高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第一章 集合 1.1 第2课时
思考1
集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}与集合B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}元素
是否完全相同？
答案 用列举法表示两个集合， 即A＝{„，－1,1,3,5，„}； B＝{„，－1,1,3,5，„}. 所以A与B尽管形式不一样，但它们所含的元素完全一样，故A＝B.
答案
思考2
集合A＝{x∈R|x2<1}，B＝{x∈N|x2<1}，C＝{x∈R|x2<－1}中的 元素各有多少个？ 答案 A＝{x∈R|－1<x<1}，元素无限多个； B＝{0}，元素只有一个； C中没有元素.
第一章 1.1
集合的含义及其表示
第2课时 集合的表示
学习目标
1.掌握用列举法表示有限集.
2.理解描述法的格式及其适用情形.
3.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换.
4.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
思考
要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集 合.而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？ 答案 把它们一一列举出来.
{2 000,2 001,2 004} x∈A}，则用列举法表示集合B＝___________________. 解析 由A＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，
所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，
跟踪训练2 用描述法表示下列集合. (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； 解 方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，
解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.
解答
(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合. 解 “二次函数y＝x2 －10图象上的所有点 ” 用描述法表示为
答案
梳理
(1)如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的
元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等，记作A＝B.
(2)含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限
集，不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
题型探究
类型一 用列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合.
用描述法表示为B＝{x|10<x<20，x∈Z}.
解答
引申探究
用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合. 解 {(x，y)|y＝x2－2}.
解答
反思与感悟
用描述法表示集合时应注意的四点 (1)写清楚该集合中元素的代号. (2)说明该集合中元素的性质. (3)所有描述的内容都可写在集合符号内. (4)在描述法的一般形式{x|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式， “p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.
答案
梳理
列举法 一般形式
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内，
这种表示集合的方法称为列举法 {a1，a2，a3，„，an}
知识点二
描述法
思考
能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？ 答案 不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，
而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1) 来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}.
解答
类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合.
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
解 设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描
述法表示为A＝{x|x2－2＝0}.
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合. 解 设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，
解答
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合； (3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.
反思与感悟
用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素
满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.
跟踪训练 3
若集合 A ＝ {x| － 2≤x≤2 ， x∈Z} ， B ＝ {y|y ＝ x2 ＋ 2 000 ，
{(x，y)|y＝x2－10}.
解答
类型三 集合表示的综合应用
命题角度1 选择适当的方法表示集合 例3 用适当的方法表示下列集合. (1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合； 解 解 解 列举法：{0,2,4}；描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}. 列举法：{(0,0)，(2,0)}. 描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.
答案
梳理
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来的方法 称为描述法 {x|p(x)}(其中x为集合的代表元素，p(x)是指元素x具有的性质)
描述法
一般
形式
知识点三
Venn图
图示法 一般形式
画一条封闭的曲线，用它的内部表示集合的方法
称为图示法，或称为Venn图法
知识点四
集合相等、有限集、无限集、空集
(1)小于10的所有自然数组成的集合； 解 设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.
解 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}.
解答
反思与感悟
(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考 虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开. (2)列举法表示的集合的种类 ①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}； ②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如 “ 从 1 到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，„，1 000}； ③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数 集N可以表示为{0,1,2,3，„}.
跟踪训练1 用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； 解析 满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}. (2)由1～20以内的所有素数组成的集合. 解析 设由1～20以内的所有素数组成的集合为C， 那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.
高中数学 第一章 集合 1.1 第2课时 集合的表示学案 苏教版必修1(2021年最新整理)
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1.1第2课时集合的表示1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法）．(重点、难点）2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)4．了解集合的不同的分类方法．[基础·初探]教材整理1 列举法阅读教材P6第1～2自然段,完成下列问题．将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“｛}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序无关．用列举法表示由1,2,3，4组成的集合为________．【解析】易知集合中含有的元素为1，2,3，4，故用列举法可以表示为｛1,2,3，4}．【答案】｛1，2，3，4｝教材整理2 集合相等阅读教材P6第3自然段，完成下列问题．如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等．(1)集合｛1,2，3｝与｛3，2，1}________相等集合．(填“是”或“不是")(2）若集合{1,a}与集合｛2,b｝相等,则a＋b＝________。
【解析】(1）集合{1,2,3}与｛3,2，1｝元素完全相同，故两集合是相等集合．(2)由于{1,a}＝｛2，b}，故a＝2,b＝1,∴a＋b＝3.【答案】(1)是(2)3教材整理3 描述法阅读教材P6第4自然段，完成下列问题．将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成｛x｜p(x)｝的形式．(1)不等式x－7<3的解集用描述法可表示为________．（2）集合｛(x,y）｜y＝x＋1｝表示的意义是________．【解析】（1)∵x－7<3，∴x<10，故解集可表示为{x|x〈10｝．（2）集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．【答案】(1）｛x|x<10} （2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合教材整理4 集合的三种表示方法阅读教材P6第5自然段至例1，完成下列问题．1．Venn图法表示集合用一条封闭曲线的内部来表示集合的方法叫做Venn图法．2．三种表示方法的关系一个集合可以采用不同的表示方法表示，即集合的表示方法不唯一．用三种形式表示由2,4,6，8四个元素组成的集合．【解】列法举：{2,4,6,8}．描述法：{x｜2≤x≤8，且x＝2k，k∈Z｝．Venn图法：2，4，6,8教材整理5 集合的分类阅读教材P6最后两自然段，完成下列问题．有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅若方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x>3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1的实数解组成的集合记作C.则集合A,B，C中，________是有限集，________是空集，________是无限集．【解析】∵x2－4＝0,∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个,则B为无限集；x2＝－1无实根,则C为空集．【答案】A C B［小组合作型］集合的表示方法用适当的方法表示下列集合：（1)B＝｛（x，y)|x＋y＝4，x∈N＊，y∈N*｝；（2）不等式3x－8≥7－2x的解集;（3)坐标平面内抛物线y＝x2－2上的点的集合；（4）错误!.【精彩点拨】(1)(4）中的元素个数很少，用列举法表示;(2)(3)中的元素无法一一列举，用描述法表示．【自主解答】(1)∵x＋y＝4，x∈N＊，y∈N＊，∴错误!或错误!或错误!∴B＝{(1,3），（2,2）,(3,1)｝．（2）由3x－8≥7－2x，可得x≥3,所以不等式3x－8≥7－2x的解集为｛x｜x≥3}．（3)｛（x,y)｜y＝x2－2}．(4）∵错误!∈N，x∈N，∴当x＝0，6，8这三个自然数时，错误!＝1,3,9也是自然数，∴A＝｛0,6，8}．1．集合表示法的选择对于有限集或元素间存在明显规律的无限集,可采用列举法;对于无明显规律的无限集,可采用描述法．2．用列举法时要注意元素的不重不漏,不计次序,且元素与元素之间用“,”隔开．3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p（x)｝，其中x代表集合中的元素,p（x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．［再练一题］1．试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集;（2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．【解】(1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此,用描述法表示为{x∈R｜x2－x－2＝0｝；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2｝．（2）大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1<x〈7，因此，用描述法表示为{x∈Z|－1〈x〈7｝；大于－1且小于7的整数有0,1，2,3，4,5，6，因此,用列举法表示为{0，1，2，3,4,5,6｝．集合相等(1）集合A＝｛x|x－x＝0,x∈N｝与B＝{0,1｝________相等集合．（填“是”或“不是"）（2）若集合A＝｛1，a＋b，a｝，集合B＝错误!且A＝B，则a＝________，b＝________。
【学案导学与随堂笔记】2020-高中数学(苏教版一)配套单元检测：第一章集合章末
第1章 集 合(A)(时间：120分钟 总分值：160分)一、填空题(本大题共14小题 ,每题5分 ,共70分)1．设集合M ＝{1,2,4,8} ,N ＝{x |x 是2的倍数} ,那么M ∩N ＝________.2．假设集合A ＝{x ||x |≤1 ,x ∈R } ,B ＝{y |y ＝x 2 ,x ∈R } ,那么A ∩B ＝________.3．集合A {1,2,3} ,且A 中至|||少含有一个奇数 ,那么这样的集合有________个．4．A ,B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集 ,且A ∩B ＝{3} ,(∁U B )∩A ＝{9} ,那么A ＝________.5．集合A ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0 ,m ≥0} ,假设A ∩R ＝∅ ,那么m 的取值范围是________．6．设U 为全集 ,M 、N 是U 的两个子集 ,用适当的符号填空：(1)假设M ⊆N ,那么∁U M ________∁U N ；(2)假设∁U M ＝N ,那么M ________∁U N .7．设全集U ＝{1,2,3,4,5} ,集合M ＝{1,4} ,N ＝{1,3,5} ,那么N ∩(∁U M )＝________.8．全集U ＝{x |－2 008≤x ≤2 008} ,A ＝{x |0<x <a } ,假设∁U A ≠U ,那么实数a 的取值范围是______________．9．U ＝R ,A ＝{x |x >0} ,B ＝{x |x ≤－1} ,那么(A ∩∁U B )∪(B ∩∁U A )等于________．10．集合A ＝{x |x <1或x >5} ,B ＝{x |a ≤x ≤b } ,且A ∪B ＝R ,A ∩B ＝{x |5<x ≤6} ,那么2a －b ＝________.11．集合A ＝{－2 ,－1,1,2,3,4} ,B ＝{x |x ＝t 2 ,t ∈A } ,用列举法表示集合B ＝________.12．以下各组集合中 ,满足P ＝Q 的有________．(填序号)①P ＝{(1,2)} ,Q ＝{(2,1)}；②P ＝{1,2,3} ,Q ＝{3,1,2}；③P ＝{(x ,y )|y ＝x －1 ,x ∈R } ,Q ＝{y |y ＝x －1 ,x ∈R }．13．集合A {2,3,7} ,且A 中至|||多有1个奇数 ,那么这样的集合共有________个．14．某班共30人 ,其中15人喜爱篮球运动 ,10人喜爱乒乓球运动 ,8人对这两项运动都不喜爱 ,那么喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_____________________．二、解答题(本大题共6小题 ,总分值90分)15．(14分)集合A ＝{a ＋2,2a 2＋a } ,假设3∈A ,求a 的值．16．(14分)假设a ,b ∈R ,集合{1 ,a ＋b ,a }＝{0 ,b a,b } ,求b －a 的值．17．(14分)集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0} ,满足(∁U A)∩B＝{2} ,A∩(∁UB)＝{4} ,U＝R ,求实数a ,b的值．18．(16分)设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0} ,B＝{x|x2－5x＋6＝0} ,C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)假设A＝B ,求a的值；(2)假设∅A∩B ,且A∩C＝∅,求a的值；(3)假设A∩B＝A∩C≠∅,求a的值．19．(16分)集合A＝{x|0<ax＋1≤5} ,集合B＝{x|－12<x≤2}．假设B⊆A ,求实数a的取值范围．20．(16分)向50名学生调查对A ,B两事件的态度,有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成；另外,对A ,B都不赞成的学生数比对A ,B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A ,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?第1章集合(A)1．{2,4,8}解析因为N＝{x|x是2的倍数}＝{… ,0,2,4,6,8 ,…} ,故M∩N＝{2,4,8}．2．{x|0≤x≤1}解析A＝{x|－1≤x≤1} ,B＝{y|y≥0} ,解得A∩B＝{x|0≤x≤1}．3．5解析假设A中有一个奇数,那么A可能为{1} ,{3} ,{1,2} ,{3,2} ,假设A中有2个奇数,那么A＝{1,3}．4．.{3,9}解析借助于Venn图解,因为A∩B＝{3} ,所以3∈A ,又因为(∁U B)∩A＝{9} ,所以9∈A.5．0≤m<4解析∵A∩R＝∅,∴A＝∅,∴方程x2＋mx＋1＝0无解,即Δ＝m－4<0.∴m<4.又m≥0 ,∴0≤m<4.6．(1)⊇(2)＝解析(1)由题意,如以下图,可知∁U M⊇∁U N.(2)由∁U M＝N ,如以下图,可知M＝∁U N.7．{3,5}解析∁U M＝{2,3,5} ,N＝{1,3,5} ,那么N∩(∁U M)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．8．0<a≤2 008解析由全集定义知A⊆U ,从而a≤2 008 ,又∁U A≠U ,∴A≠∅,从而a>0 ,综上可知0<a≤2 008.9．{x|x>0或x≤－1}解析∵∁U B＝{x|x>－1} ,∴A∩∁U B＝{x|x>0}．又∵∁U A＝{x|x≤0} ,∴B∩∁U A＝{x|x≤－1}．∴(A∩∁U B)∪(B∩∁U A)＝{x|x>0或x≤－1}．10．－4解析如以下图,可知a＝1 ,b＝6,2a－b＝－4.11．{1,4,9,16}解析 B ＝{x |x ＝t 2 ,t ∈A }＝{1,4,9,16}．12．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集 ,Q 表示的是数集．13．6解析 (1)假设A 中有且只有1个奇数 ,那么A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；(2)假设A 中没有奇数 ,那么A ＝{2}或∅.14．12解析 设全集U 为某班30人 ,集合A 为喜爱篮球运动的15人 ,集合B 为喜爱乒乓球运动的10人 ,如图．设所求人数为x ,那么x ＋10＝30－8⇒x ＝12.15．解 ∵3∈A ,∴a ＋2＝3或2a 2＋a ＝3.当a ＋2＝3时 ,解得a ＝1.当a ＝1时 ,2a 2＋a ＝3.∴a ＝1(舍去)．当2a 2＋a ＝3时 ,解得a ＝－32或a ＝1(舍去)． 当a ＝－32时 ,a ＋2＝12≠3 ,∴a ＝－32符合题意．∴a ＝－32. 16．解 由{1 ,a ＋b ,a }＝{0 ,b a,b }可知a ≠0 , 那么只能a ＋b ＝0 ,是有以下对应法那么：⎩⎨⎧ a ＋b ＝0 b a ＝ab ＝1① 或⎩⎨⎧a ＋b ＝0 b ＝ab a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝1 符合题意；②无解．所以b －a ＝2. 17．解 ∵(∁U A )∩B ＝{2} ,∴2∈B ,但2∉A .∵A ∩(∁U B )＝{4} ,∴4∈A ,但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0 , ∴a ＝87 ,b ＝－127. 18．解 B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3} , C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}．(1)假设A ＝B ,由根与系数的关系可得a ＝5和a 2－19＝6同时成立 ,即a ＝5.(2)由于∅A ∩B ,且A ∩C ＝∅ ,故只可能3∈A .此时a 2－3a －10＝0 ,也即a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时 ,A ＝B ＝{2,3} ,A ∩C ≠∅ ,舍去；当a ＝－2时 ,A ＝{－5,3} ,满足题意 ,故a ＝－2.(3)当A ∩B ＝A ∩C ≠∅时 ,只可能2∈A ,有a 2－2a －15＝0 ,也即a ＝5或a ＝－3 ,经检验知a ＝－3.19.解 当a ＝0时 ,显然B ⊆A ；当a <0时 ,假设B ⊆A ,如图 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ≤－12 －1a >2∴⎩⎨⎧ a ≥－8a >－12.∴－12<a <0；当a >0时 ,如图 ,假设B ⊆A , 那么⎩⎪⎨⎪⎧ －1a ≤－12 4a ≥2∴⎩⎨⎧a ≤2 a ≤2.∴0<a ≤2.综上知 ,当B ⊆A 时 ,－12<a ≤2. 20．解 赞成A 的人数为50×35＝30 , 赞成B 的人数为30＋3＝33 ,记50名学生组成的集合为U ,赞成事件A 的学生全体为集合M ；赞成事件B的学生全体为集合N.＋1 ,赞成A而设对事件A ,B都赞成的学生人数为x ,那么对A ,B都不赞成的学生人数为x3不赞成B的人数为30－x ,赞成B而不赞成A的人数为33－x.那么Venn图如以下图：依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋(x＋1)＝50 ,解得x＝21.3所以对A ,B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人．。
苏教版高中数学必修1第1章集合集合的含义及其表示教案
苏教版高中数学必修1第1章集合集合的含义及其表示（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故设疑激趣，导入课闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货?能否回答一共进了 4 + 5 = 9种呢？应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出：,,这好像涉及了另一种新的运算．,,题．复习引入①初中代数中涉及“集合”的提法．②初中几何中涉及“集合”的提法．引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．几何中，圆的概念是用集合描述的．通过复习回顾，引出集合的概念．概念形成第一组实例（幻灯片一）：（1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，,,，9．（2）满足3x– 2 ＞x + 3的全体实数．（3）所有直角三角形．（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．（5）高一（1）班全体同学．（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．2．集合的元素（或成员）：即构成集合的每个对象（或成员），教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论．学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．②我们能否给出集合一个大体描述?,,学生思考后回答，然后教师总结．③上述六个例子中集合的元素各是什么?④请同学们自己举一些集合的例子．通过实例，引导学生经历并体会集合（描述性）概念形成的过程，引导学生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．概念深化第二组实例（幻灯片二）：（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合．（3）平行四边形的全体构成的集合．（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．3．元素与集合的关系：教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗?学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系．引入集合语言描述集合．教学环节教学内容师生互动设计意图念深化集合通常用英语大写字母A、B、C,表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c,表示．如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A，读作“a不属于A”．4．集合的元素的基本性质；（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．第三组实例（幻灯片三）：（1）由x2，3x + 1，2x2–x + 5三个式子构成的集合．（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合．5．空集：不含任何元素的集合，记作．6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个?学生通过观察思考并回答问题．然后，依据元素个数的多少将集合分类．让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？,,请同学们熟记上述符号及其意义．通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．7．常用的数集及其记号（幻灯片四）．N：非负整数集（或自然数集）．N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．Z：整数集．Q：有理数集．R：实数集．教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.师生合作应用定义表示集合.例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A = {0，1，2，3，4，5，6，7，例1 用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2–2 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合. 8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2= x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C= {2，3，5，7，11，13，17，19}.例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为x，并且满足条件x2 –2 = 0，因此，用描述法表示为A = {x∈R| x2 –2 = 0}.方程x2–2 = 0有两个实数根2，2，因此，用列举法表示为A = {2，2}.（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10＜x ＜20. 因此，用描述法表示为B = {x∈Z | 10＜x＜20}.大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例例3 已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．解：根据集合元素的互异性，得2211xxxx所以x∈R且x≠±1，x≠0．课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．例2 用∈、填空．①Q；②3Z；③3R；④0 N；⑤0 N*；⑥0 Z．学生分析求解，教师板书．幻灯片五（练习答案），反馈矫正．通过应用，进一步理解集合的有关概念、性质．例4 试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2– 9 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y = x + 3与y = –2x +6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x– 5＜3的解集.生：独立完成；题：点评说明.例4 解答：（1）{3，–3}；（2）{2，3，5，7}；（3）{(1，4)}；（4）{x| x＜2}.归纳总结①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．③通过回顾学习过程比较列举法和师生共同总结——交流——完善．引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形描述法. 归纳适用题型. 成、发展、完善的过程．课后作业1.1 第一课时习案由学生独立完成．巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．备选例题例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，,，–39，41}.【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：（1）A = {x∈N |99x∈N}；（2）B = {99x∈N | x∈N }；（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |pq= x，p + q = 5，p∈N，q∈N*}.【分析】先看五个集合各自的特点：集合A 的元素是自然数x ，它必须满足条件99x也是自然数；集合B 中的元素是自然数99x，它必须满足条件x 也是自然数；集合C中的元素是自然数y ，它实际上是二次函数y = –x 2 + 6 (x ∈N )的函数值；集合D 中的元素是点，这些点必须在二次函数y = –x 2 + 6 (x ∈N )的图象上；集合E 中的元素是x ，它必须满足的条件是x =p q，其中p + q = 5，且p ∈N ，q ∈N *.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，99x=1，3，9也是自然数.∴ A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}.（3）由y = –x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N 知y ≤6. ∴x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.∴ C = {2，5，6}.（4）点{x ，y}满足条件y = –x 2+ 6，x ∈N ，y ∈N ，则有：0,1,2,6,5,2.x x x yyy∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *，则0,1,2,3,4,5,4,3,2,1.p p p p p qqqqqx 要满足条件x =P q，∴E = {0，14，23，32，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a 2 + 1}，求a 的值及对应的集合 A.–3∈A ，可知–3是集合的一个元素，则可能 a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a ，再代入A ，求出集合 A.【解析】由–3∈A ，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}. 【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A ，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得 a.。
【学案导学与随堂笔记】2020-高中数学(苏教版一)配套单元检测：第一章集合章末检测BWo
第1章 集 合(B)(时间：120分钟 总分值：160分)一、填空题(本大题共14小题 ,每题5分 ,共70分)1．以下各组对象中能构成集合的是________．(填序号)①北京尼赏文化传播的全体员工；②2021年全国经济百强县；③2021年全国 "五一〞劳动奖章获得者；④美|国NBA 的篮球明星．2．设全集U ＝R ,集合A ＝{x ||x |≤3} ,B ＝{x |x <－2或x >5} ,那么如以下图的阴影局部所表示的集合为________．3．设全集U ＝R ,集合A ＝{x |x 2－2x <0} ,B ＝{x |x >1} ,那么集合A ∩∁U B ＝________.4．f (x )、g (x )为实数函数 ,且M ＝{x |f (x )＝0} ,N ＝{x |g (x )＝0} ,那么方程[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是________．(用M 、N 表示)．5．设集合A ＝{x |－3≤x ≤2} ,B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1} ,且A ⊇B ,那么实数k 的取值范围为________．6．定义两个数集A ,B 之间的距离是|x －y |min (其中x ∈A ,y ∈B )．假设A ＝{y |y ＝x 2－1 , x ∈Z } ,B ＝{y |y ＝5x ,x ∈Z } ,那么数集A ,B 之间的距离为________．7．集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4 ,x 2＋x －4} ,假设2∈M ,那么满足条件的实数x 组成的集合为________．8．假设A ＝{x |－3≤x ≤4} ,B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1} ,B ⊆A ,那么实数m 的取值范围为____________．9．假设集合A 、B 、C 满足A ∩B ＝A ,B ∪C ＝C ,那么A 与C 之间的关系是________．10．设P 、Q 为两个非空实数集合 ,定义集合运算：P *Q ＝{z |z ＝ab (a ＋b ) ,a ∈P ,b ∈Q } ,假设P ＝{0,1} ,Q ＝{2,3} ,那么P *Q 中元素之和为________．11．集合M 由正整数的平方组成 ,即M ＝{1,4,9,16,25 ,…} ,假设对某集合中的任意两个元素进行某种运算 ,运算结果仍在此集合中 ,那么称此集合对该运算是封闭的．M 对以下运算封闭的是________．①加法 ②减法 ③乘法 ④除法12．设全集U ＝{(x ,y )|x ,y ∈R } ,集合M ＝{(x ,y )|y －3x －2＝1} ,N ＝{(x ,y )|y ≠x ＋1} ,那么∁U (M ∪N )＝________.13．假设集合A ＝{x |x ≥3} ,B ＝{x |x <m }满足A ∪B ＝R ,A ∩B ＝∅ ,那么实数m ＝________.14．设集合A ＝{x |x 2＋x －1＝0} ,B ＝{x |ax ＋1＝0} ,假设B A ,那么实数a 的不同取值个数为________个．三、解答题(本大题共6小题 ,共90分)15．(14分)全集U ＝{1,2,3,4,5} ,集合A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0 ,x ∈U } ,求q 的值及∁U A .16．(14分)全集U＝R ,集合M＝{x|x≤3} ,N＝{x|x<1} ,求M∪N ,(∁U M)∩N ,(∁U M)∪(∁U N)．17．(14分)设集合A＝{x∈R|2x－8＝0} ,B＝{x∈R|x2－2(m＋1)x＋m2＝0}．(1)假设m＝4 ,求A∪B；(2)假设B⊆A ,求实数m的取值范围．18．(16分)集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0 ,a∈R ,x∈R}．(1)假设A中只有一个元素,求a的值,并求出这个元素；(2)假设A中至|||多只有一个元素,求a的取值范围．19．(16分)设A＝{x|x2＋4x＝0} ,B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0} ,假设B⊆A,求实数a的取值范围．20．(16分)两个正整数集合A ＝{a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4} ,B ＝{a 21 ,a 22 ,a 23 ,a 24} ,其中a 1<a 2<a 3<a 4.假设A ∩B ＝{a 1 ,a 4} ,且a 1＋a 4＝10 ,A ∪B 的所有元素之和是124 ,求集合A 和B .第1章 集 合(B)1．④解析 根据集合中元素确实定性来判断是否构成集合．因为①、②、③中所给对象都是确定的 ,从而可以构成集合；而④中所给对象不确定 ,原因是没有具体的标准衡量一位美|国NBA 球员是否是篮球明星 ,故不能构成集合．2．[－2,3]解析 化简集合A ,得A ＝{x |－3≤x ≤3} ,集合B ＝{x |x <－2或x >5} ,所以A ∩B ＝{x |－3≤x <－2} ,阴影局部为∁A (A ∩B ) ,即为{x |－2≤x ≤3}．3．{x |0<x ≤1}解析 由x 2－2x <0 ,得0<x <2 ,∁U B ＝{x |x ≤1} ,所以A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．4．M ∩N解析 假设[f (x )]2＋[g (x )]2＝0 ,那么f (x )＝0且g (x )＝0 ,故[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是M ∩N .5．[－1 ,12] 解析 由题意 ,得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1≥－32k ＋1≤2 解得：⎩⎨⎧ k ≥－1 k ≤12.∴实数k 的取值范围为[－1 ,12]． 6．0解析 集合A 表示函数y ＝x 2－1的值域 ,由于x ∈Z ,所以y 的值为－1,0,3,8,15,24 ,….集合B 表示函数y ＝5x 的值域 ,由于x ∈Z ,所以y 的值为0,5,10,15 ,….因此15∈A ∩B . 所以|x －y |min ＝|15－15|＝0.7．{－3,2}解析 ∵2∈M ,∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2 ,解得x ＝－2,1 ,－3,2 ,经检验知 ,只有－3和2符合集合中元素的互异性 ,故所求的集合为{－3,2}．8．[－1 ,＋∞)解析 ∵B ⊆A ,当B ＝∅时 ,得2m －1>m ＋1 ,∴m >2 ,当B ≠∅时 ,得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≤m ＋1 2m －1≥－3m ＋1≤4.解得－1≤m ≤2.综上所述 ,m 的取值范围为m ≥－1.9．A ⊆C解析 ∵A ∩B ＝A ,∴A ⊆B ,∵B ∪C ＝C ,∴B ⊆C ,∴A ⊆C .10．18解析 ∵P ＝{0,1} ,Q ＝{2,3} ,a ∈P ,b ∈Q ,故对a ,b 的取值分类讨论．当a ＝0时 ,z ＝0；当a ＝1 ,b ＝2时 ,z ＝6；当a ＝1 ,b ＝3时 ,z ＝12.综上可知：P *Q ＝{0,6,12} ,元素之和为18.11．③解析 设a 、b 表示任意两个正整数 ,那么a 2、b 2的和不一定属于M ,如12＋22＝5∉M ；a 2、b 2的差也不一定属于M ,如12－22＝－3∉M ；a 2、b 2的商也不一定属于M ,如1222＝14∉M ；因为a 、b 表示任意两个正整数 ,a 2·b 2＝(ab )2 ,ab 为正整数 ,所以(ab )2属于M ,即a 2、b 2的积属于M .12．{(2,3)}解析 集合M 表示直线y ＝x ＋1上除点(2,3)外的点 ,即为两条射线上的点构成的集合 ,集合N 表示直线y ＝x ＋1外的点 ,所以M ∪N 表示直线y ＝x ＋1外的点及两条射线 ,∁U (M ∪N )中的元素就是点(2,3)．13．314．3解析 注意B ＝∅的情况不要漏了．15．解 设方程x 2－5x ＋q ＝0的两根为x 1、x 2 ,∵x ∈U ,x 1＋x 2＝5 ,∴q ＝x 1x 2＝1×4＝4或q ＝x 1·x 2＝2×3＝6.当q ＝4时 ,A ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}＝{1,4} ,∴∁U A ＝{2,3,5}；当q ＝6时 ,A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3} ,∴∁U A ＝{1,4,5}．16．解 由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3} ,∁U M ＝{x |x >3} ,∁U N ＝{x |x ≥1} , 那么(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝∅ ,(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．17．解 (1)当m ＝4时 ,A ＝{x ∈R |2x －8＝0}＝{4} ,B ＝{x ∈R |x 2－10x ＋16＝0}＝{2,8} , ∴A ∪B ＝{2,4,8}．(2)假设B ⊆A ,那么B ＝∅或B ＝A .当B ＝∅时 ,有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)<0 ,得m <－12； 当B ＝A 时 ,有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)＝0 ,且－－2(m ＋1)2＝4 ,解得m 不存在． 故实数m 的取值范围为(－∞ ,－12)． 18．解 A 中元素x 即为方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ,x ∈R )的解．(1)∵A 中只有一个元素 ,∴ax 2＋2x ＋1＝0只有一解．当a ＝0时 ,方程为2x ＋1＝0 ,解得x ＝－12符合题意； 当a ≠0且Δ＝4－4a ＝0即a ＝1时 ,方程的解x 1＝x 2＝－1 ,此时A 中也只有一元素 －1.综上可得：当a ＝0时 ,A 中的元素为－12；当a ＝1时 ,A 中的元素为－1. (2)假设A 中只有一个元素 ,由(1)知a ＝0或a ＝1 ,假设A 中没有元素 ,即方程ax 2＋2x ＋1＝0无解 ,∴⎩⎨⎧a ≠0Δ＝4－4a <0 ,解得a >1 , 综上可得：a >1或a ＝0或a ＝1.19．解 A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{x |x ＝0或x ＝－4}＝{0 ,－4}．∵B ⊆A ,∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0 ,－4}．当B ＝∅时 ,即x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根 ,由Δ<0 ,即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0 ,解得a <－1；当B ＝{0}时 ,由根与系数的关系：0＋0＝－2(a ＋1) ,0×0＝a 2－1⇒a ＝－1；当B ＝{－4}时 ,由根与系数的关系：－4－4＝－2(a ＋1) ,(－4)×(－4)＝a 2－1⇒无解；当B ＝{0 ,－4}时 ,由根与系数的关系：0－4＝－2(a ＋1) ,0×(－4)＝a 2－1⇒a ＝1.综上所述,a＝0或a≤－1.20．解∵1≤a1<a2<a3<a4 ,∴a21<a22<a23<a24.∵A∩B＝{a1 ,a4} ,∴只可能有a1＝a21⇒a1＝1.而a1＋a4＝10 ,∴a4＝9 ,∴a24≠a4.(1)假设a22＝a4 ,那么a2＝3 ,∴A∪B＝{1,3 ,a3,9 ,a23,81} ,∴a3＋a23＋94＝124⇒a3＝5；(2)假设a23＝a4 ,那么a3＝3 ,同样可得a2＝5>a3 ,与条件矛盾,不合题意．综上所述,A＝{1,3,5,9} ,B＝{1,9,25,81}．。
苏教版高中数学高一必修一1.1第一章《集合》复习学案
B A⊆；⊆，∴，而B AB={2,3} ,C={2-∞，-4）∪（，-2]∪[3，x2-4ax+3a2<0(x-3a)(x-a)<0，2-<解得(1)=至多有一个元素，则}04．下列表述中正确的是 （只填序号）：⑴若A B A B A =⊆ 则, ；⑵若B A B B A ⊆=，则 ；⑶)(B A A)(B A ；⑷ ()()()B C A C B A C U U U =．答案：⑴、⑵、⑷5．已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 ． 答案：0,1,3x ≠-6．满足M a ⊆}{},,,{d c b a 的集合M 的个数为_____________．答案：77．某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21人，若数学化学都参加的有x 人，则x 的取值范围是 ．答案：Z x x ∈≤≤，214 8．设全集U R=，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根则()U C M N= ．答案：1|4x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭ 9．集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=满足,AB φ≠，,AC φ=实数a 值为 ．答案：2a =- 10．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++=====．答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=91,31M 11．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(， m = ．答案：1m =或2 12．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆,则m 的取值范围为 ． 答案：3≤m13．设⊗是集合A 中元素的一种运算，如果对于任意的,,x y x y A ≠±∈，都有x y A ⊗←，则称运算⊗对集合A 是封闭的，若{|2,,}M x x a b a b z ==+∈，则对集合M 不封闭的运算是 （选填：加法、减法、乘法、除法）． 答案：除法14．设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-, 那么()()U U C M C N 等于________________．答案： (){}2,2- 二、解答题：。
高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第一章 集合 章末复习课
解析
答案
解析 ①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以 不是封闭集； ②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x －y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确； ③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集， 但A1∪A2不是封闭集，故③不正确； ④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.
解析
答案
命题角度2 用图形语言表示的集合运算 例4 设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，则图中阴影部分表示 {x|1≤x<2} 的集合为___________.
解析 图中阴影部分表示的集合为A∩(∁ UB)，因为∁ UB＝{x|x≥1}， 画出数轴，如图所示，所以A∩(∁ UB)＝{x|1≤x＜2}.
跟踪训练1 设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}， {(4,4)} 则A∩B＝________.
解析
答案
类型二 集合间的基本关系 例2 若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可 能取值组成的集合.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解答
解 由题意得，P＝{－3,2}. 当a＝0时，S＝∅ ，满足S⊆P；
反思与感悟
(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给 出问题的解答. (2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅ 的情况.
③ 跟踪训练2 下列说法中不正确的是________.( 填序号) ①若集合A＝∅ ，则∅ ⊆A； ②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B； ③已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a>2. 解析 ∅ 是任何集合的子集，故①正确； ∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}， ∴A＝B，故②正确； 若A⊆B，则a≥2，故③错误.
高中数学 第一章 集合 1.1 集合的含义及其表示知识梳理素材 苏教版必修1(2021年最新整理)
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集合的含义及其表示一、集合1．集合某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa∈；若b不是集合A的元素，记作Ab∉；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象,则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象），因此,同一集合中不应重复出现同一元素;无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号｛}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意:列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.（4）常用数集及其记法非负整数集(或自然数集），记作N ；正整数集，记作N ＊或N +；整数集,记作Z ；有理数集,记作Q ；实数集,记作R 。
(苏教数学必修1)第一章《集合的含义》第1课时教案
第一章会集一、知识结构会集中元素的特征会集的定义及其表示会集的表示法会集的分类集子集、全集、补集定义、性质、运用合交集、并集定义、性质、运用二、要点难点要点：会集的表示方法；子集的看法；会集的交、并运算；难点：会集看法的理解；会集的补集运算；交与并的差别；.专业.第一课时会集的含义[学习导航]知识网络确立性会集定义互异性元素的特征无序性会集有限集会集的分类无穷集空集学习要求1．初步理解会集的含义，常用数集及其记法；2．会集中的元素的特征；3．理解属于关系和相等的意义；会集的分类；4．会集的分类.[课堂互动]自学谈论1．会集的含义：构成一个会集(set).注意：〔1〕会集是数学中原始的、不定义的看法，只作描述.〔2〕会集是一个“整体.〔3〕构成会集的对象一定是“确立的〞且“不一样〞的2．会集中的元素：会集中的每一个对象称为该会集的元素〔element〕.简称元.会集一般用大写拉丁字母表示，如会集A,元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c等.思虑:构成会集的元素是不是只好是数或点？[答]3．会集中元素的特征：〔1〕确立性.设A是一个给定的会集，x是某一元素，那么x是A的元素，也许不是A的元素，两种状况必有一种且只有一种成立.〔2〕互异性.对于一个给定的会集，它的任何两个元素都是不一样的.〔3〕无序性.会集与此中元素的摆列次序没关.4．常用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________；正整数集记作__________或___________；整数集记作________有理数记作_______；实数集记作________5．元素与会集的关系：假如a是会集A的元素，就记作__________，读作“___________________〞；假如a不是会集A的元素，就记作______或______，读作“_______________〞；6．会集的分类：按它的元素个数多少来分：〔i〕_________________叫做有限集；〔ii〕________________________叫做无穷集；〔iii〕_______________叫做空集，记为_____________.专业.[精模模范]一、运用会集中元素的特征来解决问题例1．以下研究的对象能否构成会集 〔 1〕世界上最高的山岳 〔 2〕高一数学课本中的难题 〔 3〕中国国旗的颜色 〔 4〕充分小的负数的全体 〔 5〕book 中的字母 〔 6〕立方等于自己的实数 〔 7〕不等式2x-8<13的正整数解 [解]〔1〕能〔2〕不可以 〔3〕能 〔4〕不可以〔5〕能 〔6〕能 〔7〕能谈论:判断一组对象能否构成会集要点是能否找到一个明确的标准，依据这个确立的标准，它要么是这个会集的元素，要么不是这个会集的元素，即元素确立性.例2：会集M 中的元素为 1，x ，x 2-x ，求x 的范围？解析：依据会集中的元素互异性可知：会集里的元素各不同样，联列不等式组 .[解]1 xx 1 1 x 2 x x1 2 5 x x 2 x或xx 20 因此x 的范围是：150或x2x|x1或x2 或x谈论: 元素的特征〔特别是互异性〕是解决问题的切入点.例3：三个元素的会集1，a ，b，也可表示为0，a 2，a+b ，求a 2005+b 2006的值．a0下手，可以解析：三个元素的会集也可表示别的一种形式，说明这两个会集同样，而该题目从特别元素 省去繁琐的谈论． [解]依题意得b0 那么b=0因此a 2 a1那么a1 由互异性知a 1因此a 2005+b 2006=-1谈论:从特别元素下手，灵巧运用会集的三个特色．二、运用元素与会集的关系来解决一些问题例4：会集A 中的元素由x=a+b2(a ∈Z,b ∈Z)构成，判断以下元素与会集 A 的关系？ 〔1〕01 〔3〕1〔2〕122 3解析：先把x 写成a+b 2的形式，再观察a ，b 能否为整数.[解].专业..〔1〕由于00 0 2，因此0A〔2〕由于111 2，因此1A2 12 1〔3〕由于1 3 12,3Z ，因此1Z3232谈论:要判断某个元素是不是某个会集的元素，就是看这个元素能否满足该会集的特征或详尽表达形式.例5：不包括-1，0，1的实数集A 满足条件a ∈A ，那么1 a∈A ，假如2∈A,求A 中的元素？1 a解析：该题的会集所满足的特色是由抽象的语句给出的，把 2这个详尽的元素代入求出 A 的另一个元素，但该题要循环代入，求出其他的元素，同学们可能想不到 .[解]∵ 2∈A ∴-3∈A ∵-3∈A∴ 1∈A2∵1 ∈A ∴1∈A2 1∈A3∵∴ 2∈A 3A 中的元素为：综上所述，会集2，-3，1 1，32追踪训练1．以下研究的对象能否构成会集①某校个子较高的同学； ②倒数等于自己的实数 ③全部的无理数④讲台上的一盒白粉笔⑤中国的直辖市 ⑥中国的大城市2．以下写法正确的选项是 ___________________① a Q②当n ∈N 时，由全部(-1)n 的数值构成的会集为无穷集 ③3R④-1∈Z ⑤由book 中的字母构成的会集与元素k ，o ，b 构成的会集是同一个会集 把正确的序号填在横线上 3．用∈或填空1_______N-3_________N0__________N 2________N 1_______Z-3_________Q0__________Z 2________R.专业..0_______N*________R22 cos300_______Z_______Q74．由实数-x ，|x|，x 2，x ，3x 3构成的会集最多含有元素的个数是 _________________个[选修延伸]例6：设S 是满足以下两个条件的实数所构成的会集： ①1∈S ，②假设aS ，那么1S ，请1 a解答以下问题：〔1〕假设2∈S ，那么S 中必有别的两个数，求出这两个数； 〔2〕求证：假设aS ，那么11 Sa〔 3〕在会集S 中元素能否只有一个？请说明原由；〔4〕求证：会集S 中最少有三个不一样的元素. [解] 〔 1〕，〔2〕略 〔 3〕会集S 中的元素不可以只有一个. 证明：假设会集 S 中只有一个元素，那么依据题意知a=1,此方程无解，∴a ≠1∴会集S 中的元1 a1 a素不可以只有一个.〔4〕证明：有〔 2〕知，aS ，11 S ，a此刻a ，1，11 三个数互不相等.1 aa①假设a=1 ,此方程无解，∴a ≠11 a1 a②假设a=1 11，此方程无解，∴a ≠1aa③假设 1 =1 1 ，此方程无解，∴1 ≠1 11 aa1 a a综上所述，会集 S 中最少有三个不一样的元素.谈论:〔4〕证明中需说明三个数互不相等，否那么证明欠慎重 .数学是一门特别慎重的科学.[师生互动]学生怀疑教师释疑.专业.。
苏教版高中数学必修1学案全套
§1.1 集合的含义及其表示（1）【教学目标】1．初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法.2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.3．能根据集合中元素的特点，使用适当的方法和准确的语言将其表示出来，并从中体会到用数学抽象符号刻画客观事物的优越性．【考纲要求】1． 知道常用数集的概念及其记法.2． 理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.【课前导学】1．集合的含义： 构成一个集合.（1）集合中的元素及其表示： .（2）集合中的元素的特性： .（3）元素与集合的关系：（i ）如果a 是集合A 的元素，就记作__________读作“___________________”；（ii ）如果a 不是集合A 的元素，就记作______或______读作“_______________”.【思考】构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】2．常用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________，正整数集记作__________或___________， 整数集记作________，有理数记作_______，实数集记作________.3．集合的分类：按它的元素个数多少来分：（1）________________________叫做有限集；（2）___________________ _____叫做无限集；（3）______________ _叫做空集，记为_____________4.集合的表示方法：（1）______ __________________叫做列举法；（2）________________ ________叫做描述法.（3）______ _________叫做文氏图【例题讲解】例1、 下列每组对象能否构成一个集合？(1) 高一年级所有高个子的学生；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；(3)所有正三角形的全体； (4)方程22x =的实数解；(5)不等式12x +≥的所有实数解.例2、用适当的方法表示下列集合①由所有大于10且小于20的整数组成的集合记作A ；②直线y x =上点的集合记作B ；③不等式453x -<的解组成的集合记作C ；④方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合记作D ；⑤第一象限的点组成的集合记作E ；⑥坐标轴上的点的集合记作F .例3、已知集合{}2|210,A x ax x x R =-+=∈,若A 中至多只有一个元素，求实数a 的取值范围.【课堂检测】1．下列对象组成的集体：①不超过45的正整数；②鲜艳的颜色；③中国的大城市；④绝对值最小的实数；⑤高一（2）班中考500分以上的学生，其中为集合的是____________2．已知2a ∈A ，a 2-a ∈A ，若A 含2个元素，则下列说法中正确的是 ①a 取全体实数； ②a 取除去0以外的所有实数；③a 取除去3以外的所有实数；④a 取除去0和3以外的所有实数3．已知集合{0,1,2}A x =+，则满足条件的实数x 组成的集合B =【教学反思】§1.1 集合的含义及其表示（2）【教学目标】1．进一步加深对集合的概念理解；2．认真理解集合中元素的特性；3. 熟练掌握集合的表示方法，逐渐培养使用数学符号的规范性.【考纲要求】3． 知道常用数集的概念及其记法.4． 理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.【课前导学】1．集合()(){}3,2,1,0=A ，则集合A 中的元素有 个.2．若集合{}|0,x ax x R =∈为无限集，则a = .3. 已知x 2∈{1，0，x }，则实数x 的值 .4. 集合12|,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭,则集合A = . 【例题讲解】例1、 观察下面三个集合，它们表示的意义是否相同？(1){}2|1A x y x ==+(2){}2|1B y y x ==+(3){}2(,)|1C x y y x ==+例2、含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b +，求20112011a b +.例3、已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈,求a 的值.【课堂检测】1. 用适当符号填空：(1){}2|,1_____A x x x A ==- (2){}2|60,3____B x x x B =+-=(){}C R x x x C ___52,,22|3∈≤=2．设,a b R ∈,集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -= . 3．将下列集合用列举法表示出来: (){};6|1N m N m m A ∈-∈=且 ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=N x N x x B ,99|2【教学反思】§1.2 子集·全集·补集（1）【教学目标】1.理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.【考纲要求】1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.【课前导学】1． 子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（ ），则称 集合 A 为集合B 的子集,记为_________或_________读作“_________”或“______________”用符号语言可表示为：________________ ，如右图所示：________________.2．子集的性质：① A A ② ____A ∅ ③ ,A B B C ⊆⊆,则___A C【思考】:A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？【答】3．真子集的概念及记法：如果A B ⊆，并且A B ≠，这时集合A 称为集合B 的真子集,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：①∅是任何 的真子集 符号表示为___________________②真子集具备传递性 符号表示为___________________【例题讲解】例1、下列说法正确的是_________（1） 若集合A 是集合B 的子集，则A 中的元素都属于B ；（2） 若集合A 不是集合B 的子集，则A 中的元素都不属于B ；（3） 若集合A 是集合B 的子集，则B 中一定有不属于A 的元素；（4） 空集没有子集.例2.以下六个关系，其中正确的是_________（1）{}∅⊆∅；（2）{}∅∈∅（3）{0}∅⊆（4）0∉∅（5）{0}∅≠（6）{}∅=∅例3．（1）写出集合｛a ，b ｝的所有子集，并指出子集的个数；（2）写出集合｛a ，b ，c ｝的所有子集，并指出子集的个数．【思考】含有n 个不同元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空真子集.例4.集合{|1}A x x =>，集合{|}B x x a =>.(1) 若A B ⊆,求a 的取值范围；(2)若A B ≠⊂,求a 的取值范围.【课堂检测】1．下列关系一定成立的是________(){}13|10x x ≠⊂≤ ()2{1,2}{2,1}⊆ ()(){}(){}3|,2,13=+∈y x y x 2．集合{},0)2)(1(|=--=x x x x A 则集合A 的非空子集有 个.3．若{}{}{},,16|,,23|,,13|Z n n c c C Z n n b b B Z n n a a A ∈+==∈-==∈+==则集合A,B,C 的包含关系为 .【教学反思】§1.2 子集·全集·补集（2）【教学目标】1.理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.【考纲要求】1. 理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2. 通过概念教学，提高学生逻辑思维能力.【课前导学】1．全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集.全集通常记作_____2．补集的概念：设____________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集, 记为_____读作“__________________________”即：U C A =_______________________U C A 可用右图阴影部分来表示：_______________________3．补集的性质：① U C ∅=__________________② U C U =__________________③ ()U U C C A =______________【例题讲解】例1已知全集2{2,3,23},{|21|,2},{5}U U a a A a C A =+-=-=，求实数a 的值.例2设,{|16},{|22}U R A x x B x a x a ==-≤≤=+≤≤，若U B C A ⊆,求实数a 的取值范围.例3若方程20x x a ++=至少有一个非负实数根，求a 的取值范围.【课堂检测】1．全集{}{}1,2,3,4,5,1,5,,U U A B C A ≠==⊂则集合B 有 个. 2．全集{},321,23|,-=>==a x x A R U 则下面正确的有()1U a C A ≠⊂ ()2U a C A ∈ (){}3a A ∈ (){}4U a C A ≠⊂ 3．（1）已知全集{},3|-≥=x x U 集合{},1|>=x x A 则U C A = .（2）设全集{},|31,,U Z A x x k k Z ===±∈则U C A 为 .【教学反思】§1.3 交集·并集（1）【教学目标】1． 理解交集和并集的概念，会求两个集合的交集和并集；2． 提高学生的逻辑思维能力，培养学生数形结合的能力；3． 渗透由具体到抽象的过程；【考纲要求】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系.【课前导学】1．交集： 叫做A 与B 的交集.记作 ，即： .2．并集： 叫做A 与B 的并集， 记作 ，即: .3．设集合{}{},,3|,,2|N n n x x B N n n x x A ∈==∈==则________=⋂B A4．设{}{}{},3,3,1,13,2,12=⋂-=--=P M P m m M 则m 的值为 .【例题讲解】例1．设{1,0,1},{0,1,2,3},A B =-=求A B 及A B .例2．设22{|20},{|6(2)50},A x x px q B x x p x q =-+==++++=若1{}2AB =,求A B .例3． 设集合{24},{}A x x B x x a =-≤≤=<.（1）若A B B =,求a 的取值范围；（2）若AB =∅,求a 的取值范围.【课堂检测】 1．设集合{}{}{},4,3,2,3,2,1,2,1===C B A 则()__________.A B C =2．若集合{}{}|23,|23,S x x x T x x =≤≥=≤≤或则_________S T =.3．设集合{}21,|0 2.5,|,32U R A x x B x x x ⎧⎫==<<=≥≤-⎨⎬⎩⎭或则()()U U C A C B = . 4．已知{}{},1,1,3,3,1,122+--=-+-=a a a B a a A 则{}2,______A B a =-=则.【教学反思】§1.3 交集·并集（2）【教学目标】、（1）掌握集合交集及并集有关性质；运用性质解决一些简单问题； （2）掌握集合的有关术语和符号；使学生树立创新意识. 【考纲要求】集合的交、并运算及正确地表示一些简单集合. 【课前导学】 1．有关性质：AA = A ∅= AB B A A A = A ∅= A B B A2．区间：设,,,a b R a b ∈<且规定[,]a b = ， (,)a b = ， [,)a b = ， (,]a b = ， (,)a +∞= ， (,]b -∞= ， (,)-∞+∞= .3. {1,2,3,4,5,6},{2,3,5},{1,4},())(),U U U U A B C A B C A C B ===求与(并探求(),U C AB,U U C A C B 三者之间的关系.4.求满足{1,2}PQ =的集合,P Q 共有多少组？【例题讲解】例1设{}{}{},7,1,4,4,2,1,1,22-=+-=+--=C x y B x x A 且C B A = ，求y x ,的值及B A .例2设22{|1|,3,5},{21,2,21},A a B a a a a a =+=+++-若{2,3}A B =,求A B .例3设222{|40},{|2(1)10}.A x x x B x x a x a =+==+++-= （1）若A B B =,求a 的值；（2）若A B B =,求a 的值.例4设全集3{(,)|,},{(,)|1},{(,)|1}2y U x y x R y R M x y P x y y x x -=∈∈===≠+-，求().U C M P【课堂检测】1．设集合{},,3|Z x x x I ∈<={},2,1=A {},2,1,2--=B 则()U AC B 等于 .2．若{}{},,非正整数非负整数==B A 则=B A , =B A . 3．设R U =，{},,50|<≤=x x A {},1|≥=x x B 则()()=B C A C U U . 4．已知集合C B A ,,满足C B B A =，则C A ____.【教学反思】§2.1.1 函数的概念与图像（1）【教学目标】1． 通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型，理解函数概念； 2． 了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值域 .【考纲要求】了解构成函数的三要素；【课前导学】1．函数的定义：设A ，B 是两个 数集，如果按照某种确定的 ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为 ，其中x 叫 ，x 的取值范围叫做函数的 ，与x 的值相对应的y 的值叫 ，y 的取值范围叫做函数的 ；2．在对应法则R y R x b x y y x f ∈∈+=→,,,:中，若52→，则→-2 ；3．下列图象中不能．．作为函数()y f x =的图象的是：【例题讲解】 例1 （1）N x x x ∈→,； （2）R x x x ∈+→,11； （3）,y x →其中+∈∈-=N y N x x y ,,1；（4）y x →，其中{}{}3,2,1,0,1,1,0,1,21-∈-∈-=y x x y 以上4个对应中，为函数的有 .④①变式：下列各组函数中，为同一函数的是 ； （1）()3-=x x f 与()962+-=x x x g （2）()1-=x x f 与12)(2+-=t t t g（3）24)(2+-=x x x f 与2)(-=x x g （4）2)(x x f π=与圆面积y 是半径x 的函数例2 求下列函数的定义域：（1）xx f -=11)( （2）22y x =+*变式：若)(x f y =的定义域为[]4,1，)2(+x f 的定义域为 ；例3已知函数223y x x =--+，求1(0),(1),(),()(1)2f f f f n f n --.变式1：函数223,(32)y x x x =--+-≤≤的值域是 函数223y x x =--+，{}2,1,0,1,2--∈x 的值域是 .变式2：若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数2x y =，值域为{}4,1的“同族函数”共有 个；【课堂检测】1. 对于集合{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，有下列从A 到B 的三个对应：①12x y x →=；②13x y x →=；③x y x →=；其中是从A 到B 的函数的对应的序号为 ；2. 函数3()|1|2f x x =+-的定义域为 ____________3. 若2()(1)1,{1,0,1,2,3}f x x x =-+∈-，则((0))f f = ；【教学反思】§2.1.1 函数的概念与图像（2）【教学目标】通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型，理解函数概念；了解 构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值 域 .【考纲要求】了解构成函数的三要素；【课前导学】1． 求下列函数的定义域： （1）22-⋅+=x x y （2）322--=x xy2． 函数)(x f y =的定义域为[]4,1-，则函数)2(x f y =的定义域为 ；3．求下列函数的值域：（1）)20(1≤<-=x x y （2）2y x=（3）)30(322≤≤+-=x x x y【例题讲解】例1.求下列函数的定义域：（1）()01x yx x+=- （2）1y x=例2.求下列函数的值域： （1）32y x =- （2）[)246,1,5y x x x =-+∈（3）2845y x x =-+ （4）y x =例3（1）已知函数y =R ，求实数m 的取值范围；（2）设[]1,(1)A b b =>，函数21()(1)12f x x =-+，当x A ∈，()f x 的值域也是A ，求b 的值.【课堂检测】 1.函数y =的定义域为 ，111y x=+的定义域为 .2.函数211y x =+的值域为 .3.函数y x =的值域为 .【教学反思】§2.1.1 函数的概念与图像（3）【教学目标】1．理解函数图象的意义；2．能正确画出一些常见函数的图象；3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势； 4．从“形”的角度加深对函数的理解. 【课前导学】1．函数的图象：将函数()f x 自变量的一个值0x 作为 坐标，相应的函数值作为 坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ，当自变量 ，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．2．函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系：函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合对应着函数的 ，在y 轴上的射影构成的集合对应着函数的 .3. 函数()f x x =与2()x g x x =的图象相同吗？并画出函数2()x g x x=的图像.4.画出下列函数的图象：（1）()1f x x =+； （2）2()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈；（3）5y x =，{1,2,3,4}x ∈； （4）()f x =【例题讲解】例1. 画出函数2()1f x x =+的图象，并根据图象回答下列问题： （1）比较(2),(1),(3)f f f -的大小； （2）若120x x <<（或120x x <<，或12||||x x <）比较1()f x 与2()f x 的大小；（3）分别写出函数2()1f x x =+（(1,2]x ∈-）， 2()1f x x =+（(1,2]x ∈）的值域．例2. 已知函数()f x =⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322x x x x x ，x(1)画出函数图象；(2)求(((2)))f f f -的值(3)求当()7f x =-时，求x 的值；例3作出下列函数的图像;(1) 234y x x =+- (2) 221y x x =--【课堂检测】1.函数()f x 的定义域为[]2,3-，则()y f x =的图像与直线2x =的交点个数为 .2. 函数)(x f y =的图象如图所示，填空：（1）=)0(f ______；（2）=)1(f ______；（3）=)2(f _________； （4）若1121<<<-x x ，则)()(21x f x f 与的大小关系是 _______________.3.画出函数()xf x x x=+的图像.【教学反思】§2.1.2函数的表示方法（1）【教学目标】1． 掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），理解同一个函数可以用不同的方法来表示；2． 了解分段函数，会作其图，并简单地应用； 3． 会用待定系数法、换元法求函数的解析式. 【考纲要求】在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 【课前导学】1.一次函数一般形式为 .2.二次函数的形式：（1）一般式： ； （2）交点式： ； （3）顶点式： .3.已知()31f x x =-，()23g x x =+，则 [()]f g x = ， [()]g f x = .4.已知函数()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，求()f x .【例题讲解】例1.下表所示为x 与y 间的函数关系：那么它的解析式为 .例2. 函数()f x 在闭区间[1,2]-上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．例3. （1）已知一次函数)(x f 满足[]34)(+=x x f f ，求)(x f .（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．1【课堂检测】1.已知21,0()21,0x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩，(2)f -= ；2(1)f a += .2.已知1)f x =+，则()f x = .3.若二次函数2223y x mx m =-+-+的图像对称轴为20x +=，则m = ，顶点坐标为 .【教学反思】X k b 1 . c o m§2.1.2函数的表示方法（2）【教学目标】掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；会用待定系数法、换元法求函数的饿解析式；通过实际问题体会数学知识的广泛应用性，培养抽象概括能力和解决问题的能力.【考纲要求】在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.【课前导学】 1．函数()01)(2≠+=x x x x f ，则)1(x f 是 ； 2．已知1)1(+=+x x f ，那么)(x f 的解析式为 ；3．一个面积为2100m 的等腰梯形，上底长为xm ，下底长为上底长的3倍，则高y 与x 的解 析式为 ；4．某种笔记本每本5元，买x （{}4,3,2,1∈x ）个笔记本的钱数记为y （元），则以x 为自变量的函数y 的解析式为 ；【例题讲解】例1. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示点P 的行程，y 表示线段PA 的长，求y 关于x 的函数解析式.变式:如图所示，梯形ABCD 中，CD AB //，5==BC AD ，,10=AB 4=CD ，动 点P 自B 点出发沿DA CD BC →→路线运动，最后到达A 点，设点P 的运动路程 为x ，ABP ∆的面积为y ，试求)(x f y =的解析式并作出图像.例2已知函数满足1()2()f x f ax x+=， （1）求(1),(2)f f 的值； （2）求()f x 的解析式.【课堂检测】1．周长为定值l 的矩形，它的面积S 是此矩形的长为x 的函数，则该函数的解析式 为 ；2.若函数()f x 满足关系式1()2()3f x f x x+=，则(2)f = ；【教学反思】§2.1.3函数的单调性（1）【教学目标】1． 会运用函数图象判断函数是递增还是递减；2． 理解函数的单调性，能判别或证明一些简单函数的单调性； 3． 注意必须在函数的定义域内或其子集内讨论函数的单调性. 【考纲要求】通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性，学会运用函数图象理解和研究函数的性质 【课前导学】1．下列函数中，在区间()2,0上为增函数的是 ； （1）xy 1=（2）12-=x y （3）x y -=1 （4）2)12(-=x y 2．若b x k x f ++=)12()(在()+∞∞-,上是减函数，则k 的取值范围是 ； 3．函数122-+=x x y 的单调递增区间为 ； 4．画出函数12+=x y 的图象，并写出单调区间.【例题讲解】例1：画出下列函数图象，并写出单调区间．（1）22y x =-+； （2）1y x=；（3）21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩．例2.求证函数1()1f x x=-在()0,+∞上是减函数.思考：在(),0-∞是 函数，在定义域内是减函数吗？例3.求证函数3()f x x x =+在(),-∞+∞上是增函数.【课堂检测】1．函数1062+-=x x y 在单调增区间是 ； 2．函数11-=xy 的单调递减区间为 ； 3．函数⎩⎨⎧<≥=)0()0(2x xx xy 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；4．求证：函数x x x f +-=2)(在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,上是单调增函数.【教学反思】§2.1.3函数的单调性（2）【教学目标】1．理解函数的单调性、最大（小）值极其几何意义；2．会用配方法、函数的单调性求函数的最值；3．培养识图能力与数形语言转换的能力.【课前导学】1．函数12+-=x y 在[]2,1-上的最大值与最小值分别是 ；2．函数x x y +-=2在[]0,3-上的最大值与最小值分别是 ；3．函数12+-=xy 在[]3,1上最大值与最小值分别是 ； 4．设函数)0()(≠=a x a x f ，若)(x f 在()0,∞-上是减函数，则a 的取值范围为 .【例题讲解】例1. (1)若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数m 的值为 ；（2）若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ；（3）若函数2()45f x x mx m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为 ．例 2.已知函数)(x f y =的定义域是],[b a ，a c b <<.当],[c a x ∈时，)(x f 是单调增函数；当],[b c x ∈时，)(x f 是单调减函数，试证明)(x f 在c x =时取得最大值.例3.（1）求函数1()f x x x=+的单调区间； （2）求函数221()x x f x x -+=，1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【课堂检测】1. 函数1)1()(--=x a x f 在()+∞∞-,上是减函数实数a 的取值范围是 .2. 函数2()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值是 .3. 函数()f x =的最小值是 ，最大值是 ．【教学反思】§2.1.3 函数的奇偶性（1）【教学目标】3． 了解函数奇偶性的含义；4． 掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；5． 初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第一章 集合 章末检测(一)
章末检测(一)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________.答案 {0,2}解析 ∵N ＝{0,2,4}，∴M ∩N ＝{0,2}．2．已知集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 {x |0≤x <1}解析 ∵N ＝{x |－1<x <1}，∴M ∩N ＝{x |0≤x <1}．3．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{3,5}，N ＝{2,3,4}，则图中阴影部分所表示的集合是__________．答案 {2,4}解析 阴影部分为N ∩(∁U M )＝{2,4}．4．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 答案 1解析 由m 2＝2m －1得m ＝1，经检验m ＝1满足题意．5．设集合A ＝{x |x 2－(a ＋3)x ＋3a ＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，若集合A ∪B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为__________．答案 {0,1,3,4}解析 解方程x 2－5x ＋4＝0得x ＝4或x ＝1，∴B ＝{1,4}．解方程x 2－(a ＋3)x ＋3a ＝0，得x ＝3或x ＝a ，∴A ＝{3}或{3，a }．∵1＋4＋3＝8，∴A ＝{3}或{3,0}或{3,1}或{3,4}，∴a ＝0或a ＝1或a ＝3或a ＝4.6．已知集合U 是由直线y ＝3(x －1)＋2上所有的点构成的，集合A ＝{(x ，y )|y －2x －1＝3}，则∁U A ＝________.答案 {(1,2)}解析 ∵A ＝{}(x ，y )|y ＝3(x －1)＋2，x ≠1，∴∁U A ＝{(1,2)}．7．已知集合S ＝{x ||2x －1|<1}，则使S ∩T ＝S ∪T 的集合T ＝________.答案 {x |0<x <1}解析 由于S ∩T ＝S ∪T ，故S ＝T .8．设集合A ＝{1,4,6,7,9}，B ＝{2,4,5,7}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．答案 5解析 ∵A ∪B ＝{1,2,4,5,6,7,9}，A ∩B ＝{4,7}，∴∁U (A ∩B )＝{1,2,5,6,9}．9．已知集合M ＝{x |5－|2x －3|∈N *}，则M 的所有非空真子集的个数是________． 答案 510解析 M ＝{－12，0，12，1，32，2，52，3，72}，共有9个元素，故非空真子集个数为29－2＝510.10．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为________． 答案 0或1解析 当a ＝0时，A ＝{－12}，当a ≠0时，若集合A 只有一个元素，则Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1.综上，当a ＝0或1时，集合A 只有一个元素．11．已知集合A{1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 共有________个． 答案 5解析 按A 中元素个数分类：(1)1个元素：{1}，{3}；(2)2个元素：{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．12．方程x 2－px ＋6＝0的解集为M ，方程x 2＋6x －q ＝0的解集为N ，且M ∩N ＝{2}，那么以p ，q 为根的一元二次方程为________________．答案 x 2－21x ＋80＝0解析 将x ＝2代入两个方程可求出p ，q 值．13．设⊗是集合A 中元素的一种运算，若对于任意的x ≠±y ，x ，y ∈A ，都有x ⊗y ∈A ，则称运算⊗对集合A 是封闭的．若M ＝{x |x ＝a ＋2b ，a ，b ∈Z }，则对下列运算：①加法；②减法；③乘法；④除法，集合M 不封闭的运算是________．(填序号)答案 ④解析 集合M 中任意两数之商不一定可表示为a ＋2b (a ，b ∈Z )的形式．14．已知全集U ＝{m ，a ，t ，h }，集合A ＝{m ，a }，B∁U A ，则满足条件的集合B 的个数为________．答案 3解析 ∁U A ＝{t ，h }，其真子集个数为22－1＝3.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)设y ＝x 2＋ax ＋b ，集合A ＝{x |y ＝x }＝{a }，M ＝{(a ，b )}，求集合M .解 由A ＝{a }，得x 2＋ax ＋b ＝x 的两个根x 1＝x 2＝a ，即x 2＋(a －1)x ＋b ＝0的两个根x 1＝x 2＝a ，∴x 1＋x 2＝1－a ＝2a ，解得a ＝13. ∴b ＝19.∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，19. 16．(14分)设二次方程x 2＋ax ＋b ＝0和x 2＋cx ＋15＝0的解集分别是A ，B ，又A ∪B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求a ，b ，c 的值．解 ∵3∈A ，∴9＋3a ＋b ＝0.①又∵3∈B ，∴9＋3c ＋15＝0，∴c ＝－8.当c ＝－8时，B ＝{3,5}，∴A ＝{3}，∴a 2＝4b .②由①②，得a 2＝－12a －36，∴a ＝－6，b ＝9.综上，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.17．(14分)已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＋p ＋1＝0}，B ＝{x |x >0}，A ∩B ＝∅，求实数p 的取值范围． 解 由A ∩B ＝∅知关于x 的方程x 2＋4x ＋p ＋1＝0无正根．①若方程无实根，则Δ<0，A ＝∅，A ∩B ＝∅成立，此时Δ＝16－4(p ＋1)<0，所以p >3；②若方程有实根且均为负根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤3，p ＋1>0，所以－1<p ≤3； ③令方程的实数根中有一根为0，得p ＝－1，此时方程化为x 2＋4x ＝0，其另一根为－4，符合题意．综上可知p 的取值范围为[－1，＋∞)．18．(16分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}．(1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1，或4≤x ≤5}．(2)①若A ＝∅，此时2－a ＞2＋a ，∴a ＜0，满足A ∩B ＝∅.②当a ≥0时，A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }≠∅，∵A ∩B ＝∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞1，2＋a ＜4， ∴0≤a ＜1. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，1)．19．(16分)对于点集A ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝－3x ＋2，m ∈N *}，B ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝a (x 2－x ＋1)，a ∈Z ，n ∈N *}，是否存在非零整数a ，使得A ∩B ≠∅？ 解 若A ∩B ≠∅，则由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋2，y ＝a (x 2－x ＋1)消去y ，得到关于x 的方程ax 2＋(3－a )x ＋a －2＝0的两个根至少有一个为正整数．由Δ＝(3－a )2－4a (a －2)＝9＋2a －3a 2≥0，得－2<1－273≤a ≤1＋273<3. ∵a ∈Z ，且a ≠0，∴a ＝1或a ＝－1或a ＝2.当a ＝1时，x ＝－1±2(舍去)；当a ＝－1时，x ＝3或x ＝1，符合题意；当a ＝2时，x ＝0或x ＝－12，均舍去．故存在非零整数a ＝－1，使得A ∩B ≠∅.20．(16分)已知两个正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a21，a22，a23，a24}，其中a1＜a2＜a3＜a4.若A∩B＝{a1，a4}，且a1＋a4＝10，A∪B的所有元素之和是124，求集合A和B.解因为1≤a1＜a2＜a3＜a4，所以a21＜a22＜a23＜a24.因为A∩B＝{a1，a4}，所以只可能有a1＝a21，解得a1＝1.而a1＋a4＝10，所以a4＝9，所以a24≠a4.(1)若a22＝a4，则a2＝3，所以A∪B＝{1,3，a3,9，a23，81}，所以a3＋a23＋94＝124，解得a3＝5.(2)若a23＝a4，则a3＝3，同样可得a2＝5＞a3，与条件矛盾，不合题意．综上所述，A＝{1,3,5,9}，B＝{1,9,25,81}．。