2021-2022学年上海市松江区八年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列二次根式中，最简二次根式是( )B. √2aC. √6a2D. √8aA. √a22.已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,−4)、(1,y1)、(−1,y2)，那么y1与y2的大小关系是( )A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 无法确定3.某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年(包括今年)的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x.则由题意可列方程为( )A. 300(1+x)2=2100B. 300+300(1+x)2=2100C. 300(1+x)+300(1+x)2=2100D. 300+300(1+x)+300(1+x)2=21004.下列命题中，假命题是( )A. 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B. 三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C. 两腰对应相等的两个等腰三角形全等D. 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）=______ ．5.化简：√26.一元二次方程(x+1)(x−1)=2(x+1)的根是______．7.在实数范围内分解因式：2a2−4=______ ．8.函数y=√x+1的定义域为______．1−x9.若关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．10.正比例函数y=(k+1)x图象经过点(1,−1)，那么k=______．11.当1≤a≤2化简：√a2−2a+1+|a−2|=______．12.不等式√3x−1<√2x的解集是______．13.反比例函数y=k−3x的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是______ ．14.已知两个定点A、B的距离为4厘米，到点A、B的距离之和为4厘米的点的轨迹是______．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=______度．16.如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC=110°，则∠DAF=______度．17.在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是______．18.如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是______．三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题6.0分)计算：(3√43−√24)÷√3−22−√2．20.(本小题6.0分)用配方法解方程：x2−2√5x=4．21.(本小题6.0分)如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC=6.求AB的长．22.(本小题6.0分)小王上午8时自驾小汽车从家里出发，到“番茄农庄”游玩，小汽车离家的距离s(千米)与对应的时刻t(时)的关系可以用图中的折线表示，根据图象提供的有关信息，解答下列问题：(1)“番茄农庄”离小王家______千米；(2)小王在“番茄农庄”游玩了______小时；(3)在去“番茄农庄”的过程中，小汽车的平均速度是______千米/小时；(4)小王回到家的时刻是______时______分．23.(本小题8.0分)已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=−1时，y=−4；当x=3时，y=4．(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x=−2时，求y的值．24.(本小题8.0分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．(1)求证：CE=CD+BE；(2)如果CE=3BE，求S△ABC：S△ACD的值．25.(本小题10.0分)如图，在直角坐标平面内，正比例函数y=√3x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．26.(本小题10.0分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点(不与点A、C重合)，EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当BE=BF时，求线段CD的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A．√a2=√2a2，故A不符合题意；B.√2a是最简二次根式，故B符合题意；C.√6a2=√6|a|，故C不符合题意；D.√8a=2√2a，故D不符合题意；故选：B．根据最简二次根式的定义判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(2,−4)，∴k=yx =−42=−2.则k<0，∴正比例函数y=−2x的图象经过第二、四象限，且y随x的增大而减小．又∵1>−1，∴y1<y2．故选：A．利用待定系数法求得k=−2<0，则该正比例函数经过第二、四象限，且y随x的增大而减小，据此可以比较y1与y2的大小．本题考查了一次函数图象上点的坐标特点．此题利用了正比例函数图象的性质来解答问题．3.【答案】D【解析】解：设这个百分数为x，根据题意得出：300+300(1+x)+300(1+x)2=2100，故选：D．首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．4.【答案】C【解析】解：A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，本选项说法是真命题，不符合题意；B、三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，本选项说法是真命题，不符合题意；C、两腰对应相等的两个等腰三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；故选：C．根据线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5.【答案】√22【解析】解：√2=√2(√2)2=√22．故答案是：√22．在分子和分母中同时乘以√2即可化简．主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．6.【答案】−1或3【解析】解：原方程变形为：(x+1)(x−1)−2(x+1)=0即(x+1)(x−1−2)=0∴(x+1)(x−3)=0∴x1=−1，x2=3故本题的答案为x1=−1，x2=3本题应对方程进行变形，将等号右边的式子移向到等号左边，然后提取公因式x+1，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．7.【答案】2(a+√2)(a−√2)【解析】解：2a2−4=2(a2−2)=2(a+√2)(a−√2).故答案为：2(a+√2)(a−√2).先提取公因式2后，再把剩下的式子写成a2−(√2)2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．8.【答案】x≥−1且x≠1【解析】解：由题意得：x+1≥0，1−x≠0，解得：x≥−1且x≠1，故答案为：x≥−1且x≠1．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．9.【答案】k>−94【解析】【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程(不等式或不等式组)是关键．由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ>0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=32−4×1×(−k)=9+4k>0，解得：k>−9．4．故答案为：k>−9410.【答案】−2【解析】解：∵正比例函数y=(k+1)x的图象过点(1,−1)，∴−1=k+1，解得：k=−2．故答案为：−2．根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征得出关于k的一元一次方程是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：∵1≤a≤2，∴√a2−2a+1+|a−2|=a−1+2−a=1．故答案为：1．直接利用a的取值范围，结合二次根式以及绝对值的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质，正确把握相关性质化简是解题关键．12.【答案】x<√3+√2【解析】解：移项、合并同类项得，(√3−√2)x<1，不等式两边同乘以(√3+√2)得，x<√3+√2．利用不等式的基本性质，将不等式两边先移项再合并同类项，不等式两边同乘以(√3+√2)可系数为1.即可求出不等式的解集．解不等式应依据不等式的基本性质，确定未知数系数的有理化因式．13.【答案】k<3【解析】解：∵反比例函数y=k−3的图象位于第二、四象限，x∴k−3<0，解得k<3，故答案是：k<3．由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案．(k≠0)中，当k>0时，图象在第一、三象限，当本题主要考查反比例函数的性质，掌握在y=kxk<0时，图象在第二、四象限是解题的关键．14.【答案】线段AB【解析】解：不妨设这个点为P，由AP+BP≥AB，取等号的条件是P在线段AB上故答案为：线段AB定点A、B的距离为4厘米，到点A、B的距离之和为4厘米，通过这两个数据不能联想到这个点恰好在线段AB上．本题考查了三边关系中，取等号的条件，难度不大，答案书写要规范．15.【答案】30【解析】解：作DE⊥BA于E，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=CD=2，∵AD=4，∴AD=2DE，∴∠A=30°，故答案为：30．作DE⊥BA于E，利用角平分线的性质可得DE=CD=2，再利用AD=2DE，可得答案．本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．16.【答案】40【解析】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°−∠BAC=180°−110°=70°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，同理可得：∠PAC=∠C，∴∠DAB+∠PAC=∠B+∠C=70°，∴∠DAF=110°−70°=40°，故答案为：40．根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，进而求出∠DAB+∠PAC，结合图形计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．17.【答案】3【解析】解：如图，过点C作CE//AB交AD的延长线于E，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE//AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD与△ECD中，{∠ADB=∠EDC ∠ABD=∠ECD BD=CD，∴△ABD≌△ECD(AAS)，∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，CE=√AC2−AE2=√52−42=3，∴AB=CE=3，故答案为：3．过点C作CE//AB交AD的延长线于E，利用AAS证明△ABD≌△ECD，得AB=EC，AD=ED=2，再利用勾股定理即可得出答案．本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．18.【答案】1【解析】解：由矩形ABCD，得∠B=∠C=90°，CD=AB，AD=BC，AD//BC．由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE，∴DF=DC，∠DFE=∠C=90°，EF=CE，∴DF=AB，∠AFD=90°，∴∠AFD=∠B，由AD//BC得∠DAF=∠AEB，∴△ABE≌△DFA(AAS)．∴AE=AD=BC=5，DF=CD=AB=3在Rt△ADF中，由勾股定理可得AF=√AD2−DF2=√52−32=4，则EF=AE−AF=5−4=1，∴CE=EF=1．故答案为：1．由翻折易得△DFE≌△DCE，则DF=DC，∠DFE=∠C=90°，再由AD//BC得∠DAF=∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA；则∴AE=AD=BC=5，DF=CD=AB=3，在Rt△ADF中，由勾股定理可得AF=4，则EF=AE−AF=5−4=1．本题考查了三角形的全等和勾股定理的应用，一定要熟练掌握全等三角形的判定方法和勾股定理的内容．19.【答案】解：原式=3√43×13−√24×13−2(2+√2)(2−√2)(2+√2)=2−2√2−(2+√2) =2−2√2−2−√2 =−3√2．【解析】利用乘法的分配律和分母有理化得到原式=3√43×13−√24×13−2(2+√2)(2−√2)(2+√2)，然后根据二次根式的性质和平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．20.【答案】解：∵x2−2√5x=4，∴x2−2√5x+5=4+5，即(x−√5)2=9，∴x−√5=3或x−√5=−3，∴x1=3+√5，x2=−3+√5．【解析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】解：过A点作AF⊥BC与F点，∵DE垂直平分AC，∴AD=CD=6，CE=12AC，∵∠C=30°，∴DE=12CD=3，AF=12AC，∴AF =CE =√CD 2−DE 2=3√3，∴AC =2CE =6√3，∴CF =√AC 2−AF 2=√(6√3)2−(3√3)2=6，∵∠B =45°，AF ⊥BC ，∴∠BAF =45°，∴BF =AF =3√3，∴AB =√BF 2+AF 2=√(3√3)2+(3√3)2=3√6．【解析】过A 点作AF ⊥BC 与F 点，由线段垂直平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质可求解AF 的长，再利用等腰直角三角形及勾股定理可求解．本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，求解AF 的长是解题的关键．22.【答案】90 4 45 16 15【解析】解：(1)由图象可得“番茄农庄”离小王家90千米，故答案为：90；(2)小王在“番茄农庄”游玩了：14−10=4(小时)，故答案为：4；(3)在去“番茄农庄”的过程中，小汽车的平均速度是：90÷(10−8)=45(千米/小时)， 故答案为：45；(4)设小王回家途中S(km)与时间t(ℎ)的函数关系式为s =kt +b ，根据题意得，{14k +b =9014.5k +b =70， 解得{k =−40b =650， 函数关系式为s =−40t +650，当S =0时，t =16.25，16.25时=16时15分．故答案为：16，15．(1)由图象可得“番茄农庄”离小王家90千米；(2)根据函数图象的横坐标，可得答案；(3)根据平均速度的意义，可得答案；(4)根据待定系数法，可得函数关系式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23.【答案】解：(1)设y 1=mx ，y 2=n x ， 则y =mx +n x ，根据题意得{−m −n =−43m +n 3=4，解得{m =1n =3． 所以y 与x 的函数表达式为y =x +3x ．(2)把x =−2代入得，y =−2+3−2=−72．【解析】(1)根据正比例函数和反比例函数的定义设y 1=mx ，y 2=n x ，则y =mx +n x ，再把两组对应值代入得到关于m 、n 的方程组，然后解方程组求出m 、n 即可．(2)把x =−2代入(1)中求得的解析式即可求得．本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．24.【答案】(1)证明：如图，过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，∵AC 平分∠BCD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴AE =AF ，CE =CF ，∠AEB =∠AFD =90°，在Rt △ABE 与Rt △ADF 中，{AB =AD AE =AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF，又∵CE=CF=CD+DF，∴CE=CD+BE；(2)解：∵CE=3BE，CF=CE，DF=BE，∴BC=4BE，CD=CF−DF=2BE，由(1)知AE=AF，∵S△ABC=12×4BE×AE，S△ACD=12×CD×AF=12×2BE×AE，∴S△ABC：S△ACD=2：1．【解析】(1)过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，利用HL证明Rt△ABE≌Rt△ADF，得BE=DF，即可证明结论；(2)由题意知，BC=4BE，CD=CF−DF=2BE，根据S△ABC=12×4BE×AE，S△ACD=1 2×CD×AF=12×2BE×AE，从而得出答案．本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵AB=3，∴点A的纵坐标为3，∵正比例函数y=√3x的图象经过点A，当y=3时，x=√3，∴A(√3,3)，设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，将点A(√3,3)代入得k=3√3，∴反比例函数的解析式为：y=3√3x；(2)∵AB⊥x轴于点B，设点C的坐标为(√3,y)，在Rt△ABO中，OB=√3，AB=3，由勾股定理得：OA=√32+(√3)2=2√3，∵OB=12OA，∴∠OAB=30°，过点C作CG⊥OA于G，由题意得CB=CG，当点C在AB上时，则OC平分∠AOB，∴∠BOC=30°，OB=1，∴BC=√33∴C(√3,1)，当点C在AB延长线上时，同理可得C′(√3,−3)，综上所述：C(√3,1)或(√3,−3)；(3)当AO=AP=2√3时，则P(√3,3−2√3)或(√3,3+2√3)，当OA=OP时，由OB⊥AP得，AB=BP，∴P(√3,−3)，当PA=PO时，∴∠OAP=∠POA=30°，则OP平分∠AOB，∴P(√3,1)，综上所述：P(√3,3−2√3)或(√3,3+2√3)或(√3,−3)或(√3,1)．【解析】(1)将y=3代入y=√3x，得x=√3，可得A(√3,3)，再将点A代入反比例函数的解析式为y=kx，即可得出答案；(2)根据点A的坐标，可知∠OAB=30°，过点C作CG⊥OA于G，由题意得CB=CG，分点C在AB上或AB的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案；(3)由OA=2√3，分AO=AP，OA=OP，PA=PO三种情形，分别得出答案．本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．26.【答案】(1)证明：∵∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，∴AC=2，BC=√22−12=√3，∠A=60°，∵BD⊥AC，BD⊥EF，∴EF//AC，∠ABD=30°，∴∠EFB=∠C=30°，∴AD=12AB=12，∵EF是BD的垂直平分线，∴BE=DE，∴∠EBD=∠EDB=30°，∴∠AED=30°+30°=60°，∴△AED是等边三角形，∴DE=AD=12，∴BE=DE=12，又∵∠EFB=30°，∴EF=2BE=1，∴AB=EF；(2)解：如图，EF过点A，EF是BD的垂直平分线，∴AD=AB=1，CD=x=1，如图，EF过点C，∴CD=CB=x=√3，∴E，F分别在AB，BC上，∴1≤x≤√3，过点F作FN⊥AC于N，∵CD=x，CF=y，则BF=√3y，∴FN=12y，CN=√y2−(12y)2=√32y，同理FD=FB=√3−y，∴DN=√(√3−y)2−(12y)2，∵CD=DN+CN=x，∴√(√3−y)2−(12y)2+√32y=x，∴y=√3x2−3√33x−6(1≤x≤√3).(3)当BE=BF时，同理ED=EB，FB=FD，∴BE=ED=DF=BF，∵BD=BD，∴△BED≌△BFD(SSS)，∴∠EBD=∠FBD=12∠ABC=45°，∴∠FDB=45°，∴∠BFD=90°，设BF=DF=n，∴n+√3n=√3，∴n=√3√3+1=3−√32，∴CD=2n=3−√3．【解析】(1)由直角三角形的性质求出BC，AD，证明△AED是等边三角形，由等边三角形的性质得出DE=AD=12，则可得出结论；(2)过点F作FN⊥AC于N，由直角三角形的性质及勾股定理可得出结论；(3)证明△BED≌△BFD(SSS)，由全等三角形的性质得出∠EBD=∠FBD=12∠ABC=45°，则∠FDB=45°，设BF=DF=n，求出n的值可得出答案．此题是三角形综合题，本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键．第21页，共21页。
2021-2022八年级上期末数学试题(含解析)
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
A.3B.4C.5D.7
【答案】B
【解析】
【分析】纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
【详解】解：∵|4|＝4，
∴点Q（﹣3，4）到x轴距离为4．
ห้องสมุดไป่ตู้故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
4.一次函数y＝﹣x﹣1的图像不经过（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的性质， ，则该函数不经过第一象限，据此即可求解．
【详解】解：∵y＝﹣x﹣1中， ，
∴一次函数y＝﹣x﹣1的图像不经过第一象限，
故选A
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
26.如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=90°，∠A=30°，B点坐标为（0，4），点C为AB的中点，动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿线段AO向终点O运动，运动时间为t秒（t>0），连接CD，作点A关于直线CD的对称点P
2020-2021学年上海市松江区八年级上学期期末数学复习卷 (含答案解析)
2020-2021学年上海市松江区八年级上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列二次根式√1.2；5√x+y；√4a3；√x2−4；√15；√28.其中是最简二次根式的有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2.给出下列函数：①y=−3x+2；②y=1x (x>1)；③y=−2x；④y=−1x(x>2)，上述函数中时，函数值y随自变量x增大而增大的是()A. ①B. ②C. ③D. ④3.教师节期间，某校数学组老师向本组其他老师各发了一条祝福短信，据统计，全组共发了210条祝福短信，如果设全组有x名老师，依题意可列方程为()．A. x(x+1)=210B. 12x(x+1)=210C. x(x−1)=210 D. 12x(x−1)=2104.下列命题的逆命题为真命题的是()A. 对顶角相等B. 如果x=1，那么|x|=1C. 直角都相等D. 同位角相等，两直线平行二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）5.把√8化为最简二次根式为__________．6.若√x+√−x有意义，则√x+1=__________。
7.方程(x+2)2−9=0的解为：______．8.能使√2x+5与√3是同类二次根式的x的最小正整数是______．9.在实数范围内分解因式：x2−2x−1=____________．10.如果函数f(x)=2x+1，那么f(√3)=______ ．11.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是__________．12.将点A绕另一个点O旋转一周，点A在旋转过程中所经过的路线是_______．13.反比例函数y=，当x的值小于−3时，y的取值范围是．14.如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB.若OD=3cm，则CD=_________cm．15.如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，△BCN的周长是5cm，AB的垂直平分线交AC于点N，则BC=______ ．16.如图，△ABC中，AB=4，BC=3√2，∠ABC=45°，BC、AC两边上的高AD与BE相交于点F，连接CF，则线段CF的长=______．17.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB=45°，AC=3，BC=2，则A′B的长为________ ．18.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,4√3)，弧MN所在圆的圆心在x轴上，其中M(0,3)，N(4,5)，点P为弧MN上一点，则线段AP长度的最小值为___ ____．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19. 计算：(2√3−1)2+(√3+4)(√3−4).四、解答题（本大题共8小题，共54.0分）20. 解方程(x −1)2−5(x −1)+4=0，可以将(x −1)看成一个整体，设x −1=y ，则原方程可化y 2−5y +4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y =1时，即x −1=1，解得x =2；当y =4时，即x −1=4，解得x =5，所以原方程的解为x 1=2，x 2=5．请利用上述这种方法解方程：(3x −5)2−4(5−3x)+3=0．21. 已知a =√5+√3，b =√5−√3，求a 2b +ab 2的值．22.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，G是BC的中点．求证：DG=1(AB−AC)．223.22.已知y=y1−y2，y1与x成反比例，y2与x−2成正比例，并且当x=3时，y=5；当x=1时，y=−1．(1)y与x的函数表达式；(2)当x=−1时，求y的值．24.为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到4.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？(x>0)的图象交于点M(a,1)，MN⊥x轴25.已知：正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x于点N(如图)，若△OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式．26.如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE.求证：MD=ME．BC，点D为BC的中点，AB=DE，BE//AC．27.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12(1)求证：△ABC≌△DEB；(2)连结AD、AE、CE，如图2．①求证：CE是∠ACB的角平分线；②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：√1.2=√305，√4a3=2√3a3，√28=2√7∴5√x+y、√x2−4、√15是最简二次根式，故选B．根据最简二次根式的定义即可判断．本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．2.答案：D解析：【试题解析】本题考查一次函数的性质及反比例函数的性质，熟练掌握一次函数的性质及反比例函数的性质是解题的关键，由一次函数的性质及反比例函数的性质逐个判断即可．解：①一次函数y=−3x+2的斜率小于0，函数值y随自变量x增大而减小，不符合题意；②由反比例函数y=1x的性质可知，当x>1时，函数值y随自变量x增大而减小，不符合题意；③反比例函数，k<0，故在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；④当x>2时，由反比例函数的性质知，函数y=−1x的值y随自变量x增大而增大，符合题意．故选D．3.答案：C解析：本题主要考查列一元二次方程；得到短信总条数的等量关系是解决本题的关键．每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信，让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程．解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发(x−1)条短信，共发了210条短信．∴x(x−1)=210．故选C．4.答案：D解析：解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．B、逆命题为：若|x|=1，则x=1，此逆命题为假命题；C、逆命题为：相等的角为直角，此逆命题为假命题；D、逆命题为：两直线平行，同位角相等，此逆命题为真命题．故选D．分别写出四个命题的逆命题，然后利用对顶角的定义、绝对值的意义、直角的定义和平行线的性质判断它们的真假．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．熟练掌握对顶角的定义、绝对值的意义和平行线的性质．5.答案：2√2解析：此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的定义是解题关键．直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．解：√8=2√2．故答案为2√2．6.答案：1解析：解：由题意，得{x≥0−x≥0，解得x=0，则√x+1=√1=1．故答案是：1．根据二次根式的被开方数是非负数得到x=0，由此可以求得√x+1的值．考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7.答案：x1=1，x2=−5解析：解：(x+2)2=9，∴x+2=±3，∴x=−2±3，即x1=1，x2=−5，故答案为：x1=1，x2=−5．直接开平方法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．8.答案：11解析：此题主要考查了同类二次根式的定义，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，根据题意，它们化简后的被开方数相同，列出方程求解即可．解：∴2x+5=3，解得x=−1(舍去)，2x+5=12，解得x=3.5(舍去)，2x+5=27，解得x=11．即：当x取最小正整数11时，√2x+5与√3是同类根式．故答案是11．9.答案：(x−1+√2)(x−1−√2)解析：本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用．将x2−2x−1化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．解：x2−2x−1=x2−2x+1−2=(x−1)2−2=(x−1+√2)(x−1−√2).故答案为(x−1+√2)(x−1−√2).10.答案：√3−1解析：解：f(√3)=√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=2(√3−1)2=√3−1．把x=√3代入函数关系式，即可解答．本题考查了函数值，解决本题的关键是利用代入法求函数值．11.答案：k≤5且k≠1解析：本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有实数根，∴判别式=16−4(k−1)≥0且k−1≠0，解得：k≤5且k≠1，故答案为k≤5且k≠1．12.答案：圆解析：本题考查了旋转的性质．动点绕定点所形成的轨迹是圆弧或圆．根据圆的定义，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．解：依题意，点A绕点O旋转一周的路线是圆．故答案为：圆．13.答案：−1<y<0解析：本题考查的是反比例函数的性质，先根据函数的解析式判断出函数图象所在的象限及增减性，再求出x=−3时y的值，进而可得出结论．解：∵反比例函数y=−3中，k=−3<0，x∴此函数图象的两个分支分别位于第二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x=−3时，y=−1，∴当x<−3时，−1<y<0．故答案为−1<y<0．14.答案：3解析：本题考查了平行线的性质，角平分线以及等腰三角形的判断与性质．根据题意，可得∠AOC=∠BOC，又因为CD//OB，求得∠C=∠AOC，则CD=OD可求．解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC；又∵CD//OB，∴∠C=∠BOC，∴∠C=∠AOC；∴CD=OD=3cm．故答案为3．15.答案：2cm解析：解：∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴NA=NB，又∵△BCN的周长是5cm，∴BC+BN+NC=5cm，∴BC+AN+NC=5cm，∴AC=AN+NC=3cm，∴BC=2cm．故答案为：2cm．由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB，而BC+BN+NC= 5cm，则BC+AN+NC=5cm，由AC=AN+NC=3cm，即可得到BC的长．本题考查了线段的垂直平分线的性质，关键是掌握线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等．16.答案：2解析：解：AD⊥BD，∠BAD=45°，∴AD=BD，∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BFD=∠ACD，在△BDF和△ACD中，{∠BFD=∠ACD ∠BDF=∠ADC BD=AD，∴△BDF≌△ACD(AAS)，∴DF=CD，在Rt△ABD中，∵AB=4，∴BD=AD=2√2，∵BC=3√2，∴CD=DF=√2，∴CF=√2CD=2，故答案为2根据等腰三角形腰长相等性质可得AD=BD，即可求证△BDF≌△ACD，即可解题；本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，本题中求证△BDF≌△ACD是解题的关键．17.答案：√13解析：本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得AC=A′C=3，∠ACB=∠ACA′=45°，可得∠A′CB=90°，由勾股定理可求解．解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，∴AC=A′C=3，∠ACB=∠ACA′=45°，∴∠A′CB=90°，∴A′B=√BC2+A′C2=√13．故答案为√13．18.答案：3解析：本题考查两点间的距离公式，勾股定理，两点之间线段最短的性质，圆的认识等知识，设弧MN所在圆的圆心为B(x,0)，利用两点间的距离公式，求出点B的坐标，然后求出☉B的半径，当点A、P、B在一条直线上时，AP最短，此时AP=AB−BP，计算即可．解：设弧MN所在圆的圆心为B(x,0)，∵M(0,3)，N(4,5)，由两点间的距离公式可得，(x−0)2+(0−3)2=(x−4)2+(0−5)2，解得x=4，∴B(4,0)，又A(0,4√3)∴AB=√42+(4√3)2=8，BM=√42+33=5，当点A、P、B在一条直线上时，AP最短，此时AP=AB−BP=AB−BM=8−5=3．故答案为3．19.答案：解：原式=12−4√3+1+3−16=−4√3．解析：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．利用完全平方公式和平方差公式计算．20.答案：解：设t =5−3x ，则原方程可化为：t 2−4t +3=0，即(t −1)(t −3)=0，∴t =1或t =3，当t =1时，5−3x =1，解得x =43；当t =3时，5−3x =3，解得x =23，综上所述，原方程的解是：x 1=43 , x 2=23．解析：本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观.先设5−3x =t ，则方程即可变形为t 2−4t +3=0，解方程即可求得t ，即5−3x 的值，即可求出方程的解．21.答案：解：∵a =5+3，b =5−3，∴a =√5−√32，b =√5+√32， ∴a 2b +ab 2=ab(a +b)=√5−√32×√5+√32×(√5−√32+√5+√32) =24×√5=√52．解析：先化简a 、b 的值，然后代入所求的式子中，即可解答本题．本题考查二次根式的化简求值的方法，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．22.答案：解：延长CD交AB于K，∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，∴AK=AC，CD=DK，又∵G是BC的中点，∴DG=12BK，∴DG=12(AB−AK)=12(AB−AC)．解析：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，延长CD交AB于K，构建等腰△AKC，然后根据等腰三角形“三合一”的性质推知点D是KC的中点，即DG是△KBC的中位线，利用等腰△AKC的性质和△KBC的中位线定理推知DG=KB=12(AB−AK)=12(AB−AC)．23.答案：(1)y=3x+4(x−2)；(2)y=−15解析：(1)根据正比例函数和反比例函数的定义，可设y1=ax ，y2=b(x−2)，则y=∼ax−b(x−2)，再把x=3时，y=5，当x=1时，y=−1代入，得到关于a和b的方程组，解方程组得到a=3，b=−4，所以y=3x+4(x−2)；(2)直接把x=−1代入y=3x+4(x−2)中，计算出对应的函数值即可．【详解】解：(1)设y1=ax ，y2=b(x−2)，则y=ax−b(x−2)，根据题意得{a3−b(3−2)=5a 1−b(1−2)=−1,解得{a=3b=−4,所以y关于x的函数关系式为y=3x+4(x−2)；(2)把x=−1代入y=3x+4(x−2)得y=−3−12=−15．本题考查了用待定系数法求函数的解析式：(1)设出含有待定系数的函数解析式；(2)把已知自变量与函数的对应值代入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．24.答案：解：(1)设正比例函数是y=kx，反比例函数是y=mx，把点(12,9)分别代入，k=34，m=108，所以两个函数解析式分别是y=34x(0≤x≤12)，y=108x(x>12)；(2)当y=4.5时，108x=4.5，解得：x=24，答：至少需要24分钟才能进入教室．解析：本题考查了正比例函数及反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．(1)首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=mx(m为常数)，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；(2)根据(1)中的关系式列等式，进一步求解可得答案．25.答案：解：∵MN⊥x轴，点M(a,1)，∴S△OMN=12a=2，∴a=4，∴M(4,1)，∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x(x>0)的图象交于点M(4,1)，∴{1=4k1 1=k24，解得{k1=14k2=4，∴正比例函数的解析式是y=14x，反比例函数的解析式是y=4x．解析：此题只要求出M点的坐标，就解决问题了，根据M点在正比例函数y=k1x的图象与反比例函数的图象上，把M点坐标用a表示出来，又根据△OMN的面积等于2，求出a值，从而求出M点坐标．26.答案：证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM，∵M是BC的中点，∴BM=CM，在△BDM和△CEM中，{BD=CE∠DBM=∠ECMBM=CM,∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．解析：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．27.答案：解：(1)∵∠ACB=90°，BE//AC，∴∠CBE=90°，∴△ABC和△DEB都是直角三角形，∵AC=12BC，点D为BC的中点，∴AC=BD，又∵AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEB(HL)；(2)①由(1)得：△ABC≌△DEB，∴BC=EB，又∵∠CBE=90°，∴∠BCE=45°，∴∠ACE=90°−45°=45°，∴∠BCE=∠ACE，∴CE是∠ACB的角平分线．②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中∵{AC=DC∠ACE=∠BCE CE=CE，∴△ACE≌△DCE(SAS)，∴AE=DE，又∵AB=DE，∴AE=AB，∴△ABE是等腰三角形．解析：(1)由∠ACB=90°，BE//AC知∠CBE=90°，再由AC=12BC，点D为BC的中点知AC=BD，结合AB=DE即可得证；(2)①由△ABC≌△DEB知BC=EB，据此得∠BCE=∠ACE=45°，从而得证；②先证△ACE≌△DCE得AE=DE，再结合AB=DE知AE=AB，从而得出结论．本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的定义和等腰直角三角形的判定与性质．。
2021-2022学年八年级上学期期末数学试题(含解析)
A 5，12，13B.8，12，15C.8，15，17D.9，40，41
7.根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为 ，则输出结果为（）
A. B. C. D. 3个不同的值
8.如图，直线 与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）
18.如图，直线y=kx+k(k≠0)与x轴、y轴分别交于点B、A两点，将点B绕点A逆时针旋转90°得到点P(x，y)，则y与x的函数关系式为_________________________________．
三、解答题(本大题共8小题，共64分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
【答案】
【解析】
【分析】由点A(a，-3)与点B(3，b)关于y轴对称，可得 从而可得答案.
【详解】解： 点A(a，-3)与点B(3，b)关于y轴对称，
故答案为：
【点睛】本题考查的是关于 轴对称的两个点的坐标特点，掌握“关于 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变”是解本题的关键.
11.等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角的度数为______．
只有非负数才有平方根，说法正确，故C不符合题意；
-27的立方根是 原说法错误，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是平方根，立方根的含义，求解一个数的平方根，立方根，掌握“平方根，立方根的含义”是解本题的关键.
4.下列条件，不能使两个三角形全等的是()
A. 两边一角对应相等B. 两角一边对应相等
C. 直角边和一个锐角对应相等D. 三边对应相等
2021-2022学年沪科版八年级上册数学期末练习试卷 (word版 含答案)
2021-2022学年沪科新版八年级上学期数学期末练习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．52．下列函数的图象y随x的增大而减小的是（）A．y＝2x B．y＝3x+1C．y＝4x﹣1D．y＝﹣2x+13．下列命题是真命题的为（）A．若两角的两边分别平行，则这两角相等B．若两实数相等，则它们的绝对值相等C．对应角相等的两个三角形是全等三角形D．锐角三角形是等边三角形4．若函数y＝kx（k≠0）的图象过点P（﹣1，3），则该图象必过点（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣3，1）D．（3，﹣1）5．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC 6．三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三边长是奇数，则其周长为（）A．15B．13C．11D．15或13或11 7．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．AC＝DE C．∠ABC＝∠AED D．AB＝AE8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．无法确定9．已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．函数y＝中自变量x的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0）在x轴上，若点P到两坐标轴的距离相等，且∠APO＝∠BPO，则点P的坐标为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点F，G，连接AG，若AG平分∠CAB，AC＝5，则AB的长为．14．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC 和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分线交于点A2018，则∠A2018＝度．15．已知一次函数y＝2x+5，当﹣2≤x≤6时，y的最大值是．16．如图，等腰Rt△OAB，∠AOB＝90°，斜边AB交y轴正半轴于点C，若A（3，1），则点C的坐标为．17．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点P为AB边上一点，EF垂直平分线段BP，EF与线段AD交于F，连接CF、PF，以下结论：①PF＝CF；②∠PFC＝120°，③∠PFE+∠ACF＝90°；④∠PFA＝∠DCF．其中一定正确的有．（填序号即可）18．如图，若AB∥CD，AB⊥AF，E是AF的中点，AF＝14，BD＝50，CD＝30，则CF＝．三．解答题（共6小题，满分46分）19．（6分）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．20．（8分）如图，直线y1＝x+3与直线y2＝mx+交于点M（﹣1，2），与x轴分别交于点A，B，与y轴分别交于C，D．（1）根据图象写出方程组的解是．（2）根据函数图象写出不等式x+3≤mx+的解集．（3）求直线AC，直线BD与x轴围成的△ABM的面积．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△BED≌△CFD．22．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P．CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．（1）请求出∠BAC的度数；（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．23．（8分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）求△DOB的面积24．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC．（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；（2）求证：BC＝2AB．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴a＝﹣2，b＝3．∴a+b＝1，故选：B．2．解：A、k＝2＞0，y随着x的增大而增大，不符合题意；B、k＝3＞0，y随着x的增大而增大，不符合题意；C、k＝4＞0，y随着x的增大而增大，不符合题意；D、k＝﹣2＜0，y随着x的增大而减小，符合题意；故选：D．3．解：A、若两角的两边分别平行，则这两角相等或互补，故本选项说法是假命题；B、若两实数相等，则它们的绝对值相等，本选项说法是真命题；C、对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，故本选项说法是假命题；D、锐角三角形不一定是等边三角形，故本选项说法是假命题；故选：B．4．解：∵一次函数y＝kx的图象经过点（﹣1，3），∴3＝﹣k，解得k＝﹣3．∴函数解析式为y＝﹣3x，∴该图象必过点（﹣1，3）．故选：B．5．解：A．∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；B．AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；C．AB＝AC，BE＝CD，∠A＝∠A，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；D．∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；故选：C．6．解：设第三边长为x．根据三角形的三边关系，则有5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，因为三边都不相等，第三边长是奇数，所以x＝7，所以周长＝3+5+7＝15．故选：A．7．解：A、∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，本选项结论成立；B、∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，而AC与DE不一定相等，本选项结论不成立；C、∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠AED，而∠ABC与∠AED不一定相等，本选项结论不成立；D、∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，而AB与AE不一定相等，本选项结论不成立；故选：A．8．解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．9．解：∵方程组的解为，∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1），∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，∴交点在第四象限．故选：D．10．解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝×16＝2，△AEG的面积＝2，△BCE的面积＝×△ABC的面积＝8，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝×8＝2，∴△AFG的面积是2×3＝6，故选：A．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．解：依题意有5﹣x≠0，解得：x≠5．故自变量x的取值范围是x≠5．故答案为：x≠5．12．解：当点P在第一象限时，设（m，m），过点O作OE⊥PA于E，OF⊥PB于F．∵∠OPA＝∠OPB，∴OE＝OF，∴＝＝＝，∴＝＝2，∴PA2＝4PB2，∴（m+4）2+m2＝4[（m﹣2）2+m2]，解得m＝4或0（舍弃），∴P（4，4），当点P在第四象限时，根据对称性可知，P′（4，﹣4），故答案为：（4，4）或（4，﹣4）．13．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，AF＝BF，∠AFE＝90°，∵∠C＝90°，AG平分∠CAB，∴GC＝GF，在Rt△ACG和Rt△AFG中，，∴Rt△ACG≌Rt△AFG（HL），∴AD＝AC，∵AC＝5，∴AF＝5，∴AB＝2AF＝10，故答案为：10．14．解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推可知∠A2018＝∠A＝（）°，故答案为：．15．解：∵一次函数y＝2x+5，∴该函数的图象y随x的增大而增大，∵﹣2≤x≤6，∴当x＝6时，y取得最大值，此时y＝17，故答案为：17．16．解：过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，∴∠BCO＝∠AFO＝90°，∵A（3，1），∴OF＝3，AF＝1，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC+∠OBC＝∠BOC+∠AOF＝90°，∴∠BOC＝∠AOF，∵OA＝OB，∴△BOC≌△AOF（AAS），∴BE＝AF＝1，OE＝OF＝3，∴B（﹣1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当x＝0时，y＝，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（0，）．17．解：如图，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，∴FB＝FC，∠5＝30°，∵EF垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴FP＝FC，所以①正确；∵FP＝FB，FB＝FC，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠1+∠3）＝2×60°＝120°，∴∠PFB+∠BFC＝180°+180°﹣120°＝240°，∴∠PFC＝360°﹣240°＝120°，所以②正确；∵∠ACF＝60°﹣∠2＝60°﹣∠1，∠PFE＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，∴∠ACF+∠PFE＝60°﹣∠1+90°﹣∠3＝60°﹣（∠1+∠3）+90°＝90°，所以③正确；∵∠4＝∠5+∠AFP，∴∠AFP＝∠4﹣30°＝∠3﹣30°，∵∠DCF＝∠1，而∠1+∠3＝60°，∴只有当∠3＝45°，∠1＝15°，∠PFA＝∠DCF，所以④错误．故答案为①②③．18．解：∵E是AF的中点，∴AE＝EF＝AF＝7，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DFE＝90°，在△ABE和△FDE中，，∴△AEB≌△FED（ASA），∴BE＝DE＝BD＝25，∴DF＝＝＝24，∴CF＝CD﹣DF＝6，故答案为：6．三．解答题（共6小题，满分46分）19．解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．20．解：∵直线y1＝x+3与直线y2＝mx+交于点M（﹣1，2），∴方程组的解是，故答案为；（2）由图象可得不等式x+3≤mx+的解集为：x≤﹣1，故答案为x≤﹣1；（3）∵直线y2＝mx+过点M（﹣1，2），∴2＝﹣m+，解得m＝﹣，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，∴当y＝0时，x＝2，∴B（2，0）．∵直线AC的解析式为y＝x+3，∴当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0）．∴AB＝5，∴S＝×5×2＝5．△ABM21．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．22．（1）解：∵CD＝AD，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝60°；（2）证明：在BC上截取BF＝BE，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBF，∵OB＝OB，∴△BEO≌△BFO（SAS），∴∠BOE＝∠BOF，∵∠BAC＝60°，CE是∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝60°，∴∠POC＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝60°，∴∠COF＝∠POC，又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF，∴△CPO≌△CFO（ASA），∴CP＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+CP．23．解：（1）把A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入y＝kx+b得，解得．所以一次函数解析式为y＝2x+2；（2）令y＝0，则0＝2x+2，解得x＝﹣1，所以C点的坐标为（﹣1，0），把x＝0代入y＝2x+2得y＝2，所以D点坐标为（0，2），＝2×1＝1．（3）S△BOD24．（1）解：∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴，∵EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝20°，∵∠DEC是△EBC的一个外角，∴∠DEC＝∠ECB+∠EBC＝40°；（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA＝EF，在Rt△AEB和Rt△FEB中，∵∴Rt△AEB≌Rt△FEB（HL），∴AB＝FB（全等三角形的对应边相等），∵EB＝EC，EF⊥BC，∴BC＝2FB，∴BC＝2AB．。
松江区数学期末真题+答案
A
D
M
BF
C
E
2/9
18、如图，在 Rt△ABC 中，已知 C 90 ，B 55 ，点 D 在边 BC 上， BD 2CD ．把 △ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m(0 m 180) 度后，如果点 B 恰好落在初始 Rt△ABC 的边上，那么 m ．
B
D A
C
三、简答题（本大题共 4 题，满分 24 分）
D A
B
C
3/9
四、解答题（本大题共 4 题，满分 34 分）
23、（8 分）已知： y y1 y2 ，并且 y1 与 (x 1) 成正比例，y2 与 x 成反比例．当 x 2 时， y 5 ；当 x 2 时， y 9 ． （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）求当 x 8 时的函数值．
24、（8 分）如图，已知在 △ABC 中， ACB 90 ， AC BC ， CAD CBD ． B E F
D A
C （1）求证： CD 平分 ACB ； （2）点 E 是 AD 延长线上一点， CE CA ， CF / /BD 交 AE 于点 F ，若 CAD 15 ，求证： EF BD ．
C． 2ab 和 ab3 )
D． a 1 和 a 1
A． y 3x
B． y 3 x
C． y 3x
D． y 3 x
4、某厂今年十月份的总产量为 500 吨，十二月份的总产量达到 720 吨．若平均每月增长率是 x ，则可以列
出方程 ( )
A． 500(1 2x) 720
B． 500(1 x)2 720
松江区八年级（上）数学期末试卷
一、选择题（本大题共 6 题，每题 3 分，满分 18 分）
1、下列二次根式中最简二次根式为 ( )
2023-2024学年上海市松江区八年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1．（2分）化简：＝．2．（2分）一元二次方程x2+x＝0的根是．3．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，则m的值为．4．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝．5．（2分）函数中自变量x的取值范围是．6．（2分）已知函数，那么f（6）＝．7．（2分）如果直线y＝（2k﹣3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是．8．（2分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x之间的函数关系式是．9．（2分）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是．10．（2分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是．11．（2分）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于．12．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，如果CD＝5，AC＝8，那么BC＝．13．（2分）如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，那么∠BAD＝°．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，点D是AC边中点，将△ABC 沿某直线翻折使得点B与点D重合，折痕交边BC于点E，交边AB于点F，那么BE的长为．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和3B．和C．和D．和16．（3分）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）都在反比例函数（k＜0）的图象上，则有（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 17．（3分）下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（）A．ax2﹣x+2＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣x﹣m＝0D．x2﹣mx﹣1＝018．（3分）下列说法中正确的是（）A．“对顶角相等”没有逆命题B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等C．以AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段AB的垂直平分线D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）19．（6分）计算：．20．（6分）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D是AB边中点，延长CD至点E，使得，联结BE，当时，求∠DBE的度数．22．（6分）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程s（m）与时间t（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为分钟；（2）已知兔子在OB段和CD段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时分钟；（3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式．四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23．（8分）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？24．（8分）已知：如图，点E在BC上，∠B＝∠C＝90°，AB＝CE，EF垂直平分线段AD．（1）求证：AE⊥DE；（2）联结BF、CF，求证：△BFC是等腰直角三角形．25．（10分）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a）．（1）求k的值；（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．①求AB的长；②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为时，求点C的坐标．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，过D作DE垂直AB，垂足为点E．（1）如图1，点E是AB的中点，CD＝DE，如果AB＝6，求BC的长；（2）已知CD＝BC，①如图2，联结CE，求证：CE平分∠BED；②如图3，延长DE至点F，联结CF交线段AB于点G，当∠A＝∠F，且点G是CF中点时，求的值．2023-2024学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1．（2分）化简：＝2xy．【分析】根据限制条件“x＞0，y＞0”及二次根式的性质与化简解答．【解答】解：由题意可知y＞0，x＞0，∴＝2|x|•y＝＝2xy，即＝2xy；故答案为：2xy．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简．二次根式的化简：＝．2．（2分）一元二次方程x2+x＝0的根是x1＝0，x2＝﹣1．【分析】提公因式得到x（x+1）＝0，推出x＝0，x+1＝0，求出方程的解即可．【解答】解：x2+x＝0，x（x+1）＝0，x＝0，x+1＝0，x1＝0，x2＝﹣1，故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．3．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，则m的值为5．【分析】根据判别式的值，构建方程求解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，∴16﹣4m＝4，∴m＝5．故答案为：5．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．4．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝（x﹣1+）（x﹣1﹣）．．【分析】先把前面两项配成完全平方式，然后根据平分差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣1，＝x2﹣2x+1﹣2，＝（x﹣1）2﹣2，＝（x﹣1+）（x﹣1﹣）．故答案为：（x﹣1+）（x﹣1﹣）．【点评】本题考查了利用公式进行因式分解的方法：把整式先配成完全平分式或平分差的形式，然后利用公式法进行因式分解．5．（2分）函数中自变量x的取值范围是x≠﹣1．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1，故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．6．（2分）已知函数，那么f（6）＝．【分析】将x＝6代入该函数解析式进行计算可得此题结果．【解答】解：∵，∴f（6）＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键．7．（2分）如果直线y＝（2k﹣3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是k＜．【分析】根据反比例函数的性质得2k﹣3＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得2k﹣3＜0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＜0时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．8．（2分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x之间的函数关系式是y＝100（1+x）2．【分析】利用经过两次提价后的价格＝原价×（1+每次提价的百分率）2，即可得出y与x之间的函数关系式．【解答】解：依题意得y＝100（1+x）2，故答案为：y＝100（1+x）2．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 与x之间的函数关系式是解题的关键．9．（2分）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三角形．【分析】根据互逆命题的概念解答即可．【解答】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三角形，故答案为：有两个内角互余的三角形是直角三角形．【点评】本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．10．（2分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是以点A为圆心，以5cm为半径的圆．【分析】圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离等于5cm的点的集合是圆．【解答】解：根据圆的定义可知，到点A的距离等于5cm的点的集合是以点A为圆心，5cm为半径的圆．故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．【点评】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键．11．（2分）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于5．【分析】根据两点间的距离公式计算即可．【解答】解：由两点间的距离公式得，AB＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查两点间的距离公式，两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．12．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，如果CD＝5，AC＝8，那么BC＝6．【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得AB＝10，然后再利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∴BC＝＝＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及勾股定理是解题的关键．13．（2分）如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，那么∠BAD＝58°．【分析】先根据AD⊥BD得出∠ADB＝90°，故可得出∠BAD+∠ABD＝90°，再由三角形内角和定理得出∠DBC的度数，由角平分线的定义得出∠ABC的度数，进而得出∠BAD 的度数．【解答】解：∵AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵∠BAC+∠C+∠ABC＝180°，即∠BAD+∠DAC+∠C+∠ABD+∠DBC＝180°，∴（∠BAD+∠ABD）+∠DAC+∠C+∠DBC＝180°，即90°+20°+38°+∠DBC=180°，∴∠DBC＝32°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝32°，∴∠BAD＝90°﹣32°＝58°．故答案为：58．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，点D是AC边中点，将△ABC 沿某直线翻折使得点B与点D重合，折痕交边BC于点E，交边AB于点F，那么BE的长为．【分析】过A作AH⊥BC于G，过D作DH⊥BCH，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，BC＝2BG，求得AG＝AB＝2，根据勾股定理得到BG＝＝2，求得BC＝2BG＝4，得到CH＝＝，设BE＝x，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝BE＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过A作AG⊥BC于G，过D作DH⊥BCH，∵AB＝AC＝4，∴∠B＝∠C＝30°，BC＝2BG，∴AG＝AB＝2，∴BG＝＝2，∴BC＝2BG＝4，∵点D是AC边中点，∴CD＝AC＝2，∴DH＝，∴CH＝＝，设BE＝x，∵将△ABC沿某直线翻折使得点B与点D重合，∴EF垂直平分BD，∴DE＝BE＝x，∴＝3﹣x，∵DE2﹣DH2＝EH2，∴x2﹣12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴BE的长为，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和3B．和C．和D．和【分析】根据同类二次根式的概念，化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，【解答】解：A、和3不是同类二次根式，错误；B、和不是同类二次根式，错误；C、和是同类二次根式，正确；D、和不是同类二次根式，错误；故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式．16．（3分）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）都在反比例函数（k＜0）的图象上，则有（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【分析】先根据反比例函数y＝中k＜0判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出y1，y2，y3的大小．【解答】解：∵反比例函数y＝中k＜0，∴函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1＜0，∴y2＞y1＞0，∵1＞0，∴y3＜0，∴y2＞y1＞y3．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．（3分）下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（）A．ax2﹣x+2＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣x﹣m＝0D．x2﹣mx﹣1＝0【分析】分别求出每个一元二次方程根的判别式Δ与0的关系，进而选择正确的选项．【解答】解：A、ax2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8a，只有a≤时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；B、x2﹣2x+1＝0，Δ＝4﹣4＜0，所以原方程没有实数解，故此选项不符合题意；C、x2﹣x﹣m＝0，Δ＝1+4m，只有m≥﹣时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；D、x2﹣mx﹣1＝0，Δ＝m2+4＞0，所以原方程一定有实数解，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．18．（3分）下列说法中正确的是（）A．“对顶角相等”没有逆命题B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等C．以AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段AB的垂直平分线D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等【分析】根据对顶角的性质、全等三角的判定定理，等腰三角形的性质判断即可．【解答】解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，故不符合题意；B、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，故符合题意；C、以AB为底边的等腰三角形顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线（底边的中点除外），故不符合题意；D、有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是轨迹，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）19．（6分）计算：．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝4﹣（﹣）++＝4﹣+++＝6．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．20．（6分）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【解答】解：3x2﹣2x﹣1＝0，移项得3x2﹣2x＝1，二次项系数化成1得，配方得，即∴，解得，．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D是AB边中点，延长CD至点E，使得，联结BE，当时，求∠DBE的度数．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AB＝BD＝4，则＝BD＝2，再由勾股定理的逆定理得△BDE是直角三角形，且∠E＝90°，即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8，点D是AB边中点，∴CD＝AB＝BD＝4，∴＝BD＝2，∵BE＝2，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是直角三角形，且∠E＝90°，∵DE＝BD，∴∠DBE＝30°，即∠DBE的度数为30°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理的逆定理以及含30°角的直角三角形的判定等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．22．（6分）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程s（m）与时间t（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为6分钟；（2）已知兔子在OB段和CD段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时11分钟；（3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式．【分析】（1）计算点C和B的横坐标之差即可；（2）利用速度＝，求出OB段的速度，再利用时间＝，求出CD段所用的时间，进而求出完成比赛一共用的时间；（3）根据题意，求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可．【解答】解：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为8﹣2＝6（m），故答案为：6．（2）兔子的速度为＝20（m/min），CD段用时为＝3（min），∴兔子完成比赛共用时8+3＝11（min），故答案为：11．（3）由题意可知，乌龟完成比赛用时11﹣1＝10（min），∴点A的坐标为（10，100）．当0≤t≤10时，设乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式为s＝kt，将坐标A（10，100）代入，得10k＝100，解得k＝10，∴乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式s＝10t（0≤t≤10）．【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键．四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23．（8分）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？【分析】设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x＝（4x+4）米，宽为3x米，根据比赛区域的总面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值分别代入（4x+4）及3x中，即可求出结论．【解答】解：设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x ＝（4x+4）米，宽为3x米，根据题意得：（4x+4）•3x＝144，整理得：x2+x﹣12＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不符合题意，舍去），∴4x+4＝4×3+4＝16（米），3x＝3×3＝9（米）．答：比赛区域的长是16米，宽是9米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（8分）已知：如图，点E在BC上，∠B＝∠C＝90°，AB＝CE，EF垂直平分线段AD．（1）求证：AE⊥DE；（2）联结BF、CF，求证：△BFC是等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理，线段垂直平分线的性质，垂直的定义即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，在Rt△ABE和Rt△ECD中，，∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL），∴∠BAE＝∠CED，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠AED＝180°﹣（∠CED+∠AEB）＝90°，∴AE⊥DE；（2）延长BF交CD的延长线于G，由（1）知，Rt△ABE≌Rt△ECD，∴BE＝CD，AB＝CE，∴BC＝BE+CE＝AB+CD，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠ABF＝∠G，在△ABF与△DGF中，，∴△ABF≌△DGF（AAS），∴DG＝AB，BF＝FG，∴CD+DG＝CG＝BC＝AB+CD，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CF⊥BG，∠CBF＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．25．（10分）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a）．（1）求k的值；（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．①求AB的长；②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为时，求点C的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，a）代入y＝﹣2x求得A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入得到k＝﹣2；（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，设B（0，m），根据勾股定理得到结论；（3）设C（a，﹣2a），根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a），∴a＝﹣2×（﹣1）＝2，∴A（﹣1，2），∴2＝，∴k＝﹣2；（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，∴AH＝1，OH＝2，设B（0，m），∴BH＝m﹣2，∵AO2＝12+22＝5，∴AB2＝OB2﹣AO2＝AH2+BH2，∴m2﹣5＝1+（m﹣2）2，解得m＝2.5，∴OB＝，∴AB＝＝；（3）∵点C在直线OA上，∴设C（a，﹣2a），∵∠BAO＝90°，＝＝××＝，∴S△ABC解得a＝﹣或a＝﹣，∴点C的坐标为（﹣，）或（﹣，）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，勾股定理，正确地画出图形是解题的关键．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，过D作DE垂直AB，垂足为点E．（1）如图1，点E是AB的中点，CD＝DE，如果AB＝6，求BC的长；（2）已知CD＝BC，①如图2，联结CE，求证：CE平分∠BED；②如图3，延长DE至点F，联结CF交线段AB于点G，当∠A＝∠F，且点G是CF中点时，求的值．【分析】（1）连接BD，利用线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）①过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，利用直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可；②过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CM⊥DE，交DE的延长线于点M，利用①的结论，全等三角形的判定与性质，平行线的性质解答即可得出结论．【解答】（1）解：连接BD，如图，∵DE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3，∴DE为AB的垂直平分线，∴AD＝BD，在Rt△ADE和Rt△BDC中，，∴Rt△ADE≌Rt△BDC（HL），∴AE＝BC＝3．答：BC的长为3．（2）①证明：过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，如图，∵CF⊥AB，CG⊥DE，DE⊥AB，∴四边形CGEF为矩形，∴∠GCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠GCD+∠DCF＝∠DCF+∠FCB＝90°，∴∠DCG＝∠BCF．在△DGC和△BFC中，，∴△DGC≌△BFC（AAS），∴CG＝CF，∴矩形CGEF为正方形，∴∠DEC＝∠BEC＝45°，∴CE平分∠BED；②解：过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CM⊥DE，交DE的延长线于点M，如图，由（2）知：四边形CMEH为正方形，∴ME＝EH，CH∥ME．∴∠GCH＝∠F．∵∠HCB+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠HCB＝∠A，∵∠A＝∠F，∴∠HCB＝∠HCG，在△HGC和△HBC中，，∴△HGC≌△HBC（AAS），∴GH＝BH，∵△DMC≌△BHC，∴MD＝BH，∴MD＝GH，∴ED＝EG．在△HGC和△EGF 中，，∴△HGC≌△EGF（ASA），∴EG＝GH，EF＝CH．∴EF＝EH＝2EG＝2DE．在△ADE和△FGE 中，，∴△ADE≌△FGE（AAS），∴AE＝EF，∴AE＝EH＝2EG，∴＝2．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质矩形的判定与性质正方形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键。
上海市松江区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷(教师版)
2020-2021学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1．（2分）计算：＝．2．（2分）写出﹣2的一个有理化因式．3．（2分）方程（1﹣x）2＝9的根是．4．（2分）在实数范围内分解因式x2﹣5x+1＝．5．（2分）函数的定义域是．6．（2分）如果关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．7．（2分）已知f（x）＝kx，f（）＝2，那么k＝．8．（2分）如果反比例函数y＝的图象位于第二，四象限内，那么满足条件的正整数k 是．9．（2分）经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是．10．（2分）直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（2，6），那么AB＝．11．（2分）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC、AB于点D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝．12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，如果AC ＝9cm，那么AD＝cm．13．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝2，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是．14．（2分）如图，A点坐标为（，0），C点坐标为（0，1），将△OAC沿AC翻折得△ACP，则P点坐标为．二．选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内]15．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式（）A．B．C．D．16．（3分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．17．（3分）某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的600元降至486元，若每次降价的百分率都是x，则可以列出方程（）A．600（1﹣2x）＝486B．600（1﹣x）2＝486C．600（1﹣x%）2＝486D．486（1+x）2＝60018．（3分）下列命题中，假命题（）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等三、（本大题共4题，每题6分，满分24分）19．（6分）计算：﹣4+（﹣）÷．20．（6分）解方程：3x﹣＝2．21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝22.5°，AC的垂直平分线交BC于点D，CD＝3，AE⊥BC于点E，求BE的长．22．（6分）小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景点游玩，他离家的距离y（km）与所用的时间x（h）之间的函数图象如图所示：（1）甲景点与乙景点相距千米，乙景点与小明家距离是千米；（2）当0≤x≤1时，y与x的函数关系式是；（3）小明在游玩途中，停留所用时间为小时，在6小时内共骑行千米．四、（第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23．（8分）已知y＝y1+2y2，y1与（x﹣2）成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝3．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝3时，求y的值．24．（8分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F 是BD中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．25．（10分）如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，A点坐标（1，6），B点坐标（m，n）（m＞1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为点C，联结AC，当S△ABC＝6时，求点B的坐标．26．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，AD平分∠BAC，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作EF⊥AD，垂足为点G，与射线AC交于点F．（1）当点F在边AC上时，①求证：DE＝DF；②设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．（2）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长．2020-2021学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1．（2分）计算：＝．【分析】运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．【点评】主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．2．（2分）写出﹣2的一个有理化因式+2．【分析】根据平方差公式和有理化因式的意义求出答案即可．【解答】解：∵（﹣2）（+2）＝（）2﹣22＝x﹣4，∴﹣2的一个有理化因式为+2，故答案为：+2．【点评】本题考查有理化因式的意义和计算方法，理解有理化因式的意义是解决问题的关键．3．（2分）方程（1﹣x）2＝9的根是x1＝﹣2，x2＝4．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：∵（1﹣x）2＝9，∴1﹣x＝3或1﹣x＝﹣3，解得x1＝﹣2，x2＝4，故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．（2分）在实数范围内分解因式x2﹣5x+1＝（x﹣）（x﹣）．【分析】x2﹣5x+1＝0时，x＝，根据求根公式的分解方法和特点即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣5x+1＝0时，x＝，∴x2﹣5x+1＝（x﹣）（x﹣）．故答案为：（x﹣）（x﹣）．【点评】此题考查了在实数范围内分解因式的知识．注意求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．5．（2分）函数的定义域是x＞﹣1．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x+1＞0，解得：x＞﹣1．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．6．（2分）如果关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＞﹣．【分析】根据判别式的意义得到△＝12+4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝12+4m＞0，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．（2分）已知f（x）＝kx，f（）＝2，那么k＝．【分析】根据题意得到关于k的一元一次方程，解即可．【解答】解：由题意可得：k＝2，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数值，求k的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．8．（2分）如果反比例函数y＝的图象位于第二，四象限内，那么满足条件的正整数k 是1，2．【分析】把已知点的坐标代入所设的解析式可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：因为反比例函数y＝的图象位于第二，四象限内，所以k﹣3＜0，k＜3，那么满足条件的正整数k是1，2．故答案为：1，2．【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质，重点是比例系数k的正负．9．（2分）经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，2cm为半径的圆．【分析】求圆心的轨迹实际上是求距A点2厘米能画一个什么图形．【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于2厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，2cm为半径的圆，故答案为：以点A为圆心，2cm为半径的圆．【点评】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．10．（2分）直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（2，6），那么AB＝5．【分析】根据两点间的距离公式得到AB即可．【解答】解：根据题意得AB＝．故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理和两点间的距离公式，关键是根据两点间的距离公式解答．11．（2分）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC、AB于点D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝10°．【分析】由直角三角形两锐角的关系求得∠B，由DE垂直平分AB，推出DA＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，进而求得∠CAD．【解答】解∵∠C＝90°，∠CAB＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝40°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．【点评】本题考查三角形的内角和定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，如果AC ＝9cm，那么AD＝6cm．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD，根据直角三角形的性质得到DE＝AD，根据题意计算，得到答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝CD，在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴DE＝AD，∴DC＝AD，∵AC＝9cm，∴AD＝6（cm），故答案为：6．【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．13．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝2，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是2+24．【分析】首先证明∠BDC＝90°，根据S四边形ABCD＝S△ABD+S△DCB计算即可解决问题．【解答】解：连接DB，在Rt△ABD中，AD＝2，AB＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝6，∵BC＝10，DC＝8，∴BC2＝BD2+CD2，∴∠BDC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△DCB＝×2×2+×6×8＝2+24．故答案为：2+24．【点评】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．（2分）如图，A点坐标为（，0），C点坐标为（0，1），将△OAC沿AC翻折得△ACP，则P点坐标为（，）．【分析】过点P作PD⊥y轴于点D，由直角三角形的性质求出∠OCA＝60°，根据折叠的性质得出∠OCA＝∠PCA＝60°，OC＝PC＝1，则可求出答案．【解答】解：如图，过点P作PD⊥y轴于点D，∵A点坐标为（，0），C点坐标为（0，1），∴OA＝，OC＝1，∴AC＝＝2，∴OC＝AC，∴∠OAC＝30°，∴∠OCA＝60°，∵将△OAC沿AC翻折得△ACP，∴∠OCA＝∠PCA＝60°，OC＝PC＝1，∴DC＝，PD＝，∴OD＝OC+CD＝1+＝，∴P（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．二．选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内]15．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝3，与不是同类二次根式；B、＝＝2，与是同类二次根式；C、＝，与不是同类二次根式；D、＝3，与不是同类二次根式；故选：B．【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．16．（3分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．【分析】反比例函数、二次函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次项系数为负数时，y随着x增大而减小．【解答】解：A、函数y＝x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；B、函数中的k＜0，y随着x增大而减小，故本选项正确；C、D两个答案考虑其增减性时，需要考虑自变量的取值范围，故C、D错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性．关键是明确各函数的增减性的限制条件．17．（3分）某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的600元降至486元，若每次降价的百分率都是x，则可以列出方程（）A．600（1﹣2x）＝486B．600（1﹣x）2＝486C．600（1﹣x%）2＝486D．486（1+x）2＝600【分析】设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，600降至486就是方程的相等条件，列出方程求解即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x．由题意，得600（1﹣x）2＝486，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程应用的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．18．（3分）下列命题中，假命题（）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等【分析】根据平行线的判定、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，本选项说法是真命题；B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，本选项说法是真命题；C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题；D、当一个等腰直角三角形的直角边长等于另一个等腰直角三角形的斜边长时，两个等腰直角三角形不全等，故一边长相等的两个等腰直角三角形全等是假命题；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．三、（本大题共4题，每题6分，满分24分）19．（6分）计算：﹣4+（﹣）÷．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝2+﹣2+÷﹣÷＝2+﹣2+2﹣2＝．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．（6分）解方程：3x﹣＝2．【分析】方程整理后，利用因式分解法求解即可．【解答】解：方程整理得：x2﹣6x+5＝0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣1）＝0，解得：x1＝5，x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝22.5°，AC的垂直平分线交BC于点D，CD＝3，AE⊥BC于点E，求BE的长．【分析】连接AD，由西安段垂直平分线的性质可求得AD＝3，结合三角形外角的性质可求解∠ADE＝45°，进而可求得AE的长，再根据含30°角的直角三角形的性质可求解．【解答】解：连接AD，∵AC的垂直平分线交BC于点D，CD＝3，∴AD＝CD＝3，∴∠DAC＝∠C，∵∠C＝22.5°，∴∠ADE＝2∠C＝45°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴AE＝DE＝3，∵∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝．【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形，线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．22．（6分）小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景点游玩，他离家的距离y（km）与所用的时间x（h）之间的函数图象如图所示：（1）甲景点与乙景点相距6千米，乙景点与小明家距离是12千米；（2）当0≤x≤1时，y与x的函数关系式是y＝6x；（3）小明在游玩途中，停留所用时间为3小时，在6小时内共骑行24千米．【分析】（1）根据函数和图象，可以直接写出甲景点与乙景点的距离，乙景点与小明家的距离；（2）利用待定系数法求解即可；（3）根据函数图象中的数据可以求得停留所用时间为3小时，在6小时内共骑行24千米．【解答】解：（1）由图象可得，甲景点与乙景点相距：12﹣6＝6（千米）；乙景点与小明家距离是12千米；故答案为：6；12；（2）当0≤x≤1时，设y与x的函数关系式y＝kx，根据题意，得k＝6，所以y＝6x（0≤x≤1）；故答案为：y＝6x；（3）由图象可得，小明在游玩途中，停留所用时间为：3﹣1+（5﹣4）＝3（小时）；小明在6小时内共骑行：12×2＝24（千米），故答案为：3；24．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．四、（第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23．（8分）已知y＝y1+2y2，y1与（x﹣2）成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝3．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝3时，求y的值．【分析】（1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解；（2）把x＝3代入（1）中的函数关系式进行计算．【解答】解：（1）设y1＝k1（x﹣2）（k1≠0），y2＝（k2≠0），∴y＝k1（x﹣2）+．∵当x＝1时，y＝﹣1．当x＝2时，y＝3，∴，∴，∴y关于x的函数解析式是：y＝7（x﹣2）+；（2）由（1）知，y＝7（x﹣2）+．则当x＝3时，y＝7+2＝9．【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．24．（8分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F 是BD中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）设AC，BD交于点O，根据垂直的定义得到∠DHO＝∠EFO＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠EDO＝∠EBO，由角平分线的定义得到∠HDF＝∠BDE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∵点F是BD中点，∴EF⊥BD；（2）证明：设AC，BD交于点O，∵DH⊥AC，EF⊥BD，∴∠DHO＝∠EFO＝90°，∵∠DOH＝∠BOE，∴∠HDF＝∠OEF，∵DE＝BE，∴∠EDO＝∠EBO，∵BD平分∠HDE，∴∠HDF＝∠BDE，∴∠OEF＝∠OBE，∵∠OEF+∠EOF＝90°，∴∠EOF+∠EBO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴BE⊥AC，∴BA＝BC．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．25．（10分）如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，A点坐标（1，6），B点坐标（m，n）（m＞1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为点C，联结AC，当S△ABC＝6时，求点B的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）根据三角形面积得到关于m的方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝的图象上，A点坐标（1，6），∴k＝1×6＝6，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵B在反比例函数y＝的图象上，B点坐标（m，n）（m＞1）．∴n＝，∵BC⊥y轴于点C，∴C（0，），∵S△ABC＝6，∴m＝6，解得m＝3，∴n＝＝2，∴点B的坐标（3，2）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．26．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，AD平分∠BAC，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作EF⊥AD，垂足为点G，与射线AC交于点F．（1）当点F在边AC上时，①求证：DE＝DF；②设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．（2）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长．【分析】（1）①先证△AGF≌△AGE（ASA），得GF＝GE，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论；②先求出AB＝2AC＝12，则AE＝AB﹣BE＝12﹣x，再由全等三角形的性质得AF＝AE＝12﹣x，则y＝AC﹣AF＝6﹣（12﹣x）＝x﹣6，然后求出6≤x＜12即可；（2）分三种情况：①当F A＝FD时，则∠FDG＝∠CAD＝30°，求出∠CDF＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝2CF，则6﹣y＝2y，解得：y＝2，进而得BE＝8；②当DF＝DA时，则CF＝CA＝6，求出AF＝CF+CA＝12，得AE＝AF＝12，点E与点B重合，舍去；③当AF＝AD时，先由含30°角的直角三角形的性质得CD＝AC＝2，AF＝AD＝2CD＝4，则AE＝AF＝4，得BE＝AB﹣AE＝12﹣4即可．【解答】（1）①证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵EF⊥AD，∴∠AGF＝∠AGE＝90°，又∵AG＝AG，∴△AGF≌△AGE（ASA），∴GF＝GE，又∵EF⊥AD，∴DE＝DF；②解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，∴AB＝2AC＝12，∵BE＝x，CF＝y，∴AE＝AB﹣BE＝12﹣x，由①得：△AGF≌△AGE，∴AF＝AE＝12﹣x，∴y＝AC﹣AF＝6﹣（12﹣x）＝x﹣6，∵0＜AF≤6，∴0＜AF≤6，∴6≤x＜12，即y＝x﹣6（6≤x＜12）；（2）解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，分三种情况：①当F A＝FD时，如图1所示：则∠FDG＝∠CAD＝30°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°，∴∠CDF＝60°﹣30°＝30°，∴DF＝2CF，∴6﹣y＝2y，解得：y＝2，∴AF＝6﹣2＝4，∴AE＝AF＝4，∴BE＝12﹣4＝8；②当DF＝DA时，如图2所示：∵∠ACB＝90°，∴DC⊥AC，∴CF＝CA＝6，∴AF＝CF+CA＝12，∴AE＝AF＝12，∵点E是边AB上一动点（与点A、B不重合），AB＝12，∴点E与点B重合，舍去；③当AF＝AD时，如图3所示：∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，AC＝6，∴CD＝AC＝2，AF＝AD＝2CD＝4，∴AE＝AF＝4，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣4；综上所述，当△ADF是等腰三角形时，BE的长为8或12﹣4．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．。
〖汇总3套试卷〗上海市松江区2021年八年级上学期期末复习能力测试数学试题
八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如果3x y a b 与61x a b +-是同类项，则 （ ）A ．23x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =⎧⎨=-⎩C ．23x y =⎧⎨=⎩D ．23x y =-⎧⎨=-⎩【答案】C 【分析】根据同类项的定义：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，列出二元一次方程组，即可得出x y 、的值.【详解】由题意，得361x y x =⎧⎨=+⎩解得23x y =⎧⎨=⎩故选：C.【点睛】此题主要考查对同类项的理解，熟练掌握，即可解题.2m 为（ ）A ．-10B ．-40C ．-90D ．-160 【答案】A【解析】依题意可得，-10m ＞0且是完全平方数，因此可求得m ＜0，所以满足条件的m 的值为-10. 故选A.3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A ．1，2，3B ．4，5，6CD ．32，42，52 【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【详解】解：A 、∵12+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；B 、∵42+52≠62，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；C 、∵222,+=∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； D 、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意．故选C ．【点睛】考查勾股定理的逆定理，：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形. 4．下列代数式中，属于分式的是（ ）A ．﹣3B ．1πC ．3xD ．11x - 【答案】D【分析】根据分式的定义即可求出答案．【详解】解：11x -是分式； 故选：D ．【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．5．如图，AC ∥DF ，AC ＝DF ，下列条件不能使△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．∠B ＝∠EC ．AB=DED ．BF=EC【答案】C 【分析】根据判定全等三角形的方法，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵AC ∥DF ，∴∠ACB=∠DFE ，∵AC=DF ；A 、∠A ＝∠D ，满足ASA ，能使△ABC ≌△DEF ，不符合题意；B 、∠B ＝∠E ，满足AAS ，能使△ABC ≌△DEF ，不符合题意；C 、AB=DE ，满足SSA ，不能使△ABC ≌△DEF ，符合题意；D 、BF=EC ，得到BC=EF ，满足SAS ，能使△ABC ≌△DEF ，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握SAS 、SSS 、ASA 、AAS 、HL 证明三角形全等． 6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，CD DE =，26CBD ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．34︒C ．36︒D ．38︒【答案】D【分析】根据角平分线的判定可知，BD 平分∠ABC ，根据已知条件可求出∠A 的度数．【详解】解：∵90C ∠=︒，DE AB ⊥，且CD DE =∴BD 是ABC ∠的角平分线，∴26ABD CBD ∠=∠=︒，∴22652ABC ∠=⨯︒=︒，∴在Rt ABC 中，905238A ∠=︒-︒=︒，故答案选D ．【点睛】本题主要考查角平分线的判定及三角形角度计算问题，理解角平分线的判定条件是解题的关键． 7．一个正方形的面积等于30，则它的边长a 满足（ ）A ．4＜a ＜5B ．5＜a ＜6C ．6＜a ＜7D ．7＜a ＜8 【答案】B再由52＝25，62＝36，即可求解.【详解】正方形的面积是边长的平方，∵面积为302＝25，62＝36，∴56<<，即5＜a ＜6，故选B ．【点睛】本题考查了无理数的估算,解题的关键是注意找出和30最接近的两个能完全开方的数. 8．在22131211-2,,,,,,2151a b x a x a b x x x π+--+--+，，分式的个数有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：22131211-2,,,,,,2151a b x a x a b x x x π+--+--+，，分式的有：221111,11-+--+，，x x a b x x x 共有4个.故选：B【点睛】此题主要考查了分式概念，关键是掌握分式的分母必须含有字母．9．若21x y =⎧⎨=-⎩是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（ ） A ．351x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．251x y x y -=⎧⎨+=⎩C．231x yx y=⎧⎨=+⎩D．325x yy x=-⎧⎨+=⎩【答案】B【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解．【详解】A．x=2，y=﹣1不是方程x+3y=5的解，故该选项错误；B．x=2，y=﹣1适合方程组中的每一个方程，故该选项正确．C．x=2，y=﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误；D．x=2，y=﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误．故选B．【点睛】本题考查了方程组的解的定义，即适合方程组的每一个方程的解是方程组的解．10．下列命题：①有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等；②周长相等的两个三角形是全等三角形③全等三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线相等；其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．0个【答案】B【分析】逐项对三个命题判断即可求解．【详解】解：①有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形（HL）全等，故①选项正确；②全等三角形为能够完全重合的三角形，周长相等不一定全等，故②选项错误；③全等三角形的性质为对应边上的高线，中线，角平分线相等，故③选项正确；综上，正确的为①③．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键．二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(1,1)，(1,2)，(2,2)⋯根据这个规律，第2019个点的坐标为___．【答案】（45,6）【分析】根据图形推导出：当n为奇数时，第n个正方形每条边上有（n+1）个点，连同前边所有正方形共有（n+1）2个点，且终点为（1，n）；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有（n+1）个点，连同前边所以正方形共有（n+1）2个点，且终点为（n＋1，0）. 然后根据2019=452－6，可推导出452是第几个正方形连同前边所有正方形共有的点，最后再倒推6个点的坐标即为所求.【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有4=22个点，且终点为（1,1）；第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有9=32个点，且终点为（3,0）；第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有16=42个点，且终点为（1,3）；第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有25=52个点，且终点为（5,0）；故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有（n+1）个点，连同前边所有正方形共有（n+1）2个点，且终点为（1，n）；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有（n+1）个点，连同前边所以正方形共有（n+1）2个点，且终点为（n＋1，0）.而2019=452－6n+1=45解得：n=44由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为（45,0），由图可知，再倒着推6个点的坐标为：（45,6）.故答案为:（45,6）.【点睛】此题考查的是图形的探索规律题，根据图形探索规律并归纳公式是解决此题的关键.12．小亮的体重为43.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为_____kg．【答案】2【分析】利用四舍五入得到近似数，得到答案．【详解】解：1．85≈2（kg）∴小亮的体重约为2kg，故答案为：2．【点睛】本题考查的是近似数和有效数字，掌握近似数的概念、四舍五入的方法是解题的关键．13．若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是_____．【答案】-10【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x, y), 关于x轴的对称点的坐标是(x, -y), 关于y轴的对称点的坐标是(-x, y), 根据关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数得出m, n的值, 从而得出mn.【详解】解:点A (2, m) 关于y轴的对称点是B (n，5),n=-2,m=5,mn=-10.故答案为-10.【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系. 关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数, 是需要识记的内容.14．在如图所示的“北京2008年奥运会开幕小型张”中，邮票的形状是一个多边形．这个多边形的内角和等于__________°．【答案】720【分析】根据n边形的内角和公式为：（n-2）×180°，据此计算即可．【详解】解：由图可知该邮票是六边形，∴（6-2）×180°=720°．故答案为：720.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解答本题的关键．15．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm1，10cm1，14cm1，则正方形D的面积是__________cm1．【答案】17【解析】试题解析：根据勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形1=S大正方形=2，S正方形C+S正方形D=S正方形1，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=2．∴正方形D的面积=2-8-10-14=17（cm1）.16．正十边形的内角和等于_______，每个外角等于__________．【答案】1440°36°【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和即可得出结果．【详解】解：正十边形的内角和=（10-2）×180°=1440°，∵正十边形的每个外角都相等，∴每个外角的度数=3601036︒÷=︒．故答案为：1440︒；36︒．【点睛】本题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的外角和．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n-2）•180°；多边形的外角和为360°．17．如图，边长为10的等边ABC中，一动点P沿AB从A向B移动，动点Q以同样的速度从C出发沿BC的延长线运动，连PQ交AC边于D，作PE AC⊥于E，则DE的长为__________．【答案】1【分析】作PF∥BC，易证△APF为等边三角形，可得AE=EF，易证∠Q=∠DPF，即可证明△DPF≌△DQC，可得CD=DF，即可求得DE12=AC，即可得出结论．【详解】作PF∥BC交AC于F．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵PF∥BC，∴∠APF=∠B=60°，∠Q=∠DPF，∴∠A=∠APF=60°，∴△APF为等边三角形，∴PF=AP，∴PF=CQ．∵PE⊥AD，∴AE=EF．在△DPF和△DQC中，∵PDF QDCQ DPFPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF≌△DQC(AAS)，∴CD=DF，∴DE=DF+EF=AE+CD12=AC=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，证明△DPE≌△DQC是解答本题的关键．三、解答题18．随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售,据了解2辆A型汽车、3辆B型汽气车的进价共计80万元；3辆A 型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少方元?(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案；(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元,销售1辆B型汽车可获利5000元,在(2)中的购买方案中,假如这些新能源汽车全部售出,哪种方案获利最大?最大利润是多少元？【答案】（1）A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为10万元；（2）三种购车方案，方案详见解析；（3）购买A种型号的汽车2辆，B种型号的汽车15辆，可获得最大利润，最大利润为91000元【分析】（1）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可.（2）设购买A种型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据题意列出方程，找出满足题意的m，n的值.（3）根据题意可得，销售一辆A型汽车比一辆B型汽车获得更多的利润，要获得最大的利润，需要销售A 型汽车最多，根据（2）中的购买方案选择即可.【详解】（1）设A 种型号的汽车每辆进价为x 万元，B 种型号的汽车每辆进价为y 万元，根据题意可得23803295x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得2510x y =⎧⎨=⎩综上，A 种型号的汽车每辆进价为25万元，B 种型号的汽车每辆进价为10万元（2）设购买A 种型号的汽车m 辆，B 种型号的汽车n 辆，根据题意可得25m+10n=200，且m,n 是正整数当m=2，n=15当m=4，n=10当m=6，n=5购买方案有三种，分别是方案1：购买A 种型号的汽车2辆，B 种型号的汽车15辆；方案2：购买A 种型号的汽车4辆，B 种型号的汽车10辆；方案3：购买A 种型号的汽车6辆，B 种型号的汽车5辆.（3）方案1：2800015500091000()⨯+⨯=元方案2：4800010500082000()⨯+⨯=元；方案3：680005500073000()⨯+⨯=元73000（元）即方案1可获得最大利润，最大利润为91000元.【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用和最优方案问题，理解题中的等量关系并列出方程求解是解题的关键.19．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：①211x x -+；②222a b a b --；③22x y x y +-；④()222a b a b -+．其中是“和谐分式”是 （填写序号即可）；（2）若a 为正整数，且214x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值； （3）在化简22344a ab ab b b -÷-时， 小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：原式=22344a a ab b b b -⨯-=223244a a ab b b --=()()222323244a b a ab b ab b b ---，小强：原式=22344a a ab b b b -⨯-=()()()222224444a a a b a a b a b ba b b ---=--， 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，请你接着小强的方法完成化简．【答案】（1）②；（2） 4，5；（3）见解析.【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；（2）根据和谐分式的定义可以得到a 的值；（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题.【详解】（1）②分式=，不可约分， ∴分式是和谐分式，故答案为②；（2）∵分式为和谐分式，且a 为正整数， ∴a=4，a=﹣4（舍），a=5；（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，原式====故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．【点睛】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答. 20．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项的系数而分解成3(1)(4)x x --，另一位同学因看错了常数而分解成3(2)(6)x x -+.（1）求原多项式；（2）将原多项式进行分解因式.【答案】（1）3x 1+11x+11；（1）3（x+1）1【分析】（1）利用多项式乘法计算出3（x-1）（x-4），3（x-1）（x+6），进而可得原多项式为3x 1+11x+11； （1）提公因式3，再利用完全平方公式进行二次分解即可．【详解】解：（1）∵3（x-1）（x-4）=3（x 1-5x+4）=3x 1-15x+11，3（x-1）（x+6）=3（x1+4x-11）=3x1+11x-36，∴原多项式为3x1+11x+11；（1）3x1+11x+11=3（x1+4x+4）=3（x+1）1．故因式分解为：3（x+1）1．【点睛】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，关键是掌握计算法则，正确确定原多项式．21．五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？【答案】(1)甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、1元；(2) 需筹集资金125000元．【分析】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据“用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同”列出方程，求解即可；（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据”该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品”列出方程，求解即可．【详解】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据题意得，35030010x x=+，解得：x=1．经检验，x=1是原方程的解．答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、1元；（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据题意得，m+3m=2000，解得m=500，即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500+1×1500=125000（元）．答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．22．计算:（1）233(3)a a a -⋅÷（2）先化简，再求值: [(2m+n)(2m-n)+(m+n)2-2(2m 2-mn)]÷(-4m)，其中m=1，n=12. 【答案】（1）－27a 10；（2）4m n --，34- 【解析】（1）根据积的乘方、单项式乘单项式以及整式除法法则计算即可；（2）根据整式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【详解】(1)原式 =()2927a aa -⋅÷ =－27a 11÷a=－27a 10；（2）原式=[4m 2－n 2 + (m 2+2mn+n 2)－（4m 2－2mn ）]÷(-4m)=(4m 2－n 2 +m 2+2mn+n 2－4m 2+2mn )÷(-4m)=（m 2+4mn ）÷(-4m)= 4m n -- 当m=1，n=12时，原式=1142--=34-． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则是解题的关键 23．解分式方程：2311x x x x +=--. 【答案】x=3【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：解：去分母得：3+x 2﹣x=x 2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝10°，则∠DEC ＝ 度；（1）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图1，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 1+CH 1＝1AE 1．【答案】（1）45度；（1）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE＝65°，即可求解；（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣1α，可得∠CAE＝90°﹣1α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝2EF，CH＝2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝10°，∴∠ABE＝∠AED＝10°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（1）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣1α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣1α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH AF，∵在Rt△AEF中，AE1＝AF1+EF1，AF）1+EF）1＝1AE1，∴EH1+CH1＝1AE1．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.25．某商场第1次用600元购进2B铅笔若干支，第2次用800元又购进该款铅笔，但这次每支的进价是第1次进价的八折，且购进数量比第1次多了100支．（1）求第1次每支2B铅笔的进价；（2）若要求这两次购进的2B铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于600元，问每支2B铅笔的售价至少是多少元？【答案】（1）第1次每支2B铅笔的进价为1元；（2）每支2B铅笔的售价至少是2元．【分析】（1）设第1次每支2B铅笔的进价为x元，则第2次的进价为0.8x元，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进100支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据数量＝总价÷单价可求出第一次购进2B铅笔的数量，用其加100可求出第二次购进数量，设每支2B铅笔的售价为y元，根据利润＝单价×数量﹣进价结合总利润不低于600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】解：（1）设第1次每支2B铅笔的进价为x元，则第2次的进价为0.8x元，依题意，得8000.8x﹣600x＝100，解得：x＝1．经检验，x＝1是原方程的解，且适合题意．答：第1次每支2B铅笔的进价为1元．（2）600÷1＝120（支），120+100＝220（支）设每支2B铅笔的售价为y元，依题意，得：（120+220）y﹣（600+800）≥600，解得：y≥2．答：每支2B铅笔的售价至少是2元．【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．一项工程，甲单独做要x 天完成，乙单独做要y 天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ）A ．xy x y+ B ．2x y + C ．x y y x + D ．x y +【答案】A 【解析】根据工程问题的关系：工作量=工作效率×工作时间，把总工作量看作单位“1”，可知甲的工作效率为1x ，乙的工作效率为1y ，因此甲乙合作完成工程需要：1÷（1x +1y）=xy x y +. 故选A.2．下列各数中是无理数的是（ ）A ．227B ．0CD ．0.1616616661…（相邻两个1间依次增加1个6） 【答案】D【分析】根据无理数的概念进行判断．【详解】A 选项：227是有理数； B 选项：0是有理数；C 8是有理数；D 选项：．1616616661…（相邻两个1间依次增加1个6）是无限不循环小数，故是无理数． 故选：D ．【点睛】考查了无理数的定义，解题关键是抓住：无理数常见的三种类型①开不尽的方根；②特定结构的无限不循环小数；③含π的数．3．下列各组数中，不能构成直角三角形的是( )A ．a=1，b=43，c=53 B ．a=5，b=12，c=13 C ．a=1，b=3， D ．a=1，b=1，c=2 【答案】D【解析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．【详解】A 、∵12+(43)2=(53)2，∴能构成直角三角形，不符合题意； B 、∵52+122=132，，∴能构成直角三角形，不符合题意；C 、∵12+32)2，∴能构成直角三角形，不符合题意；D 、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，通常是看较小的两边的平方和是否等于最长边的平方，即只要三角形的三边满足a 2+b 2=c 2，则此三角形是直角三角形．4．16的平方根是（ ）A ．4B ．－4C ．±4D ．±2【答案】C【解析】16 的平方根是16=4±±，故选C.5．(1232020)(232021)(1232021)(232020)---⋯-⨯++⋯+----⋯-⨯++⋯+=（） A ．2019 B ．2020 C ．2021 D ．2019×2020【答案】C【分析】首先令232020t =++⋯+，进行整体代换，然后进行整式混合运算即可得解.【详解】令232020t =++⋯+原式=()()()1202112021t t t t -+---⋅=22202120212020t t t t t -+-++=2021故选：C.【点睛】此题主要考查利用整体代换求解整式混合运算，熟练掌握，即可解题.6．下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D 选项中线段BE 是△ABC 的高.考点：三角形的高7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =,AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，若10AC cm =,则DBE ∆的周长为（ ）A ．10B ．15C ．102D ．20 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可求出AB ，然后根据角平分线的性质和定义DC=DE ，∠CAD=∠EAD ，利用直角三角形的性质即可求出∠ADC=∠ADE ，再根据角平分线的性质可得AE=AC ，从而求出BE ，即可求出DBE ∆的周长．【详解】解：∵在ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC BC cm ==,∴AB=22102AC BC cm +=∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥∴DC=DE ，∠CAD=∠EAD ，∠DEA=90°∴∠ADC=90°－∠CAD=90°－∠EAD=∠ADE即DA 平分∠CDE∴AE=AC=10cm∴BE=AB －AE=()10210cm -∴DBE ∆的周长=DE ＋DB ＋BE=DC ＋DB ＋BE=BC ＋BE=10＋()10210102cm -=故选C ．【点睛】此题考查的是勾股定理、角平分线的性质和直角三角形的性质，掌握用勾股定理解直角三角形、角平分线的性质和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．8．已知：如图，AB=AD ，∠1=∠2，以下条件中，不能推出△ABC ≌△ADE 的是( )A ．AE=ACB ．∠B=∠DC ．BC=DED ．∠C=∠E【答案】C【解析】根据∠1=∠2可利用等式的性质得到∠BAC=∠DAE，然后再根据所给的条件利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，A、添加AE=AC，可利用SAS定理判定△ABC≌△ADE，故此选项不合题意；B、添加∠B=∠D，可利用SAS定理判定△ABC≌△ADE，故此选项不合题意；C、添加BC=DE，不能判定△ABC≌△ADE，故此选项符合题意；D、添加∠C=∠E，可利用AAS定理判定△ABC≌△ADE，故此选项不合题意；故选C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中，BD=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BA，∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∴③正确；④因为BD是△ABC的角平分线，且BA>BC,所以D不可能是AC的中点，则AC≠2CD，故④错误.故选：C.【点睛】此题考查角平分线定理，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.10．下列各组线段中（单位：cm），能组成三角形的是（）A．5,15,20 B．6,8,15 C．2,2.5,3 D．3,8,15【答案】C【分析】根据三角形三边长的关系：“三角形任意两边之和大于第三边”，逐一判断选项，即可得到答案. 【详解】∵5+15=20，∴长为5,15,20的线段，不能组成三角形，即：A错误；∵6+8<15，∴长为6,8,15的线段，不能组成三角形，即：B错误；∵2+2.5>3，∴长为2,2.5,3的线段，能组成三角形，即：C正确；∵3+8<15，∴长为3,8,15的线段，不能组成三角形，即：D错误；故选C.【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系定理是解题的关键.二、填空题11．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N 在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN 的长为．【答案】10．【分析】过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．【详解】解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，AB ACB ACEBM CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，AM AEMAN EANAN AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt △ENC 中，由勾股定理，得EN 2=EC 2+NC 2．∴MN 2=BM 2+NC 2．∵BM=2，CN=3，∴MN 2=22+32，∴MN=10考点：2．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．【答案】110°或70°．【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．132x -有意义时，x 的取值范围是_____．【答案】x ＞1．【解析】试题解析：根据题意得：20x ->，解得：2x >． 故答案为2x >．点睛：二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零.分式有意义的条件：分母不为零.14．化简：a+1+a （a+1）+a （a+1）2+…+a （a+1）99=________．【答案】（a+1）1．【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．【详解】原式=（a+1）[1+a+a （a+1）+a （a+1）2+…+a （a+1）98]，=（a+1）2[1+a+a （a+1）+a （a+1）2+…+a （a+1）97]，=（a+1）3[1+a+a （a+1）+a （a+1）2+…+a （a+1）96]，=…，=（a+1）1．故答案是：（a+1）1．。