2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)24常微分方程解的存在唯一性定理课件(共35张PPT)

的 通 解, 其 中C1 , C2是 两 个 任 意 常 数.
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推广到n阶线性微分程
非齐次
y(n) a1( x) y(n1) an( x) y f ( x)
齐次
(1)
y(n) a1( x) y(n1) an( x) y 0
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(2)
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定理4 : (齐次方程通解结构) 若 y1( x), y2( x), , yn( x) 是 n阶线性
y(n1) 1
y(n1) 2
y(n1)
n
x0
则 存 在 一 组 不 全 为 零 的实 数c1 , c2 , , cn使 得
y1
y2 yn c1
y1
y2
yn
c2
0
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y(n1) 1
y(n1) 2
y(n1) n
x0
cn
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令 y( x) c1 y1( x) c2 y2( x) cn yn ( x) 由 定理1，y( x)是n阶 线性 常微 分方 程的 解。
e1x , e2x , , emx 线 性 无 关.
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[证] 如 果 有 常 数C1, C2, C3, 使 得
C1e1x C2e2x C3e3x 0
求导，得
C11Ce 1e1 x1x
C
e 2x
2
C3e
2C2e2x
3x 0
3C3e 3
x
0
12C1e1x 22C2e2x 23C3e3x 0
关 的 必要 条 件 是: y1 , y2 , , yn 的 朗 斯 基 行 列 式 在 区 间I上 恒 为 零.
定 理3 : 若 函 数 y1( x), y2 ( x) , yn ( x) C n (I ), 是n阶 齐 次 线 性 常 微 分 方 程的n个 解 ， 则 下 列
三个结论等价：
（1）y1( x), y2 ( x) , yn ( x)在I上 线 性 相 关;
给 定y0 0， 在( x0 , y0 )的 某 邻 域 内, 有
f ( x, y1 ) f ( x, y2 )
2
y1 2Biblioteka y21y1 y2 L y1 y2
满 足 定 理 条 件 ， 解 存 在唯 一 。
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将方程分离变量，得通解为 y x C
当 y0 0 时, f ( x, y)不 满 足 定 理 条 件 这 时 定 解 问 题 有 两 个 解 ：
y1( x), y2( x), , ym ( x)
在区间 I 上线性无关 ?
朗斯基行列式
y1
W[ y1, y2, , ym ]
y1
y( m1) 1
y2 y2
y( m1) 2
ym ym y( m1)
m
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定 理2 : 设 函 数 y1( x), y2 ( x) , yn ( x)在 区 间I上有n 1阶导数,则其在I上线性相
且满足初始条件
y( x0 ) 0, y'( x0 ) 0, , y(n1) ( x0 ) 0.
因 为y 0也 是 满 足 上 述 初 始 条 件的 解 ， 由 解的存在唯一性可知
y( x) c1 y1( x) c2 y2( x) cn yn( x) 0
即 y1( x), y2 ( x) , yn ( x)在I上 线 性 相 关.
(2) 如 果 y*( x) 是 非 齐 次 方 程(1)的 一 个 解, y( x)是 齐 次 方 程(2)的 一 个 解, 则 y*( x) y( x) 是 非 齐 次 方 程(1)的 解.
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定 理6 : (非 齐 次 方 程 通 解 结 构)
如 果 y*( x) 是 非 齐 次 方 程(1)的 一 个 解, y( x) C1 y1( x) C2 y2 ( x) 是 齐 次 方 程(2)的 通 解, 则 y y* y y* ( x) C1 y1( x) C2 y2 ( x) 是 非 齐 次 方 程(1)的 通 解.
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m
m
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[解] 建立坐标系, 如图 以平衡位置为原点
o
x0
x 或
竖直向下为x轴正向
根 据 牛 顿 第 二 定 律, 建立微分方程
m
d 2x dt 2
kx
a
dx dt
m
d 2x dt 2
kx
a
dx dt
0
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t 0 时 ， 位 移 为x0，初 速 度 为v0
初值问题:
(2) W ( x) W [ y1 , y2 , , yn ](x) 0 x I;
(3)存
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在x0
I
,
使
得W
(
x0
)
0。
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只证明(3) (1) 设 已 知 存 在x0 I , 使 得W ( x0 ) 0。
即
y1
W [ y1, y2 , , yn ] x0
y1
y2 yn y2 yn 0
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系数行列式
111
1 2 3 12 22 23
12 (2 1 ) 23(3 2 ) 31(1 3 )
0
C1e1x C2e2x C3e3x 0
C1 C2 C3 0
函 数 组 e1x , e2x , e3x 线 性 无 关
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问题: 如何判定函数组
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第二十四讲
一.常微分方程解的存在唯一 性定理
二.高阶线性常微分方程解的 结构
回忆：
用初等解法（不定积分），求解若干简单一 阶常微分方程,以及二阶可降阶常微分方程.
●变量可分离型
dy f ( x)g( y) dx
● 可化为可分离变量
●一阶线性方程
dy p( x) y q( x) dx
● 伯努利(Bernoulli)方程
●全微分方程 ● 积分因子
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M( x, y)dx N( x, y)dy 0
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一、常微分方程解的存在唯一性定理
定理1 考察一阶常微分方程的初值问题:
dy f ( x, y) dx y( x0) y0
设 以 点( x0, y0 ) 为 中 心 的 某 个 矩 形
D {(x, y) : x x0 a, y y0 b}
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d 2x
dt
2
a m
dx dt
k m
x
0
dx dt
(0)
v0
x(0) x0
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n阶线性微分方程
y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y an( x) y f ( x) (1)
非齐次
y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y
证毕
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定理4 : (齐次方程通解结构)
若 y1( x), y2( x)是二阶线性齐次微分方程 a( x) y b( x) y c( x) y 0
的 两 个 线 性 无 关 解, 则 y( x) C1 y1( x) C2 y2( x)
是方程 a( x) y b( x) y c( x) y 0
齐 次 方 程(2) 的n 个 线 性 无 关 解, 则
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x)
是方程(2)的通解, 其中C1, C2, , Cn是 n 个 任 意 常 数.
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(二) 二阶线性非齐次方程的通解结构
定理5 : (叠加原理)
(1) 如 果 y1( x), y2( x) 是 非 齐 次 方 程(1) 的 解, 则 y1( x) y2( x) 是 齐 次 方 程(2) 的 解.
其 中 h min(a, b ), M
M max f ( x, y) ( x , y )D
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[例] 考 虑 一 阶 微 分 方 程dy 2 y ，
dx 定 解 条 件y( x0 ) y0 .
当y 0时 ，f ( x, y) 2 y , f 1 是 连 续 的 。 y y
这要看C1 与C2 是不是互相独立?
提 示 考 虑: y1( x) x, y2 ( x) 2x
C1 y1( x) C2 y2( x) (C1 2C2 ) x Cx
y1( x) e x , y2 ( x) e x
C1 y1( x) C2 y2 ( x) C1e x C2e x
取 决 于 y1( x)与 y2 ( x)！
则称函数y1( x), y2( x), , ym ( x)在区间I 上 线 性 相 关, 否 则 称 为 线 性 无 关.
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[例1] 若 两 个 函 数y1( x) 和 y2( x)满 足 条 件:
y1( x) 常 数 y2 ( x)
则这两个函数线性无关.
[例2] 若1, 2, , m R互不相等,则函数
定理1 : 如果 y1( x)与 y2( x) 是二阶线性齐次 方 程( 2)的 解, 则 它 们 的 任 意 线 性 组 合
y C1 y1( x) C2 y2( x)
都 是 方 程(2)的 解, 其 中C1, C2 为 任 意 常 数.
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问题:
y C1 y1 C2 y2 是不是的(2) 通解?
y x x0 , y 0 (奇 异 解 ）.
当 y0 0 时 , 解 不 存 在.
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