第5章全同粒子及二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
§9 二次量子化理论
(9.1.28)
&n = − p
∂H ∂ = − f ∑ ( x m − xm +1 ) ( x m − xm +1 ) ∂x n ∂x n m
m
= − f ∑ ( x m − xm +1 )(δ n,m − δ n,m +1 ) = f ( x n+1 + xn −1 − 2 xn )
(9.1.29)
t2
t2
∂L ∂L & dt = δq + δq & ∂q ∂q ∂L d ∂L − = 0 & ∂q dt ∂q
∫
t2
t1
∂L d ∂L δqdt = 0 ∂q − dt ∂q &
即
为拉氏方程。当 V ( q, t ) 不含广义速度时，
2N 个动力学方程
2
&i = q
∂H ∂H &i = − ， p ∂ pi ∂ qi
(9.1.12)
2. 谐振子的粒子数表象 参考§8.2 第 1 中的论述。 §8.2 第 1 中的论述中没有涉及状态随时间的演化， 在粒子数表象 中， 状态由产生算符作用于真空态的形式表示， 所以采用海森伯绘景。 在海森伯绘景中，
) 1 µ )+ ) ) ) H = pk p k + ∑ ω k2 q k+ q k ∑ 2µ k 2 k
∑ x (t ) exp[ −ikna]
n n
(9.1.40)
由哈密顿方程得
p n (t ) = µx &= 1 N
∑ p (t ) exp[ −ikna ]
k k
(9.1.41) (9.1.42)
二次量子化基础
二次量子化基础大体思想一次量子化大体方程为Schr odinger 方程 ψψμψ),(222t r V t i +∇-=∂∂. 任意状态),(t x ψ可在Hilbert 空间按基矢)(x i ϕ展开为 ∑=)()(),(x t a t x i i ϕψ,基矢)(x i ϕ可为某不含时Hamiltonian 的本征态)()()()(2)(22r E r r U r r H i i i i i ϕϕϕμϕ=+∇-=.二次量子化的大体思想确实是将按基矢)(x i ϕ展开的Schr odinger 方程（或其它场方程）的解),(t x ψ看做场算符，展开系数+i i a a ,为相应于单粒子态)(x i ϕ的湮灭算符和产生算符。
1. Hartree-Fock 自洽场方式H-F 方式是一种有效的近似方式，在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时取得较好结果。
这种方式便于作独立粒子近似，即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。
考虑由N 个全同Fermi 子组成的系统, 设粒子间有二体彼此作用，Hamiltonian 为∑∑≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=i ji j i i i r r V t r V m H ),(21),(222 （1）计及互换反对称性，试探波函数可表或Slater 行列式)()( )()()()()()()(!1),,2,1(21N 2221212111N N N N N q q q q q q q q q N N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ =（2）式中i ϕ为正交归一的单粒子态。
利用（2），能量平均值为∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇->==<*i i ir t x V m r x d H H )(),(2)(||223ϕϕψψ∑⎰⎰∑⎰⎰≠**≠**''''-''''+ji j i j i ji j i j i r r r r V r r x xd d r r r r V r r x xd d )()(),()()(21)()(),()()(213333ϕϕϕϕϕϕϕϕ （3）利用散度定理和i ϕ在边界为零，上式第1项为⎰∑∇•∇*i i x d mϕϕ322 , 即⎰∑⎰∑⎰∑=∇•∇+∇=∇•∇***iii ii i i i x d x d x d 0)(3323ϕϕϕϕϕϕ. 证明：N =2时，)]()()()([2112212211r r r r ϕϕϕϕψ-=, )]()()()([21||12212211231321r r r r x d x d ****->=∇<⎰⎰ϕϕϕϕψψ )]()()()([1221221121r r r r ϕϕϕϕ-∇•)]()()()( )()()()()()()()( )()()()([2112211221211121122221122111212211211122222313r r r r r r r r r r r r r r r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∇+∇-∇-∇=********⎰⎰利用i ϕ的正交归一性，对r 2积分后得⎰∇+∇>=∇<**)],()()()([21||1221121121111321r r r r x d ϕϕϕϕψψ 同理⎰∇+∇>=∇<**)]()()()([21||2222222122212322r r r r x d ϕϕϕϕψψ 因此，略去x 和r 的下脚标后，有∑⎰∑=*=∇=>∇<2123212)()(21||i i i j jr r x d ϕϕψψ （4） ⎰⎰****->=<),()]()()()([21|),(|212112************r r V r r r r x d x d r r V ϕϕϕϕψψ )]()()()([12212211r r r r ϕϕϕϕ-⎰⎰****+=)]()(),()()()()(),()()([21122121122122112122112313r r r r V r r r r r r V r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕ)]()(),()()()()(),()()(22112112211221212211r r r r V r r r r r r V r r ϕϕϕϕϕϕϕϕ****--（5）此即（3）式中后两项的展开形式，证毕。
二次量子化理论
s 2 s1 SM
2 s- S
就是说，这时交换两粒子，使系统自旋波函数多出 (- 1)
。可是，另一方面，根据自旋与
对 称 性的 关系的相对论量子力学 结论，这 全同双 粒子系统的 总波 函 数在粒子交换时 应出
(- 1)2 s （ s 为整数时 + 1 ，半整数时 - 1 ，前者对应玻色子系统对称波函数，后者对应费米子
y PN (x N ) 】 Sy P1 (x1 )y P2 (x2 )L
2． 两个全同粒子体系 a） 设这个系统由费米在组成，所以它的总波函数必定相对于两粒子交换为反对称的， 即，如交换坐标是对称的，则交换自旋就必定是反称的，反之亦然。如果忽略一些小的相对 论效应， 则系统的哈密顿可分解为空间部分与自旋部分之积， 这样系统的波函数就可以写成 一个空间部分和一个自旋部分的乘积——可分离自旋变量，那么自旋部分波函数被合成为
k
由y nA 表达式得到一个重要结论：如果在 n1 , n 2 , L 中有任何两个数值相同，系统的 1 , n2 ,L 反对称波函数将为零，只当它们全部都不同时，系统的反对称的波函数才不为零，由此，费 米子系统中，不可能有两个（或更多个）粒子在同一时刻处于同一态上，这就是“泡利不相 容原理（1925） ” 。 <玻色子体系> 与费米子体系不同，玻色子体系是由对称波函数描述的，于是不存在泡利不相容原理 那样的现象，所以同一个单粒子态上可以被不止一个粒子所占据，就是说， n1 , n 2 , L 中有 些是相同的（就它们是态编号来说） ，或 n1 , n 2 , L 可以大于 1（就它们是粒子数来说） 。 一个特殊的基本的对称态可表为
S yn (x1 , x 2 , Lx N ) = 1 , n2 ,L
写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式
写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式1. 引言1.1 概述本文旨在探讨全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式。
在量子力学中，全同粒子系统是一类具有相同物理性质的粒子组成的系统，它们之间没有任何区别。
而总轨道角动量lz和l2则是描述这些粒子在空间中运动时所拥有的角动量。
1.2 文章结构本文按照以下结构进行论述：首先，我们将介绍全同粒子系统总轨道角动量lz 的定义，并给出相关概念和数学表示；其次，我们将阐述lz的本征值及其对应的本征态表示；最后，我们将推导和解释lz的二次量子化表达式。
随后，我们将进行类似的分析并讨论全同粒子系统总轨道角动量l2的二次量子化形式。
1.3 目的本文旨在深入理解全同粒子系统总轨道角动量lz和l2，并通过推导和解释其二次量子化形式，进一步揭示全同粒子系统中这两个重要物理概念的内涵和意义。
这对于更好地理解多粒子体系及其特性、研究复杂体系的性质和行为具有重要的理论与实际意义。
同时，本文还将探讨相关研究的未来发展方向。
以上是“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写。
2. 全同粒子系统总轨道角动量lz的二次量子化形式2.1 全同粒子系统总轨道角动量lz的定义在全同粒子系统中，总轨道角动量lz表示所有单个粒子的轨道角动量在z方向上的矢量和。
它是各个粒子的单个轨道角动量lz值之和。
2.2 lz的本征值和本征态表示根据量子力学理论，lz具有离散值，可用来描述全同粒子系统在z方向上的旋转运动。
其本征值为mħ，其中m为整数或半整数，ħ为约化普朗克常数。
对于N个全同粒子构成的系统，其总轨道角动量lz可以通过求解含有N个因素化项的哈密顿算符得到。
由于全同粒子系统需要满足泡利不相容原理，因此泡利原理会导致只有一部分选定组态有效。
2.3 lz的二次量子化表达式推导与解释在二次量子化中，我们使用产生算符a†和湮灭算符a来描述波函数。
这些算符与单个粒子态以及多体态之间的关系如下所示：$$\begin{align*}a^\dagger_i |0⟩ & = \text{产生一个粒子在单粒子态} |i⟩ \\a_i |0⟩ & = 0\end{align*}$$其中，$|0⟩$表示全空模式，没有任何粒子。
全同粒子
对于全同粒子多体系, 任何两个粒子交换一下, 对于全同粒子多体系 任何两个粒子交换一下 其量子态是不变的, 即要求该体系的波函数对于粒 其量子态是不变的 即要求该体系的波函数对于粒 子交换具有一定的对称性. 子交换具有一定的对称性 那么, 忽略粒子相互作用的情况下, 那么 在忽略粒子相互作用的情况下 如 何去构造 构造具有完全交换对称性或反对性的波 何去构造具有完全交换对称性或反对性的波 函数? 函数 接下来我们将对这问题做一般的讨论. 接下来我们将对这问题做一般的讨论 考虑 N个全同粒子组成的多体系的情况 个全同粒子组成的多体系的情况. 个全同粒子组成的多体系的情况
1 2 N
经过
各种可能的置换P， 各种可能的置换 ，得到 P , ψ k1 ( q1 )ψ k2 ( q2 )Lψ k N ( qN ) 一共得出N！ 一共得出 ！项，即行列式展开后得出的N! 项. 即行列式展开后得出的
4.3.4 N个全同 个全同Bose子组成的体系 个全同 子组成的体系
Bose 子不受 子不受Pauli原理限制，可以有任意数目 原理限制， 原理限制 可以有任意数目 子处于相同的单粒子态 的Bose子处于相同的单粒子态 设有 ni 个Bose子 子处于相同的单粒子态. 子 N 处于 ki 态上 ( i = 1, 2,L , N ) ， n i = N ，这些 ni 中， ∑ i =1 有些可以为0，有些可以大于1.此时 此时， 有些可以为 ，有些可以大于 此时，对称的多粒 子波函数可以表示成 P ψ k1 ( q1 )Lψ k1 qn1 ⋅ψ k2 qn1 +1 Lψ k2 qn1 + n2 L ∑ 144 2444 1444 24444 4 3 4 3 P n1个 n2个
3
二次量子化
二次量子化说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。
波色子统计法；相同粒子时不可分辨的。
而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。
所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。
泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。
实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。
用12(,......)n ϕεεε代表N 个相同粒子得ε表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。
因而波函数只能改变亦个 常数因子。
即()()121212,......,......n n ϕεεελεεε= 121λ= 俩此交换这对粒子，得2121λ= 故121λ=± 1213141.........n λλλλ===可知波函数只能时全对称或全反对称得。
由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。
由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。
按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。
一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。
例如一种最简单得全对称波函数是()()()12.........n αααϕεϕεϕε这个波函数表示任意N 个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。
不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。
因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。
可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。
二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N 粒子B 值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B 值为b 得粒子。
产生算符和消灭算符由于()12.....N N 得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....N N ，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12N N 时各个算符得本征值。
二次量子化
16
同样地，对于Fermi子,结合Pauli 原理， 脱离表象后，
n 1, n 1...n 1... 11...1...
... ...
为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产 生算符和湮灭算符
17
Bose子体系
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性
† 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
15
坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出，描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐，故引入粒子数表象， 即，无需进行编号， 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可， 为此，此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose子，脱离q表象，有
(ni 1)nk fik
二次量子化形式
Fˆ f a a
28
由q表 象过渡至粒子数表象，求其矩阵元与上面比较：
_
首先， F ...nk ...ni... F ...ni...nk ...
f ...nk ...ni... a a ...ni...nk ...
f ...nk ...ni... a a ...ni...nk ... 利用粒子数算符性质
f ...nk ...ni... n ...ni...nk ...
f n
对非对角元，
^
...(nk 1)...(ni 1)... F ...ni...nk ...
... ...
k1(qN ) k N (qN )
A k1... kN
(q1...qN
)
1 N!
P
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粒子到达D1的概率 = |f() + f()|2
因为, 此时(以粒子替代O原子), 我们无法再 区分图1a和图1b, 且粒子对于置换是对 称的, 故而应为几率幅相加.
He3 + He4 ?
复合粒子呢?
12
D1
e
e
D2
图3: 在质心系中观察电子 对电子的散射
13
电子到达D1的概率 = |f() f()|2
(r1s1 , r2 s2 ,, rN sN , t )
(1)
19
用Pij表示粒子i 与粒子j 间的置换算符, 由 于粒子全同, 交换使得系统物理状态不变, 即
Pij (r1s1 ,, ri si ,, r j s j ,, rN s N , t ) (r1s1 ,, r j s j ,, ri si ,, rN s N , t )
C C
C C C C I
43
C C C C I
(27)
44
容易验证, 所有Fock基矢皆为算符C† C 的本征矢, 更严格地, 为其本征值为 0 ( 轨道空) 、或为 1 ( 轨道被占据)的本征矢, 因此C† C的功能相当于 轨道的占有数 算符; 而总粒子数算符是:
C C 0.
2.
考虑算符C† C† + C† C†,
C C
C C
0.
C C C C 0,
(25) (26)
41
C C C C 0.
3.
考虑算符C C† + C† C :
~ ~ 0.
42
若 = ,
则分别考虑 轨道被占据或空的情况:
C C
C C 0 C ~ ,
C C ~ C 0 ~ .
这两种情况在自然界确实都存在!
9
原理5：
描写全同粒子系统的态矢量, 对于任意一对 粒子的对调, 是对称的或反对称的. 服从前者 的粒子称为玻色子, 服从后者的粒子称为费 米子. 玻色子: 如光子、介子和引力子; 费米子: 如电子、子、中微子、核子.
10
D1
D2
图2: 在质心系中观察 粒子 对 粒子的散射
x ( x),
x1 , x2
( x1 ) ( x2 ) ( x1 ) ( x2 )
2
.
30
一、费 米 子
首先, 由下列关系定义产生算符:
C 0 , C C C 0 , C C C C 0 ,
(2) 其中, 是任意常数因子.
20
如果对二个粒子再交换一次, 则恢复到原有 状态, 故而
P
2 ij 2
1
(3)
21
(3)式意味着可以有两种粒子体系, 对称 波函数:
Pij s s
或者反对称波函数:
(4)
Pij a a
(5)
22
交换简并
6
如果发生相互作用的是两个全同 粒子, 将会如何呢?
7
首先, 这时, a, b 两图的过程将不能分别;
8
其次, 当我们交换两个粒子时, 我们必须 在振幅上乘以某个相位因子ei , 而如果 把两个粒子再交换一次, 应该回到了第一 个过程, 故而
ei = +1 或 1 即两个全同粒子交换前后的振幅要么具有 相同的符号, 要么具有相反的符号.
第5章 全同粒子及二次量子化
§5.1 全同粒子 量子力学的特征之一是不能区分亚原子 范围内的全同粒子. 将一群具有相同质量、 相同电荷、相同自旋, 且在相同物理条件 下具有相同物理行为的粒子称为全同粒 子.
2
D1
O
D2
(假设能量足够低!)
图1: 在质心系中观察 粒子 在O原子核上的散射
3
令f()表示探测器放在 角度上 粒子散射到其中的几率振幅:
E ni Ei
i
N ni i
(9)
由于粒子不可区分, 不能指明某个粒子具体处 于何态, 故有 N! (n1!n2!) 种由单粒子波函数 乘积形成的具有相同能量值E的(8)式. 这就是 所谓的交换简并.
25
对称波函数与反对称波函数
对于玻色子, 对称波函数由(8)式中全部可能的N! 种单粒子波函数变量交换后的和构成, 即
综上, 我们看到产生算符C† 增加一个粒子于 轨道(如果它是空的), 而湮灭算符从 轨道(如 果它被占据)移走一个粒子; 否则, 结果为零.
39
算符方程 1. 考虑算符C† C† ,
C C 0, 对任意成立
C C 0,
(23) (24)
40
N C C
(28)
45
基的变换
上面已经对一特定的单粒子基函数的集合, C† (对应于函数x) 定义了产生和湮 灭算符.
46
现若作一基变换, 则需要考虑新的产生和 湮灭算符与原有的算符之间的关系. 设 bj†和bj为相应于基函数 fjx 的产生和 湮灭算符, 这里 bj† j, fjx = xj.
因为, 电子对于置换是反对称的.
14
D1
e
e
D2
图4: 在质心系中观察电子 对电子的散射
15
e
D1
e
e
D2
e
图 4a
16
e
D1
e
e
D2
e
图 4b
17
图4 电子到达D1的概率 = |f()|2 + |f()|2
18
§5.2 N 个全同粒子的状态
在N个有自旋的粒子体系中, 体系的波函 数是4N个坐标的函数(3N个空间和N个 自旋坐标):
i1 (r1s1 ) i 2 (r2 s2 ) iN (rN s N ) 1 i1 (r1s1 ) i 2 (r2 s2 ) iN (rN s N )
N!
i1 (r1s1 ) i 2 (r2 s2 ) iN (rN s N ) (11)
27
§5.3 产生和湮灭算符
47
两组函数集合{x}和{fjx}都既是完备 的又是正交的, 于是
f j ( x) ( x) j ,
或等价的
b 0 C 0 j. j
48
新的产生和湮灭算符当然也必须(25),(26) 及(27)式. 上述要求经下面的线性变换都将得到满足:
b C j , b j j C .
C ~ 0, if 0.
(15a) (15b)
从(14)式, 我们有
C 0.
(15c)
34
从(15)的三个关系式可以分别得到
~ C 1, ~ C 0, if
C 0.
(16)
上述有关全同粒子的对称性假设将不同种类的 粒子的态限制为对称、或者反对称. 这极大地简 化了多粒子态理论, 从而允许我们引进一种包含 产生和湮灭算符的更简洁的理论形式, 即所谓的 二次量子化. 这种形式将不限制于固定粒子数的系统, 而是将 粒子数作为一动力学变量处理. 进而, 这种理论 形式可以较容易的推广到描述高能情况下粒子 的产生和湮灭.
考虑N个全同粒子, 体系的Schrodinger 方程为
( H1 H 2 H N ) (r1s1 , r2 s2 ,, rN s N ) E (r1s1 , r2 s2 ,, rN s N )
其中Hi(ri, si)作用于粒子 i 上.
(6)Βιβλιοθήκη 23如果粒子k 的本征函数为(rk, sk), 即单粒 子本征值问题是
1 N! boson Pi1 (r1s1 )i 2 (r2 s2 ) iN (rN s N ) N! P 1
(10) 其中P为对换算符, 这里假定单粒子波函数正交.
26
反对称波函数最好的表示形式是行列式---Slater 行列式---它由N个单粒子波函数组成
fermion
D1
O
D2
图1a 几率振幅 f( )
4
f()表示 粒子散射到 () 角 度上其中的几率振幅, 或探测器在 角度上探测到O原子的振幅.
D1
O
D2
图1b 几率振幅 eif( )
5
若所用探测器既能对粒子也能对O原 子做出反应, 则
在D1中探测到某种粒子的概率 = |f()|2+|f()|2
C 0 .
(20)
37
又由(16),
C ~ .
若在(17),(18)中(~), 则知
(21)
C ~ 0.
(22)
38
因此我们看到C 的作用效果是:
如果 轨道被占据, 则清空 轨道； 如果 轨道未被占据, 则结果为零. 故而C 被称作湮灭算符.
这些在空间某点产生和湮灭的新算符被称 之为场算符(field operators). 积 †(x)(x) 称为数密度算符, 而类似于(28) 式的总粒子数算符等于
C ,
(13)
当然如果 轨道已被占据, 则
C 0.
因此Pauli不相容原理自动得到满足. 于是