϕϕϕϕψψ )]()()()([12212211r r r r ϕϕϕϕ-⎰⎰****+=)]()(),()()()()(),()()([21122121122122112122112313r r r r V r r r r r r V r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕ)]()(),()()()()(),()()(22112112211221212211r r r r V r r r r r r V r r ϕϕϕϕϕϕϕϕ****--（5）此即（3）式中后两项的展开形式，证毕。
二次量子化方法
4
•
•
3 i1
( xi
(
)
xi
)
•
t
3 i1
(xi )
xi
将上式带入动力学方程可得
S t2 dt t1
dx
t
•
3
i1
xi
((xi
)
)
0
5
由于 任意，所以上式可得出
3
t• i1xi ((xi))0
我们引入广义坐标相联系的广义动量
(x,t)
•
6
•
场的哈密顿密度 (x,,t)
总的哈密顿量
H dx
系统的动力学 方程
•
•
•
3 i 1
xi
(
( xi
)
)
7
薛定谔波场的量子化
薛定谔方程
2
•
•
2 (x ,t) V (x ,t) (x ,t) i (x ,t)
2 u
为经典场的波动方程，但它是一个复数场，所以又存在
22Vi•
2u
本证函数集
a(x)k(x)
1 eikx
15
利 用 的 正 交 归 一 性
a
(
x
)
(x)dx
可得算符展开式是逆变换关系
a (x) (x,t)dx ba (t)
a(x) (x,t)dx ba (t)
16
利用变换关系和算符对易关系得出
b a (t ), b (t )
0
b
a
(t )
这里将外势场视为实数场
8
拉氏密度
i
2
V
2u
拉氏密度需要将它代入拉式方程中得到上面的薛定谔方程
高量12--二次量子化
21
§31 产生算符和消灭算符
§31-1 定义
讨论B表象，以单粒子算符B的本征矢量{|b>}为基础。
一、产生算符a+(b)
首先定义一个什么粒子都没有的状态|0>（真 空态），从而确定了一个n=0的一维空间R0。定义 一个算符a+(b)，用它来得出n=1,2,3,…等系统的B 表象的基矢：
22
a b 0 1;b a b 1; b 2 2;bb a b 2; b b 3 3;bb b a b n; b b b n 1 n 1;bb b b
这正是Pauli不相容原理。
8
3. 并不是在基矢中 b , b ,, b 分别取一切值 的都是不同的基矢，其中有不少基矢实际上 是相同的，例如对三粒子系统，对称的 |3;b1b2b3>和|3;b1b3b2>是相同的基矢，而反对 称的|3;b1b2b3>和|3;b1b3b2>则相差一个负号，
3
1
b
2
3
b
1
2
b
3
2
b
1
1
b
2
3
b
3; b b b A 1 (1) p P b 3! P b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
)
b
1
2
3
1 (b 3!
2
1
2
3
b
1
3
2
b
2
1
3
b
b
3
b
二次量子化粒子数算符和哈密顿量算符对易关系
二次量子化是量子力学中的一个重要概念，它将系统的宏观描述从波函数转换为了场算符。
在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符是非常重要的概念，它们之间的对易关系对于描述物质的性质和行为有着重要的意义。
本文将从二次量子化的基本理论入手，探讨粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系的意义及其在物理学中的应用。
一、二次量子化的基本理论二次量子化是对一次量子化的推广，它主要应用于多体系统的描述。
在一次量子化中，系统的状态由单粒子波函数描述，而在二次量子化中，系统的状态则由多个单粒子波函数乘积构成的波函数描述。
二次量子化的基本思想是将粒子视为一个场，而不是单个粒子，场的激发态就是粒子数不同的态。
在二次量子化中，系统的态可以用多个产生算符作用在真空态上得到。
二、粒子数算符和哈密顿量算符粒子数算符是用来描述系统中粒子的数目的算符，它作用在系统的态矢量上得到系统中粒子的数目。
而哈密顿量算符则是描述系统的能量的算符，它是系统动力学性质的标量函数。
粒子数算符和哈密顿量算符在二次量子化中有着重要的地位，它们之间的对易关系对于描述系统的行为和性质有着重要的意义。
三、粒子数算符和哈密顿量算符的对易关系在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来描述系统的性质。
粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来确定系统的基态能量和激发态能量。
在一个系统中，如果粒子数算符和哈密顿量算符对易，那么系统的粒子数是守恒的，在准经典极限下，这就相当于系统的宏观性质。
而如果粒子数算符和哈密顿量算符不对易，那么系统的粒子数就不是守恒的，这就相当于系统的量子性质。
四、粒子数算符和哈密顿量算符对易关系的应用粒子数算符和哈密顿量算符对易关系在物理学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述凝聚态物质中的超流、超导、玻色-爱因斯坦凝聚等现象。
它们还可以用来描述量子场论中的费米子、玻色子以及它们之间的相互作用。
粒子数算符和哈密顿量算符对易关系还可以用来描述量子信息学中的量子比特、量子纠缠、量子密度矩阵等量子信息学的现象。
二次量子化
二次量子化说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。
波色子统计法；相同粒子时不可分辨的。
而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。
所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。
泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。
实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。
用12(,......)n ϕεεε代表N 个相同粒子得ε表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。
因而波函数只能改变亦个 常数因子。
即()()121212,......,......n n ϕεεελεεε= 121λ= 俩此交换这对粒子，得2121λ= 故121λ=± 1213141.........n λλλλ===可知波函数只能时全对称或全反对称得。
由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。
由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。
按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。
一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。
例如一种最简单得全对称波函数是()()()12.........n αααϕεϕεϕε这个波函数表示任意N 个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。
不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。
因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。
可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。
二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N 粒子B 值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B 值为b 得粒子。
产生算符和消灭算符由于()12.....N N 得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....N N ，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12N N 时各个算符得本征值。
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式（无相互作用）
由于泡利不相容原理的存在，要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点，人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法，就是二次量子化。 二次量子化的引入：Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义：
+
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
二次量子化
1 p P[ (q1 ) (q2 )... N (qN )] N! p
P－置换算符 p 1 是置换P的奇偶性。
斯莱特（slater）行列式
19
(q1 ) (q2 ) ... (qN ) 1 (q1 ) (q2 ) ... (qN ) A ...(q1 , q2 ...qN ) N! (q1 ) (q2 ) ... (qN )
＝ (q1, q2 qi q j qN )
则 ―反对称波函数 A（当两粒子交换，波函数反号， 即处于反对称态）
11
s A ？以N=2,N=3为例： 如何构造 ，
(q1, q2 ), (q2 , q1 ) N=2 有2个量子态：
1 (q1 , q2 ) (q2 , q1 ) 对称波函数： (q1 , q2 ) 2
n1 个粒子处于 1 态； n 2 个粒子处于 2 态……。 但它不可能告诉你，哪一个粒子处于 1 态，那
一个粒子处于 2 态，等等。
4
注意：全同性原理只是说全同粒子不可区分，不可编号，
但并不是说它们的量子态不可区分。例如：氢原子中电
子的波函数用 n,l , m, ms 表示，n,l ,m,m s 四个量子数
(q1 )
(q1 )
(q2 ) (q2 ) (q3 ) (q3 )
18
推广：在坐标表象中，N个全同费米子的归一化的 量子态：
(q1 ) 1 (q1 ) A ...(q1 , q2 ...qN ) N ! (q1 )
(q2 ) ... (qN ) (q2 ) ... (qN ) (q2 ) ... (qN )
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即，
2 1, 1,
Pij有两个本征值，
7
Pij Pij (对称） ; (反对称）
为全同粒子系的关系式， 即，全同粒子系的交换对称性给予系统的波函数 以极大的限制。即要求对于其中的任何两个粒子的 交换, 或为，对称，或为，反对称。 [Pij , H ] 0 Pij为守恒量
二次量子化
1
●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理 →发展了二次量子化方法 † 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充 的粒子数描述状态；交换对称性自动满足 † 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符 † 任意态矢和力学量均可用它们表示 † 有系统的法则计算力学量的矩阵元
2
§1 全同粒子系的量子态描述
12
§2 N个全同粒子体系的波函数
——粒子数表象
13
由上得知：
• Fermi子
1 k1 ...kN (q1...qN ) P P[k1 (q1 )k2 (q 2 )...kN (q N )] N! P
A
• Bose子
s n ...n (q1...qN )
1 N
ni !
交换两个电子，H显然不变，即有， [P 12 , H ] 0, 其中P12 为粒子1和2的交换算符。
5
二、全同粒子系的坐标表象
首先考虑两个全同粒子组成的体系， 该体系以波函数 (q1 , q2 )描述，q1 , q2分别为两个 粒子的' 全部'坐标. 当两个粒子交换时，
(q1 , q2 ) P (q1 , q2 ) (q2 , q1 ) 12
3
●为什么要引入粒子数表象？
1. 全同粒子的交换对称性 何为全同粒子？ 2. 全同性与量子化的概念区别于经典
4
一、多粒子体系的哈密顿量
●对哈密顿量的分析
例，氦原子中两个电子组成的体系：
2 2 2 2 2 ˆ H hi p1 / 2m p2 / 2m 2e / r1 2e / r2 e / r1 r2 i 1 2
^ ^
1.
F （ n ' n ' ... , F n n ... ) N ( n ' n ' ... , f (1) n n ... )
1 2 1 2 1 2 1 2
^
^
两种情况考虑：对角元与非对角元
26
对角元 f kk (k (q1 ), f (1) k (q1 )) (k , f k ) ( N 1)! n1 !n2 !...(nk 1)!... ( N 1)! F N f kk N ! k n1 !n2 !...(nk 1)!...
... ... a a a ... 0 ,
a , a , a 分别表示各态上的粒子产生算符，
19
考虑到，交换反对称性要求，
... ...
a a a ... 0 a a a ... 0 (a a a a ) ... 0 Fermi子的产生算符满足反对易关系，即为 a a a a [a , a ] 0 特例， a a 0( Pauli原理） 相应的伴式， ... 0 ...a a a [a , a ] 0
16
同样地，对于Fermi 子, 结合Pauli 原理， 脱离表象后， n 1, n 1...n 1... 11 ...1 ... ... ...
为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产 生算符和湮灭算符
17
Bose子体系
引入单粒子i 态的粒子湮灭与产生算符ai , ai ， 满足[ai , ai ] 1， [ai , a j ] [ai , a j ] 0 其归一化能量本征态为 1 n2 n1n2 ... (a1 ) n1 (a2 ) ... 0 , (在i 态上有ni 个Bose子） n1 !n2 !.. 同时，为粒子数算符 ni ai ai 的本征态，本征值为ni , 也为总粒子数算符的本征态，其对任一两个Bose子的交换是对称的 类似的有，
A k k (q1 , q2 ) 即此种态不存在， 以上式知，若k1=k2,则
1 2
Pauli原理。（不能有两个全同的Fermi子处于同一个 但粒子态）
10
推广至 N个Fermi 子体系， 1 k1 ... kN (q1...q N ) N!
A A
k ( q1 )
1
... k 1 (q N )
11
同样地，推广到N个BOSE子体系
ni !
i 1 N
s
n1 ...nN ( q1...qN )
N!
P
P[k1 (q1 )...kN (q N )]
其中， P 表示只对处于不同状态的粒子进 行对换而构成的置换。 这样表示出的波函数比较繁琐，甚至说 没必要。因为全同粒子本来无需编号，但是 要写出这样的波函数又不得不编号。
^
^
考虑 F 的交换对称性，且 n ' n ' ... , n n ...中各粒子所处地位相同，
1 2 1 2
^
（ n ' n ' ... , F n n ... ) （ n ' n ' ... , f (a ) n n ... ) N（ n' n' ... , f (1) n n ...
首先，考虑q表象下全同Bose 子系的N粒同状态的粒子进行对换而构成的置换. 计算 F 矩阵元（ n ' n ' ... , F n n ... )
1 2 1 2
s n ... n (q1...q N )
1 N
ni !
i 1
N
P[ k1 (q1 )... k N (q N )]
8
Pauli原理
设两个全同粒子组成的体系， 考虑其Hamilton 量，H h (q1 ) h (q 2 ), h (q ) k (q ) k k (q ), 1.交换对称（bose子） 1 k1k2 (q1 , q2 ) (1 P 12 ) k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) 2 1 [ k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) k1 (q 2 ) k 2 (q1 )] 2
22
若以粒子数形式表示， n1n2 ... 对Fermi 子，n i 1
1
or n
0,
a ...n ... (1) 1 ...1 ... n 0
1
a ...n ... (1) 1 ...0 ... n 1
两个量子态有何不同？粒子角色对调，同一量子态
6
一般性考虑，扩展至N个粒子的全同体系， (q1 , q2 , , q N ) 若Pij 表示第i 和j粒子的交换算符，则 Pij (q1 , q2 , qi q j , q N ) (q1 , q2 , q j qi , q N ) Pij 与描述的量子态完全一致，最多差一因子， Pij , Pij , 且有，Pij 1
i 1
N
N!
P
P[k1 (q1 )...kN (q N )]
14
Slater行列式
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性 † 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
15
坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出，描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐，故引入粒子数表象， 即，无需进行编号， 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可， 为此，此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose 子，脱离q表象，有 n1n2 ...nN , (粒子数表象或Fock表象）
s
9
2.交换反对称性（Fermi 子） 1 A k1k2 (q1 , q2 ) (1 P 12 ) k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) 2 1 [ k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) k1 (q 2 ) k 2 (q1 )] 2 1 k1 (q1 ) k 1 (q 2 ) 2 k 2 ( q1 ) k 2 ( q 2 )
_ i 1
27
^
^
其余N-1个粒子在正交归一性的影响下，贡献数为，
ni !
N
非对角元(体系初末态只差一个单粒子态） ( ...( ni 1)...( nk 1)... , F ...ni ...nk ... ) N ( ...( ni 1)...( nk 1)... , f (1) ...ni ...nk ... ) 考虑有贡献的矩阵元fik , 其个数为， ( N 1)! n1 !n2 !...ni !...(nk 1)!... 非对角矩阵元为 ...ni !...(nk 1)!... ( N 1)! N (ni 1)nk fik N! n1 !n2 !...ni !...(nk 1)!... (ni 1)nk f ik
1 2 1 2 1 2
^
N
^
^
a 1
1 2
1 2
1 2
25
f (1) 为任意挑选粒子，再乘以总数N为总矩阵元。 其次考虑 f (a ) 为单体算符，故矩阵元的计算 故有， F 矩阵元( n ' n ' ... , F n n ... )
1 2 1 2
^
^
只需考虑体系的初末态相同或只差一个单粒子态的情况。