专题训练：锐角三角函数与圆
圆、解锐角三角函数、相似基础练习
5
A．
3
2
B．
3
25
C．
5
D
3．如图 3，在△ ABC 中，∠ C =90°，sin A = 4 ， AB =15，则△ ABC 的周长是
3
Ｂ．
2
Ｄ．
5
D．
5
2
2
2
图3 图4
4．如右上图 4，测量河宽 AB（假设河的两岸平行），在 C 点测得∠ACB＝30°，D 点测得∠ADB＝60°，
又 CD＝60m，则河宽 AB 为
B
AC
图 12
12．如图 12,⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部， ABO ， ACO ， BOC ，
则下列关系中，正确的是
3．如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O (0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 优
弧上一点,则∠OBC 的余弦值为.
1
A．
2
3
C．
2
3
B．
4
4
D．
5
4．在 RtABC中, C 90 , B 35 , AB 7 ，则 BC 的长为
A． 7 sin 35
7 B． cos 35
4．如图，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC 的周长为________．
O D A
第 1 题图
C
BA
D
O
第 2 题图
5．如图，已知 ACB 是 A O 的圆周角， ACB 50 ，则 AOB
A ． 40
B ． 50
C
B
A
CE
D
O
第 3 题图
C ． 80
2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题(第二课时)练习
2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题（第二课时）练习例1.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊙BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且⊙ODB＝⊙AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝，求BH的长．练习1.如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊙CD于点E．（1）求证：⊙BME＝⊙MAB；（2）求证：BM2＝BE•AB；（3）若BE＝，sin⊙BAM＝，求线段AM的长．例2.如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊙AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．练习2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG⊙AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．（1）求证：⊙ECF⊙⊙GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan G＝，AH＝3，求EM的值．例3.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分⊙ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：⊙ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan⊙ACD的值．练习3如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO⊙AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan⊙CAD＝，求sin⊙CDA的值．例4.如图，已知在⊙ABP中，C是BP边上一点，⊙P AC＝⊙PBA，⊙O是⊙ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊙AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求⊙O的半径及sin⊙ACE的值．练习4.如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；（2）在图1中连接CB，DB，若＝，求tan T的值；（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊙CD于点P，若BT＝6，DT＝6．求：DG的长．例5.如图，已知AO为Rt⊙ABC的角平分线，⊙ACB＝90°，，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan⊙CAO的值；（3）求的值．课后练习1.如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB．（2）若⊙O的半径为1，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，若，求tan∠AEC的值．2.如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．3.如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．（1）求sin∠AOQ的值；（2）求的值；（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．4.如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18．（1）如图1，若BD为⊙O直径．①求tan∠BAC的值；②求四边形ABCD的面积．（2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度．5.如图1，AB是⊙O的直径，点P是直径AB上一动点，过点P作直径AB的垂线交⊙O于C，D两点．（1）若⊙O的半径为2，，连接CO，DO，求劣弧的长度；（2）如图2，点K是劣弧上一点，连接AK，BK，AK交CD于点Q，连接BQ，记∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；（3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接AK，DK，AK交CD于点Q，DK交AB于点N，连接AD，QN．①求证：△DAQ∽△AND；②记∠OND＝θ，△ANQ的面积为S1，△DON的面积为S2，求的值（结果用含有θ的三角函数值的式子进行表示）．。
2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案
2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案一、锐角三角函数1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且10cos B =. (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10BF B == （2）连接DG ，∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3，∴FG=13，∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10=10；3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∵AD=AD，CD=ND，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AB=AC，∴AB=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数3．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定4．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②123【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴''DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意； 当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°，∴tan ∠DBF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.5．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.（2）①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中，为的中点，且O为AC的中点为的中位线同理可得：为的中点，②过点P 作交于点由运动到所需的时间为3s由①可得，点O 以的速度从P 到A 所需的时间等于以从M 运动到A即：由O 运动到P 所需的时间就是OP+MA 和最小.如下图，当P 运动到,即时，所用时间最短.在中，设解得：和走完全程所需时间为考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置6．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =【解析】 【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ∆和ODQ ∆中，{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =，∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．7．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，点B （10，0），C （7，4）．直线l 经过A ，D 两点，且sin ∠．动点P 在线段AB 上从点A 出发以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．（2）在点P、Q运动的过程中：①当0＜t≤1时，如图1，过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t．∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，S=12PM•PE=12×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．②当1＜t≤2时，如图2，过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．S=1 2PM•PE=12×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如图3，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，S=12PM•MQ=12×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（3）①当0＜t≤1时，22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．②当1＜t≤2时，22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647．③当2＜t＜167时，S=﹣14t+32∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．【解析】（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=2，利用特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．∵sin∠DAB=22，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．设直线l的解析式为：y=kx+b，则有4k b0{b4-+==，解得：k1{b4==．∴y=x+4．∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；③当2＜t＜167时，如图3．（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：①如图4，点M在线段CD上，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=209．②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．∴当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．8．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：（1）点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．【答案】解：（1）过作轴于，，，，，点的坐标为．（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，，，．②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，过作于，则，，．③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，，．过作轴于，则，，化简，得，解得，，．所求的值是，和．【解析】 （1）过作轴于,利用三角函数求得OD 、DC 的长，从而求得点的坐标⊙P 与菱形OABC 的边所在直线相切，则可与OC 相切；或与OA 相切；或与AB 相切，应分三种情况探讨：①当圆P 与OC 相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC 垂直于OC ，再由OA=+t ，根据菱形的边长相等得到OC=1+t ，由∠AOC 的度数求出∠POC 为30°，在直角三角形POC 中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op ，表示出OC ， 等于1+t 列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；②当圆P 与OA ，即与x 轴相切时，过P 作PE 垂直于OC ，又PC=PO ，利用三线合一得到E 为OC 的中点，OE 为OC 的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；③当圆P 与AB 所在的直线相切时，设切点为F ，PF 与OC 交于点G ，由切线的性质得到PF 垂直于AB ，则PF 垂直于OC ，由CD=FG ，在直角三角形OCD 中，利用锐角三角函数定义由OC 表示出CD ，即为FG ，在直角三角形OPG 中，利用OP 表示出PG ，用PG+GF 表示出PF ，根据PF=PC ，表示出PC ，过C 作CH 垂直于y 轴，在直角三角形PHC 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值，综上，得到所有满足题意的t 的值．9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y . 【解析】 【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒， ∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠， ∴BT TO =， ∵90BTO ∠=︒， ∴90TPO TOP ∠+∠=︒， ∵PO BM ⊥， ∴90BNO ∠=︒， ∴BQT TPO ∠=∠， ∴QTB PTO ∆≅∆， ∴QT TP =，PO BQ =， ∴PQT QPT ∠=∠， ∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠， 设KPB x ∠=︒， ∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠， ∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠， ∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ， ∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠， tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，442t t t =+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==， ∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒， ∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形， ∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y . 故答案为32. 【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是⊙C 外一点，连接CP 交⊙C 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P ′，当点P ′在线段CQ 上时，称点P 为⊙C “友好点”．已知A (1，0)，B (0，2)，C (3，3) (1)当⊙O 的半径为1时，①点A ，B ，C 中是⊙O “友好点”的是 ；②已知点M 在直线y +2 上，且点M 是⊙O “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；(2)已知点D 0)，连接BC ，BD ，CD ，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N ，使点N 是⊙T “友好点”，求圆心T 的横坐标t 的取值范围．【答案】(1)①B；②0≤m≤3；(2)﹣4+33≤t＜33．【解析】【分析】(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；②设M(m，﹣3m+2 )，根据“友好点”的定义，OM＝223222m m⎛⎫+-+≤⎪⎪⎝⎭，由此求解即可；(2)B(0，2)，C(3，3)，D(23，0)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝3HT，直线BD：y＝﹣3x+2，可知H(t，﹣3t+2)，继而可得NT＝﹣12t+33，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.【详解】(1)①∵r＝1，∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，∴点B是⊙O“友好点”，∵OC＝2233+=32>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，故答案为B；②如图，设M (m ，﹣33m +2 )，根据“友好点”的定义， ∴OM ＝223222m m ⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭， 整理，得2m 2﹣23m ≤0，解得0≤m ≤3；∴点M 的横坐标m 的取值范围：0≤m ≤3；(2)∵B (0，2)，C (3，3)，D (23，0)，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，点N 是⊙T “友好点”， ∴NT ≤2r ＝2，∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN ⊥BD 于N ，作TH ∥y 轴，与BD 交于点H ．∵tan ∠BDO ＝323OB OD == ∴∠BDO=30°，∴∠OBD ＝60°，∴∠THN=∠OBD=60°，∴NT ＝HT•sin ∠THN=32HT ， ∵B (0，2)，D 30)，∴直线BD ：y 3+2， ∵H 点BD 上，∵H (t ，﹣33t +2)， ∴HT 3+2﹣(﹣1)3+3，∴NT＝32HT＝32(﹣33t+3)＝﹣12t+332，∴﹣12t+33≤2，∴t≥﹣4+33，当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝33，此时点N不是“友好点”，∴t＜33，故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+33≤t＜33．【点睛】本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键．11．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度为1：3，DE ＝3米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）【答案】该停车库限高约为2.2米．【解析】【分析】据题意得出3tan B=，即可得出tan A，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF3的长．【详解】解：由题意得，3 tan3B=∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A＝3，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝DEAD，∵DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE＝3．在Rt△CEF中，设EF＝x，CF x（x＞0），CE＝2.5，代入得（52）2＝x2+3x2，解得x＝1.25，∴CFx≈2.2，∴该停车库限高约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．12．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接BC交圆于点D，过点D 作⊙O的切线交AC于E．（1）求证：AE＝CE（2）如图，在弧BD上任取一点F连接AF，弦GF与AB交于H，与BC交于M，求证：∠FAB+∠FBM＝∠EDC．（3）如图，在（2）的条件下，当GH＝FH，HM＝MF时，tan∠ABC＝34，DE＝394时，N为圆上一点，连接FN交AB于L，满足∠NFH+∠CAF＝∠AHG，求LN的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4013 NL【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC＝90°，由切线长定理得EA＝ED，再由等角的余角相等，得到∠C＝∠EDC，进而得证结论.（2）由同角的余角相等，得到∠BAD＝∠C，再通过等量代换，角的加减进而得证结论.（3）先由条件得到AB＝26，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝43a，再由相交弦定理得到GH•HF＝BH•AH，从而求出FH，BH，AH，再由角的关系得到△HFL∽△HAF，从而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得到LN•LF＝AL•BL，进而求出LN的长.【详解】解：（1）证明：如图1中，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵EA、ED是⊙O的切线，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠C＝∠EDC，∴ED＝EC，∴AE＝EC．（2）证明：如图2中，连接AD．∵AC是切线，AB是直径，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵∠EDC＝∠C，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠DBF＝∠DAF，∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD，∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC．（3）解：如图3中，由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝394，∴AC＝392，∵tan∠ABC＝34＝ACAB，∴39 32 4AB ,∴AB＝26，∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝43a，∵GH•HF＝BH•AH，∴4a2＝43a（26﹣43a），∴a＝6，∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，∵GH＝HF，∴AB⊥GF，∴∠AHG＝90°，∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG，∴∠NFH+∠CAF＝90°，∵∠NFH+∠HLF＝90°，∴∠HLF＝∠CAF，∵AC∥FG，∴∠CAF＝∠AFH，∴∠HLF＝∠AFH，∵∠FHL＝∠AHF，∴△HFL∽△HAF，∴FH2＝HL•HA，∴122＝HL•18，∴HL＝8，∴AL＝10，BL＝16，FL＝22＝413，FH HL∵LN•LF＝AL•BL，∴413•LN＝10•16，∴LN＝4013.13【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.13．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD，解得OD=1，∴22=+=2，PO PD OD∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．14．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD的高约为86.9米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin BCAAB=．∴sin152sin311520.5279.04BC AB A︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈（米）答：主塔BD的高约为86.9米．【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.15．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．(1)求AE的长及sin∠BEC的值；(2)求△CDE的面积．【答案】（1）2，sin∠BEC=35；（2）754【解析】【分析】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，2，设AE=CE=x，则222-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x的值即可求得答案；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得S△CDE=S△AED=24AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求出y，继而可求得答案.【详解】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，又∵点C是OB中点，∴OC=BC=6，CF=BF=32，设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，解得：x=52，故可得sin∠BEC=35CFCE，AE=52；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，解得：y=152，即AD=152，故S△CDE=S△AED=24AD×AE=754．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.。
2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合计算
2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合计算一、综合题1．如图，O 是 ABC 的外接圆， AC 为直径，点 D 在半圆 AC 上，且与点 B 在 AC 的异侧， BE DC ⊥ 交 DC 的延长线于点 E ， 1BCE ∠=∠ .（1） 求证： AB BD = ； （2） 求证： BE 是O 的切线；（3） 若 1EC = ， 4CD = ，求 cos DBA ∠ .2．如图，四边形ABCD 内接于O ，135ABC ∠=︒，OE AC ⊥.（1）证明：AOE D ∠=∠； （2）若6AC =，求O 的半径长.3．如图，ABC 是O 的内接三角形，60ACB ∠=︒，AD 经过圆心O 交O 于点E ，连接BD ，30ADB ∠=︒.（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若3AB =.4．如图，AB 是O 的直径，点E 是劣弧BD 上一点，PAD AED ∠=∠，且2DE =，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若2tan 2DAE ∠=，求EF 的长； （3）延长DE ，AB 交于点C ，若OB BC =，求O 的半径．5．如图，ABC 内接于 O ，AB 是直径，延长AB 到点E ，使得 6BE BC == ，连接EC ，且ECB CAB ∠=∠ ，点D是AB上的点，连接AD ，CD ，且CD 交AB 于点F.（1）求证：EC 是 O 的切线；（2）若BC 平分 ECD ∠ ，求AD 的长.6．如图，ABC 中， AB AC = ， D 为 AC 上一点，以 CD 为直径的 O 与 AB 相切于点E ，交 BC 于点F ， FG AB ⊥ ，垂足为 G .（1）求证： FG 是 O 的切线；（2）若 1BG = ， 3BF = ，求 CF 的长.7．如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上，CD DE =，过点D 作DF⊙AC ，垂足为点F.连结CE 交DF 于点G.（1）求证：CG=DG ；（2）已知⊙O 的半径为6，35sin ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =.求证：BD 是⊙O 的切线. 8．如图，在 Rt ABC 中， 90C ∠=︒ ，点O 为 AB 边上一点，以 OA 为半径的O 与 BC 相切于点D ，分别交 AB ， AC 边于点E ，F.（1）求证： AD 平分 BAC ∠ ； （2）若 3BD = ， 1tan 2CAD ∠=，求 O 的半径.9．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，BC ，AC 与O 交于点F ，D ，BE 为O 直径，点E 在AB 上，连接BD ，DE ，ADE DBE ∠=∠．（1）求证：AC 是O 的切线； （2）若35sinA =，O 的半径为3，求BC 的长． 10．如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD垂线交AC 延长线于点E ，连接CD 且CD ＝ED ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若tan⊙DCE ＝2，BD ＝1，求⊙O 的半径．11．如图，在⊙ABC 中，AC=BC ，以BC 为直径作⊙O ，交AC 于点F ，过C 点作CD⊙AC 交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且EB=ED ．（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）若AF=2，tan⊙A=2，求BE 的长．12．如图，锐角⊙ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，BD 为直径，过点B 作BF⊙AB 交⊙O 于点E ，交DC 的延长线于点F ．（1）求证：⊙ABD=⊙CBF ．（2）连结DE ，若DE=20，sin⊙A=2425，求BF 的长． 13．如图，在ABC 中，点E 是 BC 的中点，连接 AE ，以 AB 为直径作 O ，O 交 BE 于点D ， AC 为O 的切线.（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ； （2）若 8AC = ， 4sin 5B =，求 DE 的长. 14．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点A 为切点，AD=AC ，连接DC 交AB于点E.（1）求证，BC BE =. （2）若13tan ACE ∠=，5AB =，求BC 的长. 15．如图，已知⊙ABC中，以AB为直径的⊙O 交AC 于点D ，⊙CBD ＝⊙A ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若E 为 AB 中点，BD ＝12，sin⊙BED ＝35，求BE 的长． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上的一点，CD⊙AD 于点D ，AD 交⊙O 于点F ，连接AC ，若AC 平分⊙DAB ，过点F 作FG⊙AB 于点G 交AC 于点H.（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）延长AB 和DC 交于点E ，若AE ＝4BE ，求cos⊙DAB 的值； （3）在（2）的条件下，求FHAF的值. 17．如图，O 是ΔABC 的外接圆，AB AC =，BD 是O 的直径，PA BC ，与DB 的延长线交于点P ，连结AD.（1）求证：PA 是O 的切线； （2）若12tan ABC ∠=，4BC =，求BD 与AD 的长. 18．如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 为O 的直径，AC 平分22BAD CD ∠=，E 在BC 的延长线上，连接DE ．（1）求直径BD 的长；（2）若52BE =19．如图，AB 是⊙O 的弦，OP⊙OA 交AB 于点P ，过⊙O 上点B 的直线交OP 的延长线于点C ，且CP=CB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 55BC 的长．20．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，AD 平分⊙BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DF ．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接DE，求证：⊙BDE ⊙BAD（3）若BE＝52，sinB＝35，求AD的长．答案解析部分1．【答案】（1）证明：四边形ABCD是O的内接四边形，180BAD BCD∴∠+∠=︒，180BCE BCD∠+∠=︒，BAD BCE∴∠=∠，1BCE∠=∠，1BAD∴∠=∠，弧AB=弧AB，1BDA∴∠=∠，BAD BDA∴∠=∠，AB BD∴=；（2）证明：连接OB，OC OB=，1OBC∴∠=∠，1BCE∠=∠，OBC BCE∴∠=∠，//OB DC∴，BE DC⊥，OB BE∴⊥，OB是O的半径BE∴是O的切线；（3）解：过点B作BF AC⊥于点F，90CFB∴∠=︒，BE DC⊥，90CEB∴∠=︒，CFB CEB∴∠=∠，在FBC与EBC中，1BCECFB CEBBC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，FBC∴⊙ ()EBC AAS，1FC EC∴==，由（1）可知：AB BD=，又 BAF BDE ∠=∠ ， AFB DEB ∠=∠ ，ABF ∴ ⊙ ()DBE AAS ，AF DE ∴= ，145DE EC CD =+=+= ， 5AF ∴= ，516AC AF FC ∴=+=+= ，弧 AD = 弧 AD ，DBA DCA ∴∠=∠ ，AC 为 O 的直径，90ADC ∴∠=︒ ，2cos 3CD DCA CA ∴∠== ， 2cos cos 3DBA DCA ∴∠=∠=. 【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得⊙BAD+⊙BCD=180°，根据邻补角的性质可得⊙BCE+⊙BCD=180°，则⊙BAD=⊙BCE ，由已知条件知⊙1=⊙BCE ，则⊙BAD=⊙1，根据圆周角定理可得⊙1=⊙BDA ，推出⊙BAD=⊙BDA ，据此证明；（2）连接OB ，根据等腰三角形的性质可得⊙1=⊙OBC ，由已知条件知⊙1=⊙BCE ，则⊙OBC=⊙BCE ，推出OB⊙DC ，结合BE⊙CD 可得OB⊙BE ，据此证明；（3）过点B 作BF⊙AC 于点F ，易证⊙FBC⊙⊙EBC ，得到FC=EC=1，由（1）可知AB=BD ，证明⊙ABF⊙ ⊙DBE ，得到AF=DE ，易得DE=AF=5，则AC=6，根据圆周角定理可得⊙DBA=⊙DCA ，⊙ADC=90°，然后根据三角函数的概念进行计算.2．【答案】（1）证明：如图，连接OC ，135ABC ∠=︒，∴由圆内接四边形对角互补可得=45ADC ∠︒，AC AC =，290AOC ADC ∴∠=∠=︒，又OA OC =，∴AOC 为等腰直角三角形，又OE AC ⊥，45AOE ∴∠=︒， AOE D ∴∠=∠（2）解：由（1）可知AOC 为等腰直角三角形，则45OAC OCA ∠=∠=︒， 又6AC =，64532OA OC sin ∴==⨯︒=，即⊙O 的半径长为32【解析】【分析】（1）连接OC ，根据圆内接四边形的对角互补可得⊙ADC=45°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得⊙AOC=90°，进而根据等腰三角形的三线合一可得⊙AOE=45°，据此就不难得出答案了； （2）根据OA=6×sin45°可求出答案.3．【答案】（1）解：直线BD 与O 相切，理由：如图，连接BE ，∵60ACB ∠=︒， ∴60AEB C ∠=∠=︒，连接OB ， ∵OB OC =，∴OBE 是等边三角形， ∴60BOD ∠=︒， ∵30ADB ∠=︒，∴180603090OBD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴OB BD ⊥， ∵OB 是O 的半径， ∴直线BD 与O 相切； （2）解：如（1）中图，∵AE 是O 的直径， ∴90ABE ∠=︒，∵43AB =∴43360AB sin AEB sin AE ∠=︒===∴8AE =， ∴4OB =，∵OB BD ⊥，30ADB ∠=︒∴330OB tan ADB tan BD ∠=︒==， ∴43BD =， ∴图中阴影部分的面积2160π48π4438323603OBDBOESS ⨯=-=⨯⨯=扇形. 【解析】【分析】（1） 直线BD 与O 相切， 连接BE 、OB ，由同弧所对圆周角相等得⊙AEB=⊙C=60°，推出⊙OBE 是等边三角形，则⊙BOD=60° ，根据三角形的内角和定理得⊙OBD=90°，据此可得结论； （2）根据直径所对的圆周角是直角得⊙ABE=90°，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可算出AE 、BD 的长，最后根据图中阴影部分的面积=S ⊙OBD -S 扇形BOE ，结合三角形的面积计算公式及扇形面积计算公式计算即可.4．【答案】（1）证明：∵AB是O的直径，90ADB∴∠=︒，90DAB DBA∴∠+∠=︒，AD AD=，AED ABD∴∠=∠，PAD AED∠=∠，PAD ABD∴∠=∠，90BAD PAD BAD ABD∴∠+∠=∠+∠=︒，即90PAB∠=︒，PA∴是O的切线（2）解：如图，连接OE EB，，AE平分BAD∠，DAE BAE∴∠=∠，∴DE=BE=2∴OE⊙BDOA OE=，OEA OAE∴∠=∠，DAE AEO∴∠=∠，AD OE∴，AB是O的直径，AD DB∴⊥，AE EB⊥，即⊙ADF=⊙BEF=90°，DE DE=DAE DBE∴∠=∠，2tan tan2EBF DAE∴∠=∠=，22EFEB∴=，21EF EB∴==（3）解：如图，过点B 作BGAD，由（2）可知AD OE，OE BG ∴ ，AO OB BC == ，DE EG GC ∴== ，设O 的半径为 x ，则 1122GB OE x == ，AD BG ，CGB CDA ∴∽ ，CG GBCD AD∴= ， 332AD GB x ∴== ，OE DB ⊥ ， DB GB ∴⊥ ，2DE =，222DG DE ∴==，在 Rt DBG 中， 2222182DB DG GB x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 在 Rt ADB 中， 222AD DB AB += ，即 ()222318222x x x ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得： 2x = （负值舍去）， O ∴ 的半径为2．【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出⊙ADB=90°，即⊙DAB+⊙DBA=90°，根据同弧所对的圆周角相等，结合已知条件得出⊙PAD=⊙ABD ，从而求出⊙PAB=90°，即可得证；(2)连接OE ，EB ，根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质求出DAE AEO ∠=∠，则得AD⊙OE ，根据同弧所对的圆周角相等得出⊙DAE=⊙DBE ，利用垂径定理求出DE=BE=2，进而可得tan⊙EBF 的值，最后根据三角函数定义求EF 长即可；(3)过点B 作BG⊙AD ，根据平行线分线段成比例的性质，得出DE EG GC ==，设 O 的半径为 x ，则GB =12x ，再求出DG 长，证明⊙CGB⊙⊙CDA ，根据成比例的性质求出AD=32x ，在Rt⊙ADB 中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答.5．【答案】（1）证明：连接OC.OA OC = ，CAB ACO ∴∠=∠ . ECB CAB ∠=∠ ，ECB ACO ∠=∠ .AB ∴ 是O 的直径，90ACB ∠=︒ .90ACO OCB ∴∠+∠=︒ .90ECB OCB ∴∠+∠=︒ ，即 OC EC ⊥ .又OC 是 O 的半径，EC ∴ 是O 的切线（2）解：BC 平分 ECD ∠ ，BCD ECB ∴∠=∠ . BCD BAD ∠=∠ ， ECB BAD ∴∠=∠ .又ECB CAB ∠=∠ ，BAD CAB ∴∠=∠ .又AB 是O 的直径，AB DC ∴⊥ .在 Rt FCE 中，BE BC = ，E ECB ∴∠=∠ .30E ECB BCF ∴∠=∠=∠=︒ .在 Rt BCF 中， 630BC BCF =∠=︒， ，3cos 6332CF BC BCF ∴=⋅∠=⨯=. AB CD ⊥ ，AB 是O 的直径，33DF CF ∴==.在 Rt ADF 中， 30DAF BCF ∠=∠=︒ ，33631sin 2DF AD DAF∴===∠【解析】【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得⊙CAB=⊙ACO ，结合已知条件得⊙ECB=⊙ACO ，根据圆周角定理可得⊙ACB=90°，结合⊙ACO+⊙OCB=90°可得⊙ECB+⊙OCB=90°，则OC⊙EC ，据此证明；（2）根据角平分线的概念⊙BCD=⊙BCE ，根据圆周角定理可得⊙BCD=⊙BAD ，则⊙ECB=⊙BAD ，结合已知条件可得⊙BAD=⊙CAB ，根据垂径定理得AB⊙DC ，根据等腰三角形的性质得⊙E=⊙ECB ，则⊙E=⊙ECB=⊙BCF=30°，根据三角函数的概念可得CF ，由垂径定理可得DF=CF ，然后利用三角函数的概念就可求出AD.6．【答案】（1）证明：如图，连接 DF OF ， ，OF OD = ，则 ODF OFD ∠=∠ ，设 ODF OFD ∠=∠ β= ， OFC α∠= ，OF OC = ，OFC OCF α∴∠=∠= ，DC 为 O 的直径，90DFC ∴∠=︒ ，90DFO OFC DFC ∴∠+=∠=︒ ，即 90αβ+=︒ ，AB AC= ， B ACB α∴∠=∠= ，FG AB ⊥ ，9090GFB B αβ∴∠=︒-∠=︒-= ，90DFB DFC ∠=∠=︒ ，9090DFG GFB βα∴∠=︒-∠=︒-= ， 90GFO GFD DFO αβ∴∠=+=+=︒ ，OF 为 O 的半径， FG ∴ 是O 的切线；（2）解：如图，连接 OE ，AB 是O 的切线，则 OE AB ⊥ ，又 OF FG FG AB ⊥⊥， ，∴ 四边形 GEOF 是矩形，OE OF = ，∴ 四边形 GEOF 是正方形，12GF OF DC ∴==， 在 Rt GFB 中， 1BG = ， 3BF = ，2222FG BF GB ∴-=，22DC ∴=，由（1）可得 BFG FDC β∠=∠= ，FG AB DF FC ⊥⊥， ，sin GB FCBF DCβ∴== ， ∴1322=， 解得 23FC =. 【解析】【分析】（1）连接DF 、OF ，由同圆半径相等可得ODF OFD ∠=∠ ，设 ODF OFD ∠=∠ β= ，OFC α∠= ，由等腰三角形的性质可得 OFC OCF α∠=∠= ，B ACB α∠=∠= ，由圆周角定理得90αβ+=︒ ，由垂直的定义直角三角形的性质得90GFB B β∠=︒-∠= ， 由垂直的定义得9090DFG GFB βα∠=︒-∠=︒-= ，即得GFO GFD DFO ∠=∠+∠ =90αβ+=︒，根据切线的判定定理即证；（2）连接OE ， 易证四边形GEOF 是正方形，可得12GF OF DC ==，在Rt⊙GFB 中 ，由勾股定理可得2， 由（1）可得 BFG FDC β∠=∠= ，从而得出sin GB FCBF DCβ== ，据此求出FC 的长. 7．【答案】（1）证明：连接AD ，∵AC为⊙O 的直径，∴⊙ADC=90°，则⊙ADF+⊙FDC=90°， ∵DF⊙AC ，∴⊙AFD=90°，则⊙ADF+⊙DAF=90°，∴⊙FDC=⊙DAF，∵CD DE=，∴⊙DCE=⊙DAC，∴⊙DCE=⊙FDC，∴CG=DG；（2）证明：连接OD，设OD与CE相交于点H，∵CD DE=，∴OD⊙EC，∵DF⊙AC，∴⊙ODF=⊙OCH=⊙ACE，∵35 sin ACE∠=，∴sin⊙ODF=sin⊙OCH=35，即OF OHOD OC==35，∴OF=185，由勾股定理得DF=245，FC=OC-OF=125，∴FB= FC+BC=325，由勾股定理得DB=405=8，∴sin⊙B=2458DFBD==35，∴⊙B=⊙ACE，∴BD⊙CE，∵OD⊙EC，∴OD⊙BD，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线.【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可得⊙ADC=90°，根据垂直的概念可得⊙AFD=90°，由同角的余角相等可得⊙FDC=⊙DAF，根据圆周角定理可得⊙DCE=⊙DAC，则⊙DCE=⊙FDC，据此证明；（2）连接OD，设OD与CE相交于点H，易得⊙ODF=⊙OCH=⊙ACE，根据三角函数的概念可得OF，由勾股定理求出DF，然后根据线段的和差关系求出FC、FB，利用勾股定理求出DB，然后求出sin⊙B的值，得到⊙B=⊙ACE，推出BD⊙CE，结合OD⊙EC可得OD⊙BD，据此证明.8．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵⊙O与BC相切于点D，OD是⊙半径，⊙C=90°，∴⊙ODB＝⊙C＝90°，∴OD⊙AC，∴⊙ODA＝⊙CAD，又∵OD ＝OA ， ∴⊙ODA ＝⊙OAD ， ∴⊙OAD ＝⊙CAD ， ∴AD 平分⊙BAC.（2）解：如图，再连接DE ，过点D 作DH⊙AB 于点H ，∵AE 是⊙O 的直径， ∴⊙ADE ＝90°，由（1）得：⊙OAD ＝⊙CAD ， ∴tan⊙CAD ＝tan⊙DAE ＝ED AD =12， 设ED=a ，则AD=2a ，∴AE=222a a +（）=5a ，OD=OA=52a ， ∴DH·AE=ED×AD ，即5a·DH=2a 2， ∴DH=255a ， ∴OH=22OD DH -=2252525a a -（）（）=3510a ， 又∵tan⊙DOH=tan⊙DOB ，BD=3，∴DH BD OH OD =，即25353510aOD a =， ∴OD=94， 即⊙O 的半径为94. 【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，由切线性质及⊙C=90°可得OD⊙AC ，从而得⊙ODA ＝⊙CAD ，又OD ＝OA ，可得⊙ODA ＝⊙OAD ，即⊙OAD ＝⊙CAD ，进而证得AD 平分⊙BAC ；（2）如图，连接DE ，过点D 作DH⊙AB 于点H ，由圆周角定理得⊙ADE ＝90°，由（1）得：⊙OAD ＝⊙CAD ，推出tan⊙CAD ＝tan⊙DAE ＝ED AD =12，设ED=a ，则AD=2a ，由勾股定理求得5，从而得OD=OA=5a ，由三角形等面积法得DH·AE=ED×AD 52，求得25a ，再由勾股定理求出35a ，再结合tan⊙DOH=tan⊙DOB ，可列DH BD OH OD =253535OD a =，解得OD 即可求得⊙O 的半径为.9．【答案】（1）证明：连接OD ，如图，∵OD=OB=OE ，∴⊙OBD=⊙ODB ，⊙ODE=⊙OED ， ∵BE 是直径，∴⊙BDE=90°=⊙DBE+⊙DEB=⊙ODB+⊙ODE ， ∴⊙DBE+⊙ODE=90°， ∵⊙ADE=⊙DBE ，∴⊙ADE+⊙ODE=90°，∴OD⊙AC，∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：根据（1）的结论，有OD⊙AC，∵⊙C=90°，∴BC⊙AC，∴OD BC，∴BC AB OD OA=，∵在Rt ADO中，sinA=35 ODOA=，又∵OD=OB=3，∴OA=5，∴AB=OA+OB=8，∵BC AB OD OA=，∴824355ABBC ODOA=⨯=⨯=．即BC为245．【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得出⊙OBD=⊙ODB，⊙ODE=⊙OED，得出⊙ADE=⊙DBE，根据圆周角定理得出⊙ADE+⊙ODE=90°，得出OD⊙AC，即可得出结论；（2）根据（1）的结论，有OD⊙AC，解直角三角形即可。
2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数一、单选题（本大题共10小题）1. （天津市2022年）tan 45︒的值等于（ ）A ．2B ．1C D 2. （陕西省2022年（A 卷））如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．3. （吉林省长春市2022年）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（ ）A ．sin ABBCα=B ．sin BCABα=C ．sin ABACα=D ．sin ACABα=4. （湖北省荆州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，:1:2OC BC =，连接AC ，过点O 作OP AB ∥交AC 的延长线于P ．若()1,1P ，则tan OAP ∠的值是（ ）A B ．C ．13D ．35. （四川省广元市2022年）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos ∠APC 的值为（ ）A B ．C ．25D 6. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O =60°，则tan ∠ABC =（ ）A ．13B ．12C D 7. （贵州省黔东南州2022年）如图，PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ，连接PO 并延长与O 交于点C 、D ，若12CD =，8PA =，则sin ADB ∠的值为（ ）A ．45 B ．35C ．34D ．438. （云南省2022年）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是OO 的弦，AB ⟂CD ．垂足为E ．若AB =26，CD =24，则∠OCE 的余弦值为（ ）A ．713B ．1213C ．712D ．13129. （湖南省湘潭市2022年）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A ．2B ．32C ．12D 10. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（本大题共12小题） 11. （广东省2022年）sin30°的值为 ．12. （山东省滨州市2022年）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =12，则sin A = . 13. （江苏省扬州市2022年）在ABC ∆中，90C ∠=︒，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为 ．14. （湖南省益阳市2022年）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则cos B ＝_____．15. （江苏省常州市2022年）如图，在四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，DB 平分ADC ∠．若1AD =，3CD =，则sin ABD ∠= ．16. （四川省凉山州2022年）如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点O 反射后照射到B 点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC ⊥CD 于点C ，BD ⊥CD 于点D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝12，则tanα的值为 ．17. （黑龙江省绥化市2022年）定义一种运算；sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．例如：当45α=︒，30β=︒时，()sin 4530︒+︒=12=，则sin15︒的值为 ． 18. （江苏省连云港市2022年）如图，在66⨯正方形网格中，ABC 的顶点A 、B 、C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A = ．19. （山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学2021-2022学年）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AG EG AE ，将ABG 和ECG 分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠= ．20. （广西河池市2022年）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝ ．21. （四川省凉山州2022年）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在格点上，则cos ∠ACB 的值是 ．22. （湖南省湘西州2022年中考数学试卷）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A b 2＝a 2＋c 2﹣2ac cos B c 2＝a 2＋b 2﹣2ab cos C现已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠A ＝60°，则BC ＝_____． 三、解答题（本大题共9小题）23. （湖南省湘西州20222tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．24. （2022年西藏中考数学真题试卷）计算：01|()tan 452+︒．25. （湖南省岳阳市2022年）计算：2022032tan 45(1))π--︒+--．26. （湖南省株洲市2022年）计算：()202212sin 30-︒．27. （2022年四川省乐山市中考数学真题）1sin 302-︒28. （湖南省常德市2022年中考数学试题）计算：213sin 30452-︒︒⎛⎫- ⎪⎝⎭29. （浙江省湖州市2022年）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3．求AC 的长和sin A 的值．30. （黑龙江省哈尔滨市2022年）先化简，再求代数式21321211x x x x x -⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭的值，其中2cos451x =︒+．31. （黑龙江省哈尔滨市2021年）先化简，再求代数式2323111a a a a a +⎛⎫-÷⎪---⎝⎭的值，其中2sin 451a =︒-．参考答案1. 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C =90°，∠A =45°，如图：∴∠B =90°-45°=45°，∴△ABC 是等腰三角形，AC =BC ， ∴根据正切定义，tan 1BCA AC∠==， ∵∠A =45°， ∴tan 451︒=， 故选 B ． 2. 【答案】D 【分析】先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ． 【详解】解：∵26BD CD ==， ∴3CD =，∵直角ADC 中，tan 2C ∠=， ∴tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，∴直角ABD △中，由勾股定理可得，AB === 故选D ． 3. 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC ⊥AC ，∴△ABC 是直角三角形， ∵∠ABC =α， ∴sin ACABα=， 故选：D ． 4. 【答案】C 【分析】由()1,1P 可知，OP 与x 轴的夹角为45°，又因为OP AB ∥，则OAB 为等腰直角形，设OC =x ，OB =2x ，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P 点坐标为（1，1），则OP 与x 轴正方向的夹角为45°， 又∵OP AB ∥，则∠BAO =45°，OAB 为等腰直角形， ∴OA =OB ，设OC =x ，则OB =2OC =2x ， 则OB =OA =3x ， ∴tan 133OC x OAP OA x ∠===． 5. 【答案】B 【分析】把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，则DE ∥AB ，由勾股定理逆定理可以证明△DCE 为直角三角形，所以cos ∠APC ＝cos ∠EDC 即可得答案． 【详解】解：把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，如图．则DE ∥AB ， ∴∠APC ＝∠EDC ．在△DCE 中，有EC DC 5DE ==， ∴22252025EC DC DE +=+==， ∴DCE ∆是直角三角形，且90DCE ∠=︒，∴cos ∠APC ＝cos ∠EDC＝DC DE =故选：B ． 6. 【答案】C 【分析】证明四边形ADBC 为菱形，求得∠ABC =30°，利用特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：连接AD ，如图：∵网格是有一个角60°为菱形，∴△AOD 、△BCE 、△BCD 、△ACD 都是等边三角形， ∴AD = BD = BC = AC ，∴四边形ADBC 为菱形，且∠DBC =60°， ∴∠ABD =∠ABC =30°， ∴tan ∠ABC = tan30°= 故选：C ． 7. 【答案】A 【分析】连结OA ，根据切线长的性质得出PA =PB ，OP 平分∠APB ，OP ⊥AP ，再证△APD ≌△BPD （SAS ），然后证明∠AOP =∠ADP +∠OAD =∠ADP +∠BDP =∠ADB ， 利用勾股定理求出OP=10=，最后利用三角函数定义计算即可． 【详解】 解：连结OA∵PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ， ∴PA =PB ，OP 平分∠APB ，OP ⊥AP ， ∴∠APD =∠BPD ， 在△APD 和△BPD 中， AP BPAPD BPD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP10=，∴sin∠ADB=84105 APOP==．故选A．8. 【答案】B 【分析】先根据垂径定理求出12CE CD=，再根据余弦的定义进行解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．∴112,902CE CD OEC==∠=︒，OC=12AB=13，∴12 cos13CEOCEOC∠==．故选：B．9. 【答案】A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tanα的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2， 故选：A ．10. 【答案】B【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明()DOF COE ASA ≌得到EC =FD ，再证明()EAC FBD SAS ≌得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即AE BF ⊥；②通过等弦对等角可证明45OPA OBA ∠=∠=︒；③通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP ∠==，利用合比性质变形得到CE BP AP BP BE ⋅-=，再通过证明AOP AEC ∽得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确； ③∵tan BE BP BAE AB AP ∠== ∴AB AP BE BP = ∴AB BE AP BP BE BP --= ∴AP BP CE BP BE-= ∴CE BP AP BP BE ⋅-=∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒∴AOP AEC ∽ ∴OP AO CE AE= ∴OP AE CE AO⋅= ∴OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅ ∵1122ABE AE BP AB BE S⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO⋅⋅-==⋅ 所以③正确；④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ， ∴EG CE CG OB BC OC==设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC ， 若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ∴233BE CE CE ++= ∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅== ∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠===- 所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌，S 四边形OECF =S △COE +S △COF∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD∵S △COD =14ABCD S 正方形∴S 四边形OECF =14ABCD S 正方形所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选 B11. 【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 故答案为：1212. 【答案】1213 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C =90°，AC =5，BC =12，∴AB=13，∴sin A =1213BC AB =．故答案为：1213．13. 【详解】 解：如图所示：在Rt ABC 中，由勾股定理可知：222+=a b c ，2ac b =，22a ac c ∴+=，0a >， 0b >，0c >，2222a ac c c c +∴=，即：21a a c c⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出a c =或a c =∴在Rt ABC 中：in s a c A ==，故答案为： 14. 【答案】45 【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵sin A ＝BC AB ＝45， ∴cos B ＝BC AB ＝45． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A +∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．15. 【分析】 过点D 作BC 的垂线交于E ，证明出四边形ABED 为矩形，BCD △为等腰三角形，由勾股定理算出DE BD =【详解】解：过点D 作BC 的垂线交于E ，90DEB ∴∠=︒90A ABC ∠=∠=︒，∴四边形ABED 为矩形，//,1DE AB AD BE ∴==，ABD BDE ∴∠=∠， BD 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，//AD BE ，ADB CBD ∴∠=∠，∴∠CDB =∠CBD3CD CB ∴==，1AD BE ==，2CE =∴，DE ∴BD ∴sinBE BDE BD ∴∠==，sin ABD ∴∠=故答案为：16. 【答案】43【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得,A B αβ∠=∠=，从而可得A B ∠=∠，再根据相似三角形的判定证出AOC BOD △△，根据相似三角形的性质可得OC 的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：OP CD ⊥，AC CD ⊥，AC OP ∴，A α∴∠=，同理可得：B β∠=，αβ=，A B ∴∠=∠，在AOC △和BOD 中，90A B ACO BDO ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， AOCBOD ∴， OC AC OD BD∴=， 3,6,12,AC BD CD OD CD OC ====-，1236OC OC ∴-=， 解得4OC =，经检验，4OC =是所列分式方程的解， 则4tan tan 3OC A AC α===， 故答案为：43．17. 【分析】根据sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-代入进行计算即可．【详解】解：sin15sin(4530)︒=︒-︒=sin 45cos30cos45sin30︒︒︒︒-=12==故答案为： 18. 【答案】45 【分析】如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，先求出CE ，AE 的长，从而利用勾股定理求出AC 的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，由题意得43CE AE ==，，∴5AC =， ∴4sin =5CE A AC =， 故答案为：45．19. 【答案】725【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE 5=，BC=AD=8，证得Rt △EGF ~Rt △EAG ，求得253EA =，再利用勾股定理得到DE 的长，即可求解． 【详解】矩形ABCD 中，GC=4，CE =3，∠C=90︒，∴5==，根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90︒，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180︒，∴∠AGE=90︒，∴Rt△EGF~Rt△EAG，∴EG EFEA EG=，即535EA=，∴253 EA=，∴73 =，∴773sin DAE25253DEAE∠===，故答案为：725．20. 【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH，得出∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB=90°，再判断出△AOB~△ABG，求出OA OB=△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．【详解】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴11,22AF AD BE BC==，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，∴12AF BE AD==，∴四边形ABEF是矩形，由题意知，AD=2AB，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG ≌△BEH （SAS ），∴∠BAG =∠EBH ，∴∠BAG +∠ABO =∠EBH +∠ABO =∠ABG =90°， ∴∠AOB =90°，∵BG ＝EH ＝25BE ＝2， ∴BE =5，∴AF =5，∴AG =∵∠OAB =∠BAG ，∠AOB =∠ABG ， ∴△AOB ∽△ABG ， ∴OA OB AB AB BG AG ==，即52OA OB ==∴OA OB ==， ∵OM ⊥ON ，∴∠MON =90°=∠AOB ，∴∠BOM =∠AON ，∵∠BAG +∠FAG =90°，∠ABO +∠EBH =90°，∠BAG =∠EBH ， ∴∠OBM =∠OAN ，∴△OBM ～△OAN ， ∴OB BM OA AN=， ∵点N 是AF 的中点， ∴1522AN AF ==，∴52BM =，解得：BM =1， ∴AM =AB -BM =4， ∴552tan 48AN AMN AM ∠===． 故答案为：5821. 【分析】 取AB 中点D ，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，由垂径定理得OD ⊥AB ，则OB ==cos ∠DOB =13OD OB ==，再证∠ACB =∠DOB ，即可解．【详解】解：取AB 中点D ，如图，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，∴OD ⊥AB ，∴∠ODB =90°，∴OB ==cos ∠DOB =13OD OB ==， ∵OA =OB ，∴∠BOD =12∠AOB ，∵∠ACB =12∠AOB ，∴∠ACB =∠DOB ，∴cos ∠ACB = cos ∠DOB =故答案为：22. 【分析】从阅读可得：BC 2＝AB 2＋AC 2﹣2AB AC cos A ，将数值代入求得结果．【详解】解：由题意可得，BC 2＝AB 2＋AC 2﹣2AB •AC •cos A＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC故答案为：【点睛】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．23. 【答案】6【分析】先计算算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，再合并即可．【详解】解：原式＝4﹣2×1+3+1＝4﹣2+3+1＝6【点睛】此题考查的是算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．24. 【答案】2【分析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可．【详解】解：01|()tan 452+︒11-2=【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键． 25. 【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．【详解】解：2022032tan 45(1))π--︒+--32111=-⨯+-3211=-+-1=．26. 【答案】3【分析】分别计算负数的偶次幂、二次根式、特殊角的正弦值，再进行加减即可．【详解】解：()2022112sin 3013213132-︒=+-⨯=+-=． 27. 【答案】3【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．【详解】 解：原式113322=+-=． 28. 【答案】1【分析】根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可求解．【详解】解：原式＝1142-⨯+1=．29. 【答案】AC =4，sin A =35 【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：∵∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，∴4AC ．3sin 5BC A AB ==．30. 【答案】11x -，2【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求出x ，继而代入计算可得．【详解】 解：原式22131(1)(1)2x x x x x ⎡⎤---=-⋅⎢⎥--⎣⎦ 2(1)(3)1(1)2x x x x ----=⋅- 221(1)2x x -=⋅-11x =-∵2112x =⨯+=∴原式==31. 【答案】11a +，【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法进行约分化简，最后代入求值，即可求解．【详解】解：原式=223(1)23111a a a a a a ++-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=33231(1)(1)a a a a a a +---⋅+- =1(1)(1)a a a a a -⋅+- =11a +，当2sin 451a =︒-=21=1时，原时。
(完整版)锐角三角函数与圆综合训练题(含答案)
数学锐角三角函数与圆综合训练题1、如图，D 为。
O 上一点，点 C 在直径BA 的延长线上， /CDA=/CBD. (1)求证：CD 2=CA?CB; (2)求证：CD 是。
O 的切线； (3)过点B 作。
O 的切线交 CD 的延长线于点 E,若BC=12 , tan/CDA=W,求BE 的长. 3 解答： (1)证明：/ CDA= / CBD , /C=/C, AADC ^ADBC ,—=—,即 CD 2=CA ?CB ；DC BC(2)证明：如图，连接 OD.. AB 是。
的直径，Z ADB=90 °, Z1 + Z3=90°. • •• OA=OD ,，/2=/3, . . / 1 + /2=90°.又/CDA=/CBD,即 /4=/1, Z4+ Z 2=90 °,即 / CDO=90 °,• •• ODXOA.又・••OA 是。
的半径，，CD 是。
的切线； (3)解：如图，连接 OE.• •• EB 、CD 均为 OO 的切线，ED=EB , OE± DB / ABD+ / DBE=90 Z OEB+ Z DBE=90 °, . . / ABD= / OEB, • . / CDA= / OEB .而 tan/CDA=W,「tan/OEB =J25J,3 BE 3• •• RtACDO^RtACBE, ...旦旦!* j:8=8, CB BE BE 3在 RtACBE 中，设 BE=x ,「.(x+8) 2=x 2+122解得 x=5.即 BE 的长为2、如图，AD 是^ABC 的角平分线，以点 C 为圆心，CD 为半径作圆交 BC 的延长线于点E,交AD 于点F,交 AE 于点 M ,且 / B= / CAE , EF : FD=4 : 3. (1)求证：点F 是AD 的中点； (2)求 cos/ AED 的值；(3)如果BD=10 ,求半径 CD 的长.解 (1)证明：.「AD 是△ ABC 的角平分线，，/1 = /2,答： ・• / ADE= / 1 + /B, /DAE=/2+ /3,且/B= / 3, . . / ADE= / DAE . . ED=EA ,.「ED 为。
锐角三角函数与圆的综合应用(含答案)
锐角三角函数与圆的综合题1.如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O e 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F在AC 的延长线上，且12CBF CAB ∠=∠.⑴ 求证：直线BF 是O e 的切线；⑵ 若5AB =，sin CBF ∠BC 和BF 的长.2．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， △BEF 的面积为8，且cos ∠BF A ＝32，求△ACF 的面积．3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED =45︒． (1) 试判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2) 若⊙O 的半径为3，sin ∠ADE =65，求AE 的值．FE OA B C D4. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC边相切于点D ，联结AD.（1）求证：AD 是∠BAC 的平分线； （2）若AC = 3，tan B =34，求⊙O 的半径.5．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE =∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若33sin =∠ABE ，2=CD ，求⊙O 的半径．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）如果⊙O 的直径为9，cos B ＝13 ，求DE 的长OF EDC B A7：如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.8：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是»BC的中点，DP AC ,垂足为点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线.（2）若AC =6, cosA=35，求PD 的长.9.如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC的延长线于点E .连接BC ．（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）如果CD =6，tan ∠BCD=21，求⊙O 的直径的长．BABA10.如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =.（1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.11.如图，点P 在半O e 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O e 于点C ，连结BC .（1）求P ∠的正弦值；（2）若半O e 的半径为2，求BC 的长度.12.如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O e 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ，连结AD 、BE ，若1sin 2A =，∠BED=30°．（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由；（3）若O e 的半径2R =，试求CE 的长．B CD EO F C例 1：（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°.∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.∵ AE =2AO =6, AB =4,∴ 5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ ……………4分 ∴.AEBE AD AB =.6524=AD 即∴ 5512=AD . ……………………5分 例2：（1）证明：如图：连接 OD ，AD .∵D 为弧BC 的中点，∴弧CD = 弧BD.∴1122PAB ∠=∠=∠. ∵122BOD ∠=∠，∴PAB BOD ∠=∠.∴P A ∥DO . ………………………………1分 ∵D P ⊥AP ，∴∠P =90°.∴∠ODP =∠P =90°. 即 OD ⊥PD .∵点D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 的切线. ………………………………2分 （2）连结CB 交OD 于点E .∵AB 为⊙O 直径 ，∴∠ACB =∠ECP =90°. ∵∠ODP =∠P =90°，∴四边形PCED 为矩形.∴PD = CE ，∠CED = 90°.…………………………………………………3分 ∴O D ⊥CB.∴EB = CE. ……………………………4分 在R t △ABC 中，∠ACB = 90°，∴cos A = ABAC. ∵AC = 6 , cos A =53，∴AB = 10 . ∴BC = 8 .∴CE =PD =21BC = 4. ……………5分 例3.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，M 是CD 的中点，∴CD ⊥AB . ……………………………………… 1分∴∠AMC ＝90°.∵BE ∥CD ，∴∠AMC ＝∠ABE .∴∠ABE ＝90°，即AB ⊥BE .又∵B 是⊙O 上的点，∴BE 是⊙O 的切线. ………………………………………… 2分（2）∵M 是CD 的中点，CD =6，∴CM =12CD =3. 在Rt △BCM 中，∵tan ∠BCD =BM CM =12,∴3BM =12,∴BM=32. …………… 3分又∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°. ∵CM ⊥AB 于M ，∴Rt △AMC ∽Rt △CMB .∴AM CMCM BM=,∴2CM AM BM =⋅. ∴2332AM =⋅.∴AM =6. …………………………… 4分12PACOBDE∴AB =AM +BM =6+32=152. …………………… 5分，即：⊙O 的直径的长为152. 4.（1）连结OC ∵OA =OC ，∠A =30°∴∠A =∠ACO =30°∴∠COD =60° 又∵AC =CD ，∴∠A =∠D =30°.∴∠OCD =180°－60°－30°=90° ∴CD 是半⊙O 的切线（2）连结BC ∵AB 是直径，∴∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∵cos A =ABACAC=ABcosA=4×3223=∴AC=32 5：（1）证明：如图，连接OC ．∵PC 切半O e 于点C ，90PCO ∴∠=︒．…………………1分∵2AB PA =，PA OA OB OC ∴===． 在Rt PCO △中，1sin 2OC P OP ∠==． ······························································分 （2）过点O 作OD BC ⊥于点D ，则2BC BD =． ············································· 3分1sin 2P ∠=Q ，30P ∴∠=︒，60POC ∴∠=︒．∵OC OB =，30B OCB ∴∠=∠=︒．在Rt OBD △中，2OB =，cos303BD OB ∴=︒=g ．----------------4分，23BC ∴=．6.（1）连接OD ．--------------------------------1分∵30BED ∠=o ，60AOD ∴∠=o ， ∵1sin 2A =∴∠A=30o ∴∠A+∠AOD=90o ∴∠ADO=90o ∴ AD 是⊙O 的切线．---------------------------2分 （2）DCE △是等边三角形．理由如下：BC Q 为O e 的直径且AC DE ⊥．»»CECD ∴=．CE CD ∴=．--------------------3分 BC Q 是O e 的直径，90BEC ∴∠=o ，30BED ∠=o Q ，60DEC ∴∠=o ，DCE ∴△是等边三角形．-----------------------4分（3）Q O e 的半径2R =． ∴直径4BC = ∵△DCE 是等边三角形，∴∠EDC=60o ∴∠EBC=60o 在Rt BEC △中，sin CEEBC BC∠=， sin 60CE BC ∴=o 34=⨯23=---------------------------------------------------5分 DC。
锐角三角函数与圆综合训练题(含答案)
数学锐角三角函数与圆综合训练题1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．〔1〕求证：CD2=CA•CB；〔2〕求证：CD是⊙O的切线；〔3〕过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．解答：〔1〕证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△ADC∽△DBC，∴=，即CD2=CA•CB；〔2〕证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°．∵OA=OD，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；〔3〕解：如图，连接OE．∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB∴∠ABD+∠DBE=90∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴===，∴CD=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴〔x+8〕2=x2+122解得x=5．即BE的长为5．2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．〔1〕求证：点F是AD的中点；〔2〕求cos∠AED的值；〔3〕如果BD=10，求半径CD的长．解答：〔1〕证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2，∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，∴∠ADE=∠DAE∴ED=EA，∵ED为⊙O直径，∴∠DFE=90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；〔2〕解：连接DM，设EF=4k，df=3k，则ED==5k，∵AD•EF=AE•DM，∴DM===k，∴ME==k，∴cos∠AED==；〔3〕解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE=CE：AE，∴AE2=CE•BE，∴〔5k〕2=k•〔10+5k〕，∵k＞0，∴k=2，∴CD=k=5．4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．〔1〕求证：AD=CD；〔2〕若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．解答：〔1〕证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；〔2〕解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD=OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．5、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO的延长线于点E.〔1〕求证：∠EPD=∠EDO.〔2〕若PC=6，tan ∠PDA=43，求OE 的长.6、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ． 〔1〕猜想直线MN 与⊙0的位置关系，并说明理由； 〔2〕若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．7、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．〔1〕求证：BE 与O ⊙相切；〔2〕连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2sin 3ABC ∠=，求BF 的长． 1〕证明：连结OC ∵OD ⊥BC 所以∠EOC =∠EOB ∴△EOC ≌△EOB ∴∠OBE =∠OCE =90°∴BE 与⊙O 相切 〔2〕解：过点D 作DH ⊥AB∵△ODH ∽△OBD ∴OD ：OB =OH ：OD =DH ：BD又∵sin ∠ABC =23∴OD =6∴OH =4，OH =5，DH =25又∵△ADH ∽△AFB ∴AH ：AB =DH ：PB ∴FB =365138、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ． 〔1〕求证：CD ∥ BF ； 〔2〕若⊙O 的半径为5， cos ∠BCD=54，求线段AD 的长． 〔1〕证明：∵BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径 ∴BF ⊥AB∵CD ⊥AB ∴CD ∥BF〔2〕解：∵AB 是圆O 的直径∴∠ADB=90º∵圆O 的半径5∴AB=10∵∠BAD=∠BCD ∴cos ∠BAD= cos ∠BCD=45=AD AB∴1054cos ⨯=⋅∠=AB BAD AD =8 ∴AD=8 9、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． 〔1〕求证：直线PA 为⊙O 的切线；〔2〕试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； 〔3〕若BC ＝6，tan ∠F ＝12，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． 解：〔1〕证明：如下图，连接OB ，∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°． ∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于D ，∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ．又∵PO ＝PO ，∴△PAO ≌△PBO ．∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°．∴直线PA 为⊙O 的切线． 〔2〕EF 2＝4OD·OP ．证明：∵∠PAO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OPA ＋∠AOP ＝90°． ∴∠OAD ＝∠OPA ．∴△OAD ∽△OPA ．∴OD OA＝OA OP ，即OA 2＝OD·OP ． 又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD·OP ．〔3〕∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3． DCO BAHACBD E F OP设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝2x －3． 在Rt △AOD 中，由勾股定理 ，得(2x －3)2＝x 2＋32．解之得，x 1＝4，x 2＝0〔不合题意，舍去〕．AD ＝4，OA ＝2x －3＝5． ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°．而AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴cos ∠ACB ＝610＝35． ∵OA 2＝OD·OP ，∴3(PE ＋5)＝25．∴PE ＝103． 10、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ．〔1〕求证：KE=GE ；〔2〕若2KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； 〔3〕在〔2〕的条件下，若sinE=35，AK=23，求FG 的长． 〔1〕如下图，连接OG ，∵EG 是⊙O 的切线∴OG ⊥GE ∴∠OGK+∠EGK ＝90°∵CD ⊥AB ∴∠OAG+∠AKH ＝90°∵OG=OA ∴∠OGK=∠OAG ∴∠EGK=∠AKH=∠EKG ∴KE=GE ；〔2〕AC ∥EF 理由如下： ∵2KG =KD ·GE ，GE=KE ∴KG KEKD KG=∴△KGD ∽△KGE ∴∠KGD ＝∠E ∠KGD ＝∠C ∴∠E ＝∠C ∴AC ∥EF 〔3〕∵在〔2〕的条件下，∴AC ∥EF ∴∠CAF ＝∠F ，∠E ＝∠C ∵sinE=35∴sinC=35,sinF=45,tanE=tanC=34连接BG ，过G 作GN ⊥AB 于N ，交⊙O 于Q 则弧BQ=弧BG ∴∠BGN ＝∠BAG 设AH=3k ，则CH=4k于是BH=221616==33CH k k AH k ，OG=+25=26BH AH k∵EG 是切线，CD ⊥AB ∴∠OGF ＝90° ∴∠FOG+∠F=∠E+∠F ∴∠FOG=∠E∴NG=OGsin ∠FOG=25365k ⋅=52k∴BN=OB-ON=OG-OGcos ∠FOG=25451-=656k k⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴BG=22510+=6k NG BN11、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数一、综合题1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交∠O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.（1）求证：AD为∠O切线；（2）若sin∠BAC＝35，求tan∠AFO的值.2．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= 3 4．（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．3．如图，在∠ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与∠ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．4．如图，以∠ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是BE⌢的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若∠O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且∠DAM和∠BCE相似，求点M坐标．6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC∠OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD∠OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，∠AMC和∠BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断∠AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S∠AMC=S∠BOC时，求AC的长．7．如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A 重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；，其他条件不（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√22变，求线段AM的长．8．（1）【基础巩固】如图1，在∠ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∠BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG∠DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在∠ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∠BD交AD于点G，EF∠EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．9．在锐角∠ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将∠ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到∠DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若∠ABD的面积为4，求∠CBE的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在∠ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2的值是否会变化？若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当∠DCG为等腰三角形时，求BE长.11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C ＝．（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．12．如图，已知BC为∠O的直径，点D为CE⌢的中点，过点D作DG∠CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．（1）求证：AD是∠O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．13．已知：如图，AB为∠O的直径，C是BA延长线上一点，CP切∠O于P，弦PD∠AB于E，过点B作BQ∠CP于Q，交∠O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3√3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。
专题01 锐角的三角函数重难点题型专训(7大题型)(原卷版)
【题型目录】题型一题型二【经典例题一1．（22·235．（2021秋·河北石家庄5AB=，3AC=．(1)求AD的长；(2)求sin DABÐ的值．【经典例题二求角的正弦值1．（22·23下·沈阳·开学考试）如图，6BD=，则sin ACDÐ的值是（A．34B．32．（22·23上·青岛·期末）如图，值为（ ）A．5B．3．（21·22下·哈尔滨·阶段练习）在5．（2023·浙江温州<），连接（AE EC(1)求证：四边形DEBF为菱形．(2)记菱形ABCD的面积为1S，菱形长．【经典例题三1．（22·23D，若A．22．（22·23下·深圳·阶段练习）如图，的距离是（ ）A．556B．6553．（22·23下·绵阳·阶段练习）如图，在上，1BAE ABCÐ=Ð，点F4．（22·23下·合肥·三模）在Rt上，将BDE△沿直线DE翻折，使得点(1)求证：CE是Oe的切线；(2)若2sin,53E AC==，求DF 【经典例题四求角的余弦值A．11 152．（2022春·福建福州格点．已知菱形的一个角为A．13B．123．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在AC于点D、E，且13AB AC==，4．（2023·黑龙江齐齐哈尔的两边长分别是2和3，则5．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）沿着过点B的某条直线折叠，使点(1)求点A、B、C、D的坐标；(2)求ABCÐ的余弦值．【经典例题五已知余弦值求边长】1．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，在直角梯形3 BD=，2cos3CDBÐ=，则下底AB的长是（A．212B．92．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，A．94B．1253．（2023·山东聊城·统考三模）在Rt ABC△5．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）于点E ．(1)求证；BEA ADC V V ∽(2)求证：··CD AD AC BE =(3)若2AD =5，cos ABE Ð【经典例题六1．（2023点F 在边A ．272．（2023秋·重庆沙坪坝90BAC EAD Ð=Ð=°的值为（ ）A ．13B 3．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，连接BD ，将BCD △沿BD4．（2022春·湖北武汉AB AC =，CD AB ^的值是．5．（2022春·黑龙江绥化等腰Rt CEF △的直角顶点与正方形线FE 与AD 交于点P ，与(1)求证：CDE CBF △△≌；(2)求CF 的长；【经典例题七1．（2022落在边A ．53B ．22．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，平行四边形4tan 3BAD Ð=，点O 为对角线A ．4033B ．33403．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在1tan 3ABG Ð=，那么BC 的长等于4．（2022秋·黑龙江哈尔滨5OP =，点M ，(1)求证：四边形BCEF^于点G，连结(2)BG CE①求CG的长．②求平行四边形BCEF【重难点训练】1．（21·22A．42．（23·24上·长春上，且90Ð=°AEFA．273．（22·23下·江门·期中）在A．247B．4．（22·23下·株洲·自主招生）的值为（）A．3 35．（21·22下·深圳·模拟预测）如图，已知平行四边形A．12B．136．（23·24上·黄浦·期中）如图已知在7．（21·22·武汉·模拟预测）如图，E为AB边上一动点，DEFV为等边三角形，则线段8．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在1tan 2A =，8BC =，CF AB ∥9．（21·22·武汉·模拟预测）如图，在矩形GBE V ，BG 的延长线交则cos DEC Ð的值为10．（23·24上·专题练习）如图，在四边形点M 、N 分别在AB11．（21·22·哈尔滨·模拟预测）如图，在小正方形的边长均为方形的顶点上．(1)在图1中画一个以线段AB 为一边的平行四边形ABCD 的面积为8；(2)在图2中画一个钝角三角形ABE ，点E 在小正方形顶点上，直接写出AE 的长．13．（21·22下·宜昌·模拟预测）如图，已知平行四边形(1)如图当点E 在边AD 上时．①求证AEF BGF V V ∽．②当4DCE BFG S S =V V 时，求:AE ED 的值．(2)当点E 在边AD 的延长线上时，是否存在这样的点E 使AEF △与五、作图题14．（23·24上·哈尔滨·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，ABC V 的三个顶点均在格点上，坐标分别为()2,4A ，()1,2B ，()5,3C ． 请解答下列问题：(1)画出ABC V 关于y 轴的对称图形111A B C △．(2)将ABC V 绕点O 顺时针旋转90°得到222A B C △，画出222A B C △．(3)连接1B B 、12B C ，写出12BB C Ð的正切值．六、证明题15．（23·24上·齐齐哈尔·期中）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF V 绕点D 旋转()DE AB <，90,EDF DE DF Ð=°=，连接AE ，CF ；直线AE 与CF 相交于点G 、交CD 于点P ．(1)如图1，猜想AE 与CF 的关系，并证明：(2)如图2，BM AG ^于点M ，^BN CF 于点N ，则四边形BMGN 是________形；(3)如图3，连接BG ，若4,2AB DE ==，直接写出在DEF V 旋转的过程中，①当点E 在正方形ABCD 的内部，且EF CD ^时BG =_________；②线段BG 长度的最小值__________；。
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专题训练：锐角三角函数与圆
一．基础题
1.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,连接CD,若⊙O 的半径r =32,AC =2,则cosB 的值是___________
2.如图,已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1,D ,E 分别为AB ,AC 的中点,则sin ∠BAC 的值等于线段_________
3.如图,四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ,已知：BC =10,cos ∠BCD =3
5,∠BCE =30∘，则线段DE 的长是___.
4.如图, ⊙O 与矩形ABCD 的边CD 切于E ,交BC 于F ,M 为弧BF ˆ上一点,若CE =√7,AD =7,则tan ∠M 的值为_______
5.如图,已知⊙O 的半径为√10,AB =6,△ABC 内接于⊙O ,BD ⊥AC 于D ,则sin ∠CBD 的值等于________
6. 如图. ⊙O中，AB是直径，AD是弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，若AD=CD，则tan∠OCA值是________
7.如图,AB为⊙O的直径,点C为弧AB的中点,弦CD交AO于点E,DE=4,CE=5,则tan∠B 的值为___
8. 如图,直角梯形ABME中,∠M=90゜,BM∥AE,以AB为直径的⊙O与EM切于点C,连BE,若AE=6,AB=10,则tan∠BEM的值为______
二．中档题
9.如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D,E.且弧DE=弧BE
(1)求证：AB=AC；
(2)若AB=10，BC=12，求cos∠ABD的值。
10.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O为△ABC外接圆，BD为⊙O直径，DB交AC于E. 连接AO
(1)求证：AO⊥BC；
(2)若BE:DE=7:3,求AE:CE的值。
11.已知AB是⊙O的直径，AT与⊙O相切于点A，⊙O交BT于C，CT=CB.
(1)如图1，求证：AB=AT；
(2)如图2，OT交O于E，求tan∠TBE的值。
12. 如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.
(1)求证：∠DAC=∠DCE；
，求AE的长。
(2)若AB=2,sin∠D=1
3
13.如图,已知CD是⊙O的直径,AC⊥CD,垂足为C,弦DE∥OA,直线AE、CD相交于点B.
(1)求证：直线AB是⊙O的切线。
(2)当AC=1，BE=2，求tan∠OAC的值。
14.如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D.E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=1
∠CAB.
2
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若AB=5,sin∠CBF=√5
，求BC和BF的长。
5
15.已知AB为⊙O的直径，CA、CD分别于⊙O相切于A.D两点。
(1)如图1，若AC=4，AB=6，求tan∠B的值；
，求tan∠CBD的值。
(2)如图2,若cos∠ACB=3
5
16. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点
E.
(1)如图1,若∠ABC=90∘,求证：OE∥AC；
(2)如图2,已知AB=AC,若sin∠ADE=1
，求tan A的值。
3
17. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的
角平分线交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线交CA 的延长线于
P .
(1)求证：AB =√2AD ； (2)若sin ∠B =3
5,求PA:PD 的值。
18.如图1，△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，交BC 于点K ，过CB 延长线上一点E 作∠EAB =∠ACE .
(1)求证：AE 为⊙O 的切线；
(2)如图2,连BD ,若∠E =∠DAB ,
BK BD =35,DK =2√5，
求⊙O 的半径。
19. 如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90∘,AD∥BC，以AB为直径作⊙O恰好与CD相切。
(1)求证：AD+BC=CD；
(2)若E为OA的中点，连结CE并延长交DA的延长线于F，
当AE=AF时，求sin∠DCF.
20. 如图，△ABC内接于⊙O，CD平分△ABC的外角∠BCM，交⊙O于点D，连接AD，BD.
(1)求证：AD=BD；
(2)若AB=6,sin∠ACB=3
，C为弧AD的中点，连接DO，并延长交BC于
5
点E，求OE的长。
三．综合题
21.如图,BC是半圆O的直径,D是弧AC的中点,四边形
ABCD的对角线AC、BD交于点E,CE=√5，CD=2.
(1)求DE的长；
(2)求证：DA⋅DC=DE⋅DB；
(3)求sin∠ACB的值。
22.已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过
点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结
PD.
(1)求证：PD是⊙O的切线。
(2)求证：PD2=PB⋅PA.
(3)若PD=4,tan∠CDB=1
，求直径AB的长。
2
23.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90∘，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系并证明；
(2)求证：BC2=2CD⋅OE；
，DE=2，求AD的长。
(3)若tan C=√5
2。