2019-2020学年高中数学第一章集合与函数概念单元质量测评

第一章 集合与函数概念单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5}，集合M ＝{0,3,5}，N ＝{1,4,5}，则集合M ∪(∁U N )＝( )A ．{5}B ．{0,3}C ．{0,2,3,5}D ．{0,1,3,4,5}答案 C解析 ∵∁U N ＝{0,2,3}，∴M ∪(∁U N )＝{0,2,3,5}． 2．若P ＝{x |x <1}，Q ＝{x |x >－1}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P答案 C解析 因为P ＝{x |x <1}，所以∁R P ＝{x |x ≥1}，又Q ＝{x |x >－1}，所以∁R P ⊆Q . 3．集合A ＝{a 2，a ＋1，－1}，B ＝{2a －1，|a －2|,3a 2＋4}，A ∩B ＝{－1}，则a 的值是( )A ．－1B ．0或1C ．2D ．0答案 D解析 由A ∩B ＝{－1}，得－1∈B ，又|a －2|≥0,3a 2＋4>0，所以只能2a －1＝－1，a ＝0，此时A ＝{0,1，－1}，B ＝{－1,2,4}，满足题意．4．设定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y 满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且f (2)＝4，则f (0)＋f (－2)的值为( )A ．－2B ．－4C ．0D ．4 答案 B解析 令x ＝y ＝0，则有f (0)＋f (0)＝f (0)，故得f (0)＝0.令x ＝－2，y ＝2，则有f (－2)＋f (2)＝f (0)＝0，又f (2)＝4，∴f (－2)＝－4，∴f (0)＋f (－2)＝－4.5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人中推选出一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510答案 B解析 解法一：当x 除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10，且易验证此时⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310. 当x 除以10的余数为7,8,9时，由题设知y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1，且易验证此时⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.综上可知，必有y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.解法二：由题意知，若x ＝16，则y ＝1，由此检验知选项C ，D 错误；若x ＝17，则y ＝2，由此检验知选项A 错误．故由排除法知，本题应选B.6．已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( ) A.98 B.94 C.92 D ．9 答案 C解析 ∵f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，∴f (3)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝92.7．函数y ＝x 2－2x ＋3(－1≤x ≤2)的值域是( ) A ．R B ．[3,6] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)答案 C解析 画出函数的图象，如右图所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6]． 8．已知函数f (2－x )＝4－x 2，则函数f (x )的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,16] C ．[0,4] D ．[0,2]答案 B解析 由于函数f (2－x )＝4－x 2的定义域为4－x 2≥0，即－2≤x ≤2，则0≤2－x ≤4.故0≤x ≤4，得0≤x ≤16.9．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 A解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，所以－1－a ＋2a ＝0，所以a ＝1，所以函数定义域为[－2,2]．因为函数图象的对称轴为x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2＋1，所以x ＝±2时函数取得最大值，最大值为5.10．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，53 C ．(1,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞答案 A解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数， ∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)， ∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3，∴1<m <53.故选A. 11．函数f (x )＝xx 2＋a的图象不可能是( )答案 D解析 函数表达式中含有参数a ，要对参数进行分类讨论．若a ＝0，则f (x )＝x x2＝1x，选项C 有可能；若a ≠0，则f (0)＝0，选项D 不符合．综上，不可能是D 选项．12．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ，f x ≥g x ，fx ，g x >f x ，则( )A ．F (x )的最大值为3，最小值为1B ．F (x )的最大值为2－7，无最小值C ．F (x )的最大值为7－27，无最小值D ．F (x )的最大值为3，最小值为－1 答案 C解析 由F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ，f x ≥g x ，f x ，g x >f x知，当3－2|x |≥x 2－2x ，即当2－7≤x ≤3时，F (x )＝x 2－2x ；当x 2－2x >3－2|x |，即当x <2－7或x >3时，F (x )＝3－2|x |，因此F (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，2－7≤x ≤3，3－2|x |，x <2－7或x >3＝⎩⎨⎧x 2－2x ，2－7≤x ≤3，3＋2x ，x <2－7，3－2x ，x >3，作出其图象如图所示，观察图象可以发现，F (x )max ＝F (2－7)＝7－27，无最小值，故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若函数f (x )＝1x －1＋2x ＋3，则f (x )的定义域是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，1∪(1，＋∞) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋3≥0，可得x ≥－32且x ≠1，故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，1∪(1，＋∞)．14．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的递减区间是________． 答案 (－∞，0]解析 解法一：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即k (－x )2＋(k －1)(－x )＋3＝kx 2＋(k －1)x ＋3，即kx 2－(k －1)x ＋3＝kx 2＋(k －1)x ＋3. ∴－(k －1)＝k －1，∴k ＝1，即f (x )＝x 2＋3.此函数图象为开口向上且以y 轴为对称轴的抛物线，所以f (x )的递减区间是(－∞，0]． 解法二：当k ＝0时，f (x )＝－x ＋3为非奇非偶函数，当k ≠0时，f (x )为偶函数得f (x )的对称轴为x ＝1－k2k ＝0得k ＝1，从而f (x )的减区间为(－∞，0]．15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是________．答案3解析 由f (x )＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，x ＋1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x 2＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ＝3，解得x ＝ 3.16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 解析 当x ＋2≥0，即x ≥－2时，f (x ＋2)＝1，则有x ＋x ＋2≤5，得－2≤x ≤32；当x＋2<0，即x <－2时，f (x ＋2)＝－1，则有x －x －2≤5，不等式恒成立．综上可知，x ≤32，故填⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解 (1)因为A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}，所以A ∪B ＝{x |2≤x <10}， 又∁R A ＝{x |x <2或x ≥7}，所以(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}． (2)因为A ＝{x |2≤x <7}，C ＝{x |x <a }，且A ∩C ≠∅，所以a >2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2]，4x，x ∈2，4].(1)在图中画出函数f (x )的大致图象； (2)写出函数f (x )的最大值和单调递减区间．解 (1)函数f (x )的大致图象如图所示．(2)由函数f (x )的图象得出，f (x )的最大值为2，函数的单调递减区间为[2,4]．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax －1.(1)若f (1)＝2，求实数a 的值，并求此时函数f (x )的最小值； (2)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(3)若f (x )在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题可知，f (1)＝1＋2a －1＝2，即a ＝1， 此时函数f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2≥－2， 故当x ＝－1时，函数f (x )min ＝－2. (2)若f (x )为偶函数，则有对任意x ∈R ，f (－x )＝(－x )2＋2a (－x )－1＝f (x )＝x 2＋2ax －1，即4ax ＝0，故a ＝0.(3)函数f (x )＝x 2＋2ax －1的单调减区间是(－∞，－a ]，而f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴4≤－a ，即a ≤－4，故实数a 的取值范围为(－∞，－4]．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明． 解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b，解得b ＝0. 又f (2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x ，则f (x )在(－∞，－1]上为增函数．证明：设x 1<x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2.∵x 1<x 2≤－1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1,1－1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－1]上为增函数．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋mx －m . (1)若函数f (x )的最大值为0，求实数m 的值；(2)若函数f (x )在[－1,0]上单调递减，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．解 (1)f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m ＋m 24，则最大值－m ＋m 24＝0，即m 2－4m ＝0，解得m ＝0或m＝4.(2)函数f (x )图象的对称轴是x ＝m 2，要使f (x )在[－1,0]上单调递减，应满足m2≤－1，解得m ≤－2.(3)①当m2≤2，即m ≤4时，f (x )在[2,3]上递减．若存在实数m，使f (x )在[2,3]上的值域是[2,3]，则⎩⎪⎨⎪⎧f2＝3，f 3＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧－4＋2m －m ＝3，－9＋3m －m ＝2，此时m 无解．②当m2≥3，即m ≥6时，f (x )在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2，f 3＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧－4＋2m －m ＝2，－9＋3m －m ＝3，解得m ＝6.③当2<m 2<3，即4<m <6时，f (x )在[2,3]上先递增，再递减，所以f (x )在x ＝m2处取最大值，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋m ·m2－m ＝3，解得m ＝－2或6，舍去．综上可得，存在实数m ＝6，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，x ∈R ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－f x ，x <0.(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？并说明理由．解 (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.① 又函数f (x )的值域为[0，＋∞)，所以a >0.由f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4a －b 24a ，知4a －b 24a ＝0，即4a －b 2＝0.②联立①②，解得a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，于是F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0.(2)由(1)，得g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－k 22＋1－2－k 24.因为当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数， 所以－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，即k ≤－2或k ≥6.所以实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)因为f (x )为偶函数，所以b ＝0， 所以f (x )＝ax 2＋1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x >0，－ax 2＋1，x <0.不妨设m >n ，则m >0，n <0，且|m |>|n |.又a >0，所以F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝(am 2＋1)－(an 2＋1)＝a (m 2－n 2)>0， 所以F (m )＋F (n )能大于零．。