工程中的计算方法课件6 数值积分
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
力学中的计算方法(数值积分)
n
2
收敛速度与误差估计：
定义 若一个积分公式的误差满足 称该公式是 p 阶收敛的。 Tn O(h2 ) , Sn
lim
h 0
R[ f ] C p h
且C 0，则
~
~
O(h4 ) , Cn
~
O(h6 )
运算量基 本相同
例：计算
4 2 0 1 x
1
dx
其中 xk
k 8
a
b
b2 a 2 2
3
=
代入 f(x) =
x2 ：
b
a
x 2dx b
a 3 3
b a 2
代数精度 = 1
例：对于两点公式
b a
f ( x )dx A0 f (a ) A1 f (b)
求A0、A1，使其具有尽可能高的代数精度。
解：分别令f(x) = 1、x时，公式准确成立 则 f(x) = 1： A0＋A1=b－a f(x) = x ： A0a＋A1b=（b2－a2）/2 解得：A0＝A1＝（b－a）/2 代入 f(x) = x2 ：
2
2 2 h h 6 6 上例中若要求 | I Tn | 10 ，则 | Rn [ f ] | | f (1) f (0) | 10 12 6
h 0.00244949 即：取 n = 409
通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 可用来判断迭代 上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202 是否停止。 2 1 h 1 注意到区间再次对分时 R2n [ f ] [ f (b) f (a )] Rn [ f ]
哈尔滨工程大学工程算法课件06常微分方程的数值求解
欧拉法得： yn 1 yn hf xn , yn 因此，局部截断误差是 o h 2 。
19
2 改进Euler法
2.1方法构造
dy f x, y ，对其从 xk 到 xk 1 进 在微分方程初值问题 dx 行定积分得：
y xk 1 y xk
yk 1 是未知,待求的,未知量在 f x, y 中这是
一个方程,如f是非线性或超越函数,此方程是无法直接解出来(要 依靠迭代法才能解出)。这类格式称为隐式格式。
21
2.3 算例
y y x 例：用改进欧拉公式求解 , h 0.2 y 0 2 解： f x, y y x h yk 1 yk f xk , yk f xk 1 , yk 1 2 h h 1 2 y 2 x x y k 1 k 1 h k h k 1 1 2 2 可以从隐式格式中解出 yk 1 问题的精确解是 y x e x x 1
16
精确解为： y x 2 x
2
可以看出误差随着计算在积累。
17
1.4 Euler法的特点和误差
迭代格式 特点
1 单步方法：
yn 1 yn hf xn , yn n 0,1, 2,, N 1
2 显示格式： 3 局部截断误差为O h2
18
第六章 常微分方程数值解
§6.0 引言
§6.1 欧拉方法 §6.2 龙格-库塔方法
§6.3 单步法的收敛性和稳定性
§6.4 线性多步法
1
§6.0 引言
1 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题 的求解：
dy f x, y dx y x0 y0
第五章 数值积分.ppt
1
dx 1
0
1 xdx 1
0
2
A0
A1
1 2
．
1
所以公式为： 0
f
( x)dx
1
2
f
0
f
1 ．
12
三 、牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式
定义3 等距节点下的插值型求积公式称为牛顿—柯特斯公式。
把区间 a,b分成 n 等分，每份的长度为 h (b a) / n ，
解： e0 1， e 2.71828 ， e0.5 1.64872
所以利用梯形公式：
I
T1
1 2
1
2.71828
1.85914
；
利用 Simpson 公式：
I
S1
1 6
1
41.64872
2.71828
1.71851 ．
对比真值 I 1.71828，可见 S1 更精确一些．
C
(n i
)
C
(n) ni
；
这可以从柯特斯系数的积分表达式中直接得到．
17
应用中必须考虑数值稳定性，设函数值计算产生误差为：
f xi fi i ，并记 max i ，则在牛顿—柯特斯公式计算中：
n
n
C(n) i
f
xi
C(n) i
fi
，误差是：
i0
f
( x)dx
ba 90
7
f
(a) 32
f
(x1) 12
f
(x2 )
数值积分实用PPT课件PPT课件
微积分学中，积分计算是利用 Newton – Leibniz
公式：
来计算的。
例，某气体由温度 T1 加热到 T2 时所需热量 Q 可由下式表示：
Q
T1 T2
Cp
.mdT
Cp .m 该气体的摩尔定压热容
不知道该气体的 与CTp的.m函数关系式，而实验测得该气体的
系数据如下表所示。
C p .m
与 T 的关
T/℃
25 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800
32 k0
f
( x ) 12
k1
k0
4
f
( xk1 ) 2
n1
n1
32 f ( x ) 14 f ( x )
k0
k3 4
k 1
k
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龙贝格算法
第28页/共39页
数值方法中常利用一序列{ F1、F2、…、Fk、…} 去逼近精确值，然后在理论上给出序列F的误差估计。
新思路：
能否在某种理论（截断误差估计）基础上，通过简单方法，在序列
值，而这些值又是成倍增加的，所以计算工作量较大。
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程序例子：P207
作 业：
将P207的程序改为求解积分
eps=0.000001 结果（0.1115718）
1x
0 4 x2 dx
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感谢您的观看。
数值分析课件第八章-数值积分.ppt
g(u)
n (u n j)
n/2
(u j)
j0
2
jn / 2
是奇函数，故R[f]=0。证毕。
8.3 复合求积公式
1、复合梯形公式
将[a,b]n等分，h=(b-a)/n，在每个子区间[xk, xk+1] (k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得
I
b
n1
f (x)dx
n
Ln (x) lk (x) f (xk )
k 0
(lk (x)
n j0
(x xj) ) (xk x j )
jk
则
b
b
n
b
a f (x)dx a Ln (x)dx f (xk ) a lk (x)dx
k 0
若记
Ak
b
a lk (x)dx
b n (x x j ) dx a j0 (xk x j )
0
32 90
C2( 4 )
1 4 2!2!
4
t(t 1)(t 3)(t 4)dt
0
12 90
C3( 4 )
1 4 3!
4
t(t 1)(t 2)(t 4)dt
0
32 90
C4( 4 )
1 4 4!
4
t(t 1)(t 2)(t 3)dt
0
7 90
求积公式为
4
I4 ( f ) (b a)
定义1. 若求积公式
b
f (x)dx
a
n
i f (xi )
i0
对所有次数不超过 m次的代数多项式 Pk (x)(k m)都准确成立 ,即
b
n
a Pk (x)dx i Pk (xi )
计算方法数值积分插值型积分PPT课件
bn1 an1 n1
1
其系数
x
0
矩阵
x02
x
n 0
1 …
x1 …
x
2 1
…
…
x
n 1
…
1
x
n
x
2 n
当
xk (k 0,1,…, n)
互异时，有唯一
x
n n
解 {Ak }
定理4.1 n+1个节点的求积公式
插值型求积
b f(x)dx a
本段讲授机械求积方法.
由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分 区间[a, b]内存在一点ξ，使得 谜
b f(x)dx (b a)f(ξ), ξ [a, b] a
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 f ( ξ) 的矩形面积。但点ξ的具体位置是未知的, 因而f ( ξ )
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
第四章 数值积分
1. 数值积分引论 2. 机械求积方法 3. 以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型
求积公式 4. 插值型求积公式的例子 5. 求积公式的收敛性和稳定性
数值积分引论
第四章 数值积分
代替原被积函数f(x)，即
b f(x)dx b (x)dx
a
a
以此构造数值算法。
要求：
• 函数(x)
应该对f(x)有充分的逼近程度,并
且容易计算其积分。
• 通常，将(x) 选取为f(x)的插值多项式,
这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分
计算方法课件第七章数值积分与数值微分.ppt
b f (4) ( )(x a)(x b)(x c)2 dx a
f (4) () b (x a)(x c)2 (x b)dx a
R[ f ] 1 f (4) ()(b a)(b a )4
180
2
1 f (4) ()(b a)5 (a b)
总存在求积系数 A0, A1,An，使求积公式至少有n次 代数精度。
事实上，只要令求积公式对于 f (x) 1, x, x2,, xn
都能准确成立即可得到下式：
b
n
dx
a
Ak
k 0
b
n
xdx
a
Ak xk
k 0
b xndx a
n
Ak xkn
k 0
则可通过给定的n+1个节点得到上述含n+1 个未知数、n+1个方程的方程组。
分近似值
b
n
I f (x)dx a
Ak f (xk ) In
b
n
k 0
I f (x)dx a
Ak f (xk ) R[ f ] In R[ f ]
k 0
其中R[f]称为求积公式的余项。xk (k 0,1,2,n)称为求
积节点 。Ak (k 0,1,2,n)称为求积系数。Ak 仅与求 积节点 xk 的选取有关，而不依赖与被积函数f(x)
第七章 数值积分与数值微分
§7.0 §7.1
§7.2 §7.3 §7.4 §7.5
数值积分概述 Newton Cotes 公式
复化求积公式 Romberg求积法 Gauss型求积公式 数值微分
§7.0 数值积分概述
由积分学基本定理知
b
第五章数值积分方法优秀课件
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
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6 数值积分如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且原函数为)(x F ，则可用牛顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f ba-=⎰计算定积分。
然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求定积分。
一个简单被积函数，例如错误!未找到引用源。
dx cx bx a ⎰++2，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x>> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x)ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。
数值积分的基本思想是构造一个简单函数)(x P n 来近似代替被积分函数)(x f ，然后通过求⎰ba n dx x P )(得⎰ba dx x f )(的近似值。
6.1 插值型求积公式设⎰=ba dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式)(x P n ，使⎰=≈ban dx x P I I )(*。
构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--==⎰⎰称为梯形公式。
以a,2ba c +=，b为三个插值节点，构造二次插值多项式)())(())(()())(())(()())(())(()(2bfcbabcxaxcfbcacbxaxafbacabxcxxP----+----+----=，则可以推出)()()()(212bfcfafdxxPS baλλλ++===⎰，)(61))(())((abdxbacabxcxba-=----=⎰λ，)(64))(())((1abdxbcacbxaxba-=----=⎰λ，)(61))(())((2abdxcbabcxaxba-=----=⎰λ。
由此得公式：[])()(4)(6bfcfafabS++-=，称为辛卜生（Simpson）求积公式。
(a)梯形公式(b)辛卜生公式图6.1 梯形公式和辛卜生公式根据经典拉格朗日插值公式)()()(knkknxfxlxP∑==，代入求定积分则有)())(()()(knkba kknkba kxfdxxldxxfxlI∑⎰∑⎰====，引入记号dxxl ba kk)(⎰=λ，)(knkkxfI∑==λ，kλ为求积系数，kx为求积节点。
注意：（1）积分结果为函数值的一个代数和，（2）abdxxlnkba k-=∑⎰=0)(。
如果积分区间比较大，直接使用上述求积公式难以保证计算精度。
通常采取复化求积方法提高计算精度：（1）等分求积区间，比如取步长nabh-=，将],[ba分为n等份，分割点为kh a x k +=，n k ,,2,1,0 =；（2）在区间 ],[1+k k x x 上使用梯形公式或辛卜生公式求得k I ； （3）取和∑-==10n k k I I 作为整个区间上的积分值。
将梯型公式和辛卜生公式应用于各子区间[]1,+k k x x ()1,,0-=n k 上得到子区间的定积分，再将子区间的定积分加起来得到整个区间的定积分近似值，相关公式称为复化梯型公式和复化辛卜生公式。
相对于复化梯型公式，复化辛卜生公式是一种精度较高的求积公式。
对于复化梯型公式，令[])()(21++=k k k x f x f hI ，则∑-==10n k kn I T[])()(2110+-=+=∑k k n k x f x f h[])()()()()()()()(21122110n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f h++++++++=--- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=)()(2)(211b f x f a f h n k k将所有子区间],[1+k k x x 二等分，在每个子区间上使用梯形公式可得：∑-=+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=101112)()2(4)2()(4n k k k k k k k n x f x x f h x x f x f h T⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++++++=---)()2()2()()()2()2()(4111110100n n n n n n x f x x f x x f x f x f x x f x x f x f h 2)2(2101nn k k k T x x f h ++=∑-=+图6.2 复合梯形公式例 取n = 8用复化梯形公式计算积分dx x I ⎰+=10311。
解：()0.83471872432852212832412812)0(21818≈⎥⎦⎤+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=f f f f f f f f f T 表6.1k x0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 )(k x f 1 0.9981 0.9846 0.9499 0.8889 0.8038 0.7033 0.59880.56.2 变步长积分法使用复化求积公式须给出合适的步长，步长太大精度难保证，步长太小增加计算量，预先给出一个合适的步长是十分困难的。
利用递推公式避免已计算节点的重复计算，可使计算量大幅减少。
变步长积分法思想是将区间逐次对分，比较前后两次计算结果，若前后两次计算结果很接近，满足精度要求即停止，否则再次对分，直到达到精度要求为止。
设将],[b a 区间n 等分，每段子区间长度为h ，共有n+1个分割点（含两端点），按复化梯形公式计算n T ，需要计算n+1个f (x )的值。
n T 2的全部分割点中有n+1个是原有的分割点。
复化梯形公式得积分有递推关系：2)2(21012nn k k k n T x x f h T ++=∑-=+基于复化梯形公式的变步长积分的程序代码如下：例 计算错误!未找到引用源。
⎰1dx x。
解：根据梯形公式和复化梯形公式2/)]1()0([1f f T +=，∑-=++=15.02)(221n k k n n x f h T T ，于是有表6.26.3 求积公式的误差为分析求积公式的误差，先给出两个定理：定理1：（积分中值定理）设)(x f 在区间],[b a 上连续，)(x g 在],[b a 区间上可积且不变号，则在],[b a 区间上至少有一个ξ满足⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
定理2：（介值定理）对于连续函数)(x f 、自然数n 及该函数定义域内的i x ，n i 21，=，存在ξ使)()(1ξf nx f ni i=∑=。
连续函数有一个基本性质：假设],[b a 区间上的连续函数)(x f 的最小值为m ，最大值为M ，则对于任意θ，只要θ满足M m ≤≤θ的，就存在ξ使θξ=)(f 。
应用这个性质容易证明定理1和定理2。
应用4.2节插值多项式余项定理，用n 次拉格朗日多项式插值函数)(x f 的误差为)()!1()()(1)1(x n f x R n n +++=ωξ。
对于插值多项式次数n 为1的情况，插值误差等于))((2)()(b x a x f x R --''=ξ。
令积分真实值记为⎰=ba dx x f I )(*，dx b f a b a x a f b a b x T ba ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=)()(，结合积分中值定理，可以推导出梯形公式的截断误差为：3*)(12)())((2)())((2))((a b f dx b x a x f dxb x a x x f T I b a ba -''-=--''=--''=-⎰⎰ξξξ 将],[b a 区间n 等分，取nab h -=，考虑复化梯形积分公式的总误差。
该总误差是n 个等分区间段上用梯形公式计算定积分的误差之和，即：12)()(12)()(1212)(23103103*ξξξξf a b h f n h f h h f T I n i i n i i n ''--=''-=''-=''-=-∑∑-=-=6.4 收敛加速梯形法简单，但精度低，收敛的速度慢。
如何进一步提高收敛速度？设*I 是精确积分值，根据复化梯形公式，借用前一节中的符号及公式推导，基于定积分的基本定义可以得到：⎰∑∑''-≈''-=''-=--=-=ban i i n i i n dxx f h hf h h f T I )(12)(1212)(2102103*ξξ同样对于n T 2有⎰''-≈-b a n dx x f h T I )(4822*，所以41*2*≈--n n T I T I 。
整理得：)(3122*n n n T T T I -≈-根据上面的公式，可得到两个结论：（1）只要相邻两次迭代结果n T 与n T 2相当接近，就可以保证n T 2的误差很小；（2）n T 2的误差大致等于)(312n n T T -，用此误差值作为n T 2的补偿，可期望)(3122n n n T T T -+的精度更高。
也可以这样考虑，将所有n T 看做构成一个函数T ，变量为其步长的平方，即2h 。
当h 趋近0时，)(2h T 接近*I ，即*)0(I T =，连接点),2n n T h （和),121++n n T h （得一直线，其方程为：1221221221++++--+--=n nn n n n n n T h h h x T h h h x y 延伸该直线与Y 轴相交（见下图），计算交点的y 坐标值T ~的表达式，并假设n T 对应的步长等于1+n T 对应的步长的两倍，则有：34~11221221221n n n n n n n n n n T T T h h h T h h h T -=--+--=+++++这实质上就是一种迭代的加速：基于最后两次迭代的结果进行外推，从而提高精度。