基于Luenberger观测器的降阶H∞控制器的设计

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博士 ・ 专家论 坛
基于 Ｌ ｅ ｂ ｒ ｅ 艰测器的降盼 控制器的设计 ｕ ｎ ｅｇ ｒ
河北联 合 大 学迁安 学 院 胡连 华 秦皇 岛秦 冶重 工有 限公 司 杨 晓峰
［ 摘 要］ 文主要研 究了基 于Ｌ ｅｂ ｒｅ观 测器的 Ｈ 降阶控制 器的设计 问题 ， 本 ｕｎ ｅｇｒ 该观测 器是干扰解耦的。首先利用 Ｌ 方 法提 出了 ＭＩ 求解 Ｈ 状 态反馈 增益的充要条件 ， 对该控制器进行 渐近降阶观测 ， 然后 基于 ｓｌ ｓ ｒ 阵方程的显 示通解 的参数化设计 方法 ， ｖ ｅ ｅ矩 ｖｔ 实现 了线性 系统的降阶 Ｈ。控制 器的设计 ， 。 最后给 出了相应的降阶 Ｈ。控 制器设 计算法。 。 ［ 关键词］ 线性 系统 Ｈ 降阶控制器 Ｌ ｅ ｂｒｅ观测器 ｕｎｅ ｒ ｇ 自Ｈ— ｕｎ ｅｇｒ Ｌ ｅ ｂｒｅ观测器提 出以来… 在线性 系统理论中得到了广泛 ，
的研究 ， 在应用 Ｌｅｈｒ ｒ ｕｎｅｇ 观测器设计反馈控制 器问题上 ， ｅ 已经 取得 了
些很好的结果 。文献［］ ・ ３研究 了干扰解耦 观测器的设计 问题 ， 提出了 基于 Ｓｌ ｓ ｒ ｙ ｅ ｅ 矩阵方 程的显示 通解 的参 数化表示 及设计算 法 ， ｖｔ 该方 法 大大地 降低 了计算 的复杂性 ， 提高 了设计 的自由度和灵活性 。本文在 线性 系统 Ｌ ｅｂ ｒｅ观测器 的设计 方法的基础上 ， 出了基于 Ｓｌｅｔｒ ｕｎ ｅｇ ｒ 提 ｙ ｓｅ ｖ 矩阵方程的显示通解 的参数化表示及设计降阶控制器的算法。
ｕｔ一Ｋ ＇） （ ） Ｊｔ （ 则 由 系 统 （） （） 成 闭环 系统 ： １ ３构 和
＝
（） ３
【１ ４
其 中 ， Ｌ 为满 足式（３的右互质分 解的 多项式 Ｈ（ ）， （ ） １） ｉ ， ・ ．Ｐ为 自由参数。 一１ ２，－ ， 为保证 Ｔ ， Ｌ为实矩阵 ， 还应满足如下约束 条件 ： 约束 ３ 当 一弓时有 ： 。 ： ３． ． 矩阵 Ｎ， 的参数表示 ２ Ｍ 矩阵方程 （０关于 Ｎ， 有解 的充要 条件为矩阵 丁满足 １） Ｍ
∈
，
Ａ￣ Ｂｗ ， ＝ Ｃａ＋Ｄ叫 ｒ＋ ＂
其中 Ａ＝Ａ＋Ｂ２ ， Ｋ Ｃ—Ｃ１ ＋Ｄｌ ， ２ Ｂ＝Ｂｌ Ｄ＝Ｄ１。 Ｋ ， １ 引理 １ 虑闭环系统（ 满足 系统 的假设条 件（一 Ｉ Ｆ ， 考 ４ ） Ｉ （ Ｉ ￣ 对于给定 ） Ｉ） ｔ ｙ ＞０， 则存在正定矩阵 Ｐ 满足 Ｒｃ ａ 不 等式 ： ＞０ ｉ ｔ ｃｉ ＰＡ＋Ａ Ｐ＋Ｐ０ Ｂｌ ＇ Ｂ Ｂ２ Ｐ＋ｃ Ｃｌ Ｂ） ＜０ （） ５ 对引理 １ 中的式（） ５使用 Ｓｈ ｒ 理 ， 以得到如下结果。 ｃ ｕ￣Ｉ 可 定理 １给定 ｙ ＞０， 系统（） １的状态反馈 Ｈ 控制 问题 可解 ， 当且仅 当存在正定对称矩阵 Ｐ 和 Ｐ ， ｌ ２ 使得
１问 题 的 提 出 ． 考虑如下系统
５＝Ａｘ＋Ｂ１ － ｕ； — Ｃ ＋Ｄｌ ＡＤ１ － 叫４Ｂ２ １ ｌ － ２ 叫 ｕ；Ｙ＝Ｃ ２ （） １
３１ ．矩阵 Ｆ，丁，，的参数表示 Ｊ 矩阵 Ｆ满足的条件是其所有 的特征值都具有负实部 ， 我们 将 Ｆ取 为非退化结构 ： Ｆ＝ ｗ ， Ａ—ｄａ （１ ２・ Ｓ） ｉｇｓ， ， 一， Ｓ （４ １）
设 ：） Ｂ） （（ 。 ＩＡ， 能稳定 ， Ｃ） （ １ ， 能观测；Ｉ ¨ ｏ （ ） ｇ ｌ ｌ＝ （ Ｄ 一 ；ｉ Ｄ ［ Ｄ Ｉ ） ｉ ｉ Ｃ
【 ，；Ｖ （ Ｃ） ０ ］（ ）Ａ， ２ Ｉ 能观测。
本 文设计基 于Ｌ ｅｂ ｒｅ观测器 的降阶控制器 ： ｕｎ ｅｇｒ
Ｏ Ｏ ｙ － Ｂｚ ， 一Ｎ ＝Ｆ ＋Ｌ ４ Ｔ ｕ ＋ （） ２
网 一
，
（７ １）
可 以 通 过 限 定 矩 阵 ， 的 参 量 使 得 上 式 成 立 ，对 矩 阵 ，
ｆ ｃ Ｋ Ｉ施行初等变换 ， 了 １ Ｊ 并在变换的过程中对 丁的参数
丁 叫 一
Ｌ＝ｗ
…
…
，＝（ ； Ｈｊ ｓ ） ｆ
＝一 （ ）． Ｌｓ ｆ ２
是容许 的 ， 于给定 ｙ ２ ） 对 ＞０， 从扰 动输入 到被控 输出 的闭环传递 函数 Ｈ。范数小于 ｙ。 。
２准备 工 作 ． 设状态反馈控制器具有 如下形式 ：
则将式（４代人（） ， １） ９中 并令 ： Ｔ＝ｗ中 ， Ｌ＝ＷＸ Ｉ ｔ 可得下述矩阵方程 ：
中Ａ 一 Ｃ， Ａ中 ＝ ｆ５ １１
由 引理 ３司得 矩 阵 丁 ， 的参 数 表 不 如 Ｆ Ｌ
其 中 ， ∈Ｒ 为 控 制 器 的 状 态 ，Ｐ为 维 数 。 并 且 满 足 ： ） １ ｌ “ ｉ 一Ｋｒ 一０， 中 Ｋ 为系统（） Ｈ。状态 反馈增益 。２系统（） ｍ（ ） 其 １的 。 ） １和
一
其 中 ， ∈ｃ ， １ ２ … ， 为 自 由 参 数 。 Ｈ（ ∈ ，， Ｐ ） Ｌｓ∈Ｒ￣ １ 右互质且满足互质分解 ： （ ） Ｈ７） Ｘ（ １
（ —Ａ ）。 一Ｈ（Ｌ 。Ｃ ｓ （） ） ３降 阶控 制 器 的 设 计 方 法 ．
（ ），
（３ １）
而矩阵ｗ具有下述结构： １ ２… ｐ， ｗ一 ｌ ｌ它们满足 下述
约束条件 ： 约束 ｌ ， １ ２ … ， ： ， ， Ｐ复封闭 ， Ｒ （） 且 ｅｓ ＜０。约束 ２当 Ｓ＝ｆ时 ： ｆ ｉ
有 ＝回 且 ｄ ｆ ） ， ｅ Ｗ ≠０。 ｔ
其 中 ， ∈Ｒ ， ｆＲ ， ＥＲ ＹｆＲ ， ｗｆ “ ， ｉ ＥＲ 分别表示状态 、 扰 动输入 、 控制输 入 、 测输 出和被控输 出 。对 上述被 控对象做 如下假 量