河南省名校(四校)2020届高三3月线上联考(文数PDF版)-文数试题
河南省四校2020届高三3月线上联合考试数学(文)试卷(有答案)
河南省四校2020届高三3月线上联合考试数学（文）试卷注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z＝2ii-，则z的共轭复数z在复平面内的对应点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合M＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}，则集合M∪N＝A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]3.设a＝30.5，b＝log0.50.6，c＝cos 45π，则A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b.4.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位…用纵式表示，十位、千位、十万位…用横式表示，则56846可用算筹表示为5.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是A.f(x)＝sin x xeB.f(x)＝e |x|－x 2C.f(x)＝e |x|－|x|D.f(x)＝e |x|－2x 2 6.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是 A.522 B.324 C.535 D.5787.已知sin63°≈0.891(cos72°＋cos18°)的近似值为 A.1.773 B.1.782 C.1.796 D.1.8158.已知向量OM u u u u r ＝(1，0)，ON uuu r ＝(0，2)，MP u u u r＝t MN u u u u r ，则当|OP uuu r |取最小值时，实数t ＝A.15 B.13 C.12D.1 9.在如图所示的程序框图中，执行所给的程序后，则输出的T 和k 的关系为A.T ＝7(k －2)B.T ＝10k －3C.T ＝9(k －2)D.T ＝8k －110.抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O 、F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为 A.1 B.2 C.4 D.811.将函数f(x)＝sinxcosx 的图象向右平移φ(|φ|<2π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0，6π]上单调递增，则满足条件的实数φ的最小值与最大值的和是 A.2π B.3π C.4π D.6π12.已知F 1，F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线AF 1与双曲线的一条渐近线y ＝bax 平行，△AF 1F 2的周长为9a ，则该双曲线的离心率为 A.2C.3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届四省名校高三第三次大联考数学(文科)试题(解析版)
2020届四省名校高三第三次大联考文数本试卷共4页，23题（含选考题）.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、单稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}20A x x x =-=，则A 的真子集个数为（ ） A. 2个 B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B 【解析】 分析】先解得{}0,1A =,进而求解即可. 【详解】因为集合{}0,1A =, 则A 的真子集个数为2213-=, 故选:B【点睛】本题考查已知集合元素个数求真子集的个数,属于基础题. 2.下列选项中，满足1z z+为实数的复数z 是（ ）A. 1z i =+B. 1z i =-C. 122z =+ D. 12z =+【答案】C 【解析】 【分析】设(),z a bi a b R =+∈,则222221a b z a b i z a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,由1z z +为实数可得220b b a b-=+,则221a b +=,进而结合选项得到结果即可.【详解】设(),z a bi a b R =+∈,所以222222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫-⎛⎫+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭, 因为1z z +为实数,所以220b b a b-=+,所以221a b +=,即1z =, 结合选项可知C 正确, 故选:C【点睛】本题考查由复数的类型求参数,考查运算能力.3.“今年我已经8个月没有戏拍了”迪丽热巴在8月的一档综艺节目上说，霍建华在家里开玩笑时说到“我失业很久了”；明道也在参加《演员请就位》时透露，已经大半年没有演过戏.为了了解演员的生存现状，什么样的演员才有戏演，有人搜集了内地、港澳台共计9481名演员的演艺生涯资料，在统计的所有演员资料后得到以下结论：①有65%的人在2019年没有在影剧里露过脸；②2019年备案的电视剧数量较2016年时下滑超过三分之一；③女演员面临的竞争更加激烈；④演员的艰难程度随着年龄的增加而降低.请问：以下判断正确的是（ ） A. 调查采用了分层抽样 B. 调查采用了简单随机抽样 C. 调查采用了系统抽样 D. 非抽样案例【答案】D 【解析】 【分析】由调查对象是统计的演员的整体,未进行抽样调查,即可得到结果.【详解】调查结果是对所有9481名演员的情况进行总结的,所以分析对象是全体,不是抽样,故选:D【点睛】本题考查对随机抽样的理解,属于基础题.4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若522x=，lg 20.3010=，则x 的值约为（ ） A. 1.322 B. 1.410 C. 1.507 D. 1.669【答案】A 【解析】 【分析】 由522x=可得25lg 5lg 212lg 2log 2lg 2lg 2x --===,进而将条件代入求解即可. 【详解】522x=Q ,25lg5lg 212lg 2120.3010log 1.3222lg 2lg 20.3010x ---⨯∴====≈, 故选:A【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2232n S n n =-+，则11121a a a ++的值为（ ）A. 120B. 119C. 118D. 117【答案】B 【解析】 【分析】当2n ≥时,145n n n a S S n -=-=-,检验1n =,则1,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,进而分别求得1121,a a ,即可求解.【详解】当2n ≥时,()()2212322131245n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦,当1n =时,114511a S =-=-≠=，不符合,所以1,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩, 1139a ∴=,2179a =,1112113979119a a a ∴++=++=,故选:B【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,注意检验当1n =时的情况.6.已知曲线sin 2x e y x x a π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭在点1,1e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A. a e =，1b =B. a e =-，1b =C. a e =，0b =D. a e =-，1b =-【答案】C 【解析】 【分析】先求导,再由1|x k y ='=,可得切线方程为()111e e y x a a ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1e y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则可得到120e ab⎧+=⎪⎨⎪=⎩,即可求解.【详解】sin cos 222x e y x x x a πππ⎛⎫⎛⎫'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q , 11x e y a=∴=+', ∴曲线sin 2x e y x x a π⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭在点1,1e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为()111e e y x a a ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1e y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,120e a b⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩, a e ∴=,0b =,故选:C【点睛】本题考查利用导数求在某点处的切线,考查由切线斜率求参数.7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 50-B. 50C. 51-D. 51【答案】B 【解析】 【分析】分析可得程序框图实现的功能是()()()()234100111213199S =-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯,进而求解即可.【详解】由题得,()()()()234100111213199123499S =-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯=-+-+⋅⋅⋅+=()()()123497989950-+-+⋅⋅⋅+-+=,故选:B【点睛】本题考查由程序框图求输出结果,考查分组求和法的应用. 8.函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化，排除错误选项可得答案. 【详解】由3cos 1()x f x x+=，可得()()f x f x -=-， 故()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A. 当π02x <<时，()0f x >；当11cos 3x -≤<-时，()0f x <，排除C,D. 故选B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象的特征，排除错误选项得到答案.9.已知函数()f x 的图像关于原点对称，对于任意的1x ，2x R ∈，()()12120f x f x x x ->-.若()()()2600,0f m f n m n -+=>>，则mn 的最大值为（ ）A.92B. 9C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 关于原点对称及()()12120f x f x x x ->-可得()f x 是奇函数,且在R 上单调递增,则()()()26f m f n f n -=-=-,即26m n +=,再利用均值不等式求得最值即可.【详解】由题意知()f x 是奇函数,且在R 上单调递增,又()()260f m f n -+=,()()()26f m f n f n ∴-=-=-, 26m n ∴-=-,26m n ∴+=,2222m n mn +⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭,即92mn ≥,当且仅当2m n ==3时取等号, mn ∴的最大值为92, 故选:A【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查利用均值不等式求最值.10.过双曲线2213x y -=的右焦点F ，作倾斜角为60°的直线l ，交双曲线的渐近线于点A 、B ，O 为坐标原点，则OAB V 的面积为（ ）A.B. 3C.D. 6【答案】C 【解析】 【分析】设点A 在第一象限,点B 在第四象限,由渐近线方程可得30FOB ∠=︒,由倾斜角可得60OFB ∠=︒,则90OBA OBF ∠=∠=︒,利用三角函数可得OB 和AB ,进而求解.【详解】不妨设点A 在第一象限,点B 在第四象限,由题,渐近线方程为y x =,则30FOB ∠=︒,2OF c ===,因为60OFB ∠=︒,所以90OBA OBF ∠=∠=︒,所以cos30OB OF =︒,又60AOB ∠=︒,则30OAB ∠=︒,所以2OA OB ==,所以3AB =,从而OAB V 的面积为122S OB AB =⋅⋅=, 故选:C【点睛】本题考查双曲线中的三角形面积,考查双曲线中渐近线方程的应用. 11.已知函数()22cos f x x x =+，则（ ）A. ()151lg sin 332f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()151sin 33lg 2f f f e ⎛⎫⎛⎫︒<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()1512lg sin 33f f f e ⎛⎫⎛⎫<<︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1512sin 33lg f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先利用导函数可判断()f x 在()0,∞+上单调递增,再根据()f x 为偶函数,且15110lg lg sin 33122e e <=<=<︒<<,进而得到结果.【详解】因为()22sin f x x x '=-,设()()g x f x ='，()22cos 0g x x '=-≥, 所以()f x '单调递增,当0x >时,()()00f x f ''>=, 所以()f x 在()0,∞+上单调递增,又()()22cos f x x x f x -=+=,即()f x 为偶函数,且15110lg lg sin 33122e e <=<=<︒<<,故()151lg sin 332f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选:A【点睛】考查由函数单调性比较函数值的大小,考查利用导函数判断函数的单调性,考查奇偶性的应用. 12.函数()f x 和()g x 都是定义在(],t -∞上的单调减函数，且()()f t g t M ==，若对于任意k M >，存在1x ，()212x x x >，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在(],t -∞上的“被追逐函数”，若()2f x x =，下述四个结论中正确的是（ ）①()21g x x =--是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”；②若()g x 和函数()21xh x =-关于y 轴对称，则()g x 是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”；③若()()ln g x x m =-+是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”，则1m =； ④存在m 1≥，使得()1g x m x=+是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”. A. ①③④ B. ①②④C. ②③D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】先判断()f x 与()g x 是否单调递减,并求得最小值,再根据若()g x 是()f x 在(],t -∞上的“被追逐函数”,()()12f x g x k ==,则12,x x 可用k 表示,利用12x x >,代入判断其是否恒成立,即可判断是否满足“被追逐函数”,由此依次判断①②③④【详解】对于①,()2f x x =和()21g x x =--在(],1-∞-上单调递减,且()()111f g -=-=,若()21g x x =--是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,即21221x x k =--=,所以1212x k x ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩,12k +<,即()214k k +<,构造函数()()()2114x h x x x +=->,则()1102x h x +'=-<,则()h x 在()1,+∞上单调递减,又()10h =,则()0h x <恒成立,即()214x x +<,故对任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故①正确；对于②,依题意()112x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-,则()2f x x =和()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-在(],1-∞-上单调递减,且()()111f g -=-=,若()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f xg x k ==成立,即221112x x k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以()1212log 1,x x k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩当100=k 时,不存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故②错误；对于③,若()()ln g x x m =-+是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,此时必有()()111fg -=-=,解得1m =,当1m =时,()()ln 1g x x =-+和()2f x x =在(],1-∞-上单调递减,若()()ln 1g x x =-+是()2f x x =在(),1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,即()212ln 1x x k =-+=,所以112k x x e-⎧=⎪⎨=-⎪⎩,即1k e ->-,则22k k e -<,构造函数()22x h x x e -=-,则()22120x h x e -'=-<,则()h x 在()1,+∞上单调递减,又()10h =,则()0h x <恒成立,即22x x e -<,故对任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故③正确；对于④,当(],1x ∈-∞-时,()[)11,g x m m m x =+∈-+,而当(],1x ∈-∞-时,()[)21,f x x =∈+∞,由k 的任意性,不存在m 1≥,使得()1g x m x=+是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,故④错误,故选:D【点睛】本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题.13.已知平面向量满足1a =r ，向量a r 与向量b r的夹角为135°，且1a b ⋅=-r r ，则()()2a b a b +⋅-=r r r r ______. 【答案】2- 【解析】 【分析】由1a b ⋅=-r r可得b =r 进而代入()()2a b a b +⋅-r r r r 求解即可.【详解】1a =r Q ,向量a r 与向量b r的夹角为135°,1a b ⋅=-r r ,cos135a b a b ∴⋅=⋅⋅︒=-1r rr r ,b ∴=r , ()()2222242a b a b a a b b ∴+⋅-=-⋅-=-=-r r r r r r r r ,故答案为:2-【点睛】本题考查向量的数量积的运算,考查运算能力. 14.已知n S 为递增等比数列{}n a 的前n 项和，其中1a ，92，4a 成等差数列，且238a a ⋅=，则5S =______. 【答案】31【解析】 【分析】由等差中项可得149a a +=,由等比中项可得14238a a a a ⋅=⋅=,根据递增数列可得1418a a =⎧⎨=⎩,即可求得公比q ,进而代入等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】14238a a a a ⋅=⋅=Q ,又149a a +=,且递增等比数列{}n a , 解得1418a a =⎧⎨=⎩或1481a a =⎧⎨=⎩（舍去）, 设等比数列{}n a 的公比为q ,由341a a q =,得2q =,55123112S -∴==-,故答案为:31【点睛】本题考查等比数列的定义的应用,考查等差中项、等比中项的应用,考查等比数列的前n 项和公式的应用.15.已知()()2cos f x x θ=+，将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的图象，且()()0g x g x -+=，若,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则θ=______. 【答案】4π- 【解析】 【分析】根据图象变换原则可得()2cos 4g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再根据()()0g x g x -+=可得()g x 是奇函数,则()2142k ππθ-=+⨯,进而求解.【详解】由题,()2cos 4g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 又因为()()0g x g x -+=,所以()g x 是奇函数, 所以()2142k ππθ-=+⨯,k Z ∈,即34k πθπ=+,k Z ∈,所以当1k =-时,4πθ=-,满足题意,故答案为:4π-【点睛】本题考查三角函数的图象变换,考查由三角函数的奇偶性求参数.16.已知直线l ：1y =与y 轴交于点M ，Q 为直线l 上异于点M 的动点，记点Q 的横坐标为n ，若曲线C ：2212x y +=上存在点N ，使得45MQN ∠=︒，则n 的取值范围是______.（用区间表示） 【答案】)(13,00,13⎡⎤--⋃+⎣⎦【解析】 【分析】设QN k k =,由45MQN ∠=︒可得1k =±,分别讨论Q 在第一象限与Q 在第二象限时的情况,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最大值或最小值,进而求解.【详解】由题,(),1Q n ,0n ≠, 设QN k k =,则QN l :()1y k x n =-+, 当Q 在第一象限时,则1k =,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最大值,联立()222201x y y x n ⎧+-=⎪⎨=-+⎪⎩,则()()22341220x n x n n +-+-=,令0∆=,则13n =±,13n =-不符合题意,舍去；当Q 在第二象限时,则1k =-,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最小值,联立()222201x y y x n ⎧+-=⎪⎨=--+⎪⎩,则()()22341220x n x n n -+++=, 令0∆=,则13n =-±,13n =-+不符合题意，舍去，综上,)(13,00,13n ⎡⎤∈--⋃+⎣⎦,故答案为:)(13,00,13⎡⎤--⋃+⎣⎦【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.今年，新型冠状病毒来势凶猛，老百姓一时间“谈毒色变”，近来，有关喝白酒可以预防病毒的说法一直在民间流传，更有人拿出“医”字的繁体字“醫”进行解读为：医治瘟疫要喝酒，为了调查喝白酒是否有助于预防病毒，我们调查了1000人的喝酒生活习惯与最终是否得病进行了统计，表格如下：规定：①每周喝酒量达到4两的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；②每周喝酒量达到8两的叫有酒瘾的人.（1）求m值，从每周喝酒量达到6两的人中按照分层抽样选出6人，再从这6人中选出2人，求这2人中无有酒瘾的人的概率；（2）请通过上述表格中的统计数据，填写完下面的22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为是否得病与是否常喝酒有关？并对民间流传的说法做出你的判断.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）50人，25（2）见解析，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关. 【解析】 【分析】（1）由总人数减去各区间人数即可得到m ,则可知每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为2:1,根据分层抽样可得所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,设无酒瘾的人为1A 、2A 、3A 、4A ,有酒瘾的人为1B 、2B ,列出所有情况,判断出符合条件的情况,即可求解；（2）根据表格数据补充列联表,代入公式中,并与2.706比较即可判断. 【详解】解:（1）由题得,()100010030045010050m =-+++=（人）, 由表格可知,在每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为2:1, 则所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,设无酒瘾的人为1A 、2A 、3A 、4A ,有酒瘾的人为1B 、2B , 设选出的2人无有酒瘾为事件M ,其概率为()P M ,则从6人中选2人共有如下:()12,A A ,()13,A A ,()14,A A ,()11,AB , ()12,A B ,()23,A A ,()24,A A ,()21,A B ,()22,A B ,()34,A A ,()31,A B ,()32,A B ,()41,A B ,()42,A B ,()12,B B ,共15种情况,其中事件M 有6种情况,所以()62155P M ==. （2）由表格可得常喝酒的有45010050600++=（人）, 则列联表如下:合计 600 400 1000则()221000200250400150 1.83 2.706600400650350K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,则在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关. 可见,民间的说法没有太强的科学性,对于医字繁体字的解读也属于笑谈.【点睛】本题考查分层抽样的应用,考查古典概型概率公式的应用,考查独立性检验处理实际问题. 18.如图，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边，ABC V 外接圆的半径为2，3cos sin c b A b A =+.（1）求b ；（2）求ABC V 周长的最大值. 【答案】（1）3b =2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为弦可得3sin sin cos sin 3C B A B A =+,化简可得tan 3B =,则3B π=,进而由正弦定理求解即可；（2）由（1）,利用余弦定理可得2212a c ac +=+,再利用均值不等式求得a c +的最大值,即可求解. 【详解】解:（1）由正弦定理及3cos sin 3c b A A =+, 得3sin sin cos sin 3C B A B A =+, 由()C A B π=-+,得()sin sin cos sin 3A B B A B A +=+,cos sin sin sin 3B A B A ∴=, ()0,A π∈Q ,sin 0A ∴≠,tan B ∴=,()0,B π∈Q ,3B π∴=,又ABC V 外接圆的半径2R =,2sin bR B∴=,b ∴=（2）由（1）2221cos cos 322a cb B ac π+-===,2212a c ac ∴+=+,2a c+≥得()()2222121224a c a c a c ac ++≤+=+≤+,a c ∴+≤当且仅当a c ==,等号成立,又b =QABC ∴V 周长的最大值为【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查求三角形的周长的最值,考查均值不等式的应用.19.已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22PA AB BC ===，AC =E 是棱PB 的中点，AF PC ⊥.（1）求证：BP ⊥平面AEF ； （2）求三棱锥P AEF -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）321【解析】 【分析】（1）由22AB BC ==,3AC =可得AC BC ⊥,再根据PA ⊥平面ABC 可得平面PAC ⊥平面ABC ,则BC ⊥平面PAC ,可得BC AF ⊥,由等腰三角形的性质可得AE PB ⊥,进而得证；（2）由（1）PE 是三棱锥P AEF -的高,利用勾股定理求得,EF AF ,进而求解. 【详解】解:（1）由22AB BC ==,3AC =可得AC BC ⊥,PA ⊥Q 平面ABC ,PA ⊂平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC , Q 平面PAC I 平面ABC AC =,BC ∴⊥平面PAC ,又AF ⊂平面PAC ,BC AF ∴⊥, 又AF PC ⊥,PC BC C ⋂=,AF ∴⊥平面PBC ,由PB ⊂平面PBC ,得⊥AF PB ,又E 是等腰PAB △边PB 上的中点,AE PB ∴⊥, 又AE AF A ⋂=,PB ∴⊥平面AEF .（2）由（1）可得,AEF V 为直角三角形,PE 是三棱锥P AEF -的高, 在Rt PAC △中,2PA =,3AC =7PC ∴=,2322177PA AC AF PC ⋅===,在Rt PAB V 中,2PA AB ==,12PE AE PB ∴===在Rt AEF V 中,7EF ===, 1122777AEF S AF EF ∴=⋅=⨯⨯=△, 1133721P AEF AEF V S PE -∴=⋅=⨯=△. 【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查求三棱锥的体积.20.已知函数()2ln 2x f x x kx =++.（1）若()f x 在定义域内单调递增，求k 的取值范围；（2）若()()()121200f x f x x x ==<<，且满足0122x x x =+，问：函数()f x 在()()00,x f x 处的导数能否为0？若能，求出()()00,x f x 处的导数；若不能，请说明理由.【答案】（1）[)2,-+∞（2）函数()f x 在()()00,x f x 处的导数不能为0,理由见解析 【解析】 【分析】（1）由解析式易知定义域为()0,∞+,则转化问题为()10f x x k x'=++≥在()0,∞+上恒成立,根据均值不等式可得12x x+≥,即可求解； （2）假设()00f x '=,则有()()2111122222120ln 02ln 02102x f x x kx x f x x kx x k x x x x⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩①②,由①-②整理可得()112212ln 02x x x x k x x +++=-,即12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+,设12x u x =,()()()21()ln 0,11u h u u u u -=-∈+,利用导函数判断()h u 的范围,即可判断假设是否成立.【详解】解:（1）由题得,函数()f x 的定义域是()0,∞+,且在定义域内单调递增,所以()10f x x k x'=++≥在()0,∞+上恒成立, 因为12x x+≥,当且仅当1x x =时等号成立,所以12x k k x++≥+,所以20k +≥,解得2k ≥-,故k 的取值范围是[)2,-+∞. （2）不能,理由如下:假设()00f x '=,则由题得()()21111222220120ln 02ln 02102x f x x kx x f x x kx x k x x x x⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩①②, ①-②得()()()12121212ln ln 02x x x x x x kx x -+-++-=,即()112212ln02x x x x k x x +++=-,又因为120012122x x k x x x x +⎛⎫=--=-- ⎪+⎝⎭, 所以112122121212lnln 202x xx x x x k x x x x x x +++=-=--+,所以()1212122ln0x x x x x x --=+, 所以12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+,③ 设12x u x =,()0,1u ∈,则③式变为()()()21ln 00,11u u u u --=∈+,设()()()21()ln 0,11u h u u u u -=-∈+, 则()()()()()()()22'22221211411()0111u u u u u h u u u u u u u +--+--=-==>+++, 所以函数()21()ln 1u h u u u -=-+在()0,1上单调递增,()(1)0h u h <=即()21ln 01u u u --<+,也就是12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+,此式与③矛盾, 故函数()f x 在()()00,x f x 处的导数不能为0.【点睛】本题考查已知函数单调性求参数范围问题,考查利用导函数处理双变量问题,考查转化思想与运算能力.21.已知直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 是坐标原点，4OA OB ⋅=-u u u r u u u r.（1）求线段AB 中点M 的轨迹的方程； （2）设直线l 与曲线M 交于C 、D 两点，CD ABλ=，求λ的取值范围.【答案】（1）224y x =-（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ,()22,B x y ,由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r可解得128y y =-,联立直线l :x my n =+与抛物线,根据韦达定理可得1248y y n =-=-,则2n =,进而可知直线l 恒过定点()2,0,设M 为(),x y ,由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,作差可得()()211212214y y y y x x x x -+=≠-,将直线的斜率公式代入,即可求得点M 的轨迹方程,并检验12x x =时是否满足；（2）分别联立直线l 与点M 的轨迹方程,直线l 与抛物线24y x =,利用两点间距离公式和弦长公式分别求得2CD 和2AB ,由>0∆可得m 范围,进而求得2λ的范围,从而求解.【详解】解:（1）设()11,A x y ,()22,B x y , 4OA OB ⋅=-u u u r u u u r Q ,12124x x y y ∴+=-,即221212444y y y y ⋅+=-, ()21280y y ∴+=,128y y ∴=-,设直线l :x my n =+,代入24y x =,得2440y my n --=,则216160m n ∆=+>, 1248y y n ∴=-=-,解得2n =, l ∴:2x my =+, ∴直线l 过定点()2,0, 设线段AB 的中点坐标为(),x y , 由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,作差可得()()211212214y y y y x x x x -+=≠-, 0242y y x -∴⋅=-,即224y x =-, 当12x x =时,中点()2,0满足上述方程, 故轨迹M 的方程为224y x =-. （2）由（1）,由2224x my y x =+⎧⎨=-⎩可得220y my -=,解得0y =或2y m =, l Q 与曲线M 交于C ,D 两点,0m ∴≠, 当0y =时,2x =；当2y m =时,222x m =+, 设()2,0C ,()222,2D m m +, ()()()2222222241CD m m m m ∴=+=+,由242y x x my ⎧=⎨=+⎩可得2480y my --=,则216320m ∆=+>,所以124y y m +=,128y y =-,则AB ==,()()()()22222222224112142161242m m CD m m m m m AB λ+⎛⎫∴====- ⎪++++⎝⎭, 由l 交曲线M 于C ,D 两点,知0m ≠,2104λ∴<<,102λ∴<<, 故所求λ的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查弦长公式的应用,考查求轨迹方程,考查运算能力. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程12x y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2281sin ρθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点P 的坐标为()1,0，求PA PB ⋅的值.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22184x y +=，直线l的普通方程为220x -=.（2）4911 【解析】【分析】（1）对曲线C 利用222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩转化极坐标方程,对直线l 消去参数t 即可转化为普通方程；（2）由题列出直线l 的标准参数方程,代入曲线C 的直角坐标方程中,由12PA PB t t ⋅=,利用韦达定理求解即可.【详解】解:（1）2281sin ρθ=+Q ,即222sin 8ρρθ+=, ()2228x y y ++=∴,即22184x y +=,又12x y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）,所以220x -=, ∴曲线C 的直角坐标方程为22184x y +=,直线l的普通方程为220x +-=. （2）过P 点的直线l 的标准参数方程为17x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将直线l 的标准参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得2212877⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即211490t --=,且>0∆,设A ,B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,121249491111PA PB t t t t ∴⋅=⋅=⋅=-=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查利用直线参数的几何意义求解弦的乘积.23.已知函数()|1||24|f x x x =-+-，记()f x 的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若a 、b 、c +∈R ，且a b c m ++=，149123N a b c =+++++.求N 的最小值. 【答案】（1）1（2）367. 【解析】【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式,进而根据函数的单调性求解；（2）由（1）1a b c ++=,利用柯西不等式可得()()()()222212312312336123a b c a b c ⎛⎫+++++++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭,则149361237a b c ++≥+++,再由取等条件求解即可. 【详解】解:（1）()35,11243,1235,2x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩,1x ∴<时,()f x 单调递减；12x ≤<时,()f x 单调递减；2x ≥时,()f x 单调递增； ()()min 21m f x f ∴===.（2）由（1）知1a b c ++=,又()()()()222212312312336123a b c a b c ⎛⎫+++++++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭, 149361237a b c ∴++≥+++, 当且仅当1231231a b c a b c ⎧==⎪+++⎨⎪++=⎩,即161312a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时等号成立, 即N 的最小值为367. 【点睛】本题考查分类讨论法求最值,考查柯西不等式的应用,考查运算能力.。
2020年3月河南省名校四校联盟(南阳、信阳、漯河、平顶山一中)2020届高三线上联考数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前河南省名校四校联盟(南阳、信阳、漯河、平顶山一中)2020届高三年级下学期3月线上联考质量检测数学(理)试题2020年3月注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{a －1，a ＋1}，B ＝{1，2}，C ＝{2，3}，若A ∩B ＝∅，且A ∩C ≠∅，则a ＝A.1或3B.2或4C.0D.42.设复数z ＝(a ＋i)(1－i)(a ∈R)，则复数z 在复平面内对应的点不可能在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知(2x 2－1x )(n ∈N *)的展开式中各项的二项式系数之和为128,则其展开式中x 2的系数为 A.280 B.－280 C.35 D.－354.记[x]表示不超过x 的最大整数,已知2a ＝3b ＝6c ,则[a b c +]＝ A.2 B.3 C.4 D.5.5.函数f(x)＝2x ＋1x x +的图象大致为6.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等。
下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图,则计算机输出的结果是A.6B.5C.4D.37.在△ABC 中,D,E 分别为BC,AC 边上的点,且2BD DC =u u u r u u u r ,若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ,则λ＝ A.54- B.43- C.45- D.34- 8.设点A 、B 分别在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线l 1、l 2上,且点A 在第一象限,点B 在第四象限,AB ⊥l 1,P 为坐标原点,若|OA|、|AB|、|OB|成等差数列,则双曲线C 的离心率为A.2B.52C.3D.629.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π,图象在y 轴上的截距为3。
2020届湖南、河南、江西高三下学期3月线上联考数学(文)试题(解析版)
2020届湖南、河南、江西高三下学期3月线上联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜5}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ≤2} B ．{x |0＜x ＜5}C ．{0，1，2}D ．{1，2}【答案】D【解析】列举法表示集合A ，直接进行交集运算. 【详解】∵集合A ＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜5}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3a B ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a【答案】C【解析】两复数相等，实部与虚部对应相等. 【详解】由3(21)ai b a i +=--，得312b a a=⎧⎨=-⎩，即a 13=，b ＝3．∴b ＝9a ． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.3．设双曲线22227x y m m-=（0m >）的焦距为12，则m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据222c a b=+可得关于m的方程，解方程即可得答案.【详解】因为22227x ym m-=可化为221414x ym m-=，所以221241418362c m m m⎛⎫=+===⎪⎝⎭，则2m=.故选：B.【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4．若,x y满足约束条件210x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y=+的最大值为（）A．5-B．1-C．5D．6【答案】C【解析】作出可行域，根据平移法即可求出4z x y=+的最大值．【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y=+经过点()1,1时，z取最大值5.故选：C．【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法，属于基础题．5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤【答案】C【解析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ）A ．14B 15C 26D ．15【答案】D【解析】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出3cos 5EG BEG BE ∠==cos BED ∠，即可得出答案. 【详解】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，则5BE DE ==22BD =，在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ，则523EG =-=，3cos 5EG BEG BE ∠==， 所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-， 即：31cos 2155BED ∠=⨯-=， 所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15. 故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.7．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ） A ．1人 B ．2人 C ．5人 D ．6人【答案】C【解析】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25人中应该抽取的人数. 【详解】由题意知两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人， 仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人. 从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为91455=， 故两项都合格的25人中应该抽取25155⨯=人. 故选：C. 【点睛】本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即10CD=尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BACθ=∠，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③2tan23θ=；④17tan47πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．①④D．②③④【答案】B【解析】利用勾股定理求出BC的值，可得tanBCABθ=，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ，利用两角和的正切公式求得tan4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【详解】设BC x=，则1AC x=+，∵5AB=，∴2225(1)x x+=+，∴12x=.即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴12tan5BCABθ==，由2θ2tan2tanθθ1tan2=-，解得2tan23θ=（负根舍去）.∵12tan5θ=，∴1tan17tan41tan7πθθθ+⎛⎫+==-⎪-⎝⎭.故正确结论的编号为①③④.故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题. 9．将函数()36f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭的图像向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据平移法则可知， ()3()36g x sin x m π=-+，再根据()g x 为奇函数，即可得到3,6m k k Z ππ-+=∈，由此解出．【详解】由题意知()3()36g x sin x m π=-+，因为()g x 是奇函数，所以3,6m k k Z ππ-+=∈.解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π.故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及函数()sin y A ωx φ=+的性质应用，属于基础题．10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.12．已知函数()e x f x a =（0a >）与2()2g x x m =-（0m >）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为（ ） A ．24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．28,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩通过代入法将m 用0x 表示，再构造函数进行求值域，即可得答案. 【详解】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理得200042,0,0,x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩由200240m x x =->，解得02x >.由上可知04e x x a =， 令4()e x x h x =，则4(1)()xx h x e -'=.因为2x >，所以4(1)()0e x x h x -'=<，4()exxh x =在(2,)+∞上单调递减， 所以280()e h x <<，即280,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题13．设非零向量a r ，b r 满足3a b =r r ，1cos ,3a b =r r ，()16a a b ⋅-=r r r，则b =r ______.【解析】由题知，3a b =r r ，1cos ,3a b <>=r r ，利用向量的数量积公式化简()16a a b ⋅-=r r r ，即可求出b r .【详解】∵3a b =r r ，1cos ,3a b <>=r r ，∴()2a a b a a b ⋅-=-⋅r r r r r r ，29cos ,3b b a b b =<>-⋅⋅r r r r r2229816b b b -===r r r∴b =r. 【点睛】本题考查向量的数量积公式和向量的模，属于基础题.14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1~5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______． 【答案】110【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求出． 【详解】从这5个数中随机抽取3个整数，所有基本事件个数为10，其中的勾股数为()3,4,5，共1个，故概率110P =. 故答案为：110． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题． 15．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知3A π=，1b =，且()()22222sin4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-，则a =______.【答案】2【解析】利用正弦定理角化边公式化简()()22222sin4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-，再运用余弦定理得出2248cos 2a b A +=，即可求出a . 【详解】因为()()22222sin 4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-， 所以()()2222248a b c bc a +=+-，又3A π=，1b =，所以()()2222248a bbc bc a +=+-，所以22222488cos 422a b b c a A bc ++-=⨯==，则2442a +=，解得2a =.故答案为：2. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是______. 【答案】4【解析】先求出直线PA ，PB 的方程，联立解得122P x x x +=，由点P 是两切线的公共点求得AB 的方程为12Px x y ⋅=+，表示出A ，B 两点到准线的距离之和并化简为()21244x x ++，从而求得最小值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，22224x x y x =-，联立解得122P x x x +=，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为112x y x y =-，222x y x y =-，将P 点坐标代入两方程，得1122,2,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧=-⎪⎪⎨⋅⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为12P x x y ⋅-=-，即12Px x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2121244424P x x x x x +=++=+…. 故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.三、解答题17．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）125分（2）列联表见解析；没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系【解析】（1）根据题意，测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为5030%15⨯=，即可得答案；（2）完成列联表，再代入卡方系数计算公式，即可得答案.【详解】（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为5030%15⨯=，所以优秀分数线应定为125分.（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有500.315⨯=人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有501535-=人，其中“赞成的”有22人.2×2列联表如下：2250(1013522)250.066 2.70632181535378K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系. 【点睛】本题考查独立性检验、卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且113n n n a a a +-=+. (1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. (2)若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析，21n a n=-（2）()121n n S n =-+g【解析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并通过数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式得到数列{}n a 的通项公式； (2)因为1221nn n n b n a -==⋅+，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】 (1)因为113n n n a a a +-=+ 两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n n a a +-=++，所以数列11na⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差，首项为11112a=+的等差数列．所以112nna=+，即21nan=-．(2)因为1221nnnnb na-==⋅+，所以数列{}n b的前n项和，121112232...2nnS n-=⨯+⨯+⨯++⋅①则1232122232...2nnS n=⨯+⨯+⨯++⋅，②由-①②，得()121111212122121n n nnS n n-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=---，所以()121nnS n=-⋅+．【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面ABCD，//AD BC，90DAB∠=︒，122AB BC PA AD====，E为PB的中点，F是PC上的点.（1）若//EF平面PAD，证明：F是PC的中点.（2）求点C到平面PBD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）根据线面平行的性质定理可证得//EF BC，即可得答案；（2）利用等积法可求得点C到平面PBD的距离.【详解】（1）证明：因为//BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以//BC平面PAD.因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC I平面PAD PM=，又因为BC⊂平面PBC，所以//BC PM.因为//EF 平面PAD ，EF ⊂平面PBC ， 所以//EF PM ， 从而得//EF BC .因为E 为PB 的中点，所以F 为PC 的中点.（2）解：因为PA ⊥底面ABCD ，90DAB ∠=︒，122AB BC PA AD ====， 所以222PB PA AB =+=2225PD PA AD +=2225BD BA AD +=所以2211622DPBS PB DP PB ∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 设点C 到平面PBD 的距离为d ， 由C PBD P BCD V V --=，得11113332DPB BCD S d S PA BC AB PA ∆∆⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯， 解得23d =. 【点睛】本题考查线线平行性质定理的运用、点到面距离的求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足3OP PM=u u u v u u u u v，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值. 【答案】（1）2213x y += （2）257【解析】(1)由题意知ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形，从而求得B 点坐标，代入椭圆方程求出a ，即可得解；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，直线MN 的方程与椭圆方程联立求出12x x +=，1234x x =，1214y y =-，利用计算出点Q 的坐标, 因为点Q 在椭圆C 上，所以223313x y +=，整理得()()2222211221212222913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1212103x x y y +=， 221113x y +=，222213x y +=，方程解得257m =，即||25||7NP PQ =.【详解】解：（1）因为直线AB 的斜率为1，且OB AB ⊥， 所以ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形，从而有,22a a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代人椭圆C 的方程，得21144a +=，解得23a =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）由（1）得)F，所以直线MN 的方程为y x =设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，将y x =-2213x y +=，得2430x -+=，所以122x x +=，1234x x =，所以(121214y y x x=-=-. 因为3OP PM =u u u r u u u u r ，所以34OP OM =u u u r u u u u r ，所以1133,44P x y ⎛⎫⎪⎝⎭.设||||NP m PQ =，则NP mPQ =u u u r u u u r ，121231313333,,4444x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3123123(1)1,43(1)1.4m x x x m m m y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以223313x y +=，所以()()22121231*********m m x x y y m m m m ++⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得，()()2222211*********913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由上得1212103x x y y +=，且可知221113x y +=，222213x y +=，所以()222911116m m m ++=，整理得2718250m m --=， 解得257m =或1m =-（舍去），即||25||7NP PQ =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题. 21．已知函数(1)(1ln )()3x x f x m x++=-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈.(1)求函数()g x 的单调区间与极值.(2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）3ln 20,2+⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）求出函数()g x 的定义域，接着求导，对参数m 分类讨论。
2020届河南省名校高三3月线上联合考试数学(文)试题(含答案解析)
2020届河南省名校（南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校）高三3月线上联合考试数学（文）试题一、单选题 1．设2iiz -=，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数的除法的运算法则和共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】2(2)12iz i i i i-==--=--，12z i =-+. 故选:B 【点睛】本题考查了复数的除法运算的法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数在复平面的位置特征，考查了数学运算能力.2．设集合{}0,1M =，{}|lg 0N x x =≤，则集合M N ⋃=（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞【答案】A【解析】根据对数函数的单调性和定义域，结合集合并集的定义进行求解即可. 【详解】由题意得{}0,1M =，(]0,1N =，故[]01M N =U ,. 故选：A 【点睛】本题考查了对数不等式的解法，考查了集合并集的定义，考查了数学运算能力. 3．设0.53a =，0.5log 0.6b =，4cos 5c π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】根据对数函数、指数函数的单调性和三角函数正负性进行求解即可. 【详解】由指数函数的性质可得0.50331a =>=，由对数函数的性质可得0.5log 0.6(0,1)b =∈，根据余弦函数的性质可得4cos 05c π=<，所以c b a <<. 故选：C 【点睛】本题考查了对数式、指数式、三角式的大小判断，考查了指数函数、对数函数的单调性和三角函数的正负性，属于基础题.4．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．5．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．||sin ()ex xf x =B ．||2()e x f x x =-C ．||()e ||x f x x =-D ．||2()e 2x f x x =-【答案】D【解析】根据图象所反应的性质，结合四个选项的函数求导数判断单调性，逐一判断即可. 【详解】对于A ：函数||sin ()e x xf x =是奇函数，不满足题意； 对于B ：当0x ≥时，||2'2(e ()2)x xxe f x e x x f x x =-=⇒-=-，令'()2()2x x g x e x g x e -⇒=-=，当ln 2x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，当0ln 2x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减，因此()g x 的最小值为：(ln 2)22ln 22(1ln 2)0g =-=->，所以()0>g x ，即'()0f x >，()f x 单调递增，不满足题意；对于C ：当0x ≥时，||'()e ||()1x x x f x x e x f x e =-=-⇒=-，当0x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 单调递增，不满足题意；对于D ：函数||2()e 2x f x x =-为偶函数，且当0x ≥时，||2'224()e 2()x x x e f x e x x f x x =-=⇒-=-，令'()4()4x x g x e x g x e -⇒=-=，当ln 4x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，当0ln 4x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减，因此()g x 的最小值为：(ln 4)24ln 22(12ln 2)0g =-=-<，当x →+∞时，()+g x →∞，当0x →时，()1g x →，因此函数()g x 有两个零点，设为1212,(0ln 4)x x x x <<<，显然当1(0,)x 时，()0>g x ，即'()0f x >，函数()f x单调递增，当12(,)x x 时，()0<g x ，即'()0f x <，函数()f x 单调递减，当2(,)x +∞时，()0>g x ，即'()0f x >，函数()f x 单调递增，满足题意.故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的图象判断函数的解析式，考查了偶函数的性质，考查了导数的应用.6．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A ．522 B ．324C ．535D ．578【答案】A【解析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可. 【详解】第6行第6列开始的数为808（不合），436，789（不合），535，577，348，994（不合），837（不合），522，则满足条件的5个样本编号为436，535，577，348，522，则第5个编号为522. 故选:A 【点睛】本题考查了随机数表的应用，属于基础题.7．已知sin 630.891︒≈)2cos72cos18︒+︒的近似值为（ ） A ．1.773 B ．1.782C ．1.796D ．1.815【答案】B【解析】运用诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可. 【详解】))2cos72cos182sin18cos18︒+︒=︒+︒()2sin 18452sin6320.891 1.782=︒+︒=︒≈⨯=.故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，考查了辅助公式，考查了数学运算能力.8．已知向量(1,0)OM =u u u u r ，(0,2)ON =u u u r ，MP tMN =u u u r u u u u r，则当||OP uuu r 取最小值时，实数t =（ ）A ．15B．13C ．12D ．1【答案】A【解析】根据平面向量的加法的几何意义、共线的性质结合平面向量的坐标表示公式求出OP uuu r的坐标，再利用平面向量模的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】由MP tMN =u u u r u u u u r()OP OM t ON OM ⇒=+-u u u r u u u u r u u u r u u u u r，得[](1,0)(0,2)(1,0)(1,2)OP t t t =+-=-u u u r，222214||(1)4521555OP t t t t t ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭u u u r ，则当15t =时，||OP uuu r 有最小值.故选：A 【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义，考查了平面向量的模的坐标表示公式、加减法、数乘的坐标表示公式，考查了数学运算能力.9．在如图所示的程序框图中，执行所给的程序后，则输出的T 和k 的关系为（ ）A ．7(2)T k =-B ．103T k =-C ．9(2)T k =-D ．81T k =-【答案】B【解析】先判断再进入循环体，直至100T >退出循环体，输出T ，k 的值，进行判断即可. 【详解】根据题中所给的程序框图，在执行完后，可知输出的T ，k 的值分别是127T =，13k =，由四个选项可以发现12710133=⨯-. 故选：B 【点睛】本题考查了程序框图循环结构的输出问题，考查了整数的整除性，属于基础题. 10．抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O 、F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】设出圆的标准方程，求出抛物线的焦点坐标，根据圆的切线的性质进行求解即可. 【详解】依题意，设圆的方程为：22()()9x a y b -+-=，抛物线22y px =（0p >）的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 已知得2222223,3,23,2a b p a b p a ⎧+=⎪⎪⎪⎛⎫-+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=+⎪⎩，解得4343p =⨯=.故选：C 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，考查了待定系数法，考查了数学运算能力. 11．将函数()sin cos f x x x =的图象向右平移ϕ（||2ϕπ<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则满足条件的实数ϕ的最小值与最大值的和是（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】D【解析】结合二倍角的正弦公式可以化简函数()f x 的解析式，根据平移变换的解析式变化的规律可以求出函数()g x 的解析式，最后根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】1()sin cos sin 22f x x x x ==，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()g x 的图象，则11()sin 2()sin(22)22g x x x ϕϕ=-=-，222222k x k πππϕπ-≤-≤+，可得44k x k πππϕπϕ-+≤≤++，k ∈Z ，即函数()g x 的单调递增区间为,44k k πππϕπϕ⎡⎤-+++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 因为()g x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则,460,4k k πππϕππϕ⎧++≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩即,12,4k k πϕππϕπ⎧≥--⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩ 则124k k πππϕπ--≤≤-+，k ∈Z ，令0k =，得124ππϕ-≤≤，满足||2ϕπ<， ϕ的最大值和最小值的和为1246πππ-+=.故选：D 【点睛】本题考查二倍角的正弦公式的应用，考查了正弦型函数的单调性和图象平移的变换特征，考查了数学运算能力.12．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线by x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 BC ．3D．【答案】A【解析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-， 解得21122a c AF -=，1722a cAF -=， 直线1AF 与by x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =. 故选：A 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.二、填空题13．已知函数()2()e xf x x ax =+的一个极值点为1，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为______. 【答案】320x y +=【解析】对函数进行求导，利用函数的极值的定义可以求出a 的值，最后根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】2()(2)e xx x a a f x ⎡⎤=+++⎣⎦'，由()01f '=，有32a =-， 又切点为(0,0)，3(0)2f '=-,则切线方程为32y x =-，320x y +=.故答案为：320x y += 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查了函数极值的定义，考查了数学运算能力.14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则33S a ______. 【答案】7【解析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21152a a q +=，31154a q a q +=， 两式相除可得2312q q q +=+，解将12q =，12a =，1233331212712S a a a a a ++=++==.故答案为：7 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 15．函数()cos 2|sin |f x x x =+（x ∈R ）的最小值为______. 【答案】0【解析】根据余弦的二倍角的公式，应用换元法，根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】22()2sin |sin |12|sin ||sin |1f x x x x x =-++=-++，令[]|sin |0,1x t =∈，221y t t =-++，[]0,1t ∈，当1t =时，y 取最小值为0.故()f x 的最小值为0. 故答案为：0 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了二次函数的单调性，考查了换元法，考查了数学运算能力.16．将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为3的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为______.【答案】6【解析】正三角形的边长为x ，根据四棱锥的体积公式，可以求出正三角形的边长，设正方形纸片的边长为a ，又四棱锥的斜高为x ，根据折叠中的不变性进行求解即可. 【详解】四棱锥正视图为正三角形，设正三角形的边长为x 3x ，即四棱锥的高为3x ， 则23133863V x x x ===，3162x =， 设正方形纸片的边长为a ，又四棱锥的斜高为x ，由已知折叠过程可得1222x x a +=，23x a =，则322⎫=⎪⎪⎝⎭6a =. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了四棱锥的体积公式，考查了图形折叠的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，数列{}n b 满足24log 3n n b a =+.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设14n n n n c b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）43n a n =-；2n n b =（2）142241n n n ++-+ 【解析】（1）根据当2n ≥时，1n n n a S S -=-可以求出数列{}n a 的通项公式，再验证当1n =时，首项是否适合；再根据24log 3n n b a =+，结合对数与指数互化公式进行求解即可；（2）化简数列{}n c 的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前n 项和、裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）由22n S n n =-，当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-，1n =时，11a =对上式也成立，∴43n a n =-；又24log 3n n b a =+，2log n b n =，2nn b =.（2）1441122(43)(41)4341n n n n n n c b a a n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭， ()212111111125594341n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1114222124141n n n n n +++⎛⎫=-+-=- ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查了已知数列前n 项和求通项公式，考查了分组求和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.18．某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发人工智能产品，为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),i i x y (1,2,3,4,5,6)i =，如下表所示：附：参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆ=-ay bx ，参考数据：611806i i y y ===∑，611606i i i x y ==∑，62191i i x ==∑.（1）求p 的值；（2）已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （百元）的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（计算结果精确到整数位）；（3）用ˆi y表示用正确的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 的残差的绝对值ˆ1i i yy -<时，则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率. 【答案】（1）82p =（2）见解析（3）见解析【解析】（1）根据平均数的定义，结合题中所给的数据进行求解即可；（2）利用平均数的定义，可以求出x 的值，再利用已知所给的数据进行求解即可； （3）根据已知，结合（2）所求的线性回归方程可以求出满足已知的有效数据，最后利用列举法，根据古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】（1）由611806i i y y ===∑，得9186787370806p +++++=， 解得82p =. （2）∵1234563.56x +++++==，而611806i i y y ===∑，611606i i i x y ==∑，62191i i x ==∑，∴216066 3.58074ˆ4916 3.517.5b-⨯⨯-==≈--⨯，ˆ80(4) 3.594a =--⨯= 所求的线性回归方程为：ˆ494yx =-+； 或者74ˆ80() 3.59517.5a=--⨯=，所求的线性回归方程为：ˆ495yx =-+ （3）若回归方程为：ˆ494yx =-+时， 当11x =时，1ˆ90y=；当22x =时，2ˆ86y =；当33x =时，3ˆ82y =；当44x =时，4ˆ78y=；当55x =时，5ˆ74y =；当66x =时，6ˆ70y =.满足ˆ1i i y y -<条件的“有效数据”有：(2,86)，(3,82)，(4,78)，(6,70)共4个，记(1,91)A =，(2,86)B =，(3,82)C =，(4,78)D =，(5,73)E =，(6,70)F =，从6组销售数据中任取2组，基本事件有：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件有：BC ，BD ，BF ，CD ，CF ，DF ，共6种，所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为62155=. 若回归方程为：ˆ495yx =-+时， 当11x =时，1ˆ91y=；当22x =时，2ˆ87y =；当33x =时，3ˆ83y =；当44x =时，4ˆ79y=；当55x =时，5ˆ75y =；当66x =时，6ˆ71y =.满足ˆ1i i y y -<条件的“有效数据”有：(1,91)，共1个，记(1,91)A =，(2,86)B =，(3,82)C =，(4,78)D =，(5,73)E =，(6,70)F =，从6抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件不存在 所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为0. 【点睛】本题考查了平均数的定义，考查了线性回归方程的求法，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AD BC =，//AB CD ，120ADC =∠︒，22AB CD ==，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，G 是AB 的中点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求直线PG 与平面PBC 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析（215【解析】（1）根据已知可以证明出AGCD 为平行四边形，利用平行四边形的性质，结合余弦定理，勾股定理的逆定理，根据线面、面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）设E 为BC 中点，连接GE ，PE ，则GE BC ⊥，由（1）中的结论可以证明平面PBC ⊥平面ABC ，从而有GE ⊥平面PBC ，GPE ∠为直线PG 与平面PBC 所成的角，利用锐角的三角函数值定义进行求解即可. 【详解】（1）由已知，//DC AG ，且DC AG =，则AGCD 为平行四边形，AD CG =，又AD BC =，则BC GC =，由120ADC =∠︒知60ABC ∠=︒，则BCG ∆为正三角形，在ABC ∆中，2AB =，112BC BG AB ===， 由余弦定理知，2222cos 3AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=， 有222AC BC AB +=，AC BC ⊥，又AC PC ⊥，BC PC C ⋂=，则AC ⊥平面PBC ， 而AC ⊂平面PAC ，则平面PAC ⊥平面PBC . （2）设E 为BC 中点，连接GE ，PE ，则GE BC ⊥，因为PC ⊥平面ABCD ，PC ⊂平面PBC ，则平面PBC ⊥平面ABC ， 则GE ⊥平面PBC ，GPE ∠为直线PG 与平面PBC 所成的角， 又直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，则PC BC =， 又225PE PC EC =+=，3GE =， 所以在Rt PGE ∆中，3152tan 55GE GPE PE ∠===， 即直线PG 与平面PBC 所成角的正切值为15.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了求线面角的正切值，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为椭圆的下顶点，1MF 交椭圆于另一点N 、2MNF ∆的面积163.（1）求椭圆的方程；（2）过点(4,0)P 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，点B 关于x 轴的对称点为1B ，问：直线1AB 是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）直线1AB 过定点(2,0)T【解析】（1）根据椭圆离心率的公式和椭圆中,,a b c 的关系，可以判断出12MF F ∆的形状，最后结合椭圆的定义和三角形的面积公式进行求解即可；（2）设出直线1AB 的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数关系，三点共线进行求解即可. 【详解】（1）由椭圆的离心率2c e a ==2a c =，2222b a c c =-=，b c =， ∴12MF F ∆是等腰直角三角形， 又122NF a NF =-， 在2Rt MNF ∆中，()22221NF a a NF =++，即()222223NF a a NF =+-.解得253a NF =，13a NF =，4||3aMN =， ∴2MNF ∆的面积为1416233a S a =⨯⨯=，28a =，24b =，∴椭圆方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，设直线1AB 与x 轴交于点(,0)T t ，直线1AB 的方程为x my t =+（0m ≠），由22,1,84x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩有()2222280m y mty t +++-=，()()222(2)4280mt m t ∆=-+->，22480m t -+>， 12222mt y y m +=-+，212282t y y m -=+，由P 、A 、B 三点共线，PA PB k k =，即121244y y x x -=--， 将11x my t =+，22x my t =+代入整理得()()1221440y my t y my t +-++-=， 即()12122(4)0my y t y y +-+=， 从而()222282(4)022m t mt t m m -⎛⎫+--= ⎪++⎝⎭，即(2)0t m -=，解得2t =，此时满足>0∆. 则直线1AB 的方程为2x my =+，故直线1AB 过定点(2,0)T . （其他解法正确同样给分） 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中直线过定点问题，考查了数学运算能力. 21．已知函数||()e 3cos x f x x =-. （1）证明：()20f x +≥；（2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式()e 3xf x m n x'-<<恒成立，求实数m 的最大值和n 的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）m 的最大值为2π，n 的最小值为1 【解析】（1）当[)0,x ∈+∞时，对函数进行求导，利用导数可以求出函数的最小值，利用奇偶性再进行判断即可；（2）化简()e 3xf x x'-，不等式可以转化为：sin 0x mx ->，sin 0x nx -<，令()sin g x x tx =-，求导，根据t 的不同取值，判断出函数的单调性，最后分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当[)0,x ∈+∞时，()e 3cos x f x x =-，()e 3sin xf x x '=+，当[)0,x Îp 时，0x e >，则()e 3sin 0xf x x '=+>，当[),x π∈+∞时，3>x e ，则()e 30xf x '≥->，则当[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在[)0,+∞上为增函数，()(0)2f x f ≥=-， 又函数()f x 为偶函数，则对任意x ∈R ，()20f x +≥成立，（2）()e sin 3x f x x x x'-=， 当0x >时，sin xm x>，即为sin 0x mx ->， sin xn x<，即为sin 0x nx -<， 令()sin g x x tx =-，则()cos g x x t '=-， 当0t ≤时，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0g x '>，()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，()(0)0g x g >=；当1t ≥时，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，()(0)0g x g <=；当01t <<时，存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x t '=-=， ()g x 与()0g x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下：()g x 在区间()00,x 上是增函数，()0(0)0g x g >=，进一步，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()sin 0g x x tx =->，当且仅当1022g t ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭， 可得20t π<≤.综上所述，当且仅当2t π≤时，()0>g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立； 当且仅当1t ≥时，()0<g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以m 的最大值为2π，n 的最小值为1. 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为20kx y k -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)T -，直线l 与y 轴正半轴交于点R ，与曲线C 交于A ，B 两点，且||TA ，||TR ，||TB 成等比数列，求直线l 的极坐标方程.【答案】（1）221x y -=（2）cos 2sin 20ρθρθ-+=或cos 2sin 0θρθ-+=【解析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合极坐标与直角坐标转化公式进行求解即可； （2）写出直线l 的参数方程，求出||TR 的表达式，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，利用参数的意义，结合等比数列的性质进行求解即可. 【详解】（1）方程2cos 21ρθ=可化为()222cos sin 1ρθθ-=，将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，得曲线C 的直角坐标方程221x y -=.（2）由直线l 的方程为20kx y k -+=，知直线l 过点(2,0)T -，记直线l 的倾斜角为α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），令0x =，得点R 对应的参数值为2cos α，即2||cos TR α=，把2cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入221x y -=，得22(2cos )(sin )1t t αα-+-=，整理，得()222cos sin 4cos 30tt ααα--+=，则有222222(4cos )12(cos sin )4cos 12sin 48sin 0αααααα∆=--=+=+>. 设A ，B 对应的参数值分别为1t ，2t ， 则12224cos cos sin t t ααα+=-，12223cos sin t t αα=-， 因为||TA ，||TR ，||TB 成等比数列，则2||||||TA TB TR ⋅=，所以22234cos sin cos ααα=-， 所以22234cos sin cos ααα=-或22234cos sin cos ααα=--，解得1tan 2α=或tan α=，l 的普通方程为112y x =+或2y x =+，故l 的极坐标方程为cos 2sin 20ρθρθ-+=cos 2sin 0θρθ-+=. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了利用参数的意义解决线段有关长度问题，考查了数学运算能力.23．已知函数()2|1||2|f x x x =++-.（1）求函数()f x 的值域；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222226a b a c b c c b a+++++≥. 【答案】（1）[)3,+∞（2）证明见解析【解析】（1）用绝对值的性质化简函数的解析式变成分段函数解析式的形式，然后分类讨论进行求解即可；（2）由（1）可以求出m 的值，然后利用重要不等式、基本不等式进行证明即可. 【详解】3,1,()2124,12,3, 2.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=++-=+-≤<⎨⎪≥⎩当1x <-时，()3(3,)f x x =-∈+∞； 当12x -≤<时，[)()43,6f x x =+∈； 当2x ≥时，[)()36,f x x =∈+∞. 故()f x 的值域为[)3,+∞.（2）由（1）知函数()f x 的最小值3m =，则3a b c ++=，222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++c b c a a b a b c b c a c b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()6a b c ≥++=，当且仅当1a b c ===时取等号.或：222222a b a c b c c b a +++++222222b c a c a b a b c a bc ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222()b c a c a b a b c a b c a b c ab c a b c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2()2()2()a b c a b c a b c ≥+++++-++ 2()6a b c =++=，第 21 页 共 21 页 当且仅当1a b c ===时取等号.【点睛】本题考查了求含绝对值函数的最值问题，考查了利用重要不等式和基本不等式证明不等式，考查了数学运算能力和代数式恒等变形能力.。
河南省2020届高三3月线上联考语文试卷含答案
河南省2020届高三3月线上联考语文试题含答案一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
从画家叶永青被指抄袭比利时艺术家克里斯蒂安·希尔文，再到近期曝出的画家陈琦涉嫌抄袭，艺术界接连曝出的抄袭事件引发了大众的深度思考。
在信息技术高度发达的今天，处于信息不发达年代的抄袭行为在当下已无市场。
同时，传统艺术形态已被市场深度融合，各艺术门类间的相互渗透、互联网信息的植入，使得艺术的内涵和外延也随之改变。
那么，艺术创作中的“模仿”“借鉴”“抄袭”到底应该如何界定呢？在学习艺术和创作的过程中，存在大量模仿、借鉴性质的行为，但艺术家是否赋予作品新的涵义，是作品具有独创性的重要衡量标准。
比如，在意大利文艺复兴后期画家提香的名作《乌尔比诺的维纳斯》中，作品的场景、构图、色调等取自于其师兄乔尔乔内的《沉睡的维纳斯》；19世纪的法国画家马奈则又受到提香的维纳斯的构图影响创作了《奥林叱亚》，他的另一幅作品《草地上的午餐》，则直接来源于意大利文艺复兴时期的版画《帕里斯的评判》中的构图。
再比如，中国绘画历史上也不乏以临摹为荣的传统，元代画家黄公望常在自己的作品上题写“拟北苑”，“拟”即有“仿”“模”之意，“北苑”就是他所尊敬的五代画家董源。
一个不争的事实是他们都没有在作品的形式上照搬、照抄，而是基于理解原作品的精髓下，将其转化为个人的再创造。
在信息高度流通的当下，如果艺术作品的互融互鉴无可避免，创作者应像上述古人那样，基于自身的艺术理念，在不违背真诚独立的创作精神的前提下，在不同的时代或社会语境下实现作品的内容和表现方式上的碰撞与融合，进而表达自己的鲜明的艺术观点。
即使一件作品的形式建立在前人的基础上，但只要它是依托于创作者深厚的文化底蕴，具备源自时代的精神特质和发自内心的情感触动，那它一定会拥有独特的现实魅力。
当代画家靳尚谊临摹荷兰画家维米尔的《戴珍珠耳环的少女》等经典作品，是寻找他在新的时代激变下的内心感受，是表达他对经典的崇尚和敬仰。
河南省2020届高三3月在线网络联考语文试卷
河南省2020届高三3月在线网络联考语文试卷考生注意:1.本试卷共150分,考试时间150分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9分)阅读下面的文字,完成1~3题。
开源软件是指开放源代码的软件,即代码创作者在遵循相关开源协议的基础上,将自己开发的软件源代码向全世界公开,允许其他开发者进行自主学习、测试、修改、二次开发和传播等,以协同方式改善软件产品的质量和优化软件功能等。
开源软件在操作系统、数据库、中间件等都有许多流行的软件产品,如Linux电脑操作系统、安卓手机操作系统、MySQL和PostgreSQL开源数据库等。
在软件世界中,开源软件已成为数字企业的流行趋势,也成为数字企业的战略方向和商业模式,开源战略对于数字企业具有重要作用。
开源战略有利于数字企业降低产品开发成本,提高数字产品质量。
数字产品开发具有典型的“高固定成本、低边际成本”的特征,企业初始进入市场时往往需要较大的研发资本投入,一般企业难以承受,而通过开源战略,数字企业可以有效分摊巨额开发成本。
另外,数字企业的产品往往使用很多其他公司的专利,需要支付大量的专利费用,而开源战略可以大幅减少数字企业使用专利的授权费用。
开源战略通过将开源产品向开发者、合作伙伴等开放,通过众多参与者的力量对产品进行测试、改进和优化,以精益求精的精神完善产品,从而使开源产品的质量和用户体验越来越好。
开源战略有利于降低数字经济的技术风险水平。
作为数字经济的技术基础,ABC等信息技术的风险对数字经济的风险水平有重要的影响。
相比于闭源软件等,开源软件在技术上更具有自主可控的优势。
闭源软件是一个黑箱,用户难以清楚认识内部情况,因此闭源软件等产品存在较大的被监控、被劫持、被攻击、被禁售、密钥和证书失控、无法打补丁等安全风险,而开源产品由于源代码开放,具有较高的透明度,并且可以修改和优化代码,因此技术风险水平较低。
2020届河南名校(四校)高三3月联合考试理科数学试卷含解析
8:8lL 为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分
二－－－－ ← －－ ← －－←
i1 布，计算得其方差为 6.25.由此估计，在这段时间：： 「－ －「－－「－－ 「－
内，该单位员工中 日均健步走步数在2 千步至
02 4 6
步数／千步
4.5 千步的人数约为
附：若随机变量Z服从正态分布N巾，σi ），则PCµ σ ＜Z ＜µ＋ σ） ＝ 0.6826,P(µ
C.4
D.5
5.函数J(x) =2x ＋x一+乙l的图象大致为
Jy
=1L------We
→ 。 ：汇
X
J
习
__)! y
X
：汇
A
B
C
D
数学（理科）试题第1页（共5页）
6.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松 竹并生 ”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源 于“松竹并生 ”问题的 一个程序框图，则计算机输出的结果是
用系统抽样法从这36名教师中抽取一 个容量为9 的样本，已知在第一 组用抽签法抽 到的年龄数据为48，则抽取的 9名教师年龄的中位数是 15. 若过点A（α，0）的任意 一 条直线都不与曲线C: y = xex 相切，则 G 的取 值范围是
16.在l:,ABC 中，已知顶点A(O,l），顶点B、C在z轴上移动，且BI CI = 2，设点M为 l:,ABC 的外接圆圆心，则点M到直线l :2x-2y-5 = 0 的距离的最小值为
4.C 【解析】由己知，alg 2 二clg 6,big3 二clg 6，则
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