07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案

合集下载

《高等数学》(Ⅰ)期中试题参考答案

中国石油大学(北京)2007─ 2008学年第一学期《高等数学》(Ⅰ) 期中考试试题参考答案( 2007.12.1.)一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）Mx f I x M I x f >∈∃>∀)(,,0)(.111有上无界的定义是区间在函数．即第一类且均是跳跃间断点则其间断点及其类别是设,,1,1lim)(.2212±=+-=+∞→x xx x x f nn n ．23ln ln )()(lim ),0()(.3a a x a f x f a a a f ax =-->='+→+则为常数设．4. 曲线2111xe y x-+=的垂直渐近线有 3 条？，其方程是1,1,0=-==x x x ． 0lim,0)(,)(.5000=∆-∆≠'=→∆xdyy x f x x f y x 则且处可导在点设函数．二、计算下列极限（本题共3小题，每小题5分，满分15分）．求且恒不为连续函数为设131sin )(1lim,0,]11[)(.10--+-→xx x x f ，x f 【解】3ln sin )(lim 21)1sin )(1()1(sin )(lim03ln 0x xx f x x f e x x f x x x →→=++-=原式 3ln 2)0(sin lim )(lim 3ln 2100f x x x f x x ==→→．◆ 210sin lim .2x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→．【解】=原式2sin ln limx x x x e→, 又 x x x x x x x x x x x x 2sin cos sin lim sin lnlim 202-⨯=→→616sin lim 6cos sin cos lim2sin cos lim23-=-=--=-=→→→x x x xx x x x xx x x x x ,61-=∴e原式．◆21)!(lim .3n n n ∞→．【解】nnnn n n nn n ==≤≤11122)()!(1 ，且1lim =∞→n n n ，故由夹逼定理有：1)!(lim 21=∞→nn n ．◆【注】第二法：222ln ...2ln 1ln !ln 1)!(n nn n neen +++==n n n n n n nn n ln ln ln ...2ln 1ln 1ln 0222=≤+++≤=0ln lim =+∞→x xx 且 0ln lim=∴∞→n n n 0!ln lim,2=∞→nn TH n 故由夹逼1)!(lim 0!ln lim122===∴∞→∞→e e n n n nn n三、求解下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20 分）试求其一阶导数确定由方程设隐函数,0)(.122=-=+xy e x y y yx．【解】02)2(:,22=--++dxdyxy y dx dy x e x yx得求导方程两端关于 xye e x y dx dyy x yx22222--=∴++．◆ 2. 设函数)(x f y =由参数方程2222,arcsin 11dx y d tt t y e t x 求确定⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=．【解】2222212111221t t t t t dt dy -=-+---= ， 21tt dt dx --=tt dtdx dt dydx dy )1(22-==∴)1(2t t -=， dtdx t t dt dx dx dy dt d dx dy dx d dxy d t 1)1(21)()(22⨯'-=⨯==∴t t t --⨯+=221)11(22231)1(2t t t-+-=．◆3.的凹凸性及拐点讨论曲线)0()(>=x x x f x . 【解】),ln 1()(x x x f x +='),0(:],1)ln 1[()(2+∞∈++=''D x xx x x f x且无拐点为凹曲线恒有上在,)(,0)(),0(:x f x f D ∴>''+∞∴.◆4.设)(x f 是有连续的二阶导数的偶函数，且0)(≠''x f ，试说明0=x 为)(x f 的极值点. 【解法一】0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意,0)0(0)(≠''⇒≠''f x f .0点是极值点知故由极值第二判定定理=x【解法二】0)(>''x f 不妨，0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意:)(),0(公式为型余项的具有上在Taylor Lagrange x f δ ∴之间介于0,,!2)()0()(2x x f f x f ξξ''+=， 0)(,0)(>''>''ξf x f 即又，点是极小值点故成立0,),0()0()(=∈>∴x x f x f δ ．◆ 【解法三】0)(>''x f 不妨，0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意0)(lim )0()(lim)0(00>'='-'=''→→xx f x f x f f x x 由同号与当x x f x o)(,),0(,0'∈>∃∴δδ ， ,),0(,0)0,(,0)(⎩⎨⎧∈>-∈<'δδx x x f 即.0点是极小值点=∴x四、（本题满分9分）设5)0(0)0(,)(=''=f ，f x f 且二阶导数存在，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x xx f x F ，试讨论函数)(x F 的连续性与可微性．【解】①.)(),()(均是连续函数的二阶可导性由x f x f x f '⇒.0)(,)(,0点是连续的即可在现只需说明是连续的时当=≠⇒x x F x F x ;0)(),0()0(1)(lim )(lim)(lim 00处连续在=∴='='==→→→x x F F f x f x x f x F x x x ②.)()()(,02xx f x f x x F x -'='≠时当 2000)0()(lim )0()(lim 0)0()(lim )0(,0xf x x f x f x x f x F x F F x x x x '-='-=--='=→→→时当 ,25)0(21)0()(lim 212)0()(lim00=''='-''-''→→f x f x f DE x f x f H L x x是可微函数可见存在)(,)(x F x F '∴．◆五、（本题满分8分）设20π≤<x ，证明不等式 3cos x x >．【证】显然时当2π=x ，不等式成立．故只需证明：时当20π<<x ，有0)(cos sin 31>-⋅-x x x令x x x x f -⋅=-31)(cos sin )(，20π<<x ．由于1)(cos sin 31)(cos )(34232-+='-x x x x f 3733131)(cos sin 94)(cos sin 32sin )(cos 32)(---++-=''x x x x x x x f 0)(cos sin 94373>=-x x ， ,0)0()(20,)(='>'⇒<<↑'⇒f x f x x f π0)0()(20,)(=>⇒<<↑⇒f x f x x f π，即时当20π<<x ，0)(cos sin 31>-⋅-x x x ．◆六、（本题满分8分）试讨论方程0tan =-x x 在)22(ππ，-内的实根个数．【解】令x x x f -=tan )(，由于-∞=-=++-→-→)(tan lim )(lim22x x x f x x ππ，+∞=-=--→→)(tan lim )(lim 22x x x f x x ππ故方程0)(=x f 在)22(ππ，-内存在实根，又)0(01sec )(2≠>-='x x x f ，)(x f ∴严格单增，)(x f ∴单调地由∞-增加到∞+，表明方程0)(=x f 在)22(ππ，-内存在惟一实根．◆七、（本题满分12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导,且0)1()0(==f f ,.1)(1)(lim 22121=--→x x f x 试证： ① 存在ηηη=∈)(),1,21(f 使得； ② 存在),,0(ηξ∈ξξξ-=-'1)()(f f 使得；③ 成立在该邻域内有存在1)(],10[)21(>⊂x f ，o．【证】①,1)21(=f 由题意,)()(x x f x F -=令,011)1()1(,02121121)21()21(<-=-=>=-=-=f F f F 则 ηηηη==∈∃)(,0)(),1,21(:f F 亦即有于是由零点存在定理知；②:,))(()(则令xex x f x G -⋅-=且内可导在上连续在,),0(,],0[)(ηηx G 0)()0(==ηG G :),,0(,有知于是由ηξ∈∃RolleTH 0])(1)([]))(()1)([()(=⋅+--'=---'='-=--ξξξξξξe f f e x x f e x f G x x xξξξξξξξ-=-'=+--'∴≠-1)()(,0)(1)(,0f f f f e 即；③ :01)(1)(lim22121及极限的保号性知由>=--→x x f x0)(1)(:),,21(),21(0221>--∈∀<>∃x x f x o 有δδδ ， 1)(],10[),21(>⊂x f ，o在该邻域内成立即存在δ ．◆八、应用题（本题满分8分）生物学家已发现了一个很好的数学模型来逼近青蛙等动物跳跃时的轨迹．实际上这些轨迹是一个以起跳角度为参数的抛物线族)900(cos 877.4tan )(222︒<≤-=θθθv x x x y这里x 为它在跳跃过程中所处位置与起跳点的水平距离（m ），y 为它在跳跃过程中所处位置的垂直高度（m ），v 为初始速度（m/s ），θ为起跳角度．现一只青蛙起跳角度为︒45，起跳速度为)/(8.4s m ，试求这只青蛙能跳的最大高度 ( 注：中间过程勿作近似，最后结果可以近似)．【解】将︒==45),/(8.4θs m v 代入抛物线方程得45cos )8.4(877.445tan )(222⋅-=x x x y 22)8.4(877.42x x ⨯-=则青蛙跳跃的最大高度，即为)(x y 的最大值．由0)8.4(877.441)(2=⨯-='x x y 877.48.42.10⨯=⇒x 驻点，0)(0<''x y 又故该惟一的极大值点必为最大值点，且最大值为：20200)8.4(877.42)(x x x y ⨯-=222)877.4()8.42.1()8.4(877.42877.48.42.1⨯⨯-⨯=877.4)2.1(2877.48.42.12⨯-⨯=)4.28.4(877.42.1-= )/(591.0)/(877.488.2)/(877.44.22.1s m s m s m ≈=⨯=．可见，此时这只青蛙所能跳跃的最大高度为)/(877.488.2s m ，即约为)/(591.0s m ．◆◆◆。

08-09-3高等数学B试卷期中参考答案

08- 09- 3 高数 B（期中）试卷参照答案 09. 4. 17一．填空题（此题共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分）1．设向量，则在上的投影；2．曲线在平面上的投影曲线为；3．设是由方程所确立的隐函数，此中可微，则全微分；4．级数的收敛域是；5．设，而，此中，则．二．单项选择题（此题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）6．函数在点处[C](A 连续且偏导数存在(B连续但偏导数不存在(C 不连续但偏导数存在(D不连续且偏导数不存在7．已知级数条件收敛，则级数[ D ]（ A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）可能收敛可能发散8．以下广义积分中收敛的是[ C ]（A）（B）（C）（D）9．直线与[B]（A）平行（ B）垂直但不订交（C）垂直订交（D）异面且不垂直三 . 计算以下各题 ( 此题共 5 小题，每题 8 分，满分 40 分10．向来线过点且与直线订交，又平行于平面，求此直线方程 .解设所求直线方程为，由该直线与直线共面，得由该直线与平面平行，得，解得，，代入所求直线方程，得. 11．求两条直线与之间的距离. 解，，12．设，求.解，13．试求过直线，且与曲面相切的平面方程.解设过直线的平面方程为（* ）设切点为，则由（2），（ 3）解得，，代入（ 1）得，解得，进而两切平面方程分别为14．将和在。

上展成余弦级数.解，，，，四（ 15）（此题满分8 分）设, 拥有二阶连续偏导数，且,，，求，，. 解对的等号两头对于求导，得，（ 1）对的等号两头对于求导，得，（ 2）对（ 1）式的等号两头对于求导，得，（ 3）从（ 2），（ 3）及条件解得，，五（ 16）（此题满分8 分）求幂级数的和函数，并指明收敛域. 解，收敛域为记幂级数的和函数为，，，六（ 17）（此题满分8 分）设，证明级数收敛 .证易知是正数列，且，因此单一递加，故，进而，于是，，，而级数收敛，由比较鉴别法得悉收敛.。

07高等数学B下期中试卷答案

2007-2008学年第2学期中高等数学B 考试试卷参考答案一、选择题(每小题3分，共21分)1、（D ）2、（C ）3、（B ）4、（C ）5、（B ）6、（C ）7、（A ）二、填空题(每小题3分，共21分)1、{}40),(22<+≤=y x y x D ；2、34π； 3、32−； 4、1234()xy C C x C C x e =+++； 5、4； 6、），，（031； 7、222200z y z x ⎧+−=⎨=⎩．三、试解下列各题(每题7分，共42分) 1、解：设与已知平面平行的平面方程为340x y z D −++=，又过点0(1,0,4)M −，代入方程得平面方程为3410x y z −+−=.该平面与直线11:32x t l y t z t =−+⎧⎪=+⎨⎪=⎩的交点为(15,19,32) 所求直线方程为14161928x y z +−== 2、解：过已知直线的平面束方程为5(4)0,x y z x z λ+++−+=由题意{1,5,1}λλ+−与平面法向量{1,4,8}−−成045角，得34λ=− 代回平面束方程为207120x y z ++−=. 同时验证平面40x z −+=与平面48120x y z −−+=也成045角，故平面40x z −+=也是所求解。

3、解：由于2200lim()0x y x y →→+=而22|sin()|1x y +≤， 2222001lim()sin 0(0,0)x y x y f x y→→+==+故(,)f x y 在(0,0)处连续。

4、解：ln()1,z z x xy x y y ∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z z x xx x y y y y ∂∂∂===−∂∂∂∂5、解：由齐次方程02=+xy dxdy 解得2x Ce y −= 令原方程的通解为2)(x ex C y −=，代入原方程解得C e x C x +=22)( 故原方程的通解为22+=−x Ce y （或用公式解得）6、方程两边对x 求导有2()3()2x f x f x e ′=+，这是一阶非齐次线性微分方程即232x y y e ′−=，解得322x x y Ce e =− 又0x =时，(0)1f =，则3C = 故所求函数为32()32x x f x e e =−四．综合应用题(本题8分)解：设所求曲线方程为()y f x =，由题意知201()()2x f x dx xf x x −=∫，两边对x 求导可得11()()()222f x f x xf x x ′−−=，即4y xy x ′−=。

S240大学高数2007-2008高等数学B第二学期试卷A答案

北京林业大学20 07 --20 08 学年第二学期考试试卷(A)一、填空：（每小题3分，共30分）1.(,)limx y →= 22. 设e yxz =，则=dz 21()y xe ydx xdy x-+.3 设曲线的参数方程是24,arctan ,x t y t z t ===，则曲线在点(1,,1)4π处的切线方程是1141242y x z π---==. 4. 若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为(1,2,2),(1,2,2)---.5. 设22442),(y xy x y x y x f ---+=，已知点(1,1)P 是函数的驻点，在横线处填上),(y x f 在点P 处取得的是极大值，还是极小值，还是不取极值_______极小值6. 若D 是以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y dxdy --=⎰⎰16. 7．设一阶非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个线性无关的解12,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有αβ+= 1 .8．微分方程x y sin ='''的通解是2123cos y x C x C x C =+++.9．30x e ydx dy +=的通解为3ln xe y C =-+. 10. 若级数1(1)nn u∞=-∑收敛，则lim n n u →∞= 1 .二、选择题：（每小题2分，共10分） 1. 下列级数中收敛的是（ C ）A. ∑∞=+1884n nnn B. ∑∞=-1884n n n n C.∑∞=+1824n n n n D.∑∞=⋅1842n nnn 2. 方程0222=-+z y x 表示的二次曲面是( C ).A. 球面B. 旋转抛物面C. 圆锥面D. 圆柱面 3. 二次积分22(,)x dx f x y dy ⎰⎰写成另一种次序的积分是( A ).A.420(,)dy f x y dx ⎰B. 40(,)dy f x y dx ⎰ C.242(,)xdy f x y dx ⎰⎰D. 402(,)dy f x y dx ⎰4. 已知二元函数(,)z f x y =在点),(y x 处可微分，则在点),(y x 处不一定成立的是( D ). A. 该函数在点),(y x 处连续 B. 该函数在点),(y x 处的极限存在 C.该函数在点),(y x 处的两个偏导数yzx z ∂∂∂∂,存在 D. 该函数在点),(y x 处的偏导数连续 5. 设平面区域{(,)|,},D x y a x a x y a =-≤≤≤≤1{(,)|0,}D x y x a x y a =≤≤≤≤，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ A ）A. 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B. 12D xydxdy ⎰⎰ C. 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D. 0三、（6分）若 222e x y z z ++=确定(,)z z x y =，求zx∂∂ 和 z y ∂∂.解因22222e x y z z z x z x x ++∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭，22222e x y z z z y z y y ++⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭（3分）故2222222e 12e x y z x y zz x x z ++++∂=∂-，2222222e 12e x y zx y z z y y z ++++∂=∂- （6分）四、（6分）设)]([y x u ψφ+=,其中ψφ,二阶可导,证明222u u u ux x y y x∂∂∂∂⋅=⋅∂∂∂∂∂. 证明：因为,() u u y x yφφψ∂∂'''==∂∂ （3分）222(), u u y x y y x x φφφψφ''∂∂∂∂'''''====∂∂∂∂∂（5分）故 222()u u u u y x x y y x φφψ∂∂∂∂''''⋅==⋅∂∂∂∂∂ （6分）五、（6分）求d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由直线x y x y ===,2,1所围区域.解： ⎩⎨⎧≤≤≤≤211:x xy D ，（ 3分）故()2222231111111119d d d d d d d 228x x x Dxy xy y x x x y y x y x x x x σ⎡⎤===⋅=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6分）六、（6分）问1(1)1cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑是否收敛？若收敛，是否绝对收敛？解：收敛，且绝对收敛（3分）事实上，因222(1)(1cos )1cos 2sin 22na a a a n n n n--=-=≤，（5分）而2212n a n∞=∑收敛，故由比较判别法知，1(1)1cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑收敛.从而1(1)1cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑收敛，而且绝对收敛. （6分）七、（7分）求幂级数nn x nn ∑∞=+121的收敛域与和函数. 解：因为：)1,1(- 1, 1||lim 1收敛域为时级数发散，∴±==+∞→x a a nn n （5分） 211001111111x x n n n n n n n n n n n x nx x x nx dx x dx n n ∞∞∞∞∞--====='+⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑⎰⎰＝＝ 201ln(1),(11)11(1)x x x x dx x x x x x '⎛⎫=+=---<< ⎪---⎝⎭⎰ （7分）八、（6分）将1()65f x x=-展开为)1(-x 的幂级数. 解：11()6515(1)f x x x ==---（2分） 0046[5(1)]5(1)()55 nn n n n x x x ∞∞===-=-≤≤∑∑ （6分）九、（6分）设Ω是由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的闭区域，求三重积分22()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰. 解：曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面方程为222x y z +=，故Ω在xoy 面上的投影为22:8xy D x y +≤，（2分）所以22422102256()()3rI r z rdrd dz d r z rdz πθθπΩ=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰ （6分）十、（6分）设2343xy y y x e-'''++=（1）求出该方程所对应的齐次方程的通解（2）写出该非齐次方程的特解*y （仅设出*y ，不必求出*y ）解：（1）特征方程为2430r r ++= 特征根为121,3r r =-=-故求出所对应的齐次方程的通解为312xx y C eC e --=+ （4分）（2）2343xy y y x e -'''++=的特解为*23()xy x ax bx c e-=++ （6分）十一、（7分）设函数()f x 在[0,)+∞上连续，且满足方程2222() t x y t f t ef dxdy π+≤=+⎰⎰试求()f t .解： 2200()() ttf t e d f d ππθρρρ=+⎰⎰ 即 2()2() ttf t e f d ππρρρ=+⎰ 两边同时对t 求导得 2()22() t f t te tf t πππ'=+ （3分）即2()2()2 t f t tf t te πππ'-=故 22222()[2]()tdttdt t t f t e C te e dt e C t ππππππ-⎰⎰=+=+⎰ （7分）十二、（4分）利用求条件极值的方法，证明对任何正数,,a b c 成立不等式：3527()5a b c abc ++≤ 证明：设a b c D ++=，3(,,)()L a b c abc a b c D λ=+++- （2分）由 3320030a b c L bc L ac L abc a b c Dλλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩ 解得 3,55D Da b c ===此点即为极大值点，故35527()27()55D a b c abc ++≤= （4分）。

07-08-3高等数学B期中试卷答案东南大学高等数学试卷

x，
y0 y z 1，代入准线方程即得所求的柱面方程 4x2 ( y z 1)2 1
五（15）。（本题满分 9 分）
解
e n1
n
xdx e
n
24 n2
，而
n1
1 n2
收敛，由比较判别法得知级数
n1
e n1 x dx 收敛
n
六（16）.（本题满分 10 分）
解由题设知 an 0, n 0,1, 2,
1 1 1
0
2 3 0 ， 1 1
即 xyz0
11．解
设所求直线与直线
x 1 3
y 1 2
z 3 5
的交点为 (x0,
y0, z0 )
，
x0
1 3t0 ，
y0 1 2t0 , z0 3 5t0 ，于是
6(x0 4) 2( y0 6) 3(z0 2) 6(5 3t0) 2(7 2t0) 3(5 5t0) 29(t0 1) 0 ，
二．填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分)
5.
.
y2
z2
1；
x 0
8. 3 ；9. [1,3] .
三. 计算下列各题(本题共 4 小题，每小题 9 分，满分 36 分)
ijk
x 1 y 2 z 1
10．解 s1 1 2 1 (1, 2, 3) ，平面方程为 1
止于至善
13. 解令 y x2 ，
(1)n1 nx2n
n1
(1)n1 ny n
n1
y
(1)n1
yn
n1
y
1
y
y
y (1 y)2
x2 (1 x2 )2

东南大学07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案

07-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫-+ ⎝∑ （常数0a >） [ A ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ C ] (A)31r c t a n d 1x x x +∞+⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ B ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n n n a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ B ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分) 5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为4π； 6. 曲线222340x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是2222324x y z ++=；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是2210y z x ⎧+=⎨=⎩； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为3； 9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为[1,3]. 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.解 1121(1,2,3)111=-=---ij k s ，平面方程为1211230011x y z -----=--，即 0x y z -+=11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程. 解设所求直线与直线113325x y z -+-==-的交点为000(,,)x y z ，0013x t =+， 000012,35y t z t =-+=-，于是00000006(4)2(6)3(2)6(53)2(72)3(55)29(1)0x y z t t t t +---+=+--+--=+=，得01t =-，交点为(2,3,8)--，所求直线方程为4622910x y z +-+==- 12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域. 解 ()232()ln 23ln(1)(23)ln18ln 1ln 1(3)29x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=+-=-+=++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(1)12ln18(3)29nn n n n x n -∞=⎛⎫-⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，15x <≤ 13. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.解令2y x =，21211222111(1)(1)(1)1(1)(1)n nn n n n n n n y y x nxny y y y y y x ∞∞∞---===''⎛⎫⎛⎫-=-=-=== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，11x -<<四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.解设000(,,1)M x y 是准线上一点，则010x x y y z -=-=-，则0x x =， 01y y z =-+，代入准线方程即得所求的柱面方程224(1)1x y z --+=五（15）。

06-07-3高等数学(B)期中试卷参考答案及评分(最新整理)

在 (0, 0) 点处
0 , x2 y2 0
[C ] （D） 3
4 [C]
1
（A）连续且偏导数存在
（B）连续但偏导数不存在
（C）不连续但偏导数存在
（D）不连续且偏导数不存在
三.计算下列各题(本题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分)
10．求过点
A
1,2源自,3，垂直于直线
L
:
5x 2 y 2 0
3x
z
2
0
且平行于平面
: 7x 8y 9z 10 0 的直线方程.
解 L 的方向向量 a 2,5, 6 ，（2 分）的法向量 n 7,8,9 ，所求直线的方向向量
an
3, 24, 19 ，（4
分）所求直线的方程：
x
1
y
2
z
3
（2
分）
3 24 19
11. 设平面经过原点及点 A6 , 3 , 2 ，且与平面 1 : 4x y 2z 8 垂直，求的方程.
1
发散，得级数
2
2
n1 n
n1 n a
1
1 n
发散；（3
分）
（2）当 ln a 1 0 时，即 a 2
e，n a
1
1 n
:
1 2
ln
2
a
1 8
1 n2
(n ) ，
3
由
n1
1 n2
收敛，得级数
n1
n
a
1
1 n
收敛。（2
分）
4
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案.

线
07-08-3高数B期中试卷参考答案08.4.11
一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分
1. 级数（常数） [ A ]
(A绝对收敛 (B条件收敛 (C发散 (D敛散性与的取值有关
2.下列反常积分发散的是 [ C ]
(A (B(C (D
3.已知直线与，则与 [ B ] (A相交 (B异面 (C平行但不重合 (D重合
4.设函数，，
，其中，
，则 [ B ]
(A (B(C(D
二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分
5.若垂直于，且，则与的夹角为；
6. 曲线绕轴旋转一周所成的曲面方程是；
7.曲线在面上的投影曲线方程是；
8.设幂级数在处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为；
9.幂级数的收敛域为.
三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分
10．求过点且与直线及直线都平行的平面方程.
解，平面方程为，
即
11．求过点，与平面平行，且与直线
相交的直线方程.
解设所求直线与直线的交点为，，
，于是
，得，交点为，所求直线方程为
12．将函数展开为的幂级数，并求收敛域.
解
，
13.求幂级数的和函数，并指明收敛域.
解令，
，
四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量，准线为的柱面方程.
解设是准线上一点，则，则，
，代入准线方程即得所求的柱面方程
五（15）。

（本题满分9分）判断级数的敛散性.
解，而收敛，由比较判别法得知级数收敛
六（16）.（本题满分10分）将函数展开成正弦级数，并求级数的和.
解由题设知，，，
，
取，得，即。

07-08-3工科数分期中考试试卷参考答案

共 4 页第 1 页07-08-3工科数分期中试卷参考答案08.4.11一.填空题(本题共5小题，每小题5分，满分2 5分) 1. 交换二次积分的次序()()01121d ,d d ,d x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰2=；2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数，且0v zF ≠，则z z x yy x x y z∂∂+=∂∂； 3. 二重积分2221()d d 2x y x y x y π+≤+=⎰⎰；4. 曲线2221,,y x z x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在点(1,0,1)处的切线方程为11010x y z --==； 5. 设曲线2224:1x y z L z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分2s =⎰. 二．单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 6.([ B ](A))))c o i s 2- (B)))()c o i s 2+(C)()())c o s 2i s i 2- (D)()())l c o s 2i s i 2+ 7. 函数2222322222, 0(,)() 0 , 0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在)0 ,0(点处 [ C ]（A ）可微（B ）连续但偏导数不存在（C ）偏导数存在但不可微（D ）不连续且偏导数不存在8. 设,e x x z f y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂ [ A ]共 4 页第 2 页(A ) 21112221232e 1(1)e e x x xx f x f y f f f y y y -+-+-+ (B )21112223e (1)e x x x f x f y f y y +-+(C )2111222132e 1e x xx f f y f f y y y ++- (D ) 211122223e e e x x x x f f y f f y y+++9. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =⋅, 令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '= [ C ] （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．计算二重积分{d ,(,)0Dx y D x y x =≤≤.解2sin 232200816d d d sin d 39Dx y ππϕϕρρϕϕ===⎰⎰⎰11．求函数2(,,)e d xy t zu x y z t -=⎰在点(1,1,1)P 处沿曲面2221236x y z ++=在该点处的法线方向的方向导数. 解 {}222()()111grad e ,e ,e ,,e e e xy xy zPPuy x ---⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭，单位法向量为=±n，111,,e e e Pu n∂⎧⎫=±⋅-=⎨⎬∂⎩⎭12．计算三重积分22()d xyz V Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由旋转抛物面22x y z +=与平面1=z 和4=z 围成的空间闭区域.解422231255()d d d 4xy z V z V z z ππΩΩ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13.计算曲面积分222A ∑⎰⎰，其中∑为上半球面z =面220(0)x y Ry R +-=>内的部分.共 4 页第 3 页解投影区域{}22(,)xy D x y x y Ry =+≤，()22222212d d A R A R x y A R ∑∑∑=---⎰⎰⎰⎰22d d xyxyD D R x y x y =-⎰⎰⎰⎰sin sin 202d d d R R R πϕπϕϕρϕρ=-⎰⎰⎰⎰3353239R R π=- 四（14）．（本题满分8分）已知()(,)i (,)f z u x y v x y =+为解析函数，其中实部32(,)32u x y x xy y =--，求虚部(,)v x y 及()f z （必须用变量z 表示）的表达式.解2233u vx y x y∂∂=-=∂∂，233()v x y y x ϕ=-+， 6()62v u xy x xy x yϕ∂∂'=+=-=+∂∂，于是()2x x C ϕ=+，（C 为常数）， 2332v x y y x C =-++，()3223()32i 32f z x xy y x y y x C =--+-++，()3()i 2f x x x C =++，()3()i 2f z z z C =++五（15）。

高数上期中考试题及答案

高数上期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 3C. -3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C4. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B5. 定积分∫(0 to 1) x dx的值是（）。

A. 1/2B. 1C. 2D. 0答案：A6. 微分方程dy/dx = 2x的通解是（）。

A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x^2D. y = 2x^2 + C答案：A7. 以下哪个级数是收敛的（）。

A. ∑(1/n^2) from n=1 to ∞B. ∑(1/n) from n=1 to ∞C. ∑((-1)^n)/n from n=1 to ∞D. ∑(1) from n=1 to ∞答案：A8. 函数f(x) = e^x的原函数是（）。

A. e^x + CB. e^xC. ln(x) + CD. ln(x)答案：A9. 以下哪个函数是周期函数（）。

A. f(x) = xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = x^2答案：B10. 曲线y=ln(x)在点(1,0)处的切线方程是（）。

A. y = x - 1B. y = -x + 1C. y = xD. y = -x答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = 2x - 3的反函数是 f^(-1)(x) = _______。

答案：(1/2)x + 3/22. 极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2)/(x^3 + 2x^2 - 5) = _______。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

共 3 页第 1 页
07-08-3高数B 期中试卷参考答案
08.4.11
一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.
级数
1(1)l n n
n ∞
=⎛⎫-+ ⎝
∑ （常数0a >） [ A ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关
2. 下列反常积分发散的是 [ C ] (A
)
1
x ⎰
(B
) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D
) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324
x y z L ---==-，则1L 与2L [ B ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合
4. 设函数21,01()0,10
x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01
()(c o s s i n )
2n n
n a S x a n x b n x ππ∞
==++∑， x -∞<<+∞，其中11
()c o s d (0,1,2,
)n a f x n x x n π-==⎰ ， 11
()s i n d (1,2,)n b f x n x x n
π-==⎰
，则()3S = [ B ]
(A )
1
2
(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分) 5. 若23-a b 垂直于+a b ，且=
a b ，则a 与b 的夹角为
4
π； 6. 曲线222340
x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是222
2324x y z ++=；
7. 曲线222222
235
20
x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是2210y z x ⎧+=⎨=⎩； 8. 设幂级数
1
(1)n
n n a x ∞
=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为3；
9.幂级数210(1)(2)21
n
n n x n ∞
+=--+∑的收敛域为[1,3]
. 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)
共 3 页第 2 页
10．求过点(1,2,1)且与直线21010
x y z x y z +-+=⎧⎨
-+-=⎩及直线2
01x y z +=
=--都平行的平面方程. 解 11
21(1,2,3)111=-=---i
j k
s ，平面方程为12
112300
1
1
x y z -----=--，即 0x y z -+=
11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113
325
x y z -+-==-相交的直线方程. 解设所求直线与直线
113
325
x y z -+-==-的交点为000(,,)x y z ，0013x t =+， 000012,35y t z t =-+=-，于是
00000006(4)2(6)3(2)6(53)2(72)3(55)29(1)0x y z t t t t +---+=+--+--=+=，
得01t =-，交点为(2,3,8)--，所求直线方程为
462
2910
x y z +-+==- 12．将函数()
2
()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.
解 (
)
2
32()ln 23ln(1)(23)ln18ln 1ln 1(3)29x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫
=+-=-+=++
++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11
(1)12ln18(3)29n
n n n n x n -∞
=⎛⎫
-⎛⎫
=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑，15x <≤ 13. 求幂级数
1
21
(1)
n n n nx ∞
-=-∑的和函数，并指明收敛域.
解令2
y x =，
2
1
21
1222
1
1
1(1)
(1)
(1)1(1)
(1)n n
n n n n n n n y y x nx
ny y y y y y x ∞
∞
∞---===''⎛⎫⎛⎫-=-=-=
== ⎪ ⎪+++⎝⎭
⎝⎭∑∑∑，11x -<<
四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为2241
1
x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.
共 3 页第 3 页
解设000(,,1)M x y 是准线上一点，则
010
x x y y z -=-=-，则0x x =， 01y y z =-+，代入准线方程即得所求的柱面方程224(1)1x y z --+=
五（15）。

（本题满分9分）
判断级数
11
e n n
n x ∞
+=∑⎰
的敛散性.
解
1224e
e
n n
x n +≤≤⎰
，而211
n n ∞=∑
收敛，由比较判别法得知级数11
e n n n x ∞+=∑⎰收敛
六（16）.（本题满分10分）将函数2()(0)4
x
f x x ππ-=
≤≤展开成正弦级数，并求级
数1
1(1)21
n n n -∞
=--∑的和. 解由题设知0,0,1,2,n a n == ，0
2
21(1)sin d 4
2n
n x
b nx x n
π
ππ
-+-=
=⎰
，1,2,n = ，
111(1)1
()sin sin 2,(0,)22n n n f x nx nx x n n π∞
∞
==+-==∈∑∑，
取4x π
=，得11sin 24n n n π
π∞
==∑，即11(1)21
4n n n π-∞
=-=-∑。