第三章二次量子化之基础理论
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
§9 二次量子化理论
(9.1.28)
&n = − p
∂H ∂ = − f ∑ ( x m − xm +1 ) ( x m − xm +1 ) ∂x n ∂x n m
m
= − f ∑ ( x m − xm +1 )(δ n,m − δ n,m +1 ) = f ( x n+1 + xn −1 − 2 xn )
(9.1.29)
t2
t2
∂L ∂L & dt = δq + δq & ∂q ∂q ∂L d ∂L − = 0 & ∂q dt ∂q
∫
t2
t1
∂L d ∂L δqdt = 0 ∂q − dt ∂q &
即
为拉氏方程。当 V ( q, t ) 不含广义速度时，
2N 个动力学方程
2
&i = q
∂H ∂H &i = − ， p ∂ pi ∂ qi
(9.1.12)
2. 谐振子的粒子数表象 参考§8.2 第 1 中的论述。 §8.2 第 1 中的论述中没有涉及状态随时间的演化， 在粒子数表象 中， 状态由产生算符作用于真空态的形式表示， 所以采用海森伯绘景。 在海森伯绘景中，
) 1 µ )+ ) ) ) H = pk p k + ∑ ω k2 q k+ q k ∑ 2µ k 2 k
∑ x (t ) exp[ −ikna]
n n
(9.1.40)
由哈密顿方程得
p n (t ) = µx &= 1 N
∑ p (t ) exp[ −ikna ]
k k
(9.1.41) (9.1.42)
量子力学中的量子场论与二次量子化
量子力学中的量子场论与二次量子化在量子力学的发展历程中，量子场论和二次量子化是非常重要的概念和方法。
量子场论是一种描述微观粒子行为的理论框架，而二次量子化则是将量子力学的基本概念扩展到多粒子体系的方法。
本文将介绍量子场论的基本知识和二次量子化的概念，以及它们在量子力学研究中的应用和意义。
一、量子场论1.量子场的概念在经典物理学中，物质和场是分开考虑的，而在量子场论中，物质和场被统一起来考虑。
量子场是一种能量和动量在空间中传播的物理场，它可以看作是许多谐振子的集合。
量子场论通过对场算符的量子化来描述不同种类的粒子。
2.量子场算符量子场算符是量子场论的基本工具，它们可以创造和湮灭粒子。
对于费米子，如电子，量子场算符是具有反对易关系的费米子算符；对于玻色子，如光子，量子场算符是具有对易关系的玻色子算符。
3.场的量子化量子场理论将经典的场理论量子化，通过将经典场变量替换为动量和哈密顿算符的算符形式，从而得到了量子场的描述。
量子场的量子化过程涉及到将场展开为一组谐振子模式，而这些模式称为量子场的模式展开。
二、二次量子化1.多粒子态和Fock空间二次量子化是将量子力学的基本概念推广到多粒子体系的方法。
在二次量子化中，多粒子态由一系列粒子的量子数来描述，而不再是单个粒子的波函数。
Fock空间是用于描述多粒子态的数学空间，它由一系列单粒子态的张量积构成。
2.产生算符和湮灭算符二次量子化中，使用产生算符和湮灭算符来操作多粒子态。
产生算符可以将系统中没有粒子的态变为有一个粒子的态，而湮灭算符则将有一个粒子的态变为没有粒子的态。
这两个算符满足一系列对易或反对易关系。
3.二次量子化的物理意义二次量子化的方法可以更方便地描述多粒子体系的行为，例如，可以通过产生算符和湮灭算符来计算多粒子态的能量、动量等守恒量。
此外，二次量子化还是研究粒子之间相互作用和散射等过程的重要工具。
三、应用和意义1.量子场论在粒子物理中的应用量子场论是研究基本粒子物理学的重要工具，例如，量子电动力学(QED)是量子场论的一个重要分支，用于描述电磁相互作用。
二次量子化
12
§2 N个全同粒子体系的波函数 ——粒子数表象
13
由上得知：
• Fermi子
A k1 ...kN
(q1...qN
)
• Bose子
s n1 ...nN
(q1...qN
)
1
N!
P
P P[k1 (q1)k2 (q2 )...kN (qN )]
N
ni !
i1
N!
P
P[k1 (q1)...kN (qN )]
14
Slater行列式
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性
† 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
15
坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出，描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐，故引入粒子数表象， 即，无需进行编号， 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可， 为此，此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose子，脱离q表象，有
A k1k2
(q1, q2 )
1 2
(1
P12 )k1
(q1 ) k
2
(q2
)
1 2
[
k1
(q1
)
k
2
(q
2
)
k1
(q
2
)
k
2
(q1
)]
1 k1 (q1) k1(q2 ) 2 k 2 (q1) k 2 (q2 )
以上式知，若k1=k2,则
A k1k2
(q1, q2 )
即此种态不存在，
Pauli原理。（不能有两个全同的Fermi子处于同一个
满足[ai , ai ] 1，[ai , a j ] [ai , a j ] 0 其归一化能量本征态为
二次量子化粒子数算符和哈密顿量算符对易关系
二次量子化是量子力学中的一个重要概念，它将系统的宏观描述从波函数转换为了场算符。
在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符是非常重要的概念，它们之间的对易关系对于描述物质的性质和行为有着重要的意义。
本文将从二次量子化的基本理论入手，探讨粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系的意义及其在物理学中的应用。
一、二次量子化的基本理论二次量子化是对一次量子化的推广，它主要应用于多体系统的描述。
在一次量子化中，系统的状态由单粒子波函数描述，而在二次量子化中，系统的状态则由多个单粒子波函数乘积构成的波函数描述。
二次量子化的基本思想是将粒子视为一个场，而不是单个粒子，场的激发态就是粒子数不同的态。
在二次量子化中，系统的态可以用多个产生算符作用在真空态上得到。
二、粒子数算符和哈密顿量算符粒子数算符是用来描述系统中粒子的数目的算符，它作用在系统的态矢量上得到系统中粒子的数目。
而哈密顿量算符则是描述系统的能量的算符，它是系统动力学性质的标量函数。
粒子数算符和哈密顿量算符在二次量子化中有着重要的地位，它们之间的对易关系对于描述系统的行为和性质有着重要的意义。
三、粒子数算符和哈密顿量算符的对易关系在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来描述系统的性质。
粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来确定系统的基态能量和激发态能量。
在一个系统中，如果粒子数算符和哈密顿量算符对易，那么系统的粒子数是守恒的，在准经典极限下，这就相当于系统的宏观性质。
而如果粒子数算符和哈密顿量算符不对易，那么系统的粒子数就不是守恒的，这就相当于系统的量子性质。
四、粒子数算符和哈密顿量算符对易关系的应用粒子数算符和哈密顿量算符对易关系在物理学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述凝聚态物质中的超流、超导、玻色-爱因斯坦凝聚等现象。
它们还可以用来描述量子场论中的费米子、玻色子以及它们之间的相互作用。
粒子数算符和哈密顿量算符对易关系还可以用来描述量子信息学中的量子比特、量子纠缠、量子密度矩阵等量子信息学的现象。
二次量子化
二次量子化说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。
波色子统计法；相同粒子时不可分辨的。
而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。
所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。
泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。
实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。
用12(,......)n ϕεεε代表N 个相同粒子得ε表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。
因而波函数只能改变亦个 常数因子。
即()()121212,......,......n n ϕεεελεεε= 121λ= 俩此交换这对粒子，得2121λ= 故121λ=± 1213141.........n λλλλ===可知波函数只能时全对称或全反对称得。
由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。
由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。
按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。
一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。
例如一种最简单得全对称波函数是()()()12.........n αααϕεϕεϕε这个波函数表示任意N 个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。
不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。
因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。
可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。
二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N 粒子B 值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B 值为b 得粒子。
产生算符和消灭算符由于()12.....N N 得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....N N ，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12N N 时各个算符得本征值。
二次量子化
二次量子化二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。
普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。
但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。
二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。
相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。
然而，现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。
其一：只用作为埸的自由度的广义坐标，是一维的无穷多个指标的广义坐标，也就是说尽管是多个指标，它在空间的自由度却仅有一维。
无穷多个指标的广义坐标，只分别对应无穷多个光量子，描写它们一维的状态。
为了描写物质埸的矢量性，物质埸的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标，必须把推广成，对应物质埸在处的振动的动量，对应物质波的几率密度，即传统的二次量子化理论中的态函数。
在各类物理文献（包括科普）中，我们都能经常看到一个术语，即二次量子化，一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。
然而，所谓的二次量子化其实是一个错误的概念，至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念，其产生及仍被使用有着一定的历史根源。
但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法，否则也没有特别说明的必要了，而是依然存在于物理文献中的误解，它还在误导着更多的人。
量子场论的产生是这样一个过程。
物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学，以薛定谔方程来描述，然后为了统一量子力学和狭义相对论，或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学，他们认为有必要“推广”薛定谔方程，从而找到了克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程，进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量，而是所谓的场，一类在时空每一点都有取值的函数，对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。
二次量子化
进一步地，我们可以证明，式 (1.19) 和 (1.20) 的量子化条件也可以等价地由产 生、湮灭算符的等时对易子给出： s=0 系统：
† [a⃗ (t)] = δ⃗ k (t) , a⃗ k⃗ k′ k′ † [b⃗ (t)] = δ⃗ k (t) , b⃗ k⃗ k′ k′
s=0 厄米系统：
† [a⃗ (t)] = δ⃗ k (t) , a⃗ k⃗ k′ k′
1
第一章
二次量子化
式 (1.4) 和 (1.5) 说明： { ϕ(⃗ r, t) , π † (⃗ r, t) , ϕ† (⃗ r, t) , π (⃗ r , t) ↑ Fouriré 变换 { q⃗ k (t) , ↓
† p⃗ (t) k
}
(1.6) } , p−⃗ k (t)
,
† q− (t) ⃗ k
*
i i [ϕ , π ] + [π † , ϕ† ] = 0 ω ω
这里，我们只给出非 0 的等时对易子。
5
第一章
二次量子化
√ [ ] −i⃗ k·⃗ r i⃗ k′ ·⃗ r′ e e i † i ωω ′ † 3 3 ′ † ′ ′ √ [a⃗ (t)] = d⃗ rd ⃗ r √ ϕ(⃗ r, t) + π (⃗ r, t) , ϕ (⃗ r , t) − ′ π (⃗ r , t) k (t) , a⃗ k′ ω ω Ω Ω 2 Ω √ ( ) ∫ −i⃗ k·⃗ r i⃗ k′ ·⃗ r′ e ωω ′ 1 e 1 3 3 ′ √ = d⃗ rd ⃗ r √ δ (⃗ r −⃗ r′ ) + ′ 2 ω ω Ω Ω Ω √ ( )∫ 1 1 ωω ′ 1 ⃗ ⃗′ r = + d3 ⃗ r e−i(k−k )·⃗ ′ 2 ω ω Ω Ω = δ⃗ k⃗ k′ ϕ −→ ϕ† 在上面的证明式中作替换： , a −→ b π −→ π † ∫
二次量子化基础
二次量子化基础基本思想一次量子化基本方程为Schr odinger 方程 ψψμψ),(222t r V t i +∇-=∂∂. 任意状态),(t x ψ可在Hilbert 空间按基矢)(x i ϕ展开为 ∑=)()(),(x t a t x i i ϕψ,基矢)(x i ϕ可为某不含时Hamiltonian 的本征态)()()()(2)(22r E r r U r r H i i i i i ϕϕϕμϕ=+∇-=.二次量子化的基本思想就是将按基矢)(x i ϕ展开的Schr o dinger 方程（或其它场方程）的解),(t x ψ看作场算符，展开系数+i i a a ,为相应于单粒子态)(x i ϕ的湮灭算符和产生算符。
1. Hartree-Fock 自洽场方法H-F 方法是一种有用的近似方法，在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时获得较好结果。
这种方法便于作独立粒子近似，即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。
考虑由N 个全同Fermi 子组成的系统, 设粒子间有二体相互作用，Hamiltonian 为∑∑≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=i ji j i i i r r V t r V m H ),(21),(222 （1） 计及交换反对称性，试探波函数可表或Slater 行列式)()( )()()()()()()(!1),,2,1(21N 2221212111N N N N N q q q q q q q q q N N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ =（2）式中i ϕ为正交归一的单粒子态。
利用（2），能量平均值为∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇->==<*i i ir t x V m r x d H H )(),(2)(||223ϕϕψψ∑⎰⎰∑⎰⎰≠**≠**''''-''''+ji j i j i ji j i j i r r r r V r r x xd d r r r r V r r x xd d )()(),()()(21)()(),()()(213333ϕϕϕϕϕϕϕϕ （3）利用散度定理和i ϕ在边界为零，上式第1项为⎰∑∇∙∇*i i x d mϕϕ322 , 即⎰∑⎰∑⎰∑=∇∙∇+∇=∇∙∇***iii i i i iix d x d x d 0)(3323ϕϕϕϕϕϕ.证明：N =2时，)]()()()([2112212211r r r r ϕϕϕϕψ-=, )]()()()([21||12212211231321r r r r x d x d ****->=∇<⎰⎰ϕϕϕϕψψ )]()()()([1221221121r r r r ϕϕϕϕ-∇∙)]()()()( )()()()()()()()( )()()()([2112211221211121122221122111212211211122222313r r r r r r r r r r r r r r r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∇+∇-∇-∇=********⎰⎰ 利用i ϕ的正交归一性，对r 2积分后得⎰∇+∇>=∇<**)],()()()([21||1221121121111321r r r r x d ϕϕϕϕψψ 同理⎰∇+∇>=∇<**)]()()()([21||2222222122212322r r r r x d ϕϕϕϕψψ 所以，略去x 和r 的下脚标后，有∑⎰∑=*=∇=>∇<2123212)()(21||i i i j jr r x d ϕϕψψ （4） ⎰⎰****->=<),()]()()()([21|),(|212112************r r V r r r r x d x d r r V ϕϕϕϕψψ )]()()()([12212211r r r r ϕϕϕϕ-⎰⎰****+=)]()(),()()()()(),()()([21122121122122112122112313r r r r V r r r r r r V r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕ)]()(),()()()()(),()()(22112112211221212211r r r r V r r r r r r V r r ϕϕϕϕϕϕϕϕ****--（5）此即（3）式中后两项的展开形式，证毕。
二次量子化认识
1.二次量子化以后，波函数就升级为“波泛函”了。
Wave functional? 嗯，我又民科了，这个词是我生造的 :-)……所谓量子化就是一个确定性丧失的过程。
在一次量子化中，所有物理量的确定性都丧失了。
形式上看，就是物理量从确定的数，变成不确定的算符。
但是一个算符挂在空中摆来摆去是没有意义的。
只有当算符落实到波函数上的时候，它才能获得意义。
所以波函数的引入，对于一次量子化来说，是显然而且必须的。
波函数是关于粒子状态的函数，取值为复数，其模方表示粒子出现在该状态的几率。
从此，一切物理量都依概率分布，我们再也不能问“能量是多大”，只能问“能量是这么大的概率是多少”。
但是一次量子化并不是一场彻底的革命。
有两个物理量仍然是确定的，是可以测准的：一个是几率本身，另一个是作为相位的作用量。
它们合在一起可以构造出波函数。
既然一切物理量都不确定了，那么为什么只有概率分布还是确定的？概率分布为什么不能也依概率分布？因此，二次量子化就是要继续这场革命，将不确定进行到底，剥夺波函数的确定性，把波函数算符化，使之成为场算符。
但是场算符本身也是没有意义的，因为任何算符都不能独立存在，场算符最终也要落实到一个对象上去。
但那不是波函数，因为场算符本身就代表波函数，因此场算符应该作用在更高级的波函数上，那就是波泛函Ψ。
波泛函是一个从Hilbert空间向复数域的映射，Ψ[φ] 把场的每种经典构型φ(x) （也就是波函数），映射到一个复数Ψ 上。
这个复数就描述了出现φ(x)那种波函数的几率幅，因此可以说是几率之几率。
所有的波泛函构成一个更大的“Hilbert空间”。
基于这种构造，我们还可以实施第三次量子化，就是把波泛函再正则量子化为泛函场算符。
这样这些场算符同样需要落实。
它们作用在“波泛泛函”上面。
如此递推，可至无穷。
事实上，从量子力学开始第一次量子化的时候，它就已经蕴含了以后所有阶次的量子化。
有了一次量子化就会有二次，有了二次就会有三次。
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3 N
所 有
‧
可 能
‧‧
置 換
P SN 滿足 PH HP
3
‧‧‧
算 符
N
‧ ‧ ‧ ‧
數 目
置換算符數目 N N-1 N-2 1 =N!
置換算符之特性
H E
為 H 之 eigenfunction
• HP PH PE EP p 亦為 H 之 eigenfunction
• / P / P
第三章 二次量子化之基礎理論
•古典粒子與波動現象
離散振子系統(粒子性)
m
K
.......
j0
a
j N 1
L Lagrangian
d(
q , q)
N
[
j0
m 2
q2j
K 2
(
q j q j1 ) 2]
Euler 運動方程
n2
02 sin 2(
2
n) N 1
mqj K( q j1 2q j q j1 ) 0
H
| 0
aa
1 2
|
0
E0 |0
1 |0
2
E0
1
2
H |n n 1 |n
2
E 3 E 2
E
E
E
E 2
E0
E
a
a3 a2 a
a
a2
a
0
n
| n
(a )n n!
| 0
a | n n 1 | n
a | n n | n 1
x
3 2
3
2 2
2
2
1
2
0
x
海森堡表象(Heisenberg representation)
O(t) i [H ,O(t)] O(t) is time development operator t
a(t) i[H ,a(t)]i[aaaaaa]
t
i[a,a]a i a (1)
a(t)aeit a (t) aeit
自旋
置換算符：Pij ( , i, , j, ) ( , j, , i, )
Pij 2 1 Pij
置換群 SN ,• ： N 個客體之 N! 個置換算符 Pij構成之群
因 Pij Pji ; H ( , i, , j, ) H ( , j, , i, )
故 Pij H ( , i, , j, ) ( , i, , j, ) H (, j,, i,)(, i,, j,) H (, i,, j,)(, i,, j,)
H
A
A
1 2
A
A
2
H AA 1 2
2
|n (A )n |0 n!
H
|n
n
1
2
|
n
2
x
2m
A
A
2
pi
m A A
2
＜置換算符及置換群＞
H H (1,2,N ) N個等同粒子的Hamiltonian
(1,2,N ) N個等同粒子的波函數
位置
1 x1,1
n ckn
n L
k m
n
N
n N
kn
n
L
波與粒子運動示意圖
1.
2.
6.
3.
7.
4.
8.
5.
9.
量子波動與粒子模型
簡諧振子的波動模型
Hamiltonian
2 k
H p2 K x2
m
2m 2 x m
H
2
2
2
2
H
E
d2
d 2
2
2E
n
(
m
)
1 2n n!
Hn(
2
)e 2
n
H
Sij
S(1, N) 為對稱算符
矩陣元在 i 座標之表現
• 所有粒子均受相同之物理作用 所有物理算符對粒子變換具對稱性
• 由 Pij 定義兩類波函數
Pij s s
a
a
對稱（波色子）
反稱（費米子）
• P S S P a (1) P a
群元素 偶元 奇元
P Pij Plk Pmn
H ( , i, , j, )Pij ( , j, , i, ) H ( , j, , i, )Pji ( , j, , i, ) 1 H ( , i, , j, )Pij ( , i, , j, ) 2
1
2
n
1n
e
2
d
d
e 2
2En
2n 1 En
n
1 2
x
x
1x
100x 2
x
2x
3 x
x
x
簡諧振之粒子模型(二次量子化的理想模式)
Hamiltonian : H p2 K x2 2m 2
2 K
m
x m
H
2
2
2
2
產生[raising ( a)]和湮滅[lowering ( a )]算符
3-2.受固定電場強度作用下之簡諧振子模型
Hamiltonian : H p2 K x2 eEx , E: 電場
2m 2
H aa 1 aa 2
, eE 2m
then
a(t) i[H ,a(t)]i a , let
t
Aa
A iA
A a t
[ A, A ]1
[A,A]0 [A ,A ]0
0 2
K m
固定 邊界
q j( t ) cos( t ) sin( jp )
q0 (t) 0
qN1( t ) cos( t ) sin[( N 1) p]
pn
n
N 1
n 1,2,......,N
連續振子系統(波動性)
a 0 ， N ( L=Na 固定)
qx,t q j t
， q j1 q j
a
1 2
a
1 2
m
2
x
ip
m
m
2
x
ip
m
[ a , a ] 1 [a,a]0
2
aa
1
aa
2aa
aa
1
2
and
x
2m
a
a
pi
m
2
a
a
簡諧振子之量子狀態
from
Hn
H
| n
aa
1
2
| n En
| n
H
a
| n
定義： / P P /
轉置置換算符
/ P P 1 / P 1P P 1 /
P P P1P 1 PP PP
P 為ㄠ正算符 ( unitary )
• P, S 0
且 Pi S P j i P SP j i SP P j
S (P) ij
矩陣元在 Pi 座標之表現
i S j
aa
1 2
a
| n
aaa
1 a 2
| n
a
aa
1
2
|
n
a
(a
a
1)
1
2
| n
(En ) a | n
H
a
|
n
aa
1 2
a
|
n
aa
1 2
a
|
n
a
aa
1 2
|
n
a
(a
a
1) 2
1
|
n
(En )a | n
H E0 n
a | 0 0
2
a
2
qx,
x
t
2
1
L
dx
j a0
m
a
ka
L
Lagrangian
L c( qt ,qx )
1 2
L 0
qx,t
t
2
qx,t
x
2
dx
Euler運動方程
2qx,t
t
1 c2
2qx, t
x2
0
c
波速
qn x,t cos ntsin kn x
因 q0,t 0 qL,t