2020年河北省石家庄二中高考数学全仿真试卷(理科)(6月份)

2020年河北省石家庄二中高考数学全仿真试卷（理科）（6月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈Z|y=lg(−x2+3x+4)}，B={x|2x≥4}，则A∩B=()A. [2,4)B. {2,4}C. {3}D. {2,3}2.满足条件|z+4i|=|z+i|的复数z对应点的轨迹是()A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线3.已知x∈(0,1)，令a=log x5,b=cosx,c=3x，那么a，b，c之间的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b4.如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4).函数f(x)=x2，若在矩形ABCD内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 5125.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有()A. 40种B. 60种C. 100种D. 120种6.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是()A. f(x)=(4x+4−x)|x|B. f(x)=(4x−4−x)log4|x||x|C. f(x)=(4x+4−x)log14D. f(x)=(4x+4−x)log4|x|7.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入A. n是偶数，n≥100B. n是奇数，n≥100C. n是偶数，n>100D. n是奇数，n>1008.下列判断正确的个数是()①“x<−2”是“ln(x+3)<0”的充分不必要条件；②函数f(x)=√x2+9+1√x2+9的最小值为2；③当α，β∈R时，命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题；④命题“∀x>0，2019x+2019>0”的否定是“∃x0≤0，2019x0+2019≤0”.A. 0B. 1C. 2D. 39.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)为奇函数，则()A. f(x)的图象关于点(π6,0)对称 B. f(x)的图象关于点(−π6,0)对称C. f(x)在(−π6,π3)上单调递增 D. f(x)在(−2π3,−π6)上单调递增10.已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，圆x2+y2=b2与双曲线在第一象限内的交点为M，若|MF1|=3|MF2|，则该双曲线的离心率为()A. 2B. 3C. √2D. √311.过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作()A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个12. 已知f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤312x 2−5x +232,x >3，若f(x)=m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则(m x 1+mx 2)⋅(x 3+x 4)的取值范围为( )A. (0,10)B. [0,10]C. (0,4)D. [0,4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (√x −1x )5的二项展开式中x 项的系数为______.(用数字作答)14. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ =(1,−1)，|b ⃗ |=1，|a ⃗ +2b ⃗ |=√2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______．15. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12且当n ≥2时，a n =−S n ⋅S n−1，则{a n }的通项公式a n =______． 16. 四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若2√2≤SC ≤4，则四棱锥S −ABCD 的体积取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图．在△ABC 中，点P 在边BC 上，C =π3，AP =2，AC ⋅PC =4．(1)求∠APB ； (2)若△ABC 的面积为5√32.求sin∠PAB ．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=PB=2，若点E，F分别为AB和CD的中点．(Ⅰ)求证：平面ABCD⊥平面PEF；(Ⅱ)若二面角P−AB−C的平面角的余弦值为√3，求PC与平面PAB所成角的正弦值．619.某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．(Ⅰ)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；(Ⅱ)该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；(Ⅲ)企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？(结论不需要证明)．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，其右顶点为A，下顶点为B，定点C(0,2)，△ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．21. 已知函数f(x)=lnx +12x 2−2ax ，其中a ∈R ．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)存在两个极值点x 1，x 2(其中x 2>x 1)，且f(x 2)−f(x 1)的取值范围为(2ln2−158,ln2−34)，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =cosθ,y =sinθ(θ为参数)，直线l 的参数方程为{x =−2+2413t,y =1013t(t 为参数)，点P 的坐标为(−2,0)． (1)若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求动点M 的轨迹方程． (2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|⋅|PB|的值．23. (1)已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c =1，证明：1a +1b +1c ≥9；(2)已知a ，b ，c ∈R +，且abc =1，证明：1a +1b +1c ≥√c +√b +√a答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x∈Z|−x2+3x+4>0}={x∈Z|−1<x<4}={0,1，2，3}，B={x|x≥2}，∴A∩B={2,3}．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，描述法和列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由|z+4i|=|z+i|，得|z−(−4i)|=|z−(−i)|，可知复数z对应点的轨迹是以(0,−4)和(0,−1)为端点的线段的垂直平分线．故选：A．直接由复数模的几何意义得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的性质，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因x∈(0,1)，函数y=log x u是减函数，由5>1得log x5<log x1=0，∴a<0因x∈(0,1)，知0<x<1<π2，∴0<cosx<1，∴0<b<1因函数y=3x是增函数，由0<x<1得30<3x<31，即1<c<3，∴a<b<c故选：A．利用基本函数、三角函数的单调性，判断出a、b、c的取值范围，从而得出结论．本题考查了利用基本函数、三角函数的单调性，比较出大小关系，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由已知，矩形的面积为4×(2−1)=4，阴影部分的面积为∫(214−x2)dx=(4x−13x3)|12=53，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512；故选：D．分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合运用，注意优先分析特殊的元素，同时需要区分排列与组合的意义．分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，故选B．6.【答案】D【解析】解：依题意，函数为偶函数，排除B，1为函数的零点，排除A，当x∈(0,1)时f(x)<0，而C选项对应的解析式，当x∈(0,1)时f(x)>0，故选：D．根据图象的对称性，与坐标轴的交点分别考虑函数的奇偶性、零点等即可．本题考查了函数的图象，分析函数图象可以从奇偶性、单调性、与坐标轴的交点以及函数值的符号等角度着手．本题属于中档题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了“大衍数列”的概念，以及数列的通项的判断，递推关系的应用.由题意得到数列的通项为，即可得到结果．【解答】解：∵根据大衍数列所给各项的数，得到：，所以第一个判断框是：n是奇数．∴当n=99时，不能结束，循环，输出a99，当n=100时，此时a100还没有输出，不能结束，循环，输出a100，n=101，此时结束循环，所以第二个判断框是n>100故选D．8.【答案】B【解析】解：对于①当x=−3时，对数ln(x+3)没有意义，故“x<−2”是“ln(x+3)<0”的充分不必要条件的结论是错误的，故①错误；②由于函数√x2+9≥3，设f(t)=t+1t(t≥3)，f′(t)=1−1t2>0，所以f(t)min=f(3)=3+13=103，故函数f(x)=√x2+9√x2+9的最小值为2，②错误；③当α，β∈R时，命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题与原命题等价，由于该命题为真命题，所以逆否命题也为真命题；故③正确．④命题“∀x>0，2019x+2019>0”的否定是“∃x0>0，2019x0+2019≤0”，故④错误．①直接利用充分条件和必要条件的应用求出结果． ②利用函数的导数及函数的单调性的应用求出结果． ③直接利用逆否命题的应用求出结果． ④直接利用命题的否定的应用求出结果．本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，函数的导数，函数的单调性，等价命题，命题的否定，主要考查学生的理解能力和思维能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)其图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以函数的周期为：T =π=2πω，则ω=2，所以函数f(x)=2sin(2x +φ)，将函数y =f(x)的图象向左平移π12个单位长度时，得到函数g(x)=f(x +π12)=2sin[2(x +π12)+φ]=2sin(2x +φ+π6)，函数是奇函数有：φ+π6=kπ，k ∈Z ，又|φ|<π2，解得：φ=−π6，可得f(x)=2sin(2x −π6)， 对于A ，f(π6)=2sin π6=1≠0，故错误； 对于B ，f(−π6)=2sin(−π2)=−2≠0，故错误；对于C ，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，可得f(x)在(−π6,π3)上单调递增，故C 正确，D 错误． 故选：C ．由函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)图象相邻的最高点之间的距离为π，求出函数的周期，即可求出ω，通过函数的图象的平移，求出新函数，通过函数的奇偶性，求出φ，进而根据正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，正弦函数的图象和性质的应用，由题意求得函数f(x)=2sin(ωx +φ)的解析式是关键，属于中档题．10.【答案】D【分析】本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由双曲线的定义可得|MF 2|=a ，设M(m,n)，m >0，可列出{|OM |2=m 2+n 2=b 2|MF 2|2=(m −c)2+n 2=a 2b 2+a 2=c 2，得到{m =b 2cn =b·ac，结合m 2a 2−n 2b 2=1，可得a ，b ，c 的关系，运用离心率公式可得所求值． 【解答】解：由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2a ， 若|MF 1|=3|MF 2|，则|MF 2|=a ， 设M(m,n)，m >0，则有{|OM |2=m 2+n 2=b 2|MF 2|2=(m −c)2+n 2=a 2b 2+a 2=c 2,解得{m =b 2cn =b·ac ,① 又m 2a 2−n 2b 2=1，②把①带入②可得：c 2=3a 2， 则e =ca =√3． 故选D ．11.【答案】D【解析】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，∴棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面α所成的角都相等， ∴三棱锥A −A 1BD 是正三棱锥，直线AB ，AD ，AA 1与平面A 1BD 所成角都相等， 过顶点A 作平面α//平面A 1BD ，则直线AB ，AD ，AA 1与平面α所成角都相等，同理，过顶点A 分别作平面α与平面C 1BD ，平面B 1AC 、平面D 1AC 平行，直线AB ，AD ，AA 1与平面α所成的角都相等， ∴这样的平面α可以作4个． 故选：D ．每条棱在平面α的正投影的长度都相等等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥A −A 1BD 是正三棱锥，直线AB ，AD ，AA 1与平面A 1BD 所成角都相等，过顶点A 作平面α//平面A 1BD ，由此能求出这样的平面α的个数．本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】 【分析】本题考查分段函数的图象和应用：求自变量的范围，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题． 画出f(x)的图象，由对称性可得x 3+x 4=10，对数的运算性质可得x 1x 2=x 1+x 2，代入要求的式子，结合图象可得所求范围． 【解答】解：f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤312x 2−5x +232,x >3的图象如图：f(x)=m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4， 可得x 3+x 4=10，且|log 2(x 1−1)|=|log 2(x 2−1)|， 即为log 2(x 1−1)+log 2(x 2−1)=0， 即有(x 1−1)(x 2−1)=1， 即为x 1x 2=x 1+x 2，可得：(m x 1+m x 2)(x 3+x 4)=10m ·x 1+x 2x 1x 2=10m ，由0<m <1，可得0<10m <10．故选：A ．13.【答案】−5【解析】 【分析】本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中x 项的系数． 【解答】解：(√x −1x )5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(−1)r ⋅x5−3r2，令5−3r 2=1，求得r =1，可得展开式中x 项的系数为−C 51=−5，故答案为：−5．14.【答案】3π4【解析】解：根据题意，设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， 又由a ⃗ =(1,−1)，则|a ⃗ |=√2，若|a ⃗ +2b ⃗ |=√2，则有(a ⃗ +2b ⃗ )2=a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=6+4×1×√2×cosθ=2，解可得：cosθ=−√22，则θ=3π4；故答案为：3π4．根据题意，设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，由a ⃗ 的坐标求出|a ⃗ |的值，进而由数量积的计算公式可得(a ⃗ +2b ⃗ )2=a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=6+4×1×√2×cosθ=2，计算可得cosθ的值，分析可得答案． 本题考查数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．15.【答案】{12amp;(n =1)−1n(n+1)amp;(n ≥2)【解析】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12， 当n ≥2时，a n =−S n ⋅S n−1，整理得S n −S n−1=−S n ⋅S n−1，即1S n−1Sn−1=1(常数)，所以数列{1S n}是以2为首项，1为公差的等差数列．所以1S n=2+(n −1)=n +1，整理得S n =1n+1，故a n =S n −S n−1=1n+1−1n =−1n(n+1)(首项不符合通项)，所以a n ={12amp;(n =1)−1n(n+1)amp;(n ≥2)．故答案为：{12amp;(n =1)−1n(n+1)amp;(n ≥2)首先利用构造新数列的方法整理得1S n−1Sn−1=1，进一步求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：构造新数列的方法，数列的通项公式，数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16.【答案】[4√33,83] 【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查棱锥体积的求法，考查了线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，考查了运算求解能力，逻辑思维能力，是较难题．由题意可知，平面SAB ⊥平面ABCD ，过作于，根据线面，面面垂直的判定及性质定理可证SO ⊥平面ABCD ，表示出V S−ABCD =13S ABCD ⋅SO =43SO ，设∠SAB =θ，结合勾股定理计算得SC =2√3−2cosθ，通过求解SO 的取值范围，从而四棱锥S −ABCD 的体积取值范围可求． 【解答】 解：如图：AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA=A,AB,SA⊂面SAB，∴AD⊥平面SAB，AD⊂面ABCD，则平面SAB⊥平面ABCD，过S作SO⊥AB于O，SO⊂平面SAB，平面SAB∩平面ABCD=AB，则SO⊥平面ABCD，因为OC⊂平面ABCD，所以SO⊥OC．故V S−ABCD=13S ABCD⋅SO=43SO，在△SAB中，SA=AB=2，设∠SAB=θ，则SO=2sinθ，BO=2−2cosθ，在△BOC中，OC2=OB2+BC2=8−8cosθ+4cos2θ，因此在△SOC中，SC2=SO2+OC2=12−8cosθ，则有SC=2√3−2cosθ，又2√2≤SC≤4，所以2√2≤2√3−2cosθ≤4，所以−12≤cosθ≤12⇒θ∈[π3,2π3]，则SO=2sinθ∈[√3,2]，四棱锥S−ABCD的体积取值范围为[4√33,83 ]．故答案为[4√33,83 ]．17.【答案】解：(1)在△APC中，因为C=π3，AP=2，AC⋅PC=4，设AC=x，则PC=4x ，由余弦定理可得：22=x2+(4x)2−2⋅x⋅4x⋅cosπ3，可得x=2，则AC=PC=AP，此时△APC为等边三角形，从而∠APB=2π3．(2)由S△ABC=12AC⋅BC⋅sinπ3=5√32，可得BC=5，则BP=3，作AD⊥BC交BC于D，由(1)可知，在等边△APC中，AD=√3，PD=1，在Tt△ABD中，AB=√AD2+BD2=√3+16=√19，在△ABP中，由正弦定理可得ABsin∠APB =PBsin∠PAB，所以sin∠PAB=3×√32√19=3√5738．【解析】(1)设AC =x ，则PC =4x ，由余弦定理可解得x =2，可求AC =PC =AP ，此时△APC 为等边三角形，从而可求∠APB =2π3．(2)由已知利用三角形的面积公式可求BC ，BP 的值，作AD ⊥BC 交BC 于D ，利用勾股定理求得AB 的值，进而在△ABP 中，由正弦定理可求sin∠PAB 的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，勾股定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵PA =PB ，∴AB ⊥PE ．而AB ⊥EF ，所以AB ⊥平面PEF ，又AB ⊂平面PEF ， 所以平面ABCD ⊥平面PEF ．(Ⅱ)结合(Ⅰ)可知，∠PEF 即为二面角P −AB −C 的平面角． 如图，作PO ⊥EF 于O ，则OE PE=OE √3=√36， ∴OE =12,OF =32,则OP =√112． 如图建立空间直角坐标系，则P(0,0,√112),C(1,32,0),A(−1,−12,0),B(1,−12,0)．设平面PAB 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则{x −12y −√112=02x =0， 令z =1，则x =0,y =−√11,z =1，∴n ⃗ =(0,−√11,1)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,32,−√112)， ∴sinθ=|cos <n ⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||PC⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√1112⋅6=√226． 故PC 与平面PAB 所成角的正弦值为√226．【解析】(Ⅰ)利用线面垂直，将问题转化为证AB 与平面PEF 垂直的问题；(Ⅱ)先利用二面角P −AB −C 的平面角的余弦值为√36，求出OP ，然后利用空间直角坐标系，将问题转化为PC⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面PAB 法向量夹角的问题求解． 本题考查空间位置关系的判定和空间角的计算问题．主要是运用转化思想实现空间位置关系的证明，而角的计算问题，主要是通过建系设点，将空间角转化为向量间的夹角问题求解．属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是C 级种子”，由图表，得(0.4+1.2+a+4.0+6.0+4.4+1.2+0.4)×0.05=1，解得a=2.4．由图表，知“C级”种子的频率为(0.4+1.2+2.4)×0.05=0.2，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为0.2．∵事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是C级种子”为对立事件，∴事件M的概率P(M)=1−0.2=0.8．(Ⅱ)由题意，任取一种种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为(4.4+1.2+0.4)×0.05=0.3，恰好是“B级”康乃馨的概率为(4.0+6.0)×0.05=0.5，恰好是“C级”的概率为(0.4+1.2+2.4)×0.05=0.2．而随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40，∴P(X=20)=0.2×0.2=0.04，P(X=25)=0.2×0.5+0.5×0.2=0.2，P(X=30)=0.5×0.5+0.3×0.2+0.2×0.3=0.37，P(X=35)=0.3×0.5+0.5×0.3=0.3，P(X=40)=0.3×0.3=0.09．所以X的分布列为：故数学期望E(X)=20×0.04+25×0.2+30×0.37+35×0.3+40×0.09=31．(Ⅲ)与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了．【解析】(Ⅰ)先由频率分布直方图中的数据，频率和为1算出a的值，再求出是“C级”种子的概率，然后根据对立事件的概率，即可求得不是“C级”种子的概率；(Ⅱ)先根据频率分布直方图依次求出种子是“A级”、“B级”、“C级”康乃馨的概率，X的可能取值为20，25，30，35，40，然后由独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；(Ⅲ)根据方差的意义与性质即可作出判断．本题考查频率分布直方图、对立事件的概率、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与期望、方差的含义等知识点，有一定的综合性，但难度不算大，考查学生灵活运用知识的能力和对数据的分析能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)由题意可知：点A(a,0)，B(0,−b)，∵△ABC 的面积为3，∴12×(2+b)×a =3， 又∴e =ca=√32，∴a =2b ，∴12×(2+b)×2b =3，解得b =1，∴a =2， ∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)由题意可知，直线PQ 的斜率存在，故设直线PQ 的方程为y =kx +2，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则直线BP 的方程为y =y 1+1x 1x −1，令y =0，得点m 的横坐标x M =x 1y1+1，直线BQ 的方程为y =y 2+1x 2x −1，令y =0，得点N 的横坐标x N =x 2y2+1，∴x M ⋅x N =x 1x 2(y 1+1)(y 2+1)=x 1x 2(kx 1+3)(kx 2+3)=x 1x 2k 2(x 1x 2)+3k(x 1+x 2)+9，把直线y =kx +2代入椭圆x 24+y 2=1 得：(1+4k 2)x 2+16kx +12=0，∴x 1+x 2=−16k1+4k 2,x 1x 2=121+4k 2， ∴x M ⋅x N =121+4k 212k 21+4k 2+3k(−16k1+4k 2)+9=121+4k 291+4k 2=43，【解析】(1)利用三角形面积公式结合离心率列出方程，求解即可；(2)利用点斜式写出直线PQ ，BP ，BQ 的方程，令y =0，得点M ，N 的横坐标，求出x M ⋅x N ，把直线y =kx +2代入椭圆方程，利用韦达定理求出x 1+x 2，x 1x 2，代入化简即可判断x M ⋅x N 为定值． 本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=1x +x −2a =x2−2ax+1x(x >0)．令g(x)=x 2−2ax +1，则△=4a 2−4．①当a ≤0或△≤0，即a ≤1时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增． ②当{a >0△>0，即a >1时， 由f′(x)>0，得0<x <a −√a 2−1或x >a +√a 2−1； 由f′(x)<0，得a −√a 2−1<x <a +√a 2−1，∴f(x)在(0,a −√a 2−1)和(a +√a 2−1,+∞)上单调递增，在(a −√a 2−1,a +√a 2−1)上单调递减． 综上所述，当a ≤1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >1时，f(x)在(0,a −√a 2−1)和(a +√a 2−1,+∞)上单调递增，在(a −√a 2−1,a +√a 2−1)上单调递减．(2)由(1)得，当a >1时，f(x)有两极值点x 1，x 2(其中x 2>x 1).由(1)得x 1，x 2为g(x)=x 2−2ax +1=0的两根，所以x 1+x 2=2a ，x 1x 2=1．所以f(x 2)−f(x 1)=ln x 2x 1+12(x 22−x 12)−2a(x 2−x 1) =ln x2x 1−x 22−x 122=ln x2x 1−x 22−x 122x1x 2=ln x 2x 1−x 22x 1+x12x 2．令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=lnt −12t +12t ， 因为ℎ′(t)=1t −12−12t2=−t 2+2t−12t 2=−(t−1)22t 2<0，所以ℎ(t)在(1,+∞)上单调递减，而ℎ(2)=ln2−34，ℎ(4)=2ln2−158，所以2<t <4， 又4a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t+2(t ∈(2,4))，易知φ(x)=t +1t +2在(2,4)上单调递增， 所以92<4a 2<254，所以实数a 的取值范围为(3√24,54)．【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数极值与导数零点的关系，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于较难题．(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；(2)结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解．22.【答案】解：(1)设Q(cosθ,sinθ)，M(x,y)，则由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x +2,y)=2(cosθ−x,sinθ−y)， 即{3x +2=3cosθ3y =2sinθ， 消去θ，得(x +23)2+y 2=49，此即为点M 的轨迹方程； (2)曲线C 的普通方程为x 2+y 2=1，由直线l 的参数方程为{x =−2+2413t,y =1013t (t 为参数)， 得直线l 的普通方程y =512(x +2)，设α为直线l 的倾斜角，则tanα=512，sinα=513,cosα=1213，则直线l 的参数方程可设为{x =−2+1213t′y =513t′(t′为参数)， 代入曲线C 的普通方程，得t′2−4813t′+3=0，由于△=(−4813)2−12=276169>0，故可设点A ，B 对应的参数为t′1，t′2，则|PA|⋅|PB|=|t′|1⋅|t′2|=|t′1t′2|=3．【解析】(1)设Q(cosθ,sinθ)，M(x,y)，由向量等式得{3x +2=3cosθ3y =2sinθ，消去θ，得点M 的轨迹方程； (2)化C 的参数方程为普通方程，写出直线l 参数方程的标准形式，然后利用此时t 的几何意义求解． 本题考查参数方程化普通方程，考查直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． 23.【答案】证明：(1)∵a ，b ，c ∈R +，且a +b +c =1，∴1a +1b +1c =(a +b +c)(1a +1b +1c ) =b a +a b +c a +a c +c b +b c +3 ≥2√b a ⋅a b +2√c a ⋅a c +2√c b ⋅b c +3=9，当且仅当a =b =c =13时取等号，∴1a +1b +1c ≥9；(2)∵a ，b ，c ∈R +，且abc =1，∴1ab =c ，1ac =b ，1bc =a ，∴1a +1b +1c =12(1a +1b +1b +1c +1a +1c ) ≥1(2√1+2√1+2√1) =12(2√a +2√b +2√c) =√a +√b +√c ，∴1a +1b +1c ≥√c +√b +√a ．【解析】(1)根据a +b +c =1，可得1a +1b +1c =(a +b +c)(1a +1b +1c )，然后利用基本不等式，进一步证明不等式；(2)由abc=1，得1ab =c，1ac=b，1bc=a，然后根据1a+1b+1c=12(1a+1b+1b+1c+1a+1c)利用基本不等式，进一步证明不等式．本题考查了基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。