第1章 量子理论基础

第一章 量子理论基础 例题解析1 金属钠的逸出功是2.3eV, 波长5.890x10-7m 的光能否从金属钠表面打出光电子？在金属钠上发生光电效应的临域频率是多少？ 解：(1) 根据Einstein 光电方程0221w mvh +=ν可知，只有当入射光的能量0w h >ν时，才可能使电子克服逸出功而产生动能为221mv 的光电子。

JJ eV w 1919010685.310602.13.23.2--⨯=⨯⨯==由于18103-⨯==ms c c ，λν，波长5.890x10-7m 的光的能量为：J chh 19783410375.310890.510310626.6---⨯=⨯⨯⨯⨯==λν可见，0w h <ν，波长5.890x10-7m 的光不能从金属钠表面打出光电子。

(2) 通过逸出功和临域频率之间的关系，即00νh w =，可获得金属钠的临域频率。

11434190010561.510626.610685.3---⨯=⨯⨯==sh w ν2 对任意实物粒子，物质波波长为λ，欲求其动能可用下面哪个公式？ (1)λhc(2)222λm h(3) eV解：因为光速C 、频率ν和波长λ有如下关系： λνC=故光子能量为)(λνεc h h ==。

所以(1) 式只适用于光。

不适用于实物粒子。

(3) 式为一个电子通过电势差V 所获得的能量，仅对电子适用。

对任意实物粒子，动量p=mv 。

故mT mv m mv P 2212)(222=⋅==，T 为粒子动能。

根据德布罗依关系式mTh P h 2==λ有222λm hT =所以(2) 式对任意实物粒子都适用。

3 若描述粒子运动状态的波函数为)21exp()(22x x αψ-=，其中α为实常数，求(1)归一化常数，(2)该粒子几率密度。

解:(1)根据归一化公式，假设归一化函数为)21e x p ()'(22x k x αψ-=，则1)'()'*(=⎰∞∞-dx x x ψψ即1)exp(222=-⎰∞∞-x d x k α，根据积分公式，απα2)exp(022=-⎰∞x d x ，所以归一化因子πα=2k，即21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=παk(2) 归一化的波函数为)21exp()2221x x απαψ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=（粒子几率密度为)exp())(222x x x W απαψ-==（)(x W 取极值的条件是一阶导数为零，即，)exp(2)(223=--=x x x W dxd απα显然，当0=x 时，)(x W 取极大值，为πα=)0(W ；当α1±=x 时，πααe W =±)1(；当0)(=±∞=±∞=x W x 时，。

上述结果表明，在无穷远处发现粒子的几率为零，说明该粒子的运动被束缚在一个有限的空间之中，即状态)21exp()(22x x αψ-=描述的是一个束缚态。

习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？ 参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12=ψ⎰τd 。

表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？ 参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。

由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？ 参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。

这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。

而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。

某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。

各种态都有自己的权重（即成份）。

这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。

但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。

5 铝的逸出功是4.2eV ，用2000Å的光照射时，问（a ）产生的光电子动能是多少？(b)与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？ 参考答案(a)根据爱因斯坦光电方程W m h +=221υν，又λνc =，得光电子动能：JWch m T 1919191910834210219.31072.610939.9106.12.410200010310626.621------⨯=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-⋅==λυ(b)由德布罗依关系式，相应的物质波波长为mmTh P h 10253419313410781.810546.710626.610219.3101.9210626.62------⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===λ(c) 由不确定关系式h Px x ≥∆⋅∆，若位置不确定量λ≈∆x ，则动量不确定量1251034.10546.710781.810626.6----⋅⨯=⨯⨯==≈∆ms J P hPx λ（单位或者为：kg.m/s ）6 波函数e -x(0≤x≤∞)是否是合格波函数,它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。

参考答案没有归一化，归一化因子为27 一个量子数为n ，宽度为l 的一维势箱中的粒子,①在0~1/4 的 区域内的几率是多少？②n 取何值时几率最大？③当n→∞时，这个几率的极限是多少？ 参考答案（1）2sin214124ππψn n dx w ln -==⎰（2）ππ6141,12s i n,...)3,2,1(43max +=-==+=w n k k n 时 （3）41=w 8 函数x llx llx ππψ2sin22sin23)(+=是不是一维势箱中粒子的可能状态？如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？ 参考答案根据态叠加原理，)(x ψ是一维势箱中粒子一个可能状态。

能量无确定值。

l平均值为2210425mlh9 在这些算符∑，，exp ，dxd 中，那些是线性算符？参考答案 ∑，dxd是线性算符.10 下列函数, 那些是22dx d 的本征函数? 并求出相应的本征值。

(a) e imx (b) sinx (c) x 2+y 2 (d) (a-x)e -x 参考答案(a) 和 (b) 是的本征函数，其相应的本征值分别为-m 2和-1。

11 有算符,ˆ,ˆX X dx d D== 求D X X D ˆˆˆˆ-。

参考答案根据算符之积的定义1ˆˆˆˆ)()]([)()]([)]([)]([)](ˆ[ˆ)](ˆ[ˆ)()ˆˆˆˆ(=-∴=-+=-=-=-D X X Dx f x dxf d X x f x drf d X x drf d X x Xf dx d x f D X x f X D x f D X X D模拟试题，给出一些常用考试题形实例一 填空题1 波函数模的平方代表 。

2 一维势箱存在一个节点的状态能量为 。

3 玻尔原子结构论解释了 。

4 波函数的归一性公式为 。

5 一维势箱的基态波函数为 。

6 力学量G 平均值公式为 。

7 合格波函数必须满足 。

8 不确定关系式为 。

9 态叠加原理可描述为 。

10 德布罗依关系式为 。

二 选择题1 光电效应实验中，光电子的最大动能取决于———。

（1）外加电压 （2）入射光谱（3）材料的临界频率 （4）入射光频率 2 波长相同的中子和电子———。

（1）速率相同 （2）动量相同 （3）动量不同 （4）能量相同 3 粒子处于定态，即处于———状态。

（1）静止 （2）势能为零 （3）时间为零 （4）几率密度分布不随时间变化 4 把一波函数ψ乘以一常数C ，则———。

（1）状态不变 （2）几率密度为原来C 2倍 （3）能量为原来的C 2 （4）几率为原来的C 倍 5 函数)0()(∞<≤=-x e x f x 的归一化常数———。

（1）2/1 （2）1 （3）0 （4）2三 计算题1 函数x a a a x a x )/2sin(/2/sin /12)(ππψ-=是不是一维势阱中粒子的一个可能状态？如果是，能量有无确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均值是多少？。