第四章第4节 万有引力定律及其应用
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第4节
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[易错提醒] (1) 利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算 天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体 的质量。 (2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表 4 3 面附近的卫星才有 r≈R；计算天体密度时，V＝3πR 中的 R 只能是中心天体的半径。
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B．一直减小 D．先减小后增大
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(三)填补法求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的 适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现 了等效思想。
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要点二
天体表面的重力加速度问题
重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严 格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物 体随地球自转做圆周运动的向心力， 但由于向心力很小， GMm 一般情况下认为重力约等于万有引力，即 mg＝ 2 ， R 这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考 也多次在此命题。
R－d 2 C． R
( d B．1＋R
R 2 D． R－d
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(三)天体表面重力加速度与抛体运动的综合 [典例 3] (2015· 海南高考)若在某行星和地球上相对于
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(1)德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大 定律。 (2)牛顿总结了前人的科研成果， 在此基础上， 经过研 究得出了万有引力定律。 (3)英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准 确地测出了引力常量。
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[多维探究] (一)求天体表面某高度处的重力加速度 [ 典例 1] (2015· 重庆高考 ) 宇航员王亚平在“天宫 1
号”飞船内进行了我国首次太空授课， 演示了一些完全失重 状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地 球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重 力加速度大小为 A． 0 GMm C． R＋h2
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3．据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这 颗行星的体积是地球的 a 倍，质量是地球的 b 倍。已 知近地卫星绕地球运动的周期约为 T，引力常量为 G。 则该行星的平均密度为 3π A. 2 GT 3πb C. aGT2 π B. 2 3T 3πa D. bGT2
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( GM B． R＋h2 GM D． h2
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(二)求天体表面某深度处的重力加速度 [典例 2] 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球
体。一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物 体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比 为 d A ． 1－ R
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[针对训练] 1．(2015· 江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研 究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究 太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速 圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运 1 动半径的20。该中心恒星与太阳的质量比约为 1 A．10 C． 5
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[多角练通] 1．(2013· 江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运 行，根据开普勒行星运动定律可知 A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C． 火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴 之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与 太阳连线扫过的面积
图 443
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2．如图 444 所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一 条通过地心的光滑隧道直达巴西。 如只考虑物体间的万有 引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度 ( )
图 444 A．一直增大 C．先增大后减小
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要点三
天体质量和密度的计算
1．“自力更生”法(g－R) 利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。 Mm gR2 (1)由 G R2 ＝mg 得天体质量 M＝ G 。 M M 3g (2)天体密度 ρ＝ V ＝4 ＝4πGR。 3 π R 3 (3)GM＝gR2 称为黄金代换公式。
各自的水平地面附近相同的高度处、 以相同的速率平抛一物 体，它们在水平方向运动的距离之比为 2∶ 7。已知该行星 质量约为地球的 7 倍，地球的半径为 R。由此可知，该行星 的半径约为 1 A．2R C．2R
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( 7 B ． 2R 7 D． 2 R
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万有引力的三种计算思路 (一)用万有引力定律计算质点间的万有引力
m1m2 公式 F＝G r2 适用于质点、均匀介质球体或球壳之 间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时，可以 认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r 为两球心的距 离，引力的方向沿两球心的连线。
(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离， 就可以由 m1m2 F＝G r2 计算物体间的万有引力。 (5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 (×) (√ )
(6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。 (×)
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(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。
(√)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速 率越大。 (3)只有天体之间才存在万有引力。 (×) ( ×)
图 441 A． T 卫 ＜ T 月 C． T 卫 ＜ T 地
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B． T 卫 ＞ T 月 D． T 卫 ＝ T 地
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3．(2016· 南京模拟)理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于 太阳系中的天体运动，而且对一切天体 (包括卫星绕行星 R3 的运动)都适用。下面对于开普勒第三定律的公式 2 ＝k， T 下列说法正确的是 A．公式只适用于轨道是椭圆的运动 B．式中的 k 值，对于所有行星(或卫星)都相等 C．式中的 k 值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转 的行星(或卫星)无关 D．若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球 与太阳之间的距离
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要点一
开普勒行星运动定律
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、 卫星绕地球的运动。 a3 3．开普勒第三定律T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有 关，不同的中心天体 k 值不同。
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2．“借助外援”法(T－r) 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和半径 r。 Mm 4π2r 4π2r3 (1)由 G r2 ＝m T2 得天体的质量 M＝ GT 2 。 M M 3πr3 (2)若已知天体的半径 R， 则天体的密度 ρ＝ V ＝4 ＝GT 2R 3。 3 π R 3 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 3π R，则天体密度 ρ＝GT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的 周期 T，就可估算出中心天体的密度。
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高考物理一轮复习讲义 第4章 第4讲 万有引力定律及应用
第4讲 万有引力定律及应用一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a 3T 2＝k ,k 是一个与行星无关的常量自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律 答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律,但没有找出行星按照这些规律运动的原因,牛顿发现了万有引力定律． 二、万有引力定律 1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比,与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式F ＝G m 1m 2r 2,G 为引力常量,G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离．4．天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供．(2)基本公式:GMmr2＝ma＝⎩⎪⎨⎪⎧m v2r→v＝GM rmrω2→ω＝GMr3mr⎝⎛⎭⎫2πT2→T＝2πr3GMm vω自测2(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图像是()答案D解析在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中,根据万有引力定律,可知随着h的增大,探测器所受的地球引力逐渐减小,但不是均匀减小的,故能够描述F随h变化关系的图像是D.三、宇宙速度1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度,其数值为7.9 km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,也是人造卫星的最大环绕速度．(4)第一宇宙速度的计算方法．由GMmR2＝mv2R得v＝GMR;由mg＝mv2R得v＝gR.2．第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,其数值为11.2 km/s.3．第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,其数值为16.7 km/s.自测3(2019·北京卷·18)2019年5月17日,我国成功发射第45颗北斗导航卫星,该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星()A ．入轨后可以位于北京正上方B ．入轨后的速度大于第一宇宙速度C ．发射速度大于第二宇宙速度D ．若发射到近地圆轨道所需能量较少 答案 D解析 同步卫星只能位于赤道正上方,A 项错误;由GMm r 2＝m v 2r 知,卫星的轨道半径越大,卫星做匀速圆周运动的线速度越小,因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度),B 项错误;同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度,C 项错误;若发射到近地圆轨道,所需发射速度较小,所需能量较少,D 正确.1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动．3．开普勒第三定律a 3T 2＝k 中,k 值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k 值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．例1 (多选)(2019·四川绵阳市第三次诊断)2019年1月3日10时26分,我国嫦娥四号探测器完成了“人类探测器首次实现月球背面软着陆”的壮举．嫦娥四号近月制动后环月飞行时先在月球上空半径为R 的轨道上做匀速圆周运动,后贴近月球表面做匀速圆周运动,线速度大小分别是v R 和v 0,周期分别是T R 和T 0,已知月球半径为r ,则( ) A.v R v 0＝r R B.v R v 0＝r RC ．T R >T 0D ．T R <T 0答案 BC解析 根据万有引力提供向心力有:G Mmr 2＝m v 2r,所以v ＝GMr ,所以v R v 0＝rR,A 错误,B 正确;根据开普勒第三定律可知:绕同一中心天体运动,半径越大,周期越长,所以T R >T 0,C 正确,D 错误．变式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知,太阳位于木星运行轨道的一个焦点上,故A 错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同,运行速度的大小不可能始终相等,故B 错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数,故C 正确．对于太阳系某一个行星来说,其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等,不同行星在相同时间内扫过的面积不相等,故D 错误．1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果:一是重力mg ,二是提供物体随地球自转的向心力F向．(1)在赤道上:G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上:G MmR2＝mg 0.(3)在一般位置:万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极,g 值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即GMmR2＝mg .2．星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′,mg ′＝GMm (R ＋h )2,得g ′＝GM(R ＋h )2.所以g g ′＝(R ＋h )2R 2.3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论①推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即∑F 引＝0. ②推论2:在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力,即F ＝G M ′mr2.例2 若地球半径为R ,把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d ,“天宫一号”轨道距离地面高度为h ,“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( ) A.R －d R ＋hB.(R －d )2(R ＋h )2 C.(R －d )(R ＋h )2R 3D.(R －d )(R ＋h )R 2答案 C解析 设地球的密度为ρ,则在地球表面,重力和地球的万有引力大小相等,有:g ＝G MR 2.由于地球的质量为:M ＝ρ·43πR 3,所以重力加速度的表达式可写成:g ＝GM R 2＝G ·ρ43πR 3R 2＝43πGρR .根据题意有,质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,故在深度为d 的地球内部,受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力,故“蛟龙”号的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d ),所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力G Mm(R ＋h )2＝ma ,“天宫一号”所在处的重力加速度为a ＝GM (R ＋h )2,所以a g ＝R 2(R ＋h )2,g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2R 3,故C 正确,A 、B 、D 错误．变式2 (2020·广东东莞市调研)“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射,对接“天宫二号”．若飞船质量为m ,距地面高度为h ,地球质量为M ,半径为R ,引力常量为G ,则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A ．0 B.GM (R ＋h )2 C.GMm (R ＋h )2 D.GMh 2 答案 B天体质量、密度的计算使用方法已知量 利用公式 表达式 备注质量的计算利用运行天体r 、T G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝4π2r 3GT 2只能得到中心天体的质量 r 、vG Mmr 2＝m v 2r M ＝r v 2Gv 、TG Mmr 2＝m v 2r G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝v 3T 2πG利用天体表面重力加速度 g 、Rmg ＝GMm R2M ＝gR 2G密度的计算利用运行天体r 、T 、RG Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝ρ·43πR 3ρ＝3πr 3GT 2R3 当r ＝R 时ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g 、R mg ＝GMm R 2M ＝ρ·43πR 3ρ＝3g 4πGR例3 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月,我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”,其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3答案 C解析 脉冲星自转,边缘物体m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力,则有G Mm r 2＝mr 4π2T 2,又知M ＝ρ·43πr 3整理得密度ρ＝3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2kg/m 3≈5.2×1015 kg/m 3. 变式3 (2019·河南安阳市下学期二模)半径为R 的某均匀球形天体上,两“极点”处的重力加速度大小为g ,“赤道”处的重力加速度大小为“极点”处的1k .已知引力常量为G ,则下列说法正确的是( ) A ．该天体的质量为gR 2kGB ．该天体的平均密度为4g3πGRC ．该天体的第一宇宙速度为gR kD ．该天体的自转周期为2πkR(k －1)g答案 D解析 在两“极点”处:G Mm R 2＝mg ;在赤道处:G Mm R 2－m g k ＝m 4π2T 2R ,解得天体的质量为M ＝gR 2G ,T＝2πkR (k －1)g,选项A 错误,D 正确;该天体的平均密度为ρ＝M V ＝gR 2G ·43πR 3＝3g4πGR ,选项B 错误;由G MmR 2＝m v 2R＝mg 可知该天体的第一宇宙速度为v ＝gR ,选项C 错误．变式4 (2020·山东临沂市质检)2018年7月25日消息称,科学家们在火星上发现了第一个液态水湖,这表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T ,已知火星的半径为R 1,地球的半径为R 2,地球的质量为M ,地球表面的重力加速度为g ,引力常量为G ,则火星的质量为( )A.4π2R 13M gR 22T 2B.gR 22T 2M 4π2R 13C.gR 12GD.gR 22G 答案 A解析 绕地球表面运动的天体由牛顿第二定律可知: G MmR 22＝mg 同理,对绕火星表面运动的天体有: GM 火m R 12＝m (2πT)2R 1 结合两个公式可解得:M 火＝4π2R 13M gR 22T 2,故A 对．1．线速度:G Mmr 2＝m v 2r ⇒v ＝GMr 2．角速度:G Mmr2＝mω2r ⇒ω＝GMr 33．周期:G Mmr 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ⇒T ＝2πr 3GM4．向心加速度:G Mm r 2＝ma ⇒a ＝GM r 2结论:r 越大,v 、ω、a 越小,T 越大．例4 (2019·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火,它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火,由此可以判定( ) A ．a 金>a 地>a 火 B ．a 火>a 地>a 金 C ．v 地>v 火>v 金 D ．v 火>v 地>v 金答案 A解析 金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力,则有G Mm R 2＝ma ,解得a ＝G MR2,结合题中R 金<R 地<R 火,可得a 金>a 地>a 火,选项A 正确,B 错误;同理,有G MmR 2＝m v 2R ,解得v ＝GMR,再结合题中R 金<R 地<R 火,可得v 金>v 地>v 火,选项C 、D 错误．变式5 (2019·天津卷·1)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”,如图1.已知月球的质量为M 、半径为R .探测器的质量为m ,引力常量为G ,嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r 的匀速圆周运动时,探测器的( )图1A ．周期为4π2r 3GM B ．动能为GMm2RC ．角速度为Gm r 3D ．向心加速度为GMR2答案 A解析 嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时,万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,由GMm r 2＝mω2r ＝m v 2r ＝m 4π2T2r ＝ma ,解得ω＝GMr 3、v ＝GMr、T ＝4π2r 3GM 、a ＝GMr2,则嫦娥四号探测器的动能为E k ＝12m v 2＝GMm2r,由以上可知A 正确,B 、C 、D 错误．变式6 (2019·江苏卷·4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图2所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2,近地点到地心的距离为r ,地球质量为M ,引力常量为G .则图2A ．v 1＞v 2,v 1＝GMr B ．v 1＞v 2,v 1＞GMr C ．v 1＜v 2,v 1＝GMrD ．v 1＜v 2,v 1＞GMr答案 B解析 “东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中,只有万有引力做功,因而机械能守恒,其由近地点向远地点运动时,万有引力做负功,卫星的势能增加,动能减小,因此v 1＞v 2;“东方红一号”离开近地点开始做离心运动,则由离心运动的条件可知G Mmr 2＜m v 12r,解得v 1＞GMr,B 正确,A 、C 、D 错误．1．(2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P ,其轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1 D ．16∶1答案 C解析 由G Mm r 2＝mr 4π2T 2知,T 2r 3＝4π2GM ,则两卫星T P 2T Q 2＝r P 3r Q 3.因为r P ∶r Q ＝4∶1,故T P ∶T Q ＝8∶1.2．(2019·陕西榆林市第三次测试)2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C ”卫星发射升空,卫星进入预定轨道,它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星,假设该卫星在距地面高度为h 的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R ,地球表面的重力加速度为g ,万有引力常量为G .下列说法正确的是( ) A ．同步卫星运动的周期为2πRgB ．同步卫星运行的线速度大小为g (R ＋h )C ．同步轨道处的重力加速度大小为(R R ＋h )2gD ．地球的平均密度为3g 4πGR 2答案 C解析 地球同步卫星在距地面高度为h 的同步轨道做圆周运动,万有引力提供向心力,有:GMm (R ＋h )2＝m 4π2(R ＋h )T 2,在地球表面附近,重力等于万有引力,有:mg ＝GMmR 2,故同步卫星运动的周期为:T ＝2π(R ＋h )3gR 2,故A 错误;根据万有引力提供向心力,有:GMm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h,解得同步卫星运行的线速度大小为:v ＝gR 2R ＋h ,故B 错误;根据万有引力提供向心力,有:G Mm(R ＋h )2＝mg ′,解得g ′＝(R R ＋h)2g ,故C 正确;由mg ＝GMm R 2得:M ＝gR 2G ,故地球的平均密度为:ρ＝M4πR 33＝3g4πGR,故D 错误． 3．(2019·山东泰安市第二轮复习质量检测)2019年1月3日,嫦娥四号月球探测器成功软着陆在月球背面,成为人类历史上第一个在月球背面成功实施软着陆的人类探测器．如图1所示,已关闭动力的探月卫星在月球引力作用下沿椭圆轨道(图中只画了一部分)向月球靠近,并在B 处变轨进入半径为r 、周期为T 的环月圆轨道运行．已知引力常量为G ,下列说法正确的是( )图1A ．图中探月卫星飞向B 处的过程中速度越来越小 B ．图中探月卫星飞向B 处的过程中加速度越来越小C ．由题中条件可以计算出探月卫星受到月球的引力大小D ．由题中条件可以计算出月球的质量 答案 D解析 探月卫星飞向B 处时,万有引力增大,做正功,探月卫星动能增大,加速度增大,A 、B 选项错误;由于探月卫星质量未知,无法计算出探月卫星受到月球的引力大小,C 选项错误;由GMmr 2＝m (2πT )2r 可得:M ＝4π2r 3GT2,D 选项正确．4．(2019·广西钦州市4月综测)2018年5月,我国成功发射首颗高光谱分辨率对地观测卫星——“高分五号”．“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km,质量约2.8×103 kg.已知地球半径约6.4×103 km,重力加速度取9.8 m/s 2.则“高分五号”卫星( ) A ．运行的速度小于7.9 km/s B ．运行的加速度大于9.8 m/s 2C ．运行的线速度小于同步卫星的线速度D ．运行的角速度小于地球自转的角速度 答案 A解析 第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度,是发射卫星的最小速度,所以卫星的运行速度小于7.9 km/s,故A 正确;由G MmR 2＝ma 可知,运行的加速度随着高度的增大而减小,故运行的加速度小于地面的重力加速度,即小于9.8 m/s 2,故B 错误;“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km,小于同步卫星的高度(同步卫星的高度约为地球半径的6倍),根据GMmR 2＝m v 2R得:v＝GMR,故运行的线速度大于同步卫星的线速度,故C 错误;地球的自转角速度与同步卫星相同,根据GMmR2＝mω2R 解得ω＝GMR 3,轨道越高,角速度越小,故“高分五号”卫星运行的角速度大于地球自转的角速度,故D 错误．5．(2019·西藏山南二中一模)为了观测地球表面的植被覆盖情况,中国发射了一颗人造卫星,卫星的轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的14,那么这个卫星绕地球一圈需要多长时间( )A ．12小时B ．1小时C ．6小时D ．3小时答案 D解析 地球同步卫星的周期为24小时,根据开普勒第三定律:r 同3T 同2＝r 卫3T 卫2,代入数据可得:T卫＝3小时,故D 正确,A 、B 、C 错误．6．(2019·云南昆明市4月教学质量检测)已知地球质量为木星质量的p 倍,地球半径为木星半径的q 倍,下列说法正确的是( )A ．地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的pq 2倍B ．地球的第一宇宙速度是木星“第一宇宙速度”的pq倍C ．地球近地圆轨道卫星的角速度为木星“近木”圆轨道卫星角速度的p 3q倍 D ．地球近地圆轨道卫星运行的周期为木星“近木”圆轨道卫星运行的周期的q 3p 倍答案 A解析 万有引力提供向心力,则有:G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝ma解得:v ＝GMr,T ＝2πr 3GM,ω＝GM r 3,a ＝GMr2 星球表面重力加速度为:g ＝GM R 2;由g ＝GMR2可知地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的pq 2,故A 正确;由v ＝GMr可知第一宇宙速度为:v ＝GMR,则地球的第一宇宙速度是木星的“第一宇宙速度”的pq,故B 错误;由ω＝GMr 3可知近地卫星的角速度ω＝GMR 3,地球近地卫星的角速度为木星“近木”卫星角速度的pq 3,故C 错误;由T ＝2πr 3GM可知近地卫星的周期T ＝2πR 3GM,所以地球近地卫星的周期为木星的“近木”卫星周期的q 3p,故D 错误．7．(2019·河南郑州市第一次模拟)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验,测得物体从静止自由下落h 高度的时间为t ,已知月球半径为R ,自转周期为T ,引力常量为G .求:(1)月球表面重力加速度;(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度; (3)月球同步卫星离月球表面高度． 答案 (1)2h t 2 (2)2R 2h Gt22hRt 2(3)3T 2R 2h2π2t 2－R 解析 (1)由自由落体运动规律有:h ＝12gt 2,所以有:g ＝2ht2.(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度,根据重力提供向心力mg ＝m v 12R ,所以:v 1＝gR ＝2hRt 2在月球表面的物体受到的重力等于万有引力,则有: mg ＝GMm R 2所以M ＝2R 2hGt2.(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有:GMm(R ＋h ′)2＝m v 2R ＋h ′＝m (R ＋h ′)4π2T 2解得h ′＝3T 2R 2h2π2t 2－R .。
第4节万有引力定律及应用
(× )
(3)只有天体之间才存在万有引力。
(× )
(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由
F＝Gmr1m2 2计算物体间的万有引力。
(× )
(5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 ( √ )
(6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( × )
第4节
万有引力定律及其应用
(1)德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三 大定律。
(2)牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经 过研究得出了万有引力定律。
(3)英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较 准确地测出了引力常量。
(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。
(√)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速
万有引力定律及其应用
万有引力定律及其应用万有引力定律是物理学中最基本的定律之一，描述了物体之间相互作用的力，被广泛应用于天体运动、地球运行、航天探索等领域。
本文将介绍万有引力定律的定义与公式，并探讨其在宇宙学、卫星运行和导航系统中的应用。
一、万有引力定律的定义和公式万有引力定律是由艾萨克·牛顿于1687年提出的，它描述了两个物体之间的引力大小与它们的质量及距离的关系。
牛顿的万有引力定律可以用以下公式表示：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F表示两个物体之间的引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
二、万有引力定律在宇宙学中的应用万有引力定律在宇宙学中起着重要作用。
根据该定律，行星围绕太阳运行，卫星绕地球运行，这是因为太阳和地球对它们产生了引力。
通过牛顿的定律，科学家们能够计算出天体之间的引力，从而预测它们的运动轨迹和相互作用。
世界各个国家的航天探索也依赖于万有引力定律。
比如，计算出行星和卫星的运动轨迹，对航天器进行准确的发射和着陆，都需要准确地应用万有引力定律。
此外，万有引力定律还促进了科学家对宇宙的进一步研究，帮助他们了解天体的形成和宇宙演化的规律。
三、万有引力定律在卫星运行中的应用卫星是应用万有引力定律的典型实例。
通过牛顿定律计算引力，可确定卫星轨道的稳定性和运行所需的速度。
在卫星发射前，科学家需要根据卫星要达到的轨道高度和地球质量计算出所需的发射速度，确保卫星能够稳定地绕地球运行。
此外，卫星之间也需要遵循万有引力定律的规律。
卫星在轨道上的相对位置和轨道调整都受到引力的影响。
科学家利用牛顿定律的公式，预测卫星之间的相对运动，确保卫星不会相互碰撞，从而保证卫星系统的正常运行。
四、万有引力定律在导航系统中的应用导航系统是现代社会不可或缺的一部分，而万有引力定律在导航系统中也发挥着关键作用。
通过利用地球的引力场，导航系统能够计算出接收器的位置和速度。
卫星导航系统如GPS（全球定位系统）就是基于万有引力定律工作的。
高中物理第四章《第四节万有引力与航天》教学课件
8
2．星体表面上的重力加速度 (1)设在地球表面附近的重力加速度为 g(不考虑地球自转)，由 mg＝GmRM2 ，得 g＝GRM2 . (2)设在地球上空距离地心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′，由 mg′＝(RG＋Mhm)2，得 g′＝
GM (R＋h)2 所以gg′＝(R＋R2h)2.
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们的向心加速度大小分别为 a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为 v 金、v 地、v 已 火．
知它们的轨道半径 R 金<R 地<R 火，由此可以判定
()
A．a 金>a 地>a 火
B．a 火>a 地>a 金
C．v 地>v 火>v 金
D．v 火>v 地>v 金
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
解析：选 C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根
据 GMRm2 ＝m4πT22R，M＝ρ·43πR3，得 ρ＝G3Tπ2，代入数据解得 ρ≈5×1015 kg/m3，C 正确．
地球引力，能够描述 F 随 h 变化关系的图象是
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
12
[解析] 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着 h 的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述 F 随 h 变化 关系的图象是 D. [答案] D
Mm G R2
高三物理一轮复习第四章第4讲万有引力定律及其应用课件
第二十一页，共三十六页。
1．[估算天体质量] (2018·浙江 4 月选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每 16 天绕
土 则卫星 土星一 星绕周 的土， 质星其 量运公 约动转 为，轨(土B道星半的) 径引约力为提供1.2卫×星10做6 圆km周，运已动知的引向力心常力量，G设＝土6星.67质×量10为－11MN，·mG2RM/k2mg2，
约为( C )
代入可得 ρ≈5×1015 kg/m3，故 C 正确．
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
12/9/2021
第二十三页，共三十六页。
3大“．工慧[天程眼体建”质设卫量捷星和报的密频向度传心的，加综“速合慧度计眼大算”]小卫为习星近a邀＝平游(2主T太π席)空2 在r．＝2“40Tπ1慧228r，眼年选”新于项年贺2A0词1正7中确年提；6到根月，据1科5G日技M在创r2m酒新＝泉、m重卫4Tπ22r
第十四页，共三十六页。
(1)在赤道上：GMRm2 ＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：GMRm2 ＝mg2. (3)在一般位置：万有引力 GMRm2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和． 越靠近南北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引 力近似等于重力，即GRM2m＝mg.
12/9/2021
第十七页，共三十六页。
2．[万有引力定律的应用] (2018·高考北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与 若“使想苹检果验落“地使的月力球”绕遵地循球同运样动的的规力律”，与在已“知使月苹地果距落离地约的为力地”球遵半循径同60样倍的的规情律况—下—，万需有
万有引力定律的应用课件
万有引力定律的适用范围
• 万有引力定律适用于任何两个物体之间的相互作用 ，无论它们的质量大小、距离远近、是否接触等。
万有引力定律在天文领域的应
02
用
计算天体之间的距离
哈勃定律
利用光速和红移量计算天体距离 ，揭示宇宙膨胀的规律。
雷达测距
通过向月球等天体发射雷达信号 ，并测量反射回来的时间，精确 测定天体距离。
详细描述
桥梁和建筑的结构需要承受重力等外力作用 ，而重力就是地球对物体的万有引力。通过 利用万有引力定律，工程师可以计算出结构 所需的强度和支撑力，从而设计出安全可靠 的桥梁和建筑。同时，万有引力定律也指导 了建筑物的布局和结构形式，以满足不同的 功能需求。
万有引力定律在其他领域的应
05
用
在生物学中的应用：研究生物的分布和演化
利用万有引力定律建立宇宙学模型，研究宇宙的几何结构、物质分布和演化规 律。
万有引力定律在地球科学中的
03
应用
研究地球的自转和地球的赤道半径
总结词
万有引力定律可以用来研究地球的自转和地球的赤道半径， 从而更好地理解地球的运动和结构。
详细描述
通过万有引力定律，科学家可以计算地球的质量和赤道半径 ，这对于研究地球的自转、地球的形状以及地球的板块运动 等都具有重要意义。
详细描述
万有引力定律是研究天体运动的基础，如行星绕太阳的轨道运动、卫星绕地球的轨道运 动等。此外，万有引力定律还可用于计算物体之间的相互作用力，如桥梁和建筑物的受
力分析。
在经济学中的应用
要点一
总结词
万有引力定律在经济中可用于分析市场供需关系和商品价 格波动。
要点二
详细描述
通过研究市场供需双方之间的引力与斥力关系，可以分析 商品价格的波动规律。例如，在房地产市场中，供需关系 受到地理位置、交通便利程度等引力因素的影响，同时也 受到政策、经济环境等斥力因素的影响。
第4章第4讲万有引力定律及其应用
在星球赤道处，物体受引力F引与弹簧弹力F 的作用随
星球自转做匀速圆周运动，所以F引
F
m
4 2
T2
R③
由①②③得 3F
GT 2 (F F)
1.对于万有引力定律的表达式 说法正确的是( C )
F
G
m1m2 r2
，下列
A．公式中G为引力常量，它是人为规定的 B．r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向
应用万有引力定律求天体 质量
我国已经启动“嫦娥探月工程”， 2007年发射绕月球飞行的“嫦娥一号”， 2010年年底实现登月飞行，若在月球表 面上，宇航员测出小物块自由下落h高 度所用的时间为t,当飞船在靠近月球表 面的圆轨道上飞行时，测得其环绕周期 为T，已知万有引力常量为G，根据上 述物理量，求月球的质量M．
石头所受引力
F
G
Mm r2
6.7 1011
2 1026 5 (108 )2
6.7N.
天体的运动学参量与轨道半 径之间的关系
我国发射的“神舟七号”宇宙飞船 绕 地 球 的 运 动 周 期 约 为 90min ， 如 果 把 它绕地球的运动看做是匀速圆周运动， 飞船的运动和人造地球同步卫星的运动 相比，下列判断中正确的是( )
7.一物体静置在平均密度为r的球形天体表面的赤 道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使 物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期 为( D )
A. 4 3G
B. 3
4 G
C. G
D. 3 G
【解析】物体对天体表面压力恰好为零，说明天体 对物体的万有引力提供向心力：
G
Mm R2
m
4 2
第4讲 万有引力定律及其应用
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例4 已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN, 假设地球是质量分布均匀的球体,半径为R。则地球的自转周期为
(A)
A.2π mR N
B.2π N mR
C.2π mN R
D.2π R mN
解析 在北极,物体所受的万有引力F与支持力N大小相等,在赤道
处有F-N=ΔN=mR 2T
A. R1
R2
B. R1 R2
C. R2
R1
D. R2 R1
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解析 公转的轨迹近似为圆,地球和火星的运动可以看做匀速圆周
运动,根据开普勒第三定律知, TR23 =k,运动的周期之比 TT12 =
R13 R23
,在一个周
期内扫过的面积之比为 S1 = S2
R12 R22
加油小站 栏目索引
似等于万有引力)。从赤道向两极因做圆周运动的半径逐渐减小,故所 需向心力逐渐减小,重力逐渐增加。在两极F万=mg,在赤道上F万=mg+F向。 当角速度增大到一定程度时,天体上的物体有可能被“甩出去”变成卫 星,这就是解体现象,解决的方法就是抓住临界态,万有引力刚好充当向 心力,轨道半径以天体半径计算,一般能计算出天体的密度极值、半径 极值、角速度极值。
迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知引力常量G,地球表面处
的重力加速度g,地球半径R,地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期),
一年的时间T2(地球公转周期),地球中心到月球中心的距离L1,地球中心
到太阳中心的距离L2。你能计算出 ( AB )
A.地球的质量m地= gGR2
C.月球的质量m月= 4GT21L213
D.M星∶M地=1∶80
万有引力定律及其应用
万有引力定律及其应用万有引力定律是物理学中的重要定律之一，由英国科学家牛顿在17世纪发现并公布。
它描述了物体之间相互作用的力与它们的质量和距离的关系。
本文将介绍万有引力定律的具体内容以及一些应用示例。
一、万有引力定律的表述万有引力定律指出，任何两个物体之间都存在着一种相互吸引的力，这个力称为引力。
它的大小与两个物体的质量成正比，与它们的距离平方成反比。
假设有两个物体，质量分别为m1和m2，它们之间的距离为r。
根据万有引力定律，它们之间的引力F可以通过以下公式计算得到：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，G为万有引力常数，约等于6.67430 × 10^-11 N·(m/kg)^2。
根据这个定律，我们可以计算出物体之间的引力大小，并进一步研究物体的运动状态和相互作用。
二、万有引力定律的应用万有引力定律在物理学的研究中有广泛的应用。
下面将介绍一些具体的应用示例。
1. 行星运动万有引力定律对行星的运动轨迹和速度提供了解释。
根据定律，行星与恒星之间的引力使得行星绕恒星运动。
行星在受到引力作用下，沿着椭圆轨道围绕恒星旋转。
同时，根据引力的大小和方向，我们还可以计算出行星的速度和运动轨道。
2. 卫星轨道人造卫星的运行轨道也可以通过万有引力定律进行计算。
卫星以地球为中心，受到地球引力的作用，所以会围绕地球旋转。
通过计算引力大小和速度，可以确定卫星的轨道，从而实现正常运行和通信。
3. 弹道轨道使用火箭进行太空探索时，火箭也是根据万有引力定律的计算结果进行定位和轨道规划的。
引力对火箭产生的影响可以通过计算得到，从而确定火箭发射时的初始速度和轨道，确保火箭能够顺利进入太空。
4. 重力加速度万有引力定律还可以用于计算地球表面上的重力加速度，即物体下落的速度增加量。
根据质量和距离的关系，可以计算出地球表面上的引力大小，进而计算物体下落的加速度，并用于物理学中相关的问题解决。
以上仅是万有引力定律的一些应用示例，实际上在天文学、空间科学、物理学等许多领域都有涉及。
《万有引力定律的应用》 讲义
《万有引力定律的应用》讲义一、万有引力定律的发现在人类对自然界的探索历程中，万有引力定律的发现无疑是一座重要的里程碑。
早在古代，人们就对天体的运动产生了好奇和思考，但一直未能揭示其背后的规律。
直到 17 世纪，牛顿在前人的基础上，通过深入的研究和思考，提出了万有引力定律。
该定律指出，任何两个物体之间都存在相互吸引的力，其大小与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
万有引力定律的表达式为：F ＝ G ×（m₁ × m₂) ／ r²，其中 F 表示两个物体之间的引力，G 为万有引力常量，m₁和 m₂分别表示两个物体的质量，r 表示两个物体质心之间的距离。
二、万有引力定律在天文学中的应用1、计算天体的质量通过观测天体的运动，如行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动等，可以利用万有引力定律来计算天体的质量。
例如，对于一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，其向心力由恒星对行星的引力提供，根据向心力公式 F ＝ m × v²／ r （其中 m 为行星质量，v 为行星的线速度，r 为行星轨道半径），结合万有引力定律，可以得到恒星的质量。
2、预测天体的运动轨迹知道了天体之间的引力作用，就能够预测天体的运动轨迹。
比如，天文学家可以根据万有引力定律预测彗星的回归时间和轨道，以及小行星的可能路径，这对于防范天体撞击地球等潜在威胁具有重要意义。
3、研究星系的结构和演化星系中的恒星、星云等天体之间也存在万有引力相互作用。
通过分析星系中天体的运动状态，利用万有引力定律，可以了解星系的结构、形成和演化过程。
三、万有引力定律在航天领域的应用1、人造卫星的发射和轨道计算要将人造卫星成功发射到预定轨道，必须精确计算地球对卫星的引力。
根据万有引力定律和卫星的运动需求，可以确定合适的发射速度和轨道参数，以保证卫星能够稳定地绕地球运行。
2、行星探测任务在进行行星探测时，探测器需要经过复杂的轨道设计。