高量二次量子化方法
高等量子力学补充专题二次量子化简介
im( xn xn1 ) 2 m ) 对自由粒子，已知 xntn | xn1tn1 2it exp( 2t
由于W(Δ t)与V(x)无关，可用自由粒子情况算出
1 w t m 2it
于是，对 t 0 ，有
九、Feynman路径积分公式
1. 无限小时间间隔的一段路径， x n t n
x n 1 t n 1 1 e iSn ,n 1 / Wt
w(Δ t)只与Δ t而（假定）与V(x)无关的权重因子。
由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而
2 x x 2 mx m n n1 xn xn1 S n, n 1 dt V x t V tn1 2 t 2 2 tn
x "| eiHt / |a ' a ' | eiHt0 / x ' x ", t | x ', t0
a'
这里 x ", t | 和 | x' , t 0 是海森堡绘景中位置算符的本征左矢和右矢。 因 b' , t | a' , t 0 是从 | a' , t 0 到 | b' , t 态的跃迁振幅，故 x", t | x' , t 0
所有路径对 x N t N | x1t 1 的贡献： x N t N | x 1 t 1 ~
若 0，则相邻路径的贡献倾向于抵消。
所有路径
e
iS N ,i /
对最小作用量路径（经典路径），则相邻路径的S差别是二阶的， 因而可相干增强。所以 0 时挑出的轨道为经典轨道。
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
高等量子力学内容介绍
4学时
♥ 均与经典力学的哈密顿形式密切相关 † 路径积分—源于经典力学的拉格朗日形式 ♥ 便于推广到相对论形式 ♥ 把含时与不含时问题纳于同一框架处理
♥ 便于考察量子学与经典力学之关系
相对论量子力学初步
• 6学时
• 14学时
角动量理论
• 角动量理论在分子原子原子核和基本粒子物理中有广 泛的应用.
• 10学时
二次量子化方法
使用产生算符合湮灭算符在对称化的希尔伯特空间处 理处理全同粒子系统的有效方法 • 二次量子化方法的基本概念 • 6学时
路径积分 路径积分方法的由来
●量子力学三种形式与经典力学的关系
† 矩阵力学—泊松括号→对易子
• 在五个基本原理的基础上建立量子力学的理论体系.
• 对量子力学的一些基本内容作简短的必要的重复,但主
要还是介绍属于高等量子力学的范围的新内容,如算符
的构造、代数运算、三种绘景、密度矩阵等
• 30学时
量子力学中的对称性
• 量子力学中对称性非常重要:
对称性的研究可以给出寻找运动规律的的某些线索； 对称性的存在,在未建立方程时,可以给解的形式以确定 的限制并将借进行分类； 薛定谔方程能精确求解的不多,据对称性分析可以确定 体系某些确定的知识—能级简并； 可使矩阵元的计算简化，为微扰计算提供合适的波函数； • 学习时空对称性与和他们相联系的守恒律
标准内容内容
量子力学中的对称性 角动量理论 二次量子化方法 路径积分 散射的量子理论 相对论量子力学初步
本课程教学内容安排
• • • • • • • • 希尔伯特空间 量子力学的理论结构 量子力学中的对称性 角动量理论 散射的量子理论 二次量子化方法 路径积分 相对论量子力学初步
二次量子化的哈密顿量
二次量子化的哈密顿量二次量子化是量子力学中的一种重要方法，用于描述多粒子系统的相互作用和运动。
它是在二次量子化框架下，通过引入产生算符和湮灭算符来重新表述系统的哈密顿量，从而更加方便地进行计算和分析。
在二次量子化中，我们将系统的基态视为真空态，并引入湮灭算符和产生算符来描述系统中的粒子数目和激发态。
湮灭算符a_i可以将第i个粒子湮灭，而产生算符a_i†可以将第i个粒子产生。
这种描述方式使得我们可以方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
在二次量子化框架下，系统的哈密顿量可以表示为湮灭算符和产生算符的线性组合。
例如，对于一个自由粒子系统，其哈密顿量可以写成：H = ∑_i ε_i a_i† a_i其中，ε_i表示第i个粒子的能量。
这个哈密顿量描述了自由粒子系统中粒子的能量和粒子数目之间的关系。
对于相互作用系统，其哈密顿量可以写成：H = H_0 + H_int其中，H_0表示系统的自由哈密顿量，描述了粒子的动能和势能；H_int表示相互作用哈密顿量，描述了粒子之间的相互作用。
在二次量子化中，我们可以通过引入湮灭算符和产生算符来重新表述这两部分哈密顿量。
通过二次量子化的方法，我们可以方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
例如，在处理费米子系统时，我们可以引入费米算符来描述系统的基态和激发态，并通过对这些算符进行代数运算来得到系统的物理性质。
二次量子化的方法在凝聚态物理、量子场论等领域有着广泛的应用。
它不仅可以用于描述多粒子系统的相互作用和运动，还可以用于研究物质的凝聚态性质、相变行为等。
通过二次量子化的方法，我们可以更加深入地理解量子力学中的多粒子现象，并为实验和理论研究提供了重要的工具。
总之，二次量子化是量子力学中一种重要的描述多粒子系统的方法。
它通过引入湮灭算符和产生算符来重新表述系统的哈密顿量，从而方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
二次量子化方法在凝聚态物理、量子场论等领域有着广泛应用，并为我们深入理解量子力学中的多粒子现象提供了重要的工具。
§9 二次量子化理论
(9.1.28)
&n = − p
∂H ∂ = − f ∑ ( x m − xm +1 ) ( x m − xm +1 ) ∂x n ∂x n m
m
= − f ∑ ( x m − xm +1 )(δ n,m − δ n,m +1 ) = f ( x n+1 + xn −1 − 2 xn )
(9.1.29)
t2
t2
∂L ∂L & dt = δq + δq & ∂q ∂q ∂L d ∂L − = 0 & ∂q dt ∂q
∫
t2
t1
∂L d ∂L δqdt = 0 ∂q − dt ∂q &
即
为拉氏方程。当 V ( q, t ) 不含广义速度时，
2N 个动力学方程
2
&i = q
∂H ∂H &i = − ， p ∂ pi ∂ qi
(9.1.12)
2. 谐振子的粒子数表象 参考§8.2 第 1 中的论述。 §8.2 第 1 中的论述中没有涉及状态随时间的演化， 在粒子数表象 中， 状态由产生算符作用于真空态的形式表示， 所以采用海森伯绘景。 在海森伯绘景中，
) 1 µ )+ ) ) ) H = pk p k + ∑ ω k2 q k+ q k ∑ 2µ k 2 k
∑ x (t ) exp[ −ikna]
n n
(9.1.40)
由哈密顿方程得
p n (t ) = µx &= 1 N
∑ p (t ) exp[ −ikna ]
k k
(9.1.41) (9.1.42)
二次量子化基础
二次量子化基础大体思想一次量子化大体方程为Schr odinger 方程 ψψμψ),(222t r V t i +∇-=∂∂. 任意状态),(t x ψ可在Hilbert 空间按基矢)(x i ϕ展开为 ∑=)()(),(x t a t x i i ϕψ,基矢)(x i ϕ可为某不含时Hamiltonian 的本征态)()()()(2)(22r E r r U r r H i i i i i ϕϕϕμϕ=+∇-=.二次量子化的大体思想确实是将按基矢)(x i ϕ展开的Schr odinger 方程（或其它场方程）的解),(t x ψ看做场算符，展开系数+i i a a ,为相应于单粒子态)(x i ϕ的湮灭算符和产生算符。
1. Hartree-Fock 自洽场方式H-F 方式是一种有效的近似方式，在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时取得较好结果。
这种方式便于作独立粒子近似，即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。
考虑由N 个全同Fermi 子组成的系统, 设粒子间有二体彼此作用，Hamiltonian 为∑∑≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=i ji j i i i r r V t r V m H ),(21),(222 （1）计及互换反对称性，试探波函数可表或Slater 行列式)()( )()()()()()()(!1),,2,1(21N 2221212111N N N N N q q q q q q q q q N N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ =（2）式中i ϕ为正交归一的单粒子态。
利用（2），能量平均值为∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇->==<*i i ir t x V m r x d H H )(),(2)(||223ϕϕψψ∑⎰⎰∑⎰⎰≠**≠**''''-''''+ji j i j i ji j i j i r r r r V r r x xd d r r r r V r r x xd d )()(),()()(21)()(),()()(213333ϕϕϕϕϕϕϕϕ （3）利用散度定理和i ϕ在边界为零，上式第1项为⎰∑∇•∇*i i x d mϕϕ322 , 即⎰∑⎰∑⎰∑=∇•∇+∇=∇•∇***iii ii i i i x d x d x d 0)(3323ϕϕϕϕϕϕ. 证明：N =2时，)]()()()([2112212211r r r r ϕϕϕϕψ-=, )]()()()([21||12212211231321r r r r x d x d ****->=∇<⎰⎰ϕϕϕϕψψ )]()()()([1221221121r r r r ϕϕϕϕ-∇•)]()()()( )()()()()()()()( )()()()([2112211221211121122221122111212211211122222313r r r r r r r r r r r r r r r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∇+∇-∇-∇=********⎰⎰利用i ϕ的正交归一性，对r 2积分后得⎰∇+∇>=∇<**)],()()()([21||1221121121111321r r r r x d ϕϕϕϕψψ 同理⎰∇+∇>=∇<**)]()()()([21||2222222122212322r r r r x d ϕϕϕϕψψ 因此，略去x 和r 的下脚标后，有∑⎰∑=*=∇=>∇<2123212)()(21||i i i j jr r x d ϕϕψψ （4） ⎰⎰****->=<),()]()()()([21|),(|212112************r r V r r r r x d x d r r V ϕϕϕϕψψ )]()()()([12212211r r r r ϕϕϕϕ-⎰⎰****+=)]()(),()()()()(),()()([21122121122122112122112313r r r r V r r r r r r V r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕ)]()(),()()()()(),()()(22112112211221212211r r r r V r r r r r r V r r ϕϕϕϕϕϕϕϕ****--（5）此即（3）式中后两项的展开形式，证毕。
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式（无相互作用）
由于泡利不相容原理的存在，要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点，人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法，就是二次量子化。 二次量子化的引入：Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义：
+
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介
Z
Brillouin磁化率公式：
负温度（如晶格排列磁矩体系）：
1 1 S ln ( E ) , ( E ) : E处状态数 kT k E E
若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任 意k）：ρkk=1/N 对应于完全随机的系综，与β ->0（即T∞）的 正则系综分布相同
十四、配分函数
ρkk的分母为
是统计力学中的配分函数，可写为
ρ在能量本征态基中可写为
据此可得体系的所有性质， A tr e 对A=H，有
Ψi(x’)是对应于|α(i)>的波函数。 ρ的对角元素是几率密度的权重和。 混合态系综分解也是不唯一的（如不同平面波或波包 的叠加）
十一、密度算符与量子统计力学
对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象中均有：
该ρ与纯系综的ρ很不相同。 为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
在ρ本征态为基矢时
U
H
A
Z
k k
N
A k e Ek
N
E e
k k N k
N
Ek
Ek e
Ek e
(ln Z )
与统计力学的对应知β =1/kT.
应用举例：均匀磁场中的电子系综
e /2 0 0 e /2 , Z=e /2 e /2
关于算符函数矩阵的运算
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▲单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元
有一个态不相同的情况
▲双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元
2020年6月8日星期一2 时54分53秒
12 i N
20
一、波函数的表示；产生消灭算符
的对易关系
ai | n1n2 ni ()P ni | n1n2 1 ni
ni 0或1，i 1,2,3,
i 1
P nr r 1
a i
| n1n2
ni
()P
1 ni | n1n2 ni 1
→可取一球对称的单粒子位函数之和代替
Hˆ
Z [hˆi
i 1
U
(ri
)]
Z
i j
e2 rij
Z
U (ri ) i 1
U (ri )的选取应使二者之差可视为微扰
→中心场近似
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6
时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4分53秒
二、中心场近似
● 中心场近似的实质
将 Z 个具有相互作用的电子看作相互无作用
地在一个共同的中心场中运动——零级近似
2020年6月8日星期一2
12
时54分53秒
§7.3 粒子数表象
Representation of Particle Number
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13
时54分53秒
一、粒子数表象的由来
●上述结论启发人们采用粒子数表象 引入粒子的产生和消灭算符 以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算
这种方法就叫做二次量子化方法
2020年6月8日星期一2
14
时54分53秒
二、粒子的真空态；产生消灭算符
●真空态定义；归一化条件
●产生算符的定义 单个粒子的状态 N个粒子的状态
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15
时54分53秒
二、粒子的真空态；产生消灭算符
●消灭算符的定义 作用于真空态的效果 产生和消灭算符互为厄米共轭；非厄米
2020年6月8日星期一2
2020年6月8日星期一2
21
时54分53秒
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
a i
a
i
| n1n2
ni
ni | n1n2
ni
当ni 0 当ni 1
Nˆi
a i
ai
的意义——粒子数算符
总粒子数算符
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22
时54分53秒
二、力学量的表示
●单粒子算符 例：单粒子动能算符 N个粒子体系的动能算符 在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
Hˆ Hˆ 0 Hˆ 2 Hˆ1
Hˆ 0
Hˆ 2
Z
hˆi
i 1
Z
[
2 2m
i2
i 1
Ze2 ri
(ri
)li
si
]
为单粒子算符之和，可分离变量求解
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5
时54分53秒
二、中心场近似
● 用单粒子位代替库仑排斥力
Hˆ1的存在使得Hˆ E不能严格求解
因电子间库仑斥力具有很大的球对称成分
Hˆ 0
Z
[
2 2m
2 i
i 1
] Ze2
ri
Hˆ 1
Z e2
i j rij
rij | ri rj |
Hˆ 2
Z
(ri
)li
si
i
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4
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一、多粒子体系的哈密顿量
●对哈密顿量的分析
Hˆ1和Hˆ 2的相对影响依赖于原子 序数
轻原子，前者重要，后者可视作微扰
重原子反之；一般原子，二者都较重要→
●态矢量的正交归一化 →产生算符与消灭算符之间的对易关系
态矢量内积；三个可能值 N=1的情况 N=2的情况
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19
时54分53秒
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●N个费米子处于N个单粒子态的态矢量表示
态矢量表示
厄米共轭
反对易关系
利用对易关系计算
ai |1 1 1 1 0
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9
时54分53秒
一、Slater行列式
● 全同粒子具有不可分辨性→
全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性
† 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
●中心场近似下N个费米子体系的状态波函数
Slater行列式；写成求和形式
N个对象的排列算符； N=3的例子
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23
时54分53秒
二、力学量的表示
●双粒子算符 例：两个粒子相互作用位能算符 N个粒子体系总的相互作用位能算符 在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
2020年6月8日星期一2
24
时54分53秒
二、力学量的表示
●力学量表达式的由来
要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到
第七章 二次量子化方法
２００４年１２月
2020年6月8日星期一2
1
时54分53秒
引言
●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理
→因而发展了二次量子化方法 ☻ † 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充
的粒子数描述状态；交换对称性自动满足
† 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符
† 任意态矢和力学量均可用它们表示
† 有系统的法则计算力学量的矩阵元
2020年6月8日星期一2
2
时54分53秒
§7.1 中心场近似
Central Field Approximation
†‡●☺☻◙◘♠♣♥♦♪♫
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3
时54分53秒
一、多粒子体系的哈密顿量
●考察序数为 Z 的原子中 Z 个电子构成的体系 在非相对论近似下，哈密顿量为
零级近似哈密顿量
Hˆ 0
Z
[hˆi
U (ri )]
分离变量求解
i 1
Hˆ 0 (1,2, , N ) E (1,2, , N )
2020年6月8日星期一2
7
时54分53秒
二、中心场近似
●原子核物理中的独立粒子模型
2020年6月8日星期一2
8
时54分53秒
§7.2 N个全同粒子体系的波函数 ——零级近似波函数
2020年6月8日星期一2
10
时54分53秒
二、全同玻色子体系的波函数
●N个玻色子占有N个状态 一般表达式 N=3的例子
●N个玻色子占有m个状态 一般表达式 N=3的例子
2020年6月8日星期一2
11
时54分53秒
三、一般结论
●对称性确保满足全同性——不可分辨性
费米子体系波函数的反对称性 确保满足泡利不相容原理 ●在中心场近似下，只需知道 1、哪几个单粒子态被占有 2、每个单粒子态上有几个粒子 即可知道全同粒子体系的状态
16
时54分53秒
§7.4 粒子数表象中费米子体系 的波函数及力学量的表示
2020年6月8日星期一2
17
时54分53秒
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●产生算符表示状态应与Slater行列式等价 →产生算符的对易关系
→消灭算符的对易关系
2020年6月8日星期一2
18
时54分53秒
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系