运筹学习题解答(chap1 线性规划及单纯形法)

第一章 线性规划及单纯形法

一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情

况。

1、P55,1.3(a)

21510m ax x x Z +=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3.

t .s 2

12121 解：将模型化为标准型

21510x x Z Max +=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=++=++0,,,825943.

.4

32142

13

21x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下

因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2

。由

检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。

2、 P55,1.3(b)

21x x 2Z m ax +=

s.t

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

≥≤+≤+≤0

,5

24261552121212x x x x x x x

解：将模型化为标准型

21x x 2Z Max +=

t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

≥=++=++=+0

x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142

132 单纯形表如下

因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2

,2,2(X *=，最有目标值为

2

17

。由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。 3、

3212x x x Z Min -+=，

t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤++≤+-≤-+0

,,,5,822,4223213213

21321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型：

3212x x x Z Min -+=

t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥=+++=++-=+

-+0

,,,5,822,42232163

2153

214

321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代

最优解为（0，0，4），最优值为-4。

4、43213x x x x Z Min +++=

t s . ⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥=++=++-0

,,,,,63,

422432142

1321x x x x x x x x x x 解：

因为所有检验数均已非负，故已是最优解，最优解为（0，2，0，4），--10分最优目标值：6Z =*。由于最终表中非基变量1x 的检验数为0， 故该问题有无穷多最优解。

二、用大M 法求解下面的线性规划问题

1、P54,1.1(a)

2132m in x x Z +=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥+0,424664.

.2

12121x x x x x x t s 解：将模型化为标准型

652132Mx Mx x x Z Min +++=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=+-+=+-+0

, (425643)

.62

1642

15

321x x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下

所有检验数0≥j σ，已是最优解，)0,0,0,0,2

1

,43(*=X ，最优目标值3。因为有非基变量的检验数为0，此问题属于无穷多最优解的情况。

2、P54,1.1(b)

2123m ax x x Z +=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≤+0,124322.

.2

12121x x x x x x t s 解：将模型化为标准型

521-23Mx x x Z Max +=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=+-+=++0

, (124322)

.51

542

13

21x x x x x x x x x t s 单纯形表如下

所有检验数0≤j σ，满足最优性条件，但人工变量未出基。故该问题无可行解。

3、P55,1.7(b)

32132m in x x x z ++=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++0,,623824.3

2121321x x x x x x x x t s 解：将模型化为标准形式

列单纯形表格求解如下：

所有检验数均为非负，故已达最优解，最优解为,0x ,5

x ,5x 321===最优目标值为7z =*。 有无穷多最优解。

4、P55,1.7(a)

32122m ax x x x z +-=

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥=+-+=+-++++++=7,...,1i ,0x 6x x x 2x 38x x x 2x 4x t .s Mx Mx x x 3x 2z min i

752164

32176321

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥++0

,,02226.3213231321x x x x x x x x x x t s

解：将模型化为标准形式

987321-22m ax Mx Mx Mx x x x z --+-=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+--=+-+-=+++0

,...02226-.919632853174

321x x x x x x x x x x x x x x x t s

列单纯形表格求解如下：

4x 检验数为正，但其对应系数列全部为负，故该问题为无界解的情况。

5、 313m ax x x Z +-=

⎪

⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧≥=+≥-+-≤++0

,,931

24.32132321321x x x x x x x x x x x t s

解：化标准型

⎪

⎪

⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+--+-=+++--+-=0

x ,...,x 9x x x 31x x x x x 24x x x x t .s Mx Mx x x 3Z max 71732653

2143217

631

用单纯形法迭代

所以最优解为),2/3,2/5,0(X =*最优值为2/3。

6、32135x x x Z Max ++=

t s . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥++0,,,162,10243

21321321x x x x x x x x x

解：将模型化为标准型：

5321Mx x 3x x 5Z Max -++=

t s . ⎪⎩⎪

⎨⎧≥=++-=+-++0x ,x ,x ,x ,x ,x ,16x x x 2x ,10x x x 2x 4x 6

5432163

215

4321 用单纯形法迭代

因为2x 的检验数为)0(11>，但系数列0)6,2(T <--，故该问题为无界解。

三、建立下列问题的数学模型

1、P57. 1.14 某厂在今后4个月内需租用仓库堆放物资。已知各月所需仓库面积列于表1-1，仓库租借费用随合同期定，期限越长折扣越大，具体数字见表1-2.租借仓库的合同每月初都可以办理，每份合同具体规定租用面积和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，每次办理时可签一份，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，总目标是使得所附租借费用最小。试建

立该问题的数学模型。 表1-1

表1-2

解：ij x 表示第i 个月签订的期限为j 个月合同中所规定的仓库面积（i=1,2,3,4;j=1,2,3,4） 则模型为：

14

2313322212413121117300)(6000)

(4500)(2800min x x x x x x x x x x Z +++++++++=

s.t ⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧==≥≥+++≥+++++≥+++++≥+++.

4,3,2,1;4,3,2,1,012

;20;10;

1541

32231432312322141323222114131214131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij

2、P57. 1.16 某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，，都分别经A 、B 两道工序加工。设A 工序可分别在21A ，A 上完成，321,B B B ，都可用于完成B 工序。已知产品Ⅰ可在A 、B 任何一种设备上加工；产品Ⅱ的A 工序可在相应任何设备上完成，但B 工序只能在1B 上完成；产品Ⅲ只能在22,B A 上加工。加工单位产品所需工序时间

及其他各项数据见下表。请安排最优生产计划，使该厂获利最大。

解：设在i A 上加工的j 产品的数量是3,2,1;2,1,==j i x ij 。在k B 上加工的j 产品的数量是3,2,1;3,2,1,==j k y kj 。则模型如下：

)

7(05.0)114(1119.0)86(0625.0)1297(0321.0)105(05.0)5.08.2())(35.00.2())(25.025.1(max 3123211211232221121123

22122111y y y y y x x x x x x x x x x Z ⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯--++-++-= s.t 3121112111y y y x x ++=+；

122212y x x =+； 2323y x =；

60001051211≤+x x ；

100001297232221≤++x x x ；

4000861211≤+y y ； 70001142321≤+y y ； 4000731≤y ；

3,2,1;2,1,0==≥j i x ij ；3,2,1;3,2,1,0==≥j k y kj

3、P59. 1.21北海银行某分理处每天各时段对职员的需求如下表所示：

该分理处分别聘用部分全日制和非全日制职员。全日制职员每天从9:00工作到17:00，中间安排一小时午休（分两批，一批12:00~13:00，另一批13:00~14:00）

每天薪金240元。非全日制职员分六批次上班，时间分别是9:00~12:00,10：00~13:00,11:00~14:00,12:00~15:00,13:00~16:00，14:00~17:00，每人每天薪金80元。问：该分理处应聘用全日制和各批次的非全日制职员各多少人，能满足需求，又使得薪金支出为最少？

解：设全日制职员在12:00~13:00午休的为1x 人，13:00~14:00午休的为2x 人。 非全日制职员各批次分别为6321,...,,y y y y 人。则建立模型如下：

)(80)(240m in 65432121y y y y y y x x Z +++++++=

t s .⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨⎧=≥≥++≥+++≥++++≥+++≥+++≥++++≥+++≥++6,...,2,1,0,,8

86

5

6654

2162165216

5421

54314322321212121121j y x x y x x y y x x y y y x x y y y x y y y x y y y x x y y x x y x x j 4、P59. 1.22 工业原材料的合理利用

要制作100套钢筋架子，每套需要2.9米，2.1米和1.5米的钢筋各一根。已知原材料钢筋每根长7.4米。应如何下料切割，使原材料最省。试建立该问题的数学模型。

解：采用套裁的方式，每根7.4米的原料可按如下几种方法切割，得到所需长度的钢筋。

只考虑这几种料头较少的方案。设按照各方案瞎聊的原材料根数分别为

621,...,,x x x 。建立模型如下：

654321m in x x x x x x Z +++++=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≥++++≥+++≥+++且为整数。

,0,...,;100233;10022;1002.61654316

5214321x x x x x x x x x x x x x x x t

s

5、P60. 1.23某鞋厂推出一款新型运动鞋。根据经验和调查，预测下一年度上半年对该款运动鞋的需求如下：1月---3000双；2月---3600双；3月---4000双；5月---48000双；6月---5000双。生产每双鞋需耗用熟练工人4h 和150原材料费，每双售价240元。该厂1月初有熟练工80人，每人每月工作160小时。为适应生产需要，该厂可招收新工人培训，但培训1名新工人需占用熟练工人40小时用于指导操作，新工人培训期为1个月，培训结束即可上岗。熟练工人每月工资2000元。新工人培训期间当月发生活费800元，上岗后工资与生产效率同熟练工人。又因各种原因，熟练工人（包括上岗后等同熟练工的新工人）每月初有2%辞职离去。已知该厂年初有400双库存，要求6月末库存数达1000双，又每月生产出来的新鞋如不在月末交货的，发生库存费用为每双每月10元（期末库存费用不计）。试为该厂找出一个满足需求又使上半年总收入为最大的生产和劳动力安排方案。

解：设1~5月每月招收新工人分别为521,...,,y y y 人；第i 月生产用于第j 月交货的产量为ij x 双。则建立模型如下：

[{}{}]

16

2

1

4,3

1

3,4

1

2,5

1

1,5432143213212115

1

6

5

656

4

46

3

36

2

26

1

1504030201098.098.098.0}98.0]98.0)80{[(98

.098.0}98.0]98.0)80{[(98

.0}98.0]98.0)80{[(98.0]98.0)80[(98.0)80(80{2000800)400)(150240(max x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x Z i i i i i i i i i i i i k k

j j j j j j j j j j j -----⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯++⨯+⨯++⨯++--++++++-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=+=+=+=+======

;

6000;4800;4600;

4000;3600;3000400665646362616554535251544342414332313221211≥+++++≥++++≥+++≥++≥+≥+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 产量要求

{}{}.

5,...,1,0;

6,...,1,,0;98.098.098.0}98.0]98.0)80{[(1604;98.098.0}98.0]98.0)80{[(16040)(4;98.0}98.0]98.0)80{[(16040)(4;98.0]98.0)80[(16040)(4;98.0)80(16040)(4;

8016040)(454321664321556553214464544213363534331226252423221161514131211=≥=≥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≤⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≤++⨯+⨯+⨯+⨯≤+++⨯+⨯+⨯≤++++⨯+⨯≤+++++⨯≤++++++k y j i x y y y y y x y y y y y x x y y y y x x x y y y x x x x y y x x x x x y x x x x x x k ij 人工限制