固体量子理论基础
量子力学的基本原理
1.简介量子力学的历史和发展量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为和相互作用。
以下是量子力学历史和发展的简介：•早期量子理论的兴起：在20世纪初，科学家们通过研究辐射现象和黑体辐射问题，开始怀疑经典物理学的适用性。
麦克斯∙普朗克的量子假设和爱因斯坦的光电效应理论为量子理论的发展奠定了基础。
•波粒二象性的提出：在这个阶段，德国物理学家路易斯∙德布罗意提出了物质粒子（如电子）也具有波动性的假设，即波粒二象性。
这一假设通过实验证明，如电子衍射实验，为量子力学奠定了基础。
•薛定谔方程的建立：奥地利物理学家埃尔温∙薛定谔于1926年提出了著名的薛定谔方程，用于描述微观粒子的运动和行为。
这个方程成功地解释了氢原子的能级和谱线，奠定了量子力学的数学基础。
•不确定性原理的发现：德国物理学家瓦尔特∙海森堡于1927年提出了著名的不确定性原理，指出在测量过程中，无法同时准确确定粒子的位置和动量。
这一原理挑战了经典物理学的确定性观念，成为量子力学的核心概念之一。
•量子力学的完备性和广泛应用：随着时间的推移，量子力学逐渐发展成为一个完善的理论体系，并在许多领域得到广泛应用。
它解释了原子和分子的结构、核物理现象、固体物理、粒子物理学等多个领域的现象，并为现代科技的发展提供了基础。
量子力学的历史和发展是科学进步的重要里程碑，对我们理解微观世界的行为和深入探索宇宙的奥秘具有重要意义。
2.波粒二象性和不确定性原理的解释在量子力学中，波粒二象性和不确定性原理是两个核心概念，对我们理解微观世界的行为提出了挑战，下面是它们的解释：•波粒二象性：根据波粒二象性的理论，微观粒子（如电子、光子等）既可以表现出粒子的特性，也可以表现出波的特性。
这意味着微观粒子既可以像粒子一样具有局部位置和动量，也可以像波一样展现出干涉和衍射的现象。
这种波粒二象性的解释可以通过德布罗意的波动假设来理解。
根据德布罗意的假设，微观粒子具有与其动量相对应的波长，这与光波的性质相似。
量子力学-固体物理基础
1905年Einstein假设一束单色光由辐射能量大小 为h的量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时， 是以“微粒”形式出现，这种“微粒”就是“光量 子”，一个光量子带有能量h。
第一章 微观粒子的状态：§1.1 量子力学的起源：光电效应与Einstein的光量子
电子要飞离金属，必须克服
吸引而做功(克服脱出功)，所以
其中 0 2 。
第一章 微观粒子的状态
第一章
微观粒子的状态
§1.1 量子力学的起源 §1.2 波函数 §1.3 薛定谔方程 §1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子 §1.5 定态微扰理论
第一章 微观粒子的状态：§1.3 薛定谔方程
处于 2 态的几率为 c 2
2
2
第一章 微观粒子的状态：§1.2 波函数：态的叠加原理
态叠加原理： 如果 1， 2 ， „ n „是体
系的可能状态，则它们的线性叠加也是体系 的一个可能态。
c11 c2 2 cn n
cn n
n
第一章 微观粒子的状态：§1.2 波函数：波函数的归一化条件和标准条件
单缝
双缝
三缝
四缝
Hale Waihona Puke 中子在Na单晶晶体上的衍射：
第一章 微观粒子的状态：§1.1 量子力学的起源：实物粒子的波粒二象性
h P n k
h p
h 2m E
例：一个50kg的人运动速度是1m/s，其波长是？
h 6.626 1034 J s 1.33 1035 m p 50kg 1m / s
第一章 微观粒子的状态：§1.1 量子力学的起源：实物粒子的波粒二象性
实物粒子的波粒二象性
布洛赫定理
2 2 2m U r r E r
其中，U(r) = U(r +Rl)为周期性势场， Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢， 方程的解应具有下列形式：
k r eikruk r
—— Bloch函数 （Bloch wave function）
2 2 2m U r r E r 其中： U (r Rn ) U (r )
这个方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键 是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有 离子之间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析， 令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波 仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。
——F Bloch 一. Bloch定理 • 能带理论的基础 • 针对周期性结构
的解可以表示为： k (r) f (r)uk (r) 其中 uk (r Rn ) uk (r ) 势场的周期性也使与电子相关的所有可测量，包括电子几率
(r)
2
也必定是周期性的，这就给未知函数 f ( r ) 附加了下述
条件： 对于所有
f ( r Rn ) f ( r )
2
2
• 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。
量子力学中的基本概念及其应用
量子力学中的基本概念及其应用量子力学（Quantum Mechanics）是一门研究微观物理现象的科学，与牛顿力学一样，也是物理学的基础理论之一。
相较于经典物理学，量子力学更适用于描述原子和分子层面的物理现象，而在纳米科技等领域也有广泛的应用。
在量子力学中，有一些基本概念，如波函数、本征态和观察值等，这些概念为我们理解微观世界提供了重要的工具。
一、波函数波函数，即薛定谔方程（Schrödinger Equation）所描述的函数，是描述微观粒子位置和运动状态的基本工具，它可以用来计算粒子的能量、动量、角动量等物理量，也可以用来给出概率分布。
一个微观粒子的波函数可以通过薛定谔方程求解得到，方程中的“哈密顿算符”描述了粒子的能量，在波函数中，用Ψ表示波函数，波函数的平方值Ψ²表示了这个粒子在空间中某一点出现的概率。
不同的粒子具有不同的波函数，对于简单的粒子，如电子、中子等，波函数通常可以用数学公式描述。
而对于复杂的粒子，如分子和固体等，波函数的计算需要用到近似和模拟等方法。
因此，波函数既是量子力学的基本概念，也是量子力学应用研究的核心。
二、本征态和谐振子量子力学中的另一重要概念是本征态（Eigenstate）。
本征态是薛定谔方程的解，它表示一个粒子处于能量本征值（Eigenvalue）状态。
也就是说，本征态是波函数在空间中的固定形态，而粒子只能在这些形态中存在。
比如，对于一个自由粒子，其本征态是平面波，对应于动量不同的状态。
谐振子（Harmonic Oscillator）是一种具有势能为二次函数的体系，它在量子力学中有广泛的应用。
谐振子的能量本征值和本征态可以通过薛定谔方程求解，得到的结果是均匀分布的离散能级，这些能级分别对应着不同的波函数。
谐振子不仅仅在量子力学的学术研究中有广泛应用，还可以在材料科学中用来描述分子的振动、纳米机械的运动等现象。
三、观察值和测量观察值是指实验测得的物理量的值，它在量子力学中的概念与经典物理学中的概念略有不同。
固体电子学基础知识点总结
固体电子学基础知识点总结一、固体物理固体物理是研究固体材料的结构、性质和行为的科学，是固体电子学的基础。
在固体物理中，最重要的是晶体学和晶格动力学。
晶体学是研究晶体结构和对称性质的学科，而晶格动力学研究晶体中原子的振动行为。
1. 晶体结构晶体是由原子、离子或分子周期排列而成的固体，具有高度有序的结构。
晶体的结构可分为单晶和多晶两种。
单晶是指晶体中所有原子都排列得非常有序，而多晶则是由许多微小的单晶颗粒组成。
理想的晶体结构是具有周期性的，可以用布拉格方程和晶体学指数来描述。
常见的晶体结构有立方晶体、六方晶体、四方晶体、正交晶体、斜方晶体和三斜晶体等。
2. 晶格动力学晶格动力学研究晶体中原子的振动行为，重点关注晶体中原子的周期性振动。
晶格振动会影响固体中电子的传输和能带结构，因此在固体电子学中具有重要的作用。
晶格振动的特征包括声子（phonon）和声子色散关系。
声子是晶格振动的量子描述，其色散关系描述了声子的能量与动量之间的关系。
声子的性质和分布对固体的热导率、电导率和光学性质等有很大影响。
二、能带理论能带理论是固体电子学的核心内容之一，用于描述固体材料中电子的行为以及电子的能量分布。
能带理论是由布洛赫定理（Bloch theorem）、傅立叶级数展开（Fourier series expansion）和布洛赫函数（Bloch function）等基本概念构成的。
在能带理论中，常见的概念包括禁带（band gap）、导带（conduction band）和价带（valence band）等。
通过对晶格结构和周期性势场的分析，能带理论可以解释固体材料的导电性、光学性质、热特性等现象。
1. 能带结构能带结构描述了固体中能量与动量之间的关系。
在晶体中，由于周期性势场的存在，电子的运动状态受限于晶格周期性，因此会出现能量分散成带的现象。
常见的能带结构有导带和价带两种。
导带是指电子的能量较高的带，而价带则是指能量较低的带。
半导体术语解释小结
第一章固体晶体结构小结1.硅是最普遍的半导体材料2.半导体和其他材料的属性很大程度上由其单晶的晶格结构决定。
晶胞是晶体中的一小块体积，用它可以重构出整个晶体。
三种基本的晶胞是简立方、体心立方和面心立方。
3.硅具有金刚石晶体结构。
原子都被由4个紧邻原子构成的四面体包在中间。
二元半导体具有闪锌矿结构，它与金刚石晶格基本相同。
4.引用米勒系数来描述晶面。
这些晶面可以用于描述半导体材料的表面。
密勒系数也可以用来描述晶向。
5.半导体材料中存在缺陷，如空位、替位杂质和填隙杂质。
少量可控的替位杂质有益于改变半导体的特性。
6.给出了一些半导体生长技术的简单描述。
体生长生成了基础半导体材料，即衬底。
外延生长可以用来控制半导体的表面特性。
大多数半导体器件是在外延层上制作的。
重要术语解释1.二元半导体：两元素化合物半导体，如GaAs。
2.共价键：共享价电子的原子间键合。
3.金刚石晶格：硅的院子晶体结构，亦即每个原子有四个紧邻原子，形成一个四面体组态。
4.掺杂：为了有效地改变电学特性，往半导体中加入特定类型的原子的工艺。
5.元素半导体：单一元素构成的半导体，比如硅、锗。
6.外延层：在衬底表面形成的一薄层单晶材料。
7.离子注入：一种半导体掺杂工艺。
8.晶格：晶体中原子的周期性排列9.密勒系数：用以描述晶面的一组整数。
10.原胞：可复制以得到整个晶格的最小单元。
11.衬底：用于更多半导体工艺比如外延或扩散的基础材料，半导体硅片或其他原材料。
12.三元半导体：三元素化合物半导体，如AlGaAs。
13.晶胞：可以重构出整个晶体的一小部分晶体。
14.铅锌矿晶格：与金刚石晶格相同的一种晶格，但它有两种类型的原子而非一种。
第二章量子力学初步小结1.我们讨论了一些量子力学的概念，这些概念可以用于描述不同势场中的电子状态。
了解电子的运动状态对于研究半导体物理是非常重要的。
2.波粒二象性原理是量子力学的重要部分。
粒子可以有波动态，波也可以具有粒子态。
第22章量子力学基础
第22章量⼦⼒学基础第22章量⼦⼒学基础⼀、德布罗意物质波德布罗意认为不仅光具有波粒⼆象性，实物粒⼦也具有波粒⼆象性。
描述实物粒⼦波函数中的、与实物粒⼦的能量E和动量p 的德布罗意关系：戴维孙-⾰末电⼦衍射实验，约恩孙电⼦双缝⼲涉实验都证实了电⼦具有的波动性。
⼆、海森伯不确定关系由于微观粒⼦具有波粒⼆象性，我们就⽆法同时精确地测定微观粒⼦坐标与动量，海森伯提出了如下的不确定关系：1、动量-坐标不确定关系2、时间-能量不确定关系三、波函数微观粒⼦具有波粒⼆象性，它不同于经典的波也不同于经典的粒⼦，要描述微观粒⼦群体随时间的变化，引⼊波函数。
波函数确定后，微观粒⼦的波粒⼆象性就能得到准确的描述。
波函数是微观粒⼦的态函数。
1、波函数的物理意义：某⼀时刻在空间某⼀位置粒⼦出现的⼏率正⽐于该时刻该位置波函数的平⽅，或，即⼏率密度2、波函数的归⼀化条件3、波函数的标准条件，单值有限连续。
四、薛定谔⽅程薛定谔⽅程是量⼦⼒学的基础⽅程，由它可解出粒⼦的波函数1、⾃由粒⼦：，，2、势场中粒⼦：*⾮定态：式中，为哈密顿算符。
定态：五、薛定谔⽅程应⽤实例1、⼀维势箱：⾦属中电⼦、原⼦核中质⼦势能分布的理想化模型。
它的势函数阱内⼀维定态薛定谔⽅程解得满⾜边界条件（标准条件）归⼀化条件的解的波函数能量当n=1时为基态能量，也叫零点能。
相应各量⼦数n的波函数，⼏率密度和能级分布如图：2、⼀维势垒：半导体中p-n结处电⼦和空⽳势能分布的简化模型。
3、隧道效应：粒⼦越过或穿透⾼于其总能量的势垒。
4、原⼦、分⼦运动的量⼦化特征：原⼦振动能量：分⼦转动能⼒：5、电⼦⾓动量：轨道⾓动量：，⾃旋⾓动量：，6、氢原⼦的定态：氢原⼦中电⼦的定态薛定谔⽅程解出来的波函数满⾜有限单值连续的标准条件可得下表中的四个量⼦数。
四个量⼦数表征氢原⼦中电⼦状态的特征，如表所列：⾓量⼦数给定以后，可取磁量⼦数给定以后，可取个值，即……⾃旋量⼦数只取两个值，确定电⼦的⾃旋⾓动量某⼀⽅向上的投影原⼦中不可能有两个或两个以上的电⼦具有完全相同的量⼦态，或者说⼀个原⼦中任何两个电⼦不可能具完全相同的四个量⼦数。
固体理论作业-密度泛函理论简介
密度泛函理论简介本文简要介绍密度泛函理论以及本人论文中用到的概念、方法等。
基于密度泛函理论的第一性原理(First-Principles)计算方法，在材料的设计和模拟计算等方面有突破性进展，已经成为计算材料科学的重要基础。
第一性原理计算方法的基本思路是:将固体看作是由电子和原子核组成的多粒子体系，求解多粒子体系的量子力学薛定谔方程，求出描述体系状态的本征值和本征函数（波函数），就可以推出材料包括电子、结构、光学和磁学在内的所有性质。
固体是存在大量原子核和电子的多粒子系统，处理问题必须采用一些近似和简化：通过绝热近似将原子核的运动与电子的运动分开；通过哈特利-福克（Hartree-Fock ）自洽场方法将多电子问题简化为单电子问题，以及这一问题更严格、更精确的描述——密度泛函理论（DFT ）；通过将固体抽象为具有平移周期性的理想晶体，将能带问题归结为单电子在周期性势场中的运动。
1.密度泛函理论简介[2,3,4]第一性原理计算的核心是采用合理的近似和简化，利用量子力学求解多体问题。
组成固体的多粒子系统的薛定谔方程：(,)(,)H H E ψ=ψr R r R （1.1）如果不考虑其他外场的作用，晶体的哈密顿量应包括原子核和电子的动能以及这些粒子之间的相互作用能，形式上写成N e N e H H H H -++= (1.2)我们对研究体系进行简化，把在原子结合中起作用的价电子和内层电子分离，内层电子与原子核一起运动，构成离子实（ion core ），离子实与价电子构成凝聚态体系的基本单元。
晶体哈密顿量可以改写为：2222222,112222i i i j i ij i Z Z e Z e e H m M αβααααβαααβ≠≠⎛⎫⎛⎫=-∇+-∇++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑αr R r R (1.3) 第一项为电子动能，第二项为离子的动能，第三项和第四项是成对离子和电子之间的静电能，第五项为电子和核之间的吸引作用。
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晶体
固
准晶体
体 非晶体
有成熟的理论研究 正在活跃地研究
固体的物理性质主要取决于原子间的相互作用 特别是原子外层电子的相互作用
§18-1 晶体的结合类型
晶体：分子、原子或离子形成周期性的空间规则结构 晶体形成的物理机制 • 粒子间的电磁相互作用 • 相邻原子间的“量子健合作用”(波函数重叠) 晶体分类 • 晶体按点阵的几何形状与对称性分为7个晶系
时，半导体中电子波函数为平面波函数。
半导体中任一电子，不再属于某一特定原子，而在整个晶体
中运动。电子在晶体中某点出现的几率，由
u* k
(
x
)uk
(
x
)决
定，几率大小的周期变化与晶格周期相同。称半导体中电子
可在半导体中运动的现象为电子的共有化运动。也因此，常
称晶体中的电子为准自由电子
B.关于能量的讨论
1s
E
2s Eg，禁带
1s
导带：由价电子激发态能级分裂而成、且未被电 子填满的能带。
满带：填满电子的能带。满带没有导电作用。 空带：由价电子激发态能级分裂而成、且未被电
子填充的能带
ukk
( (
x) x)
uk uk
( (
x)e x
ikx
n1a
)
E(k) E(k n1 / a)
半导体中电子波矢与能量之间的函数关系为多值函数
沿k方向，E(k)呈周期性变化，对同一E(k)，对应n1个k值；
沿E(k)方向，能量出现系列禁带与允带，对同一k值，对应
nl个E(k)。每一个允带，分裂为间距极小的nl能级。称半导 体的允带、禁带结构为半导体的能带结构。
间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级，变成
了N条靠得很近的能级(能级间隔约为10-22eV数量级),称此分
裂能级为能带。
3s
二 能带的相关结论
2p
能带的宽度记作E ，数量级
2s
为：E～eV。一般地：
1s
E
2s Eg，禁带
1s
•越是外层电子，能带越宽，E越大；
•点阵间距越小，能带越宽，E越大；两个能带有可能重叠
2m0
t
U ( x) U ( x n1a)
由布洛赫定理，上述方程的解为
ukk
( (
x) x)
uk uk
( (
x)e x
ikx
n1a
)
E(k) E(k n1 / a)
其中，a为晶格常数 n1 N
讨论
A.关于半导体中波函数的讨论
半导体中电子波函数是被调幅的平面波函数，当u(x)=const.
注意： • 形成晶体的结合力可以有多种形式 • 相同元素可以形成同素异构体 例：C可形成金刚石、石墨、C60
§18-2 晶体中电子的波函数
一 处理晶体中电子问题的物理模型
A.将多体问题转化为多电子问题
认为原子实静止、周期地排列在固定的晶格位置上，而 只有价电子运动；求解晶体中的薛定谔方程由原来的多体 问题变为现在的多电子体系问题
第四 第三 第二 第一 第一 第二 第三 第四
布里渊区
-7/2a -3/a -5/2a -2/a -3/2a -1/a -1/2a 0 1/2a 1/a 3/2a 2/a 5/2a 3/a 7/2a
允带
禁带 允带 禁带 允带 禁带
考虑到沿k 方向能量的周期性变化，将能带分成各布里渊 区，第一布里渊区又称为简约布里渊区。
第四 第三 第二 第一 第一 第二 第三 第四
布里渊区
允带
禁带 允带 禁带 允带 禁带
-7/2a -3/a -5/2a -2/a -3/2a -1/a -1/2a 0 1/2a 1/a 3/2a 2/a 5/2a 3/a 7/2a
§18-3 晶体中电子的能带
一 能带的形成ຫໍສະໝຸດ 量子力学计算表明，固体中若有N个原子，由于各原子
14种类型 • 按结合力的类型，晶体分为4类晶体
立方晶系
简单立方
体心立方
面心立方
离子晶体：由离子键结合而成的晶体 原子外壳层封闭；晶体硬、脆；不良导体
共价晶体：由共价键结合而成的晶体 共价键晶体坚硬、不良导体
分子晶体：由分子将结合而成的晶体 机械强度、熔点低；CO2、HCl、H2
金属晶体：外层单电子结合成共价键，但许多共价 键上无电子，电子可在这些健上转移，形成共 有化电子
•能带宽度与原子结合成晶体时的紧密程度和这一能级的电子
云重叠程度有关，与结成晶体的原子数无关。
•能带中，电子排布服从能量最小原理与泡里不相容原理。
某一能级分裂成由N条能级组成的能带后，能带最多能容
纳2N(2l +1)个电子。
3s
三 能带的相关概念
2p
禁带：相邻允带间的能量间隔
2s
价带：价电子能级分裂成的能带
B.将多电子问题转化为单电子问题
认为晶体中价电子均匀分布，任一价电子所受到的作用 等效地认为来源于离子实、其它价电子的平均作用势场， 以及一种纯属于量子力学效应的“交换势”。
二 半导体中的电子状态
一维简单情况下晶体中电子的定态薛定谔方程可写为
2 2 ( x) U ( x) ( x) i ( x)