高中数学 第一章 统计案例整合课件 北师大版选修1-2
10
b=������=1 10
∑
∑ ������������ ������������ -10������������
������=1 2 ������2 10 ������ ������
=
19749-10×5.5×288.7 385-10×5.5
2
≈46.9,
a=������-b������ =288.7-46.9×5.5≈30.8, 因此所求的线性回归方程是 y=46.9x+30.8. (3)当 x=11 时,y 的估计值为 y=46.9×11+30.8≈547(人次).
幂函数曲线������ = ������������ ������ 可线性化的回归分析 指数曲线������ = ������e������������ 倒指数曲线������ = ������e������
������
对数曲线������ = ������ + ������ln������ 条件概率与独立事件 条件概率������(������|������) =
专题二
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专题一
专题三
专题四
专题五
解:(1)散点图如图所示.
(2)借助科学计算器,完成下表:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 51 134 213 235 262 294 330 378 457 533 xiyi 51 268 639 940 1310 1764 2310 3024 4113 5330 x=5.5,y=288.7
10 ������=1
∑
2 ������2 10 ������ ������
∑ ������2 ������ -10����10×5.5×288.7 385-10×5.5 × 1020953-10×288.72
2
≈0.984. 由于 0.984 接近 1,这说明点击人次 y 与播放天数 x 之间存在着线性相 关关系,求线性回归方程有实际意义.
10 10 2 2 ∑ xi =385, ∑ yi =1020953, ∑ xiyi=19749 i=1 i=1 i=1 10
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利用上表的数据,计算点击人次 y 与播放天数 x 之间的相关系数为
10
r=
������=1 10 i=1
∑ xi yi -10xy
2
������ 2 ≤ 2.706 时无关联 独立性检验的应用→两个变量独立性的判断 ������ 2 > 2.706 时有 90%的把握判定两个变量有关联 ������ 2 > 3.841 时有 95%的把握判定两个变量有关联 ������ 2 > 6.635 时有 99%的把握判定两个变量有关联
������=1 ������
∑ ������������ ������������ -������������
2 ������ ������=1
������
������
2
回归分析
������=1
∑ ������2 ������ -������������
∑ ������2 ������ -������������
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专题一 线性回归分析
线性回归分析的基本步骤
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【应用 1】在一个文娱网络中,点击观看某个节目的人次 y 和播放天数 x 的一些数据如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 51 134 213 235 262 294 330 378 457 533
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∑ xiyi -������x
2 ∑ ������2 ������ -������������ i=1 ������
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回归分析
计算公式 b =
������=1 n
y
,������ = ������-������������
线性回归方程������ = ������ + ������������ 线性相关系数������ =
试求回归方程,并预测在最大积雪深度为 30 厘米时的灌溉面积.
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提示:作出散点图,观察两个变量 x 与 y 的关系,或求出相关系数 r 判断, 再求回归方程. 解:作出散点图,如图所示.
从图中看到,数据点大致落在一条直线附近,这说明变量 x 与 y 之间的 关系大致可看作是线性关系. 由所给数据得: ������ = ������ =
������(������������) ������(������)
独立事件������(������������) = ������(������)������(������)
������(������������-������������)2 独立性检验������ = (������ + ������)(������ + ������)(������ + ������)(������ + ������) 独立性检验
(1)画出散点图. (2)由相关系数判断两变量之间是否有线性相关关系,求线性回归方程 是否有意义?若有意义求出线性回归方程. (3)当播放天数为 11 天时,估计点击人数为多少? 提示:通过散点图或计算相关系数判断两变量是否具有线性相关关系, 通过公式求回归直线方程,由方程进行估计.
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【应用 2】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山下建立了 一个观测站,测量了最大积雪深度 x(单位:厘米)与当年灌溉面积 y(单位:公 顷),得到连续 10 年的数据如下表:
年序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最大积雪深度 x/厘米 15.2 10.4 21.2 18.6 26.4 23.4 13.5 16.7 24.0 19.1 灌溉面积 y/公顷 28.6 19.3 40.5 35.6 48.9 45.0 29.2 34.1 46.7 37.4
北师大版高中数学选修1-2课件第1章统计案例本章整合
从而回归方程为 y=1.813x+2.355. 当 x=30 时,y=1.813×30+2.355≈56.7(千亩). 所以,当最大积雪深度为 30 尺时,可灌溉的面积大约为 56.7 千亩.
2
������(������������-������������)2
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HISHI WANGLUO
Z 专题探究
UANTI TANJIU
专题一
专题二
专题一 回归分析及相关系数
两个变量之间是否具有线性相关关系,可以通过作散点图或计算线性 相关系数来判断.若两个变量之间存在线性关系,可用最小二乘法求出线性 回归方程.设回归方程为 y=a+bx,则 b=
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计算公式������ =
∑ ������������������������ -n������ ������ ������=1
2 ∑ ������������ -n������ ������=1 ������ ������ 2 ������
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试求回归方程,并预测在最大积雪深度为 30 尺时的灌溉面积.
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思路分析:作出散点图,观察两个变量 x 与 y 的关系,或求出相关系数 r 判断,再求回归方程.
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高中数学教学课件：独立性检验
2．2×2列联表 ①定义：两个分类变量的__频__数__表____称为列联表． ②2×2列联表 一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的取值分别为 _{_x_1_，__x_2_}__ 和___{_y1_，__y_2_}_ ，其样本频数列联表(也称为2×2列 联表)为下表.
x1
x2 总计
y1 a c a＋c
下：
本地
外地
合计
去年 今年 合计
1 407 1 331 2 738
2 842 2 065 4 907
4 249 3 396 7 645
能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为票价上浮后
游客人数与所处地区有关系？
[答案] 能
[解析] 按照独立性检验的基本步骤，假设票价上浮后游 客人数与所处地区没有关系．
d＝
合计
n＝
附：χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d
P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
[答案] (1)图略 A中<B中 (2)有99.9%的把握 [解析] 本小题考查频率分布直方图、独立性检验及2×2 列联表等统计学知识． 解题思路是(1)绘制频率分布直方图，并从图中观察出中位 数进行比较，(2)从频率分布表中读取数值填制2×2列联表并计 算χ2与临界值比较，说明是否有关．
乙厂抽查的产品中有 320 件优质品，从而乙厂生产的零件 的优质品率估计为352000＝64%.
(2)填写表格.
分厂 甲厂
零件的质量
乙厂
合计
优质品
360 320 680
非优质品
140 180 320
高中数学 第一章 统计案例(4课时)北师大版选修12
【金学案】2015年春高中数学第一章统计案例（4课时）北师大版选修1-2知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求回归分析的基本思想及其初步应用通过典型案例的探究,进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用在《数学》(必修3)概率统计的基础上,通过典型案例进一步介绍回归分析的基本思想、方法及其初步应用;通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用,认识统计方法在决策中的作用独立性检验的基本思想及其初步应用在具体情境中,了解条件概率和两个事件相互独立的概念.通过典型案例的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用1.在学习回归分析内容时,应首先回顾必修课程中的相关内容,复习如何画散点图,如何利用最小二乘法求线性回归方程,并关注本章内容和必修课程中相关内容的区别与联系.认识和体会进行相关性检验的必要性,了解如何求线性相关系数r,并能对两个随机变量进行回归分析.在此基础上,会将非线性回归问题转化为线性回归问题来解决.2.通过具体实例,了解独立性检验的基本思想,能够根据实际问题列出列联表,求出χ2的值,并能根据求得的值判断两个变量是否相关.3.带着如下问题阅读教材:(1)为什么要引入线性相关系数?(2)如何将非线性回归问题转化为线性回归模型?(3)独立性检验的基本思想、方法是什么?(4)哪种类型的数据可以进行独立性检验?哪种类型的数据可以进行回归分析?第1课时回归分析1.会对两个变量的相关关系进行分析、判断.2.了解回归分析的基本思想,会对两个变量的具体问题进行回归分析.3.掌握运用最小二乘法建立回归模型的基本步骤和方法.重点:熟练掌握回归分析,建立回归模型,求各相关指数的步骤.难点:如何求回归直线方程以及对相关系数r的理解和运用.我们每个人都有自己的身高和体重,那么如果把身高和体重分别作为变量,它们能够构成函数关系吗?问题1:散点图在考虑两个量的关系时,为了对变量之间的关系有一个大致的了解,人们通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了变量之间的一个图,通常称这种图为变量之间的散点图.问题2:相关关系与线性回归相关关系:对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系分为线性相关和非线性相关.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,相关关系是一种非确定性关系.线性回归:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.问题3:线性相关系数r=称为两个变量数据(x i,y i)(i=1,2,…,n)的线性相关系数.r用来刻画两个变量的线性回归效果:当r>0时,表明两个变量正相关;当r<0时,表明两个变量负相关;r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间越不存在线性相关关系.问题4:线性回归分析的步骤对于一组具有线性相关关系的数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n).(1)画散点图:看散点图是否呈条状分布.(2)求回归直线方程(最小二乘法):b=, =x i,=y i,其中(,)为样本中心点,回归直线方程必经过样本中心点(,),得a= -b ;(3)得出相关结论:回归直线方程为y=a+bx ,利用回归直线方程进行预测.“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀,有可能会在美国的德克萨斯州引起一场龙卷风.”这就是洛伦兹1979年12月在华盛顿的“美国科学促进会”上的一次演讲中提出的“蝴蝶效应”.这次演讲给人们留下了极其深刻的印象.从此以后,所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走,名声远扬.“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省,不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩,而且在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力.1.下列关系不属于相关关系的是().A.父母的身高与子女的身高B.人的身高与体重C.居民的收入与消费D.正方体的表面积和体积【解析】相关关系是一种非确定性关系,而D项是确定的关系,为函数关系,故选D.【答案】D2.设两个变量x与y之间具有线性相关关系,相关系数是r,回归方程为y=a+bx,那么必有().A.b与r符号相同B.a与r符号相同C.b与r符号相反D.a与r符号相反【解析】因为b与r的分母均为正,且分子相同,所以b与r同号.【答案】A3.某医院用光电比色检验尿汞时,得到尿汞含量x(毫克/升)与消化系数y的一组数据如下表:尿汞含量x 2 4 6 8 10消化系数y64 138 205 285 260若x与y具有线性相关关系,则回归直线方程是.【解析】利用公式b==26.95,a=-b=28.7,从而回归直线方程为y=26.95x+28.7.【答案】y=26.95x+28.74.某10名同学的数学、物理、语文成绩如下表:数学136 125 122 87 108 113 111 70 94 74物理107 91 92 76 93 85 82 78 78 73语文86 114 104 109 100 106 112 104 95 99试分别研究他们的数学成绩与物理成绩的关系、数学成绩与语文成绩的关系,你能发现什么规律?【解析】可求出物理成绩与数学成绩的相关系数r≈0.87,从而认为物理成绩与数学成绩之间具有很强的线性相关关系.而由语文成绩与数学成绩的相关系数|r|≈0.092很接近0,说明语文成绩与数学成绩不具有线性相关关系.因此,数学成绩好的同学,一般来说物理成绩也较好,它们之间的联系较紧密,而数学成绩好的同学,语文成绩可能好也可能差,它们之间的关系不大.相关关系的判断与分析有下列关系:①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系;②曲线上的点与该点的坐标之间的关系;③苹果的产量与气候之间的关系;④森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系;⑤学生与他(她)的学号之间的关系.其中有相关关系的是(填写你认为正确的序号).【方法指导】根据相关关系的概念进行判断.【解析】序号关系理由①相关关系人的年龄和他(她)的财富有一定的关系,一般中年人财富多,年轻人少,少儿基本没有②函数关系曲线上的点与其坐标一一对应,是确定的③相关关系气候能影响苹果的产量④相关关系同一种树木,其断面直径和高度之间有一定的关系,但不确定⑤对应关系确定的一一对应关系【答案】①③④【小结】相关关系是一种非确定性关系,是指两个变量之间有关系,但是两者之间的关系还受其他因素的影响,只是影响大小的问题.回归直线过样本中心点(,)的性质的应用观察两个相关变量的如下数据:x-1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1y-0.9 -2 -3.1 -3.9 -5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9则两个变量间的回归直线方程为().A.y=0.5x-1B.y=xC.y=2x+0.3D.y=x+1【方法指导】根据回归直线方程y=a+bx经过样本中心点(,)可计算出结果.【解析】∵=0,=0,回归直线方程经过样本中心点(,),代入所给选项中检验,可知,只有y=x符合条件.【答案】B先判定相关性,再求回归直线方程某种图书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下:x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200y 10.155.524.082.852.111.621.411.31.211.15检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否有线性相关关系?如果有,求出y对x的回归方程.【方法指导】本题是非线性回归分析问题,不妨设变量u=,题意要求对u与y作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y对u的回归直线方程,这时,再回代u=,就得到了y对x的回归曲线方程.【解析】将上表数据列表分析如下:i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x i 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 421y i 10.155.52 4.08 2.852.111.621.411.31.21 1.15 31.4 1 4 9 25 100 400 9002501000400053939 103.0330.4716.658.124.452.621.991.691.46 1.32 171.8x i y i 10.1511.0412.2414.2521.132.442.365 121 230 559.48∴=42.1,=1772.41,=3.14,n=10,10=1321.94,可以求得r=0.9998,由r=0.9998,因此变量y 与之间具有较强的线性相关关系.∵b====-0.02,∴a=-b=3.14-(-0.02)×42.1=3.98. ∴y 与x 的回归方程为y=3.98-0.02x.[问题]当x=1时,由回归方程得y=3.96,而实际上y=10.15,为什么有这么大的偏差?上述回归方程是y 与x 的回归方程吗?[结论]因为y 与之间具有较强的线性相关关系,而y 与x 之间没有明显的线性相关关系,故应先通过变量变换(即换元),令u=,并通过对u 与y 作相关性检验,求出y 对u 的回归直线方程,最后再回代u=,得到y 对x 的回归方程.于是正确解如下:首先作变量变换,令u=,则题目所给数据变成如下表所示的数据:u i 1 0.5 0.33 0.2 0.10.05 0.03 0.02 0.01 0.005y i 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.211.15可以求得r ≈0.9998,因此变量y 与u 之间具有较强的线性相关关系,并且b ≈8.973,a=-b ≈1.125,最后回代u=可得y=+1.125.因此y 与x 的回归方程为y=+1.125.【小结】本题中y 与x 之间不具有线性相关关系,因而是非线性回归分析问题,对此类回归分析问题,应先求线性相关系数r ,利用r 来判断两个变量之间是否具有线性相关关系.当|r|越接近1时,认为线性相关关系越强,可以求回归直线方程,并可用求得的回归直线方程来预测变量的取值;当|r|越接近0时,认为两个变量之间线性相关关系越不显著,这时求回归直线方程没有多大的实际价值,要采用变量变换(即换元法)转化为线性回归问题求解.由施肥量x 与水稻产量y 试验数据的关系,画出散点图,并指明相关性.施化肥量x15 20 25 30 35 40 45水稻产量y330 345 365 405 445 450 455【解析】散点图为:通过图像可知是正相关.已知x 、y 的取值如表所示,若从散点图分析,y 与x 线性相关,且y=0.95x+a ,求a 的值.x 0 1 2 3 4 y 2.2 4.3 4.8 4.8 6.7【解析】由表中数据得=2,=4.56,由于线性回归方程一定经过样本中心点(,),即(2,4.56),在回归直线方程y=bx+a中,代入点(2,4.56)得a=-b=4.56-0.95×2=2.66.10名同学在高一和高二的数学成绩如下表:x74 71 72 68 76 73 67 70 65 74y76 75 71 70 76 79 65 77 62 72其中x为高一数学成绩,y为高二数学成绩.(1)y与x是否具有相关关系;(2)如果y与x具有相关关系,求回归直线方程.【解析】(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得=71,=72.3,x i y i=51467,=50520,=52541.则r==≈0.78.即认为x与y之间具有线性相关关系.(2)y与x具有线性相关关系,设回归直线方程为y=a+bx,则b==≈1.22,a=-b=72.3-1.22×71=-14.32,所以y关于x的回归直线方程为y=1.22x-14.32.1.对相关系数r,下列说法正确的是().A.r越大,两变量的线性相关程度越大B.r越小,两变量的线性相关程度越大C.|r|越大,两变量的线性相关程度越大;|r|越小,两变量的线性相关程度越小D.|r|≤1,且|r|越接近1,两变量的线性相关程度越大;|r|越接近0,两变量的线性相关程度越小【解析】由两个变量的相关系数公式r=可知,相关程度的强弱与|r|和1的接近程度有关,|r|越接近1,两变量的线性相关程度越大,|r|越接近0,两变量的线性相关程度越小.【答案】D2.工人月工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为y=650+80x,下列说法正确的个数是().①劳动生产率为1000元,工资约为730元;②劳动生产率提高1000元,则工资约提高80元;③劳动生产率提高1000元,则工资约提高730元;④当月工资为810元,劳动生产率约为2000元.A.1B.2C.3D.4【解析】①②④正确,注意单位的一致性,故选C.【答案】C3.若预报体重y(kg)和身高x(cm)之间的线性回归方程为y=0.849x-85.712,如果要找到体重为41.638 kg的人,(填“一定”或“不一定”)在身高为150 cm的人群中.【解析】体重不仅受身高的影响,还受其他因素的影响.【答案】不一定4.某个体服装店经营某种服装,一周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下:x 3 4 5 6 7 8 9y66 69 73 81 89 90 91已知=280,=45309,x i y i=3487.(1)求,;(2)一周内获纯利润y与该周每天销售件数x之间是否线性相关?如果线性相关,求出回归直线方程.【解析】(1)=(3+4+5+6+7+8+9)=6,=(66+69+73+81+89+90+91)≈79.86.(2)根据已知=280,=45309,x i y i=3487,得相关系数r=≈0.973.所以纯利润y与每天销售件数x之间具有显著的线性相关关系.利用已知数据可求得回归直线方程为y=4.746x+51.386.(2013年·湖南卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关且y=2.347x-6.423;②y与x负相关且y=-3.476x+5.648;③y与x正相关且y=5.437x+8.493;④y与x正相关且y=-4.326x-4.578.其中一定不正确的结论的序号是().A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】由正相关、负相关的性质可知在①中,斜率为2.347>0,不可能负相关;在④中,斜率为-4.326<0,不可能正相关,故①④一定不正确.选D.【答案】D1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是().A.圆的面积与半径B.球的体积与半径C.角度与它的正弦值D.一个考生的数学成绩与物理成绩【解析】由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系S=πr2;B表示球的体积与半径之间的关系V=πr2;C表示角度与它的正弦值y=sin α,以上所说的都是确定的函数关系,相关关系不是确定性的关系,故选D.【答案】D2.在对两个变量x,y进行线性回归分析时有下列步骤:①对所求出的回归方程作出解释;②收集数据(x i,y i),其中i=1,2,…,n;③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可靠性要求能够作出变量x,y具有线性相关结论,那么在下列操作顺序中正确的是().A.①②⑤③④B.③②④⑤①C.②④③①⑤D.②⑤④③①【解析】根据线性回归分析思想可知,两个变量x,y进行线性回归分析时,应先收集数据(x i,y i),然后绘制散点图,再求相关系数和线性回归方程,最后对所求的回归方程作出解释,因此选D.【答案】D3.如图所示有5组数据,去掉后,剩下的4组数据的线性相关性更强.【解析】根据散点图判定两变量的线性相关性,样本数据点越集中在某一直线附近,这两变量的线性相关性越强,显然去掉D(3,10)后,其余各点更能集中在某一直线附近,即线性相关性更强.【答案】D(3,10)4.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间由如下一组数据:x 1.081.121.191.281.361.481.591.681.81.871.982.07y 2.252.372.42.552.642.752.923.033.143.263.363.5(1)画出散点图;(2)检验相关系数r的显著性水平;(3)求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程.【解析】i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x i1.08 1.121.191.281.361.481.591.681.81.871.982.07y i2.25 2.372.42.552.642.752.923.033.143.263.363.5x i y i 2.432.6542.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.0966.6537.245=,=,=29.808,=99.2081,x i y i=54.243(1)画出散点图,如图所示.(2)r==≈0.99,这说明每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间存在显著的线性相关关系.(3)设回归直线方程y=bx+a,利用计算a,b,得b≈1.215, a=-b≈0.974,即回归直线方程为y=1.215x+0.974.5.设一个回归方程为y=3-5x,当变量x增加一个单位时().A.y平均增加3个单位B.y平均减小5个单位C.y平均增加5个单位D.y平均减小3个单位【解析】-5是斜率的估计值,说明x每增加一个单位,y平均减少5个单位.【答案】B6.对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其回归方程的截距为().A.a=y+bxB.a=+bC.a=y-bxD.a=-b【解析】回归直线方程中的截距即为a,由公式=b+a得a=-b,故选D.【答案】D7.许多因素都会影响贫穷,教育也许是其中之一,在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据,建立的回归直线方程为y=0.8x+4.6,则成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数.(填“大于0”或“小于0”)【解析】一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%,收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右.【答案】大于08.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:使用年限2 3 4 5 6x维修费用2.23.8 5.5 6.5 7.0y若由资料知y对x呈线性相关关系.试求:(1)线性回归方程y=bx+a的回归系数a,b;(2)估计使用年限为10年时的维修费用.【解析】(1)制表如下:i 1 2 3 4 5 合计x i 2 3 4 5 6 20y i2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25x i y i4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.34 9 16 25 36 90=4,=5,=90,x i y i=112.3于是b===1.23,a=-b=5-1.23×4=0.08.(2)由(1)知回归直线方程为y=1.23x+0.08,当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.3+0.08=12.38,即估计使用10年时的维修费用是12.38万元.9.若y与x之间的一组数据如下:x0 1 2 3 4y 1 3 5 5 6则拟合这5对数据的回归直线一定经过的点是.【解析】根据回归直线y=bx+a一定过样本中心点(,),且==2,==4,知点(2,4)一定在回归直线上.【答案】(2,4)10.某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之间的关系,从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本,有如下资料:产量x(千费用y(千件) 元) 40 150 42 140 48 160 55 170 65 150产量x(千件) 费用y(千元)79 16288 185100 165120 190140 185完成下列要求:(1)计算x与y的相关系数;(2)这两个变量之间是否线性相关?若线性相关,求回归直线方程y=bx+a.【解析】(1)制表如下:i x i y i x i y i1 40 150 1600 22500 60002 42 140 1764 19600 58803 48 160 2304 25600 76804 55 170 3025 28900 93505 65 150 4225 22500 97506 79 162 6241 26244 127987 88 185 7744 34225 162808 100 165 10000 27225 165009 120 190 14400 36100 2280010 140 185 19600 34225 25900合计777 1657 70903 277119 132938==77.7,==165.7,=70903,=277119,x i y i=132938r=≈0.808.即x与y的相关系数r≈0.808.(2)因为r较接近1,所以x与y之间具有很强的线性相关关系.则b=≈0.398,a=165.7-×77.7b≈134.8,所以回归直线方程为y=0.398x+134.8.第2课时回归分析的应用1.根据线性回归方程,对相关结论进行预测.2.理解从散点图进行非线性回归分析的意义,掌握如何将非线性回归问题转化为线性回归问题的方法.3.了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.重点:根据线性回归方程,对相关结论进行预测,探究非线性模型通过变换转化为线性回归模型的方法.难点:了解常用函数的图像特点,选择不同的模型建模,并通过相关指数对不同的模型进行比较.有关法律规定:香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语,那么吸烟和健康之间有因果关系吗?每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?要回答这个问题,我们先来一起学习本节的知识吧!问题1:相关系数的概念及相关系数r的性质相关系数r用来描述线性相关关系的强弱,且样本相关系数r===.r有如下性质:(1)|r|≤1;(2)|r|越接近于1,误差Q越小,x,y的线性相关程度越强;(3)|r|越接近于0,误差Q越大,x,y的线性相关程度越弱;(4)当r>0时,称两个变量正相关;当r<0时,称两个变量负相关;当r=0时,称两个变量线性不相关.问题2:在回归分析中,通过模型计算预测变量的值时,应注意的问题.(1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体;(2)我们所建立的回归方程一般都有时间性;(3)样本取值的范围会影响回归方程的适用范围;(4)不能期望回归方程得到的预测值就是预测变量的精确值.问题3:几种能转化为线性回归模型的非线性回归模型(1)幂函数曲线y=ax b作变换u=ln y,v=ln x,c=ln a,得线性函数u=c+bv .(2)指数曲线y=a e bx作变换u=ln y,c=ln a,得线性函数u=c+bx .(3)倒指数曲线y=a作变换u=ln y,c=ln a,v=,得线性函数u=c+bv .(4)对数曲线y=a+b ln x作变换u=y,v=ln x,得线性函数u=a+bv .问题4:非线性回归问题进行回归分析的方法(1)若问题中已给出经验公式,这时可以将解释变量进行交换(换元),将变量的非线性关系转化为线性关系,将问题化为线性回归分析问题来解决.(2)若问题中没有给出经验公式,需要我们画出已知数据的散点图,通过与各种函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图像作比较,选择一种与这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量交换,将问题化为线性回归分析问题来解决.从以下几个方面认识相关关系:(1)相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系;相关关系是一种非确定性关系.(2)函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.相关关系在现实生活中大量存在,从某种意义上讲,函数关系是一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系,不仅可以使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度.一般情况下,在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下,应先进行相关性检验,在确认其具有线性相关关系后,再求其回归直线方程;由部分数据得到的回归直线,可以对两个变量间的线性相关关系进行估计,这实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系问题进行研究.由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸,它在情况预测、资料补充等方面有着广泛的应用.1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是().A.角度和它的余弦值B.正方形的边长和面积C.正n边形的边数和各内角度数之和D.人的年龄和身高【解析】函数关系就是一种变量之间的确定性的关系,A,B,C三项都是函数关系,它们的函数表达式分别为f(θ)=cos θ,g(a)=a2,h(n)=nπ-2π.D项不是函数关系,对于年龄确定的人群,仍可以有不同的身高,故选D.【答案】D2.为了表示n个点与相应直线在整体上接近程度,我们常用()表示.A.(y i-y)B.(y i-)C.(y i-y)2D.(y i-)2【解析】由回归直线方程y=a+bx,可知y为一个量的估计量,而y i为它的实际值,在最小二乘法中[y i-(a+bx)]2,即(y i-y)2,故选C.【答案】C3.在一次实验中,测得(x,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),则y与x之间的回归直线方程为.【解析】因为A,B,C,D四点都在直线y=x+1上,故填y=x+1.【答案】y=x+14.1907年一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间位于192吨到3246吨,船员的人数从5人到32人,船员的人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果:船员人数=9.1+0.006×吨位.(1)假定两艘轮船吨位相差1000吨,船员平均人数相差多少?(2)估计最小的船的船员数和最大的船的船员数.【解析】(1)船员平均人数之差=0.006×吨位之差=0.006×1000=6,即船员平均相差6人.(2)9.1+0.006×192=10.252,估计最小的船的船员数为10.9.1+0.006×3246=28.576,估计最大的船的船员数为28.利用公式,确定回归直线方程某5名学生的数学和化学成绩如下表:学生A B C D E学科数学成绩(x) 88 76 73 66 63化学成绩(y) 78 65 71 64 61(1)画出散点图;(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程.【方法指导】熟记公式,根据表格计算公式中所需的各种数据.【解析】(1)散点图(略).(2)=73.2,=67.8,x i y i=25054,=27174,所以b==≈0.625.a=-b=67.8-0.625×73.2=22.05.所以y对x的回归直线方程为y=0.625x+22.05.【小结】利用公式求解时应注意以下几点:①求b时应先求出,,x i y i,,再由a=-b求a的值,并写出回归直线方程.②线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来,存在着误差,这种误差可能导致预测结果的偏差.③回归直线方程y=a+bx中的b表示x增加1个单位时y的变化量为b,而a是不随x的变化而变化的量.④可以利用回归直线方程y=a+bx预测在x取某一个值时,y的估计值.根据回归直线方程,对结果进行分析或预测从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如下表:编号 1 2 3 4 5 6 7 8身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59求根据女大学生的身高预测体重的回归方程,并预测一名身高为 172 cm 的女大学生的体重.【方法指导】可以计算出r≈0.798.这表明体重与身高有较强的线性相关关系,从而可以建立身高和体重的线性回归方程,根据身高和体重的线性回归方程,由身高预测体重.【解析】由于问题中要求根据身高预测体重,因此选取身高为自变量x ,体重为因变量y.作出散点图(如图).从图中可以看出,样本点呈条状分布,身高和体重有较强的线性相关关系,因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系,根据公式,可以得到b≈0.848,a≈-85.712.于是得到回归方程y=0.848x-85.712.因此,对于身高172 cm 的女大学生,由回归方程可以预测其体重为y=0.848×172-85.712=60.144 kg.【小结】解析中b=0.848是斜率的估计值,说明身高x每增加1个单位时,体重y就增加0.848 kg,这表明体重与身高具有正的线性相关关系.尽管身高172 cm的女大学生的体重不一定是60.144 kg,但一般可以认为她的体重接近60.144 kg.可线性化的非线性回归问题一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表:温度x/℃21 23 25 27 29 32 35产卵数y/7 11 21 24 66 115 325个试建立y与x之间的回归方程,并预测温度为28 ℃时产卵数目.【方法指导】作出散点图(或根据已知的散点图)分析欲采用较为恰当的拟合曲线,用换元法转化成线性关系再进行回归分析.【解析】选择变量,画散点图.在散点图中,根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1的周围,其中c1和c2是待定参数.即问题变为如何估计待定参数c1和c2.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=ln y,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=ln c1 ,b=c2)的周围.这样,就可以利用线性回归模型来建立y 和x之间的非线性回归方程了.由已知表的数据可以得到变换后的样本数据表(下表):x21 23 25 27 29 32 35z1.946 3.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784下图给出了表中数据的散点图.从图中可以看出,变换后的样本点分布在一条直线附近,因此可以用线性回归方程来拟合.由表中的数据得到线性回归方程z=0.242x-2.884.相关系数r≈0.953.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y=e0.242x-2.884.当x=28 ℃时,y≈49.预测当气温为28 ℃时,产卵数为49个.综上所述,在本题中指数函数模型比一元线性模型、二次函数模型有更好的拟合效果.【小结】对于给定的样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中a和b都是未知参数.应先根据散点图或利用相关系数r判断两变量间是否存在线性相关关系,若两变量线性相关性显著,采用例1的方法进行线性回归分析;若两变量线性相关性不显著,则可采用例2的方法和步骤进行拟合效果分析.。
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2.1.2 演绎推理
2.2.2 反证法
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
第三章 数引入
3.2.2 复数的乘法和除法
阅读与欣赏
复平面与高斯
4.1 流程图
本章小结
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 统计案例
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1.1 独立性检验
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阅读与欣赏
“回归”一
词的由来
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0002页 0090页 0178页 0200页 0277页 0329页 0401页 0403页 0454页 0530页 0608页 0610页 0672页 0703页
第一章 统计案例
1.2 回归分析
阅读与欣赏
“回归”一词的由来
第二章 推理与证明
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1.2 回归分析
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本章小结
2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2课件：第一章 统计案例
5
xi－ x yi－ y
5 xiyi－5－x －y
i＝1
所以b^ ＝
i＝1
＝
5
xi－ x 2
5
x2i －5 x 2
i＝1
i＝1
＝62106－605－×51×8×1872.4＝－1.15. a^＝7.4＋1.15×18＝28.1. 所求回归直线方程是^y＝－1.15x＋28.1.
其中正确命题的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
• [思路分析] 由题目可获取以下信息：①线性回归分析； ②散点图；③相关性检验等的相关概念及意义．
• 解答本题可先逐一核对相关概念及其性质，然后再逐一作 出判断，最后得出结论．
[解析] ①反映的正是最小二乘法思想，故正确． ②反映的是画散点图的作用，也正确． ③解释的是回归方程^y＝b^ x＋a^的作用，故也正确． ④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关
______________________________.
n
y2i －n y 2
i＝1
• (2)r的绝对值对相关性的影响：
• |r|值越大，误差Q越小，变量之间线性相关程度越高；|r| 值越小，误差Q越大，变量之间线性相关程度越低；当r＝ 0时，两个变量线性不相关．
• (3)r的正负对相关性的影响：
2．回归分析 (1)回归分析是处理两个变量之间__相__关__关__系____常用的一种统计方法．若两个 变量之间具有线性相关关系，则称相应的回归分析为__线__性__回__归__分__析____.
n
xi－ x yi－ y
i＝1
n
(2)回
归直
2021学年高中数学第一章统计案例2.2_2.4学案北师大版选修1_2
2.2 独立性检验2.3 独立性检验的根本思想2.4 独立性检验的应用学习目标χ2的意义和独立性检验的根本思想．知识点一2×2列联表思考某教育行政部门大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：体育文娱总计男生210230440女生60290350总计270520790如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系〞？答案可通过表格与图形进展直观分析，也可通过统计分析定量判断．梳理设A，B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格.BAB1B2总计A1 a b a＋bA2 c d c＋d总计a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据，b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．知识点二统计量χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)知识点三独立性检验当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．1．列联表中的数据是两个分类变量的频数．( √)2．事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．( ×)3．χ2是判断事件A与B是否相关的统计量．( √)类型一2×2列联表及其应用例1 (1)两个变量X，Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：YXy1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d假设两个变量X，Y独立，那么以下结论：①ad≈bc；②aa＋b≈cc＋d；③c＋da＋b＋c＋d≈b＋da＋b＋c＋d；④c＋aa＋b＋c＋d≈b＋da＋b＋c＋d；⑤(a＋b＋c＋d)(ad－bc)(a＋b)(b＋d)(a＋c)(c＋d)≈0.共中正确的序号是________．(2)甲、乙两个班级进展一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如以下联表：成绩优秀不优秀总计用频率估计的方法可判断成绩与班级________关．(填“有〞或“无〞) 考点 定性分析的两类方法 题点 利用列联表定性分析 答案 (1)①②⑤ (2)无 解析 (1)因为变量X ，Y 独立， 所以aa ＋b ＋c ＋d ≈a ＋c a ＋b ＋c ＋d ×a ＋ba ＋b ＋c ＋d，化简得ad ≈bc ，故①⑤正确；②式化简得ad ≈bc ，故②正确． (2)根据2×2列联表得频率表如下：由于1790×12＝17180，而19＝20180；7390×12＝73180，而718＝70180； 1790×12＝17180，而790＝14180； 7390×12＝73180，而1945＝76180. 这些频率之间相差不大，可以认为成绩是否优秀与班级没有关系．反思与感悟 (1)2×2列联表X ，Y 对应的数据是从总体中抽取样本的统计数据，所以即使X ，Y 独立，ad －bc 一般也不恰好等于零．(2)2×2列联表中，|ad －bc |越小，说明“X ，Y 独立〞正确的可能性越大；|ad －bc |越大，说明“X ，Y 有关联〞(即X ，Y 不独立)正确的可能性越大．跟踪训练1 在列联表中，相差越大，两个变量之间的关系越强的两个比值是( ) A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.ab ＋d 与ca ＋c考点 定性分析的两类方法 题点 利用列联表定性分析 答案 A 解析aa ＋b 和cc ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个变量之间的关系越强．类型二 利用χ2公式判断两变量的关系例2 为研究时下的“韩剧热〞，对某班45位同学的爸爸、妈妈进展了问卷调查，结果如下表所示.喜欢韩剧 不喜欢韩剧总计 妈妈 31 13 44 爸爸 15 21 36 总计463480试问：是否有99%以上的把握认为“喜欢韩剧和性别有关系〞？ 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 解 由表中的数据，得χ2＝80×(31×21－15×13)244×36×46×34≈6.715.因为6.715>6.635，所以有99%以上的把握认为喜欢韩剧和性别有关系． 反思与感悟 解独立性检验问题的根本步骤跟踪训练2 某研究小组调查了在2～3级风时的海上航行中男女乘客的晕船情况，共调查了71人，其中女性34人，男性37人．女性中有10人晕船，另外24人不晕船；男性中有12人晕船，另外25人不晕船．(1)根据以上数据建立2×2列联表； (2)判断晕船是否与性别有关系． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)2×2列联表如下：晕船情况性别晕船 不晕船 总计 女 10 24 34 男 12 25 37 总计224971(2)χ2＝71×(10×25－12×24)222×49×37×34≈0.08.因为0.08<2.706，所以我们没有理由说晕船与性别有关.1．变量X 和Y 的列联表如下，那么( )Y X y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋dA.ad －bc 越小，说明X 与Y 的关系越弱 B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 的关系越强 C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 的关系越强 D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强 考点 定性分析的两类方法 题点 利用列联表定性分析 答案 C解析 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )，假设(ad －bc )2越大，那么χ2越大，说明X 与Y 的关系越强．2．如果有95%的把握说事件A 与B 有关系，那么具体计算出的数据( ) A ．χ2B ．χ2C ．χ2D ．χ2考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 答案 A解析 把χ2的值与临界值比，从而确定A 与B 有关的可信程度． 当χ2>6.635时，有99%的把握认为A 与B 有关系； 当χ2>3.841时，有95%的把握认为A 与B 有关系； 当χ2>2.706时，有90%的握认为A 与B 有关系；当χ2≤2.706时，就没有充分的证据认为A 与B 有关系．应选A.3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关系〞的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，那么以下说法中正确的选项是( ) A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患有肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的思想 答案 D解析 独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中确实定性是存在差异的． 4．为了判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：根据表中数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，那么认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法解析 由χ2公式计算得χ2≈4.844>3.841，故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为0.05.5．某省进展高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进展了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)2×2列联表如下所示：赞同 不赞同 总计 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 总计341650(2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关〞． 由公式，得χ2＝50×(10×6－24×10)234×16×20×30≈4.963<6.635，所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关．1．独立性检验的思想：先假设两个事件无关，计算统计量χ2的值．假设χ2值较大，那么拒绝假设，认为两个事件有关． 2．独立性检验的步骤 ①画列联表． ②计算χ2.③将得到的χ2值和临界值比拟，下结论．一、选择题1．下面是一个2×2列联表：那么表中a，b的值分别为( )A．94,96 B．52,50C．47,46 D．54,52考点分类变量与列联表题点求列联表中的数据答案 C解析a＝68－21＝47，b＝21＋25＝46.2．以下关于独立性检验的说法中，错误的选项是( )A．独立性检验依据小概率原理B．独立性检验得到的结论一定正确C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异D．独立性检验不是判断两个分类变量是否相关的唯一方法考点独立性检验及其根本思想题点独立性检验的思想答案 B解析独立性检验得到的结论不一定正确，如我们得出有90%的把握认为A与B有关，只是说这种判断的正确性为90%，具体问题中A与B可能有关，也可能无关，应选B.3．下面关于χ2的说法正确的选项是( )A．χ2在任意相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关B．χ2的值越大，两个事件的相关性就越大C．χ2是用来判断两个变量是否相关的统计量，当χ2的值很小时可以判定两个变量不相关D．χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)考点独立性检验及其根本思想题点独立检验的思想答案 B解析χ2只适用于2×2列联表问题，且χ2只能推断两个变量相关，但不能判断两个变量不相关．选项D中公式错误，分子上少了平方．应选B.4．利用独立性检验来考察两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X与Y有关系〞的可信程度．如果χ2≥5.024，那么就有把握认为“X与Y有关系〞的百分比为( )A.25% B．75%C．2.5% D．97.5%考点独立性检验及其根本思想题点独立性检验的方法答案 D解析由表中数据可知，当χ2≥5.024，P(χ2≥k)＝97.5%，应选D.5．在吸烟与患肺病这两个变量的计算中，以下说法中：①假设统计量χ2>6.635，我们有99%的把握说吸烟与患肺病有关，那么某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；②假设从统计中求出，有99%的把握说吸烟与患肺病有关，那么在100个吸烟者中必有99个人患有肺病；③假设从统计中求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误．正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3考点独立性检验及其根本思想题点独立性检验的思想答案 B解析统计量χ2仅仅说明一个统计推断，并不能说明个别案例或某些情况，从而③正确，应选B.6．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如以下联表：那么统计量χ2的值约为( )考点 分类变量与列联表 题点 答案 A解析 根据列联表中的数据，可得统计量 χ2＝90×(11×37－34×8)245×45×19×71≈0.600.应选A.7．假设有两个变量x 和y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为：对同一样本，以下数据能说明x 与y 有关的可能性最大的一组是( ) A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2 B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5 D ．a ＝3，b ＝2，c ＝4，d ＝5 考点 分类变量与列联表 题点 求列联表中的数据 答案 D解析 对于同一样本，|ad －bc |越小，说明x 与y 相关性越弱．而|ad －bc |越大，说明x 与y 相关性越强，通过计算知，对于选项A ，B ，C 都有|ad －bc |＝|10－12|＝2.对于选项D ，有|ad －bc |＝|15－8|＝7.显然7>2，应选D. 二、填空题8．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________．(填“有关的〞或“无关的〞) 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 答案 有关的解析 χ2＝27.63>6.635，有99%以上的把握认为这两个量是有关的．9．下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表：根据表中数据，那么以下说法正确的选项是________． ①性别与知道想学专业有关； ②性别与知道想学专业无关； ③女生比男生更易知道所学专业． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 答案 ②解析 χ2＝304×(63×82－42×117)2180×124×105×199≈0.041，因为值非常小，所以性别与知道想学专业无关．10．有两个变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：那么正整数a 的最小值为________时，有90%以上的把握认为“x 与y 之间有关系〞． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 答案 1解析 由题意χ2＝65[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]215×50×45×20＝13(13a －60)290×60>2.706，易得a ＝1满足题意． 三、解答题11．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观〞景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：临界值有：(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观〞景点与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观〞景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率．考点 独立性检验思想的应用题点 分类变量与统计、概率的综合性问题解 (1)由公式χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得χ2≈11.978>7.879，所以有99.5%以上的把握认为喜欢“人文景观〞景点与年龄有关．(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4，C 1，C 2，从中任选2人的根本领件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，B 4)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，(C 1，C 2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1 位20岁至40岁的市民的事件有(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为815.四、探究与拓展12．某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进展调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如以下联表：假设工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为35，那么有______的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关． 答案 95%解析 设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙的人〞为事件A ，由得P (A )＝q ＋35100＝35， 所以p ＝25，q ＝25，a ＝40，b ＝60.χ2＝100×(25×35－25×15)240×60×50×50＝256≈4.167>3.841.故有95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．13．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表： 甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异〞？解 (1)甲厂抽查的产品中有86＋182＋92＝360(件)优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有85＋159＋76＝320(件)优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)2×2列联表如下：χ2＝1000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.353>6.635，所以能够在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异．〞。
高中数学 第一章 统计案例本章知识体系课件 北师大版选修1-2
【规律方法】 对于条件概率的计算，首先要作出准 确判断是否为条件概率，具体计算时，通常设出事件 A 和 B，要理解 A 和 B 所表示的含义，然后代入条件概率计算公 式．
设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为19，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同，则 A 发生的 前提下，B 发生的概率是多少？
【解析】 由已知 P( A B )＝19，P(A B )＝P(B A )， 即 P(A)P( B )＝P(B)P( A )， 即 P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]， ∴P(A)－P(A)P(B)＝P(B)－P(A)P(B)． ∴P(A)＝P(B)． ∴P( A )＝P( B )＝13.
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计
数据：
年份
2002 2004 2006 2008 2010
需求量(万吨) 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方
程 y＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求的直线方程预测该地 2012 年的粮食
需求量．
【解析】 由所给数据看出，年需求量与年份之间近 似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理 如下：
∴P(A)＝23，P(B)＝23，P(AB)＝P(A)P(B)＝49.
4 ∴P(B|A)＝PPAAB＝92＝23.
3
独立性检验
两个变量之间是否有关联，可通过 2×2 列联表用公 式 χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d计算，与临界值比较判断 两个变量之间的关联程度，χ2 越大，两个变量关联程度 越大．当 χ2≤2.706 时认为两个变量无关联；当 χ2>2.706 时有 90%的把握认为两个变量有关联；当 χ2>3.841 时就 有 95%的把握认为两变量有关联；当 χ2>6.635 时就有 99%的把握认为两个变量有关联．
高二数学选修1-2第一章统计案例复习(2013北师大版)精选教学PPT课件
∴r＝
14
∑i＝1xiyi－14 x y ∑i1＝41x2i －14 x 2 ∑i1＝41yi2－14 y 2
＝ 227.51×4369.5075.05≈0.999 7.
因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．
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14
(2)由(1)得b＝∑ i＝114xiyi－14 x ∑ i＝1x2i －14 x
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对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关 系——线性关系或非线性关系，并由一个变量的变化去推测 另一个变量的变化，这就是对样本进行回归分析．回归分析 的过程就是建立回归模型的过程，具体步骤是：
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感谢伤痛，让我学会了坚忍，也练就了我释怀生命之起落的本能； 感谢生活，让我在漫长岁月的季节里拈起生命的美丽；
感谢有你，尽管远隔千里，可你寒冬里也给我温暖的心怀； 感谢关怀，生命因你而多了充实与清新；
感谢所有的一切~ ~ ~ ~ ~ ~ 感谢我身边每一位好友，为你祝福，为的敲起祈祷钟！伴你走过每一天。他是一个劫匪，坐过牢，之后又杀了人，穷途末路之际他又去抢银行。 是一个很小的储蓄所。抢劫遇到了从来没有过的不顺利，两个女子拼命反抗，他把其中一个杀了，另一个被劫持上了车。因为有人报了警，警车越来越近了，他劫持着这个女子狂逃，把车都开飞了，撞了很多人，轧了很多小摊。 这个刚刚21岁的女孩子才参加工作，为了这份工作，她拼命读书，毕业后又托了很多人，没钱送礼，是她哥卖了血供她上学为她送礼，她父母双亡，只有这一个哥哥。
是否左利手
不是左 合
左利手
性别
利手 计
女士
10
北师大版选修1-2--第一章-统计案例-本章整合----课件(54张)
=1
=
154 675-20×107×71
232 728-20×1072 × 103 526-20×712
≈0.86.
所以智商与成绩有较强的线性相关关系,
故建立回归模型是有意义的.
20
b=
∑ xi yi -20x y
=1
20
∑ 2 -20
i=1
2
≈0.73,a= − ≈-7.11.
()
=
()
()
()
()
=
()
, 其中
()
为一次试验可能出现
的全部结果数, 是事件所包含的结果数, 为事件与
同时发生时所包含的结果数.
综合应用
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
应用一个口袋中,有6个红球,4个白球,这些球除颜色差异外,其他
综合应用
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题二 回归分析及相关系数
两个变量之间是否具有线性相关关系,可以通过作散点图或计算
线性相关系数来判断.若两个变量之间存在线性相关关系,可用最
小二乘法求出线性回归方程.设线性回归方程为y=a+bx,
则 b=
∑ xi yi -x
=1
n
∑
i=1
2
2 -
所以P(A|B)=
()
()
=
1
3
3
5
5
= 9.
综合应用
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题五 相互独立事件
1.相互独立事件的判定方法
高中数学教学课件：条件概率与独立事件
可以证明：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都相互独立．
如果事件A1、A2、…、An相互独立，那么这n个事件同时 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1·A2·…·An) ＝P(A1)·P(A2)·P(A3)·…·P(An)．
运用公式P(AB)＝P(A)·P(B)时一定要注意成立的 条件，只有当事件A、B_相__互__独__立___时，公式才成立．此公
2．求条件概率的方法： (1)对于古典概型的题目，可采用缩小基本事件空间的方法 来计算条件概率．如：甲、乙两车间各生产 50 件产品，其中分 别含有次品 3 件与 5 件，现从这 100 件产品中任取 1 件，在已 知取到甲车间产品的条件下，求取得次品的概率，基本事件空 间总数为 50，基本事件个数为 3，P＝530. (2)直接根据条件概率公式求解．
式说明：两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生
的概率的积．
1.条件概率的几个注意点： (1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没 有这个附加条件的概率是不同的． (2)应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而 这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在 原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条 件下发生的概率．
P(A)P( B )＋P( A )P(B) 1－P(A)P(B)
1.若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(E∩F)
的值等于( )
A．0
B．116