薛定谔方程习题

第二章 习 题
1.质量为μ的粒子，约束在一维势V(x)中，设在某些区域V(x)是常数，V(x)=V 0，在这些区域里，求：(1) E>V 0; (2)E<V 0; (3)E=V 0 三种情况下粒子的定态波函数，此处E 为粒子能量。

2.考虑一个粒子受不含时势()V r 的束缚，
(1) 设粒子的态用的形如(,)()()V r t r t φχ=的波函数描述，证明：()i t t Ae ωχ-=（A
是常数），而必须满足方程：2
2()()()()2r V r r r φφωφμ
-
∇+=
(2) 证明：(1)中情况下，概率密度不依赖于时间。

3.质量为的粒子束缚在形如：(,,)()()()V x y z V x U y W z =++的三维势场中，用分离变量法导出三个独立的一维问题，并建立三维能量和一维问题有效能量的关系。

4.设束缚态波函数和是S.E 的两个解，证明：*12d ψψτ⎰
(全空间)
与时间无关。

（可用两
种方法证）
（奥斯特罗格拉德斯基公式：
()
()
V s Ad Ad s τ∇=⎰⎰⎰⎰⎰）
5.NaCl 晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看成束缚在边长为晶格常数a 的立方体内的粒子，设在室温下电子处于基态，求处于基态的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。

6.将在动量空间中的波函数：()exp()(0,)C p N P P P α
α=->=归一化，并证明
在坐标空间中的波函数表达式为：3/2
2
2
1
()(2)()
r r α
ψαπ
α=+（提示：在球面坐标
ρ、θ、φ下由傅立叶变换关系求证） 7.粒子在：(1)一维无限深方势阱(0≤x ≤a)；
—V 0<0 x a ≤ (2)一维有限深方势阱：V(x)=
0 x a
>
中运动，运用索末菲量子化条件
()
q P dq nh =⎰求体系束缚定态能谱。

8.证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长，上述结果同样适用于椭圆轨道。

（对于椭圆轨道有：
r
()()q
r
p dq p dr p d n
n h
ϕϕϕ=+=+⎰⎰⎰）
9.粒子在势能U(x)中运动，当U(x)→U(x)+C ，粒子的能量是否改变？波函数ψ(x)是否会改变？ψ
(x ，t)呢？是通过计算加以回答。

10.图(a)中的定态波函数对应于图中哪一个势函数图？
说明理由。

11.有下列波函数，其中和ψ1描写同一状态的有哪些？
2/2/2/1232/(2/)3/456;;(42);;3;.
i x h i x h i x h i x h i x h i x h e e i e e e e πψψψψψψ-+===+=-==
12.一维运动粒子处于定态221
2
()x x Axe
αψ-=中，求粒子所处势场？若V(0)=0,则E=？
2
4
2
3
422[()(3)()()(3)]
2x x x U x E x ψααψααμ
''=-=+
-，
13.设V(x)中的粒子波函数为()()x
n a
x x A e a
ψ-=，其中A,n,a 为常数，当x →∞时，V(x)→0，
求V(x)及E 。

/1/2/2221(1)[()()2()()]n x a n x a n x a
x n x n n x x A
e A e A e a a a a a a
ψ------''=-+ 2
12
2
()[12()(1)()]2x x U x E n n n a a a μ--=+
-+-
14*.质量为μ的粒子，处于一维短程势0V()()x A V x δ=-中，求粒子的束缚态能量
E 。

（注意束缚态能量的含义）
15.若描述粒子状态的波函数为：12
,0
(),0x
x A e x x A e x λλψ-⎧<⎪=⎨>⎪⎩
讨论：若()x ψ具有确定的宇称性，则A1与A2间的关系如何？()x ψ具有何种宇称？
16.试证明，对任意的一维势垒，关系式R+D=1都自动满足。

（见图示）
提示：求出x →±∞的渐近解()x ψ；再求出J ；然后由R+D 求证R+D=1。

17.如图所示，设有一个一维势垒0,0
()0,0U x U x x >⎧=⎨
≤⎩
今有一束能量为E 的粒子从左向右入射，求出这束粒子被势垒反射的概率，分别讨论E>U 0和E<U 0的情况，并将所得结果与经典力学的结果作比较，讨论在何种情况下经典与量子的结果相符合。

18.如图所示，一维方势阱代表金属中电子发射的模型，试求：E>0的电子在金属表面的反射系数。

19.如图所示，设粒子(E>0)从左入射，被势阱散射，求透射系数。

20.若粒子从右边入射，求一维阶梯势的R 和D 。

（因从右入射，故E>U 0）
21.S.E 的逆问题
粒子在一维势场中运动，其束缚态定态波函数为：
(1)22
5
0,()15(),16x a x a x x a a
ψ⎧>⎪
=⎨-≤⎪⎩
(2)()()x x e x αψα-=-∞<<+∞ (3)3()2()x
x xe
x αψα-=
-∞<<+∞
求粒子相应的能级及势场V(x)。

(已知:22
2()
d x
x dx
δ=)
22.由连续性方程证明，定态下概率分布函数与时间无关。

23.已知()x ψ描述粒子的归一化波函数，求在x →x+dx 区间内发现粒子的概率，在p x →p x +dx 区间内发现粒子动量值的概率。

24.归一化的基态波函数为：(1)
()(,,),r r e e r r r βαψψθϕαβ---==、为正常数，
设r →∞时，()0U r −−
→ 求势场()U r 及基态能量的值？ 25.设
1()x ψ与2()x ψ均为S.E 中属于同一能量E 的解。

则1212ψψψψ''-=常数。

26.设粒子的波函数为(,,)x y z ψ，写出（x ，x+dx ）范围内粒子的概率。

27.思考：“粒子在空间x 处的波长λ”这一提法有无意义？为什么？
28.下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？ (1)1(,)()()E E ix i t
ix i t
x t U x e
U x e ψ---=+
(2)
1
2
2(,)()()E E i
t i
t
x t U x e
U x e ψ--=+
(3)1
2
3
12(,)()()()E E i
t i
t
x t U x e U x e
E E ψ--=+=-
29.请在下图中将代表奇宇称态和偶宇称态的波函数图挑选出来。

30.当描述微观粒子的波函数()r ψ具有确定的宇称时，粒子所处的势场具有何种特征？
31.一个质量为m 的粒子，在势V(x)的作用下作一维运动，假如它处在
22
2r
E m =
的能量本征
态22
21/4/2
()(/)r x x r e ψπ-=上
(1) 求粒子的平均位置； (2) 求粒子的平均动量； (3) 求V(x)；
(4) 求粒子动量在p →p +dp 间的概率。

32.束缚态能级所满足的方程问题
(1) 周世勋《量子力学教程》第2版2.7题P45. (2) 考虑质点在下列势中运动的一维问题。

0,00,0,V x V x a V V x a
=∞<⎧⎪
=≤≤⎨⎪=>⎩
证明束缚态能级由方程
1/2
0tan 2/[/()]mEa E V E =-给出。

33.已知一维谐振子
221
()2U x x ax μω=
+（a 为常数），求n E 和()n x ψ。

34.粒子在22
,0
()=1,02x U x x x μω∞<⎧⎪⎨>⎪⎩中运动，求()?n
n x E ψ=、
35.质量为μ的一维粒子，处于势
22
1()4U x S x bx =
+中，求其定态能级和定态波函数。

其
中s 、b 为常数。

36.设有一维不对称有限深方势阱，势能为
12
,0()=0,0,V x U x x a
V x a ≤⎧⎪
<<⎨⎪≥⎩（其中：
12
V V >）
求：(1)能级
20
V E >>所满足的方程；
(2)证明当12V V =→∞
时，能级所满足的方程与一维无限深势阱相同。