[精品]2016-2017年福建省宁德市部分一级达标中学高二下学期期中数学试卷及解析答案word版(理科)
福建省宁德市部分一级达标中学高二数学下学期期中试卷
2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（）A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．52．下边是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2）处依次为（）A．命题及其关系、或 B．命题的否定、或C．命题及其关系、并 D．命题的否定、并3．下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应4．函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4）C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）5．设命题p：∃x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1．命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2，那么，下列命题为真命题的是（）A．￢q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q）6．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．57．若双曲线﹣=1的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x8．若a，b，c∈R且c﹣a=2，则“2a+b＞1”是“a，b，c这3个数的平均数大于1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．10．设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则a5等于（）A．8 B．9 C．10 D．1111．已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，a=f（1），b=f（﹣），c=f（﹣ln2），d=f（﹣），则（）A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞c＞d C．d＞a＞b＞c D．a＞d＞c＞b12．已知F为双曲线C：﹣=1左焦点，过抛物线y2=20x的焦点的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，若线段PQ的长等于双曲线C虚轴长的3倍，则△PQF的周长为（）A．40 B．42 C．44 D．52二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，﹣0.98，0.63，其中（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．14．复数在复平面内对应的点位于第象限．15．P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A 的距离之和的最小值为．16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若P为曲线M：ρ=﹣2cosθ上任意一点，Q为曲线C上任意一点，求|PQ|的最小值．18．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．（1）试根据上述数据完成2×2列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：（其中n=a+b+c+d）19．（1）证明：若实数a，b，c成等比数列，n为正整数，则a n，b n，c n也成等比数列；（2）设z1，z2均为复数，若z1=1+i，z2=2﹣i，则；若z1=3﹣4i，z2=4+3i，则|z1•z2|=5×5=25；若，，则|z1•z2|=1×1=1．通过这三个小结论，请归纳出一个结论，并加以证明．20．已知函数f（x）=x3+x，g（x）=f（x）﹣ax（a∈R）．（1）当a=4时，求函数g（x）的极大值；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程；（3）若函数g（x）在上无极值，且g（x）在上的最大值为3，求a的值．21．设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线x=1与椭圆相交所得弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．22．已知函数φ（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）讨论φ（x）的单调性；（2）设f（x）=φ（x）﹣x3，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（）A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的答案．【解答】解：∵z=（1﹣i）（4﹣i）=3﹣5i，∴，则复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为5．故选：D．2．下边是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2）处依次为（）A．命题及其关系、或 B．命题的否定、或C．命题及其关系、并 D．命题的否定、并【考点】EJ：结构图．【分析】命题的否定在全称量词与存在量词这一节中，简单的逻辑联结词包括或、且、非，可得结论．【解答】解：命题的否定在全称量词与存在量词这一节中，简单的逻辑联结词包括或、且、非，故选A．3．下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】分别判断各选项，即可得出结论．【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理．故选D．4．函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4）C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣4，令f′（x）＜0，解得：x＜ln4，故函数在（﹣∞，ln4）递减；故选：C．5．设命题p：∃x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1．命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2，那么，下列命题为真命题的是（）A．￢q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题p：取x0=，则lnx0=﹣1．即可判断出真假．命题q：利用椭圆的标准方程及其性质即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假．【解答】解：命题p：取x0=，则lnx0=﹣1．因此p是真命题．命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2，是真命题．那么，下列命题为真命题的是p∧q．故选：C．6．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】3O：函数的图象．【分析】根据极值点的定义和f′（x）的图象得出结论．【解答】解：若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0，且f′（x）在x0两侧异号，由f′（x）的图象可知f′（x）=0共有4解，其中只有两个零点的左右两侧导数值异号，故f（x）有2个极值点．故选A．7．若双曲线﹣=1的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率列出方程，求出m，然后求解双曲线的渐近线方程即可．【解答】解：双曲线﹣=1的离心率为，e==，可得，解得m=，∴ =，则此双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．8．若a，b，c∈R且c﹣a=2，则“2a+b＞1”是“a，b，c这3个数的平均数大于1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用平均数的定义、不等式的性质、简易逻辑的判定方法即可得出结论．【解答】解：若a，b，c这3个数的平均数大于1，则，a+b+a+2＞3，∴2a+b＞1，反之，亦成立，故选：C．9．有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．【考点】82：数列的函数特性．【分析】由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，即可得出．【解答】解：，，，，（），，，，，…，由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为，故选：B10．设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则a5等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】8H：数列递推式．【分析】利用已知条件逐步求解即可．【解答】解：4S n=n（a n+a n+1），可得4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，a2=3a1，a3=5a1，从而36a1=3（5a1+7），a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，4S4=4（a4+a5），解得a5=9．故选：B．11．已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，a=f（1），b=f（﹣），c=f（﹣ln2），d=f（﹣），则（）A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞c＞d C．d＞a＞b＞c D．a＞d＞c＞b【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后判断函数值的大小．【解答】解：函数f（x）=（2x﹣1）e x，可得f′（x）=（2x+1）e x，当x＜﹣时，f′（x）＜0，函数是减函数，∵ln＜ln2＜lne，∴，∴，∴f（﹣）＞f（﹣ln2）＞f（﹣），∵f（1）＞0，f（）＜0，∴a＞b＞c＞d．故选：A．12．已知F为双曲线C：﹣=1左焦点，过抛物线y2=20x的焦点的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，若线段PQ的长等于双曲线C虚轴长的3倍，则△PQF的周长为（）A．40 B．42 C．44 D．52【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决，求出周长即可．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；a=4，双曲线图象如图：|PQ|=|QA|+PA|=6b=18，|PF|﹣|AP|=2a=8 ①|QF|﹣|QA|=2a=8 ②得：|PF|+|QF|=16+|PA|+|QA|=34，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=52，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，﹣0.98，0.63，其中乙（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．【考点】BH：两个变量的线性相关．【分析】根据两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好，由此得出答案．【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果就越好，在甲、乙、丙中，所给的数值中0.98是相关指数最大的值，即乙的拟合效果最好．故答案为：乙．14．复数在复平面内对应的点位于第四象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： ===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故答案为：四．15．P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A 的距离之和的最小值为 3 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义结合不等式求解即可．【解答】解：因为P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0）在抛物线的外侧，由抛物线的定义可得：P到准线的距离d等于到焦点的距离，则P到此抛物线的准线的距离与P到点A 的距离之和为：d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=3，所求的最小值为3．故答案为：3．16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值以及端点值，根据函数的零点求出a的范围即可．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a，则f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，）递增，故f（x）极大值=f（﹣1）=7﹣a，f（x）极小值=f（1）=3﹣a，而f（﹣3）=﹣13﹣a，f（）=﹣a，故或，解得：a∈，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若P为曲线M：ρ=﹣2cosθ上任意一点，Q为曲线C上任意一点，求|PQ|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，展开化为：x2+y2﹣4x+3=0．圆心C（2，0），半径R=1．把互化公式代入可得极坐标方程．（2）曲线M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化为直角坐标：（x+1）2+y2=1，可得圆心M （﹣1，0），半径r=1．可得|PQ|的最小值=|MC|﹣r﹣R．【解答】解：（1）曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，展开化为：x2+y2﹣4x+3=0．圆心C（2，0），半径R=1．把互化公式代入可得极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（2）曲线M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化为直角坐标：x2+y2=﹣2x，可得（x+1）2+y2=1，可得圆心M（﹣1，0），半径r=1．|MC|==3．∴|PQ|的最小值=|MC|﹣r﹣R=1．18．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．（1）试根据上述数据完成2×2列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：（其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据题意填写2×2列联表即可；（2）根据2×2列联表求得K2的观测值，对照临界值表即可得出结论．【解答】解：（1）填写2×2列联表如下；（2）根据2×2列联表可以求得K2的观测值=；所以能在范错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．19．（1）证明：若实数a，b，c成等比数列，n为正整数，则a n，b n，c n也成等比数列；（2）设z1，z2均为复数，若z1=1+i，z2=2﹣i，则；若z1=3﹣4i，z2=4+3i，则|z1•z2|=5×5=25；若，，则|z1•z2|=1×1=1．通过这三个小结论，请归纳出一个结论，并加以证明．【考点】F1：归纳推理；8D：等比关系的确定．【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用复数的运算法则，即可得出．【解答】（1）证明：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴a n•c n=（ac）n=（b2）n=（b n）2，∴a n，b n，c n也成等比数列．…（2）解：归纳得到的结论为|z1•z2|=|z1|•|z2|．…下面给出证明：设z1=a+bi，z2=c+di，则z1•z2=ac﹣bd+（ad+bc）i，∴，又，∴|z1•z2|=|z1|•|z2|．…20．已知函数f（x）=x3+x，g（x）=f（x）﹣ax（a∈R）．（1）当a=4时，求函数g（x）的极大值；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程；（3）若函数g（x）在上无极值，且g（x）在上的最大值为3，求a的值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出g（x），求出导函数，根据导函数得出函数的极值即可；（2）求出导函数，根据导函数和切线方程的关系求解即可；（3）求出g'（x）=3x2+1﹣a，函数g（x）在上无极值，得出1﹣a≥0或4﹣a≤0，分类讨论即可．【解答】解：（1）g（x）=x3﹣3x，∴g'（x）=3x2﹣3，当﹣1＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＜﹣1或s＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）的极大值为g（﹣1）=2；（2）f'（x）=3x2+1，f'（1）=4，f（1）=2，∴切线l的方程为y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2；（3）g'（x）=3x2+1﹣a，当1﹣a≥0时，g'（x）≥0，g（x）递增；∴最大值为g（1）=2﹣a=3，a=﹣1；当4﹣a≤0时，g'（x）≤0，g（x）递减；∴最大值为g（0）=0≠3，综上a=﹣1．21．设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线x=1与椭圆相交所得弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率求得a2=4b2，由题意过点（1，），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，由k OA+k OB=0，即可求得k 的值．【解答】解：（1）题意可知：椭圆经过点（1，），椭圆的离心率e==，则a2=4b2，将（1，），代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的标准方程：；（2）设直线l AB：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（1+4k2）x2+32kx+60=0，由△=（32k）2﹣240（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜﹣，由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1•x2=，k OA+k OB=+==2k+4×=2k+4×（﹣），∵直线OA，OB的斜率之和等于2，即2k+4×（﹣）=2，解得k=﹣15，∴直线AB的斜率﹣15．22．已知函数φ（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）讨论φ（x）的单调性；（2）设f（x）=φ（x）﹣x3，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a＞﹣x2对x∈（0，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2（x＞0），求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）φ′（x）=，（x＞0），a≤0时，φ′（x）＞0恒成立，则φ（x）在（0，+∞）递增，a＞0时，令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜，则φ（x）在（0，）递增，令φ′（x）＜0，解得：x＞，则φ（x）在（，+∞）递减；（2）x＞0时，f（x）＜0恒成立，则lnx﹣ax﹣x3＜0，即a＞﹣x2对x∈（0，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2（x＞0），g′（x）=，设h（x）=1﹣lnx﹣x3（x＞0），h′（x）=﹣﹣3x2＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，又h（1）=0，则0＜x＜1时，h（x）＞0，g′（x）＞0，x＞1时，h（x）＜0，g′（x）＜0，故g（x）max=g（1）=﹣，故a＞﹣．。
2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高二(下)期中数学试卷(文科)
2018-2019 学年福建省宁德市部分一级达标中学高二 （下）期中数学试卷（文科）副标题题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.在极坐标系中，点与的位置关系是（）A. 关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称C. 重合D. 关于直线对称i θ2.欧拉公式 e =cos θ+isin θ（ e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家i π欧拉发明的， e+1=0 是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之 一．根据欧拉公式可知，复数的虚部为（）A.B. C. D.3.用反证法证明命题“设 a ， b ， c 为实数，满足 a+b+c=3，则 a ， b ， c 至少有一个数不小于 1”时，要做的假设是（）A. a ， b ， c 都小于 2B. a ， b ， c 都小于 1C. a ， b ， c 至少有一个小于 2D. a ， b ， c 至少有一个小于 14. 函数 f （ x ） =（ 2ex ） 2+sinx 的导数是（）A. f'（ x ） =4ex+cosxB. f'（ x ） =4ex-cosxC. f'（ x ） =8e 2x+cosxD. f'（ x ） =8e 2x-cosx5. 已知，，， ，依此规律，若，则 a+2b 的值分别是（）A. 79B. 81C. 100D. 986.曲线 2 f 2（）在点（ ，（ ））处的切线与坐标轴围成的三角面积为A. 6B.C. 3D. 127. 函数 f x =3+ xlnx的单调递减区间是（ ）（ ）A. （ ， e ）B. （0， ）C. （-∞， ）D. （ ，+∞）8. 2018 年 4 月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结 束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（）A.甲B.丁或戊C.乙D.丙A. B.C. D.10.用长为30cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12 条棱长总和为30cm），要求长方体的长与宽之比为3： 2，则该长方体最大体积是（）A. 24B.15C. 12D. 611.若 x1＞ x2＞ 1，则（）A. B.C. x2lnx1＞x1lnx2D. x2lnx1＜ x1l nx212.对 ? x＞0，不等式 lnx≥恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A. （）B. （]C. （-∞，2-e）D. （-∞，2-e]二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.z= m-1 +m+2i x+y+1=0上，则实数m的值是______若复数（）（）对应的点在直线．14.在极坐标系中，已知两点，A B两点间的距离为______．，则，15.ABC的边长为a，P ABC内的任意一点，且P到三边AB、BC、CA的设等边△是△距离分别为d1、d2、d3，则有 d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体 ABCD 内的任意一点，且P 到四个面 ABC 、 ABD、 ACD、 BCD 的距离分别为 d1、 d2、 d3、 d4，则有 d1+d2+d3+d4为定值 ______．16.已知函数，其中e是自然对数的底数．若f a +f a2（）（-2）＜ 0，则实数 a 的取值范围是 ______．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.在极坐标系下，已知圆C：ρ =cos θ +sin θ l：x-y+2=0，和直线（Ⅰ）求圆 C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求圆 C 上的点到直线l 的最短距离．2218. （Ⅰ）已知 m∈R，复数 z=（ m -4m-5） +（ m -2m-15） i 是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数 z 满足方程 z+（ z-2） i=0，求及||的值．319.设函数f（x）=x -6x+5，x∈R（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程 f（ x） =a 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围．20.已知函数，（Ⅰ）分别求f（0） +f（ 1）， f（ -1） +f（ 2）， f（ -2） +f（ 3）的值；（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．21.已知函数 f（ x） =lnx， g（ x） =a（ x2-x）（ a≠0， a∈R）， h（ x） =f（ x） -g（ x）（Ⅰ）若 a=1，求函数 h（ x）的极值；（Ⅱ）若函数y=h（ x）在 [1， +∞）上单调递减，求实数 a 的取值范围．22.设函数 f（ x） =e x-ax-2．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间；（Ⅱ）若 a=1，k 为整数，且当 x＞ 0 时，（ x-k）f′（ x）+x+1＞ 0，求 k 的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在极坐标系中，点与如图，则点与的位置关系是关于极轴所在直线对称．故选：A．在极坐标系中画出两点得答案．本题考查极坐标系中点的极坐标，是基础题．2.【答案】B【解析】i θ解：根据欧拉公式 e =cosθ +isin，θ可得，=，∴的虚部为：．故选：B．利用欧拉公式直接求解即可．本题考查了欧拉公式和三角函数求值，属基础题．3.【答案】B【解析】解：a，b，c 至少有一个数不小于1 的对立面就是 a，b，c 三个都小于 1．故选：B．根据“至少有一个”的对立面为“一个也没有“可得．本题考查了反证法，属基础题．4.【答案】C22 2解：根据题意，f （）x=（2ex ）+sinx=4e x +sinx ，导 f ′（x 2 2 2其 数 ）=（4e x ）′+（sinx ）′=8ex+cosx ，故选：C ．根据 题 导 计 算公式 计算即可得答案．意，由 数的本 题 考 查导 数的 计 键 导 数的 计 算公式，属于基 础题 ．算，关 是掌握 【答案】 D5.【解析】解：由，，， ，依此规 律 =n，n ≥2，则，可得 b=9，a=92-1=80，故 a+2b=80+18=98， 故选：D ．仔细观察已知等式的数字可 发现：=n，n ≥2，根据此规律解题即可本题是一道找 规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．6.【答案】 A【解析】解：f （x ）=-x 2+1 的导数为 f ′（2）=-3，f （2）=0可得在点点（2，0）处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为 y=-3（x-2）．分别令 x=0，y=6 可得 y ，x 轴上的截距 为 6，2．即有围成的三角形的面 积为： ×6×2=6．故选：A ．求出函数的 导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得 x ，y 轴的截距，运本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：f ′（x）=lnx+1 ，令 f ′（x）＜0，解得：0＜ x＜，故选：B．先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．8.【答案】D【解析】解：假设爸爸的猜测是对的，则冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意．故选：D．分别假设三个人的猜测是对的，另外两个的猜测是错的，分析可得．本题考查了简单的合情推理，属中档题．9.【答案】C【解析】解：函数y=的导数为，令 y′=0，得x=，时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．∴函数在（-），（递递）减，在（）增．且 x=0 时，y=0，故选：C．利用导数求出单调区间，及 x=0 时，y=0，即可求解．本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力．属于中档题，10.【答案】 B【解析】解：设该长方体的宽是 x 米，由题意知，其长是米，高是 =米，（0＜x ＜3）则该长方体的体 积 V （x ）=x?x?（ ）=-x 3+ x 2，V ‘（x ）=- + ，由 V ′（x ）=0，得到x=2，且当 0＜x ＜2 时，V ′（x ）＞0；当 2＜x ＜3 时，V ′（x ）＜0，即体积函数 V （x ）在x=2 处取得极大 值 V （2）=15，也是函数 V （x ）在定义域上的最大 值 ．所以该长方体体积最大值是 15．故选：B ．根据题意知，长方体的所有棱 长和是 30m ，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大 值即可．本小题主要考查长方体的体 积及用导数求函数最 值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理 论证能力和运算求解能力，是中档 题．11.【答案】 A【解析】解：① 令 f （x ）= 则＞ 0，（x ＞1）， f'（x ）=∴f （x ）在（1，+∞）上单调递 增，∴当 x 1＞x 2＞ 1 时， ，即，故A 正确．② 令 g （x ）=则g'（x ）=，（x ＞1）， 令 g （x ）=0，则 x=e ，∴g （x ）在（1，e ）上单调递 增，在（e ，+∞）上单调递 减，易知 C ，D 不正确，故选：A ．构造函数 f （x ）= （x ＞1）和g （x ）= （x ＞ 1）然后根据f （x ）和g （x ）的单调性即可比较大小．本题考查了利用函数的 单调性比较大小，关键是构造函数，属基础题．12.【答案】 B【解析】解：由lnx ≥2（x ＞0）恒成立可得 a ≤xlnx+ex-2x （x ＞ 0）恒成立，令 f （x ）=xlnx+ex 2-2x （x ＞0），则 f ′（x ）=lnx+2ex-1，显然 f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，又 f ′（ ）=-1+2-1=0，∴当 0＜ x ＜ 时，f （′x ）＜0，当x ＞时，f （′x ）＞0，∴当 x=时，f 值f （ ）=- ．（x ）取得最小 ∴a ≤- ．故选：B ．类2导 侧 单调 分 参数得出 a ≤xlnx+ex-2x 数判断右 函数的 性，求出其最小，利用值即可得出 a 的范围．本题考查了导数与函数 单调性的关系，函数恒成立与函数最 值的计算，属于中档题．13.【答案】 -1【解析】解：∵复数 z=（m-1）+（m+2）i 对应的点在直 线 x+y+1=0 上，∴（m-1）+（m+2）+1=0， 解得 m=-1．故答案为：-1．直接把 z 的坐标代入直 线 x+y+1=0 求解实数 m 的值 ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．14.【答案】5【解析】解：由两点，，得 A ，B 两点的直角坐标分别为 A （，），B（，-2），由两点间的距离公式得：|AB|==．故答案为：5．化 A ，B 的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解．本题考查点的极坐标化直角坐标，考查两点间距离公式的应用，是基础题．15.【答案】【解析】设为则BO=× =解：底面三角形 BCD 的中心O，锥=．，故棱的高 AO=∴正四面体的体积 V==．又V=VP-ABC+VP-ABD+VP-ACD+VP-BCD=×），（d1+d2+d3+d4∴d1+d2+d3+d4=．故答案为：．根据棱锥的体积不变即可求出答案．本题考查了棱锥的体积计算，棱锥的结构特征，属于中档题．16.【答案】（-2，1）【解析】解：函数，则 f（-x）=-f（x），∴函数 f（x）在R 上为奇函数．f ′（x）=9x 2x≥2≥0∴函数 f （x ）在R 上单调递增．∵f （a ）+f （a 2-2）＜0，∴f （a 2-2）＜-f （a ）=f （-a ），∴a 2-2＜ -a ，交点 -2＜a ＜1．则实数 a 的取值范围是（-2，1）．故答案为：（-2，1）．函数，先判断其奇偶性，利用导数研究函数的 单调性即可解出．本题考查了利用导数研究函数的 单调性，方程与不等式的解法、函数的奇偶性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题．17.【答案】 解：（ Ⅰ ）圆 C ： ρ =cos θ +sin ， θ2即 ρ=ρ cos θ +ρ，sin θ圆 C 的直角坐标方程为：即 x 2+y 2-x-y=0； 直线 l ： x-y+2=0 ，则直线 l 的极坐标方程为x 2+y 2=x+y ，ρ cos θ-ρsin θ+2=0．（ Ⅱ ）由圆 C 的直角坐标方程为 x 2+y 2-x-y=0 可知圆心 C 坐标为，圆心 C 到直线的距离为，因此圆 C 上的点到直线 l 的最短距离为 ．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系求出 结果．（Ⅱ）利用点到直线的距离的公式的 应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐 标方程之间的转换，点到直线的距离公式的 应用，主要考察学生的运算能力和 转换 能力，属于基础题型．18.【答案】 解：（ Ⅰ ） ∵z 为纯虚数，∴，∴m=-1；（Ⅱ），∴，∴【解析】（Ⅰ）根据z 为纯虚数，得 z 的实部为零，虚部不为零，建立方程即可；（Ⅱ）根据方程求出z，然后求出 z 的共轭复数和即可．本题考查了复数的模和复数的运算，属基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）∴当，∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是当；当（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，∴当的图象有 3 个不同交点，即方程 f（ x）=α有三解．【解析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可y=f知（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程 f （x）=a有 3 个不同实根，求得实数 a 的值．考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）；同理；．（Ⅱ）由此猜想：当x1+x2=1 时，．证明：设x1+x2=1，则，故猜想成立．【解析】（Ⅰ）利用条件，求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），（Ⅱ）归纳猜想一般性结论，利用指数的性质给出证明．本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳猜想是关键．21.【答案】解：（Ⅰ）根据题意可知y=h（ x）的定义域为（0， +∞），，故当 x∈（ 0， 1）时， h'（x）＞ 0，故 h（ x）单调递增；当 x∈（ 1，+∞）时， h'（ x）＜ 0，故 h（ x）单调递减，所以当 x=1 时， h（ x）取得极大值 h（ 1）=0，无极小值．（Ⅱ）由 h（ x） =lnx-a（ x2-x）得，若函数 y=h（ x）在 [1，+∞）上单调递减，此问题可转化为对 x≥1恒成立；，只需，当 x≥1时， 2x2-x≥1，则，，故 a≥1，即 a 的取值范围为 [1，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据题意可知 y=h（x）的定义域为（0，+∞），，可得其单调性与极值．h（x）=lnx-a（x2-x）得，若函数 y=h（x）在[1∞（Ⅱ）由，+）上单调递减，此问题可转化为对 x≥1恒成立；，只需，即可得出范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（I）函数f（x）=e x-ax-2的定义域是R， f′（ x） =e x-a，若 a≤0，则 f′（ x） =e x-a≥0，所以函数f（ x） =e x-ax-2 在（ -∞， +∞）上单调递增．x若 a＞ 0，则当 x∈（ -∞， lna）时， f′（ x） =e -a＜ 0；x当 x ∈（ lna ，+∞）时， f ′（ x ） =e -a ＞ 0；所以， f （ x ）在（ -∞， ln a ）单调递减，在（ lna ，+∞）上单调递增．（ II ）由于 a=1，所以，（ x-k ） f ′（ x ） +x+1=（ x-k ） （ e x -1）+x+1故当 x ＞ 0 时，（ x-k ） f ′（ x ）+x+1＞ 0 等价于 k ＜（ x ＞ 0）①令 g （ x ）=，则 g ′（ x ） =由（ I ）知，当 a=1 时，函数 h （ x ） =e x -x-2 在（ 0 ，+∞）上单调递增， 而 h （ 1）＜ 0， h （2）＞ 0，所以 h （ x ） =e x -x-2 在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，故 g ′（ x ）在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为 α，则有 α∈（ 1， 2）当 x ∈（ 0，α）时， g ′（ x ）＜ 0；当 x ∈（α，+∞）时， g ′（ x ）＞ 0；所以 g （ x ）在（ 0，+∞）上的最小值为g （α）．αg （ α） =α +1∈（2， 3 ）又由 g ′（ α） =0，可得 e =α +2所以 由于①式等价于 k g α k 的最大值为 2 ．＜ （ ），故整数 【解析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 a ，故应按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的 单调性，给出单调区间；（II ）由题设条件结合（I ），将不等式，x （-k ）f ′（x ）+x+1＞0 在 x ＞ 0 时成立转化为k ＜ （x ＞ 0）成立，由此问题转化为求 g （x ）=在 x ＞ 0 上的最小值问题，求导，确定出函数的最小 值，即可得出 k 的最大值；本题考查利用导数求函数的最 值及利用导数研究函数的 单调性，解题的关键是第一小 题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小 值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．。
【新】福建省宁德市部分一级达标中学2017-2018学年高二数学下学期期中联考试题理(扫描版)
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福建省宁德市部分一级达标中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中 联考试题 理（扫描版）
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福建省宁德市部分一级达标中学_学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)【含答案】
2015-2016学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．B．ac＞bd C．a2+c2＞b2+d2D．a+c＞b+d2．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=7﹣a2，则S4=（）A．15 B．14 C．13 D．123．不等式的解集为（）A．[﹣1，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣3，1] D．[1，3]4．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣2 D．﹣15．已知正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，则a4=（）A．B．C．D．26．在△ABC中，a=3，，A=60°，则cosB=（）A．B． C．D．7．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A ．B ．C ．D ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 成等差数列，边a ，b ，c 成等比数列，则sinA•sinC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．若c=2，，且a+b=3则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n ﹣2．若数列{b n }满足b n =10﹣log 2a n ，则是数列{b n }的前n 项和取最大值时n 的值为（ ）A ．8B ．10C ．8或9D ．9或1011．已知a ＞1，b ＞1，且，则a+4b 的最小值为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1612．数列{a n }满足a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m+n =a m +a n +mn ，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．不等式的解集是 ．14．已知数列{a n}的通项公式为，则a1+a2+…+a30= ．15．已知数列{a n}满足a1=1，，则数列{a n}的通项公式为a n= ．16．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，，若AB=1，AC=2，则AD•BD的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．18．已知公差不为零的等差数列{a n}，若a1=2，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{a n b n}的前n项和S n．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=（2sinA，cos（A﹣B）），=（sinB，﹣1），且•=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，求b﹣a的取值范围．20．某工厂引入一条生产线，投人资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w（x），当年产量不足80干件时，w（x）=x2+10x（万元），当年产量不小于80千件时，w（x）=51x+﹣1450（万元），当每件商品售价为500元时，该厂产品全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时该厂的利润最大．21．已知关于x的不等式 x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．22．已知数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）设B n为数列{b n}的前n项的和，其中，若不等式对任意的n∈N*恒成立，试求正实数t的取值范围．2015-2016学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．B．ac＞bd C．a2+c2＞b2+d2D．a+c＞b+d【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；综合法；不等式．【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴设a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣5分别代入选项A、B、C均不符合，故A、B、C均错，而选项D正确，故选：D，【点评】本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题．2．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=7﹣a2，则S4=（）A．15 B．14 C．13 D．12【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出a3+a2的值，然后求解S4的值．【解答】解：由题意可知a3=7﹣a2，a3+a2=7，S4=a1+a2+a3+a4=2（a3+a2）=14．故选：B．【点评】本题考查等差数列的基本性质，数列求和，基本知识的考查．3．不等式的解集为（）A．[﹣1，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣3，1] D．[1，3]【考点】指、对数不等式的解法．【专题】转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】根据指数函数的单调性，把原不等式化为≤2﹣1，求出解集即可．【解答】解：不等式可化为≤2﹣1，即x2+2x﹣4≤﹣1，整理得x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，所以原不等式的解集为[﹣3，1]．故选：C．【点评】本题考查了利用指数函数求不等式的解集的应用问题，是基础题目．4．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣2 D．﹣1【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，显然直线过A （﹣2，2）时z最小，求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（﹣2，2），由z=3x﹣y得y=3x﹣z，显然直线过A（﹣2，2）时z最小，z的最小值是﹣8，故选：A．【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．5．已知正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，则a4=（）A．B．C．D．2【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a4的值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，∴，且q＞0，解得，q=，a4==．故选：C．【点评】本题考查等比数列的第4项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．在△ABC中，a=3，，A=60°，则cosB=（）A．B． C．D．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可得：sinB==，由a＞b，可得B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求得cosB的值．【解答】解：∵a=3，，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵a＞b，B为锐角，∴cosB==．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．7．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A．B．C．D．【考点】扇形面积公式．【专题】应用题；数形结合；三角函数的求值．【分析】连接OC，由CD∥OA知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．【解答】解：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2，即，150 2+1002﹣2×150×100×=r2，解得r=50（米）．故选：B．【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长，解答的关键是构造三角形后利用余弦定理，属于基础题．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinA•sinC的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】依题意，可求得B=，利用正弦定理即可求得sinAsinC；另解，求得B=，利用余弦定理=cosB可求得a2+c2﹣ac=ac，从而可求得答案．【解答】解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，…又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=…另解：b2=ac， =cosB==，…由此得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，所以A=B=C，sinAsinC=．故选：A．…【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，熟练掌握两个定理是灵活解题的关键，属于中档题．9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．若c=2，，且a+b=3则△ABC的面积为（）A．B． C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及余弦定理可解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵c=2，，a+b=3，∴由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=9﹣3ab，∴解得：ab=，∴S△ABC=absinC==．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2．若数列{b n}满足b n=10﹣log2a n，则是数列{b n}的前n项和取最大值时n的值为（）A．8 B．10 C．8或9 D．9或10【考点】数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】通过S n=2a n﹣2可求出a n=2n，进而可知b n=10﹣n，计算即得结论．【解答】解：∵S n=2a n﹣2，∴S n+1=2a n+1﹣2，两式相减得：a n+1=2a n+1﹣2a n，即a n+1=2a n，又∵S1=2a1﹣2，即a1=2，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n=2n，b n=10﹣log2a n=10﹣n，令b n=10﹣n≥0、b n+1=9﹣n≤0，解得：n=9或10，故选：D．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．11．已知a＞1，b＞1，且，则a+4b的最小值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】基本不等式．【专题】整体思想；换元法；不等式．【分析】换元可化问题为s＞0，t＞0且+=1，代入可得a+4b=10++，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞1，b＞1，且，令a﹣1=s，b﹣1=t，则a=s+1，b=t+1，则s＞0，t＞0且+=1，a+4b=（s+1）+4（t+1）=s+4t+5=（s+4t）（+）+5=10++≥10+2=14，当且仅当=即s=3且t=时取等号，解得a=s+1=4，b=t+1=，故选：B．【点评】本题考查基本不等式求最值，换元并变形为可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．12．数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，则等于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，可得a n+1﹣a n=1+n，利用“累加求和”可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，∴a n+1﹣a n=1+n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=．∴=．则=2++…+=2=．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】不等式即即（x﹣3）（x+2）＞0，求得x的范围．【解答】解：不等式，即（x﹣3）（x+2）＞0，求得x＜﹣2，或x＞3，故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．14．已知数列{a n}的通项公式为，则a1+a2+…+a30= 30 ．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用“分组求和”方法即可得出．【解答】解：∵，∴a1+a2+…+a30=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（2n﹣3）+（2n﹣1）]=2×15=30．故答案为：30．【点评】本题考查了“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知数列{a n}满足a1=1，，则数列{a n}的通项公式为a n= （3n﹣2）2．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由a1=1，＞0，可得﹣=3，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，＞0，∴﹣=3，∴数列是等差数列，首项为1，公差为3．∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2．∴a n=（3n﹣2）2，故答案为：（3n﹣2）2．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，，若AB=1，AC=2，则AD•BD的最大值为．【考点】相似三角形的性质．【专题】计算题；选作题；方程思想；解三角形．【分析】设BD=a，求出AD，再利用基本不等式，即可求出AD•BD的最大值．【解答】解：设BD=a，则DC=2a，∴cosB==，∴AD==，∴AD•BD=a•=≤，∴AD•BD的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理、基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=，又结合∠A是△ABC的内角，即可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函数的图象和性质可得2A=2B 或2A+2B=π，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵由已知得cosA===，…又∵∠A是△ABC的内角，∴A=．…（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，…∴sin2A=sin2B．…∴2A=2B或2A+2B=π．…∴A=B或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18．已知公差不为零的等差数列{a n}，若a1=2，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{a n b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d≠0．由a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，可得，即（2+2d）2=2×（2+8d），解出d即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d≠0．∵a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，∴，即（2+2d）2=2×（2+8d），∴4d2=8d，∵d≠0，∴d=2．∴a n=2n．（Ⅱ），S n=1•2+2•22+3•22+…+n•2n．①从而2•S n=1•22+2•23+3•23+…+n•2n+1．②①﹣②，得（1﹣2）S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1，即，∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=（2sinA，cos（A﹣B）），=（sinB，﹣1），且•=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，求b﹣a的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．【专题】转化思想；数形结合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由•=，得，化简可得，结合范围0＜C ＜π，即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB．从而可得b﹣a=，由，可得，利用余弦函数的图象和性质即可解得b﹣a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由•=，得，…，…∴，即，…∵0＜C＜π，∴．…（Ⅱ）∵，且，∴，∴a=2sinA，b=2sinB．…∴b﹣a=2sinB﹣2sinA=…==…=，…∵，∴，∴，…∴．…【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量共线的性质的应用，考查了余弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．某工厂引入一条生产线，投人资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w（x），当年产量不足80干件时，w（x）=x2+10x（万元），当年产量不小于80千件时，w（x）=51x+﹣1450（万元），当每件商品售价为500元时，该厂产品全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时该厂的利润最大．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由题意可得x千件销售额0.05×1000x=50x万元，从而写出0＜x＜80和x≥80时的函数关系式，进而用分段函数表示出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）由题意分别求0＜x＜80和x≥80时函数的最大值，从而确定年产量为多少千件时该厂的利润最大．【解答】解：（Ⅰ）当每件商品售价为0.05万元时，x千件销售额0.05×1000x=50x（万元）当0＜x＜80时，L（x）=50x﹣（x2+10x）﹣250=﹣x2+40x﹣250；当x≥80时，L（x）=50x﹣（51x+﹣1450）﹣250=1200﹣（x+）；故L（x）=；（Ⅱ）当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250；当x=60时，L（x）有最大值为950；当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）；当且仅当x=，即x=100时，L（x）有最大值为1000；∴年产量为100千件时该厂的利润最大．【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了分段函数的应用，属于中档题．21．已知关于x的不等式 x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）原不等式化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，…当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；…当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；…当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．…综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]．…设t=a2+2﹣3a，a∈[0，4]，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…∴当a=4时，d max=6．…【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式解集表示的区间长度的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．22．已知数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）设B n为数列{b n}的前n项的和，其中，若不等式对任意的n∈N*恒成立，试求正实数t的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由a n=，利用，能求出a n=3n．（Ⅱ）先求出=，再求出{T n}中的最大值为，由此能求出实数m的取值范围．（Ⅲ）由，由此能求出正实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和，∴当n≥2时，，∴a n=S n﹣S n﹣1=3n，…又n=1时，a1=S1=3满足上式，∴a n=3n．…（Ⅱ），…当n=1，2时，T n+1≥T n，当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n，∴n=1时，T1=9，n=2，3时，，n≥4时，T n＜T3，∴{T n}中的最大值为．…要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需，∴．…（Ⅲ），…将B n代入，化简得，（*）∵t＞0，∴，…9分∴（*）化为，整理得，…∴对一切的正整数n恒成立，…∵随n的增大而增大，且，∴．．…【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用，是难题．。
2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角 D．∠A和∠B都是直角3．（5分）函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4） C．（﹣∞，ln4）D．（ln4，+∞）4．（5分）若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）cosxdx=dx（a＞1），则a的值为（）A．B．2 C．e D．36．（5分）已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1．（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．9．（5分）一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A．h2B．h2 C．h2D．2h210．（5分）已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，） C．[，+∞）D．（，+∞）11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．12012．（5分）若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5） B．f（1）＜f（5）＜f（3） C．f（3）＜f（1）＜f （5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）复数在复平面内对应的点位于第象限．14．（5分）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．15．（5分）已知[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=[log2x]，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：．16．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a 的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．18．（12分）已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在[1，e2]上的最大值和最小值．19．（12分）用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（n ∈N*）．20．（12分）已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．21．（12分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？22．（12分）已知函数f（）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）讨论函数f（x）在区间[2，6]上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））处的切线都经过点（2，lg），其中a≥1，求m的取值范围．2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017春•宁德期中）关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此3＞3i不正确；②∵（4i）2=﹣16，因此正确；③道理同①，不正确；④|2+3i|==，|2+i|=，因此|2+3i|＞|2+i|正确．其中正确的个数为2．故选：B．2．（5分）（2017春•宁德期中）在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角 D．∠A和∠B都是直角【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．（5分）（2017春•宁德期中）函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4） C．（﹣∞，ln4）D．（ln4，+∞）【解答】解：f′（x）=e x﹣4，令f′（x）＜0，解得：x＜ln4，故函数在（﹣∞，ln4）递减；故选：C．4．（5分）（2017春•宁德期中）若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设切点坐标为：（m，4m），∵f′（x）=4x3，∴f′（m）=4m3=4，解得m=1，∴14+a=4，解得a=3．故选：C．5．（5分）（2017春•宁德期中）cosxdx=dx（a＞1），则a的值为（）A．B．2 C．e D．3【解答】解：cosxdx=sinx|=，dx=lnx|=lna，∴lna=，∴a=故选：A6．（5分）（2017春•宁德期中）已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0，且f′（x）在x0两侧异号，由f′（x）的图象可知f′（x）=0共有4解，其中只有两个零点的左右两侧导数值异号，故f（x）有2个极值点．故选A．7．（5分）（2017春•宁德期中）下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1．（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于（1），若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数，命题正确；对于（2），若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2；将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为，命题正确；对于（3），若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为；将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1，命题正确；对于（4），在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8，命题正确．综上，正确的命题有4个．故选：D．8．（5分）（2017春•宁德期中）有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．【解答】解：，，，，（），，，，，…，由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为，故选：B9．（5分）（2017春•宁德期中）一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A．h2B．h2 C．h2D．2h2【解答】解：以抛物线的最高点为坐标原点，以抛物线的拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程y=ax2，a＜0，由抛物线经过点（，﹣h），代入抛物线方程：﹣h=a（）2，解得：a=﹣，S=h×3h﹣（﹣2ax2dx），=3h2﹣2××x3=2h2，故选D．10．（5分）（2017春•宁德期中）已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，） C．[，+∞）D．（，+∞）【解答】解：∵z=x+（x﹣a）i，且|z|＞|+i|恒成立，∴＞，两边平方并整理得：a＜x﹣．∵x∈（1，2），∴x﹣∈（，）．则a．∴实数a的取值范围为（﹣∞，]．故选：A．11．（5分）（2017春•宁德期中）设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．120【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，∴a2=3a1，a3=5a1，从而4×9a1=3（5a1+7），即a1=1，∴a2=3，a3=5，∴4S4=4（a4+a5），∴a5=9，同理得a7=13，a8=15，…，a n=2n﹣1，∴，经验证4S n=n（a n+a n+1）成立，∴S10=100．故选：B．12．（5分）（2017春•宁德期中）若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f （1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5） B．f（1）＜f（5）＜f（3） C．f（3）＜f（1）＜f （5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）【解答】解：由x3f′（x）+3x2f（x）=e x，得到[x3f（x）﹣e x]'=0，设x3f（x）﹣e x=c，因为f（1）=e，所以c=0，∴x=0不满足题意，x≠0时，f（x）=，f′（x）=，所以f（3）＜f（5）＜f（1）．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2017春•宁德期中）复数在复平面内对应的点位于第四象限．【解答】解：===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故答案为：四．14．（5分）（2017春•宁德期中）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5℃/h．【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7，当x=1时，f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣515．（5分）（2017春•宁德期中）已知[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=[log2x]，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=9．【解答】解：结论1：当1＜x＜2时，即20＜x＜21，f（x）=1﹣1=0；结论2：当2＜x＜4时，即21＜x＜22，f（x）=2﹣1=1；结论3：当4＜x＜8时，即22＜x＜23，f（x）=3﹣1=2，通过规律，不难得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=10﹣1=9，故答案为：当29＜x＜210时，f（x）=9．16．（5分）（2017春•宁德期中）若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a，则f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，）递增，故f（x）极大值=f（﹣1）=7﹣a，f（x）极小值=f（1）=3﹣a，而f（﹣3）=﹣13﹣a，f（）=﹣a，故或，解得：a∈，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2017春•宁德期中）已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．【解答】解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，∴，∴a=3．∴⇒b=±4，即复数z的虚部为±4．（2）当b=4时，==，其实部为．当b=﹣4时，==，其实部为．18．（12分）（2017春•宁德期中）已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在[1，e2]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f′（x）=2e2x﹣1﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，故f（x）在（﹣∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min=f（）=0，无极大值；（2）g（x）==﹣，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：x＜e，故g（x）在[1，e]递减，在（e，e2]递增，故g（x）min=g（e）=﹣，∵g（1）=0，g（e2）=﹣，∴g（x）max=0．19．（12分）（2017春•宁德期中）用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n）2=n （n+1）（2n+1）（n∈N*）．【解答】证明：①n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；②假设n=k时等式成立，即22+42+62+…+（2k）2=k（k+1）（2k+1）那么，当n=k+1时，22+42+62+…+（2k）2+[2（k+1）]2，=k（k+1）（2k+1）+[2（k+1）]2，=（k+1）（2k2+k+6k+6），=（k+1）（k+2）（2k+3），=（k+1）[（k+1）+1][2（k+1）+1]，等式成立．由①②可知，等式对任何正整数n都成立．20．（12分）（2017春•宁德期中）已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=x3﹣3x，g′（x）=3（x+1）（x﹣1），令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令g′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）f′（x）=3x2+1，f（1）=2，f′（1）=4，故切线方程是：y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2，令x=0，解得：y=﹣2，令y=0，解得：x=，故S=×2×=；△（3）由题意得F′（x）=3x2+1﹣2ax≥0在（0，3]恒成立，故2a≤（3x+）min，∵3x+≥2，∴2a≤2，a≤．21．（12分）（2017春•宁德期中）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，∴DE⊥OB，CF⊥OA．又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．∴∠DOE=∠COF=，又OC=OF•cos∠COF=•OC•OF•sin∠COF=cosθ∴S△COF=（0＜θ＜）．∴S区域Ⅱ由，得cosθ=，∵0＜θ＜，∴θ=．=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．（2）∵S区域Ⅰ记年总收入为y万元，则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），所以y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．当0＜θ＜时，y'＞0；当时，y'＜0．故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．22．（12分）（2017•江西模拟）已知函数f（）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）讨论函数f（x）在区间[2，6]上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））处的切线都经过点（2，lg），其中a≥1，求m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（）=﹣x3+x2﹣m，可得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，f′（x）=﹣3x2+2mx=﹣x（3x﹣2m），当≥6即9≤m＜20时，函数f（x）在区间[2，6]上的单调递增；当2＜＜6，即为3＜m＜9时，f（x）在[2，）递增，在（，6]递减；当≤2，即0＜m≤3时，函数f（x）在区间[2，6]上的单调递减；（2）f′（x）=﹣3x2+2mx，可得A处的切线方程：y﹣（﹣x13+mx12﹣m）=（﹣3x12+2mx）（x﹣x1），同理可得B处的切线方程：y﹣（﹣x23+mx22﹣m）=（﹣3x22+2mx）（x﹣x2），代入点（2，﹣lga），可得x1，x2为方程﹣lga﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的两个不等实根，化简整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga，g′（x）=6x2﹣2（m+6）x+4m=2（3x﹣m）（x﹣2），由0＜m＜20，可得g′（x）=0，可得x=2或x=．g（2）=3m﹣8+lga，g（）=﹣m3+m2﹣m+lga，由题意可得g（x）必有一个极值为0，（Ⅰ）若m＜2，即0＜m＜6，由g（2）=0，g（）＞0，可得lga=8﹣3m≥0，即m≤，则g（）=﹣m3+m2﹣m+8﹣3m=﹣（m﹣6）3＞0成立，即有0＜m≤；①由g（2）＜0，g（）=0，可得lga+3m﹣8＜0，﹣m3+m2﹣m+lga=0，由lga≥0，可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3，由g（2）=m3﹣m2+m﹣8+3m=（m﹣6）3＜0，解得m＜6，即有0＜m≤9﹣3；②（Ⅱ）若m＞2，即6＜m＜20，由g（2）=0，g（）＜0，可得lga=8﹣3m≥0，即m≤，则m无解；③由g（2）＞0，g（）=0，可得lga+3m﹣8＞0，﹣m3+m2﹣m+lga=0，由lga≥0，可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3，由g（2）=m3﹣m2+m﹣8+3m=（m﹣6）3＞0，解得m＞6，即有9+3≤m＜20，④综上可得，0＜m≤或9+3≤m＜20．参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；whgcn ；刘老师；qiss ；zhczcb ；742048；铭灏2016；sxs123；双曲线；zcq ；zlzhan （排名不分先后） 菁优网2017年7月3日赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +bx -b-ab 45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
福建省宁德市部分一级达标中学高二数学下学期期中联考试题文
福建省宁德市部分一级达标中学2019-2019学年高二数学下学期期中联考试题文(扫描版)第I卷选if越(立E掘芫12小曲*,毎小聰$廿，共60井.在每小粗粘出的呂亍竦项中・有且只有一个选顼提苻合SSH鶴衆的)1•已知i为诡敷单位.刚尸"毎丁乩i B. -i C, I 乩一12,若蛤出緬绎IftFI的"二廉论X大就提弋“两个夏数可以比大小I小湘捉；"2十Ll*i都是艮救I结论「2十2丨杠二那么14T推理*・大前獎错富E•小號挠帯溟# C.推理勝武不正瞧X第絶正确乱若丸曲点的視坐标甘剔为冲』)叫4〒［则线般皿的中直的展坐标为2知嗨数"0的$说数为八E 址禍足川划=2^(1)+1" •则/(1)w于札 2 氐 1 C. -2 D- -I5.若曲数/(r) = x-?-2'*抵往点Ml I®处切鏡的斜率为5 -2h】2・则丹的值为氐已知函数/Cr) = ^3-3x + lnx,则函数.“切的单调谨增区间是 A. (0, —X(l,+°o)B- (^0)—)?(1,+50)C” (0,牙)，亿+00)D.■«■ itr»TT JI7.若函数尸如m •-处在卜亍寸上是减函数，则实数m 的取值范宙是i£f 吕A. (y’T]'乩｛Y °,1)C. (1,+®)D. [L+W )a 下列函数中x 三0是极值点的函数是A* f(x )一 *B. /(J )=X 2 + 2A + 3C. e r -x D+ f(h) = sinx~x山吹心与饷的图象如下图林则函蘇心宁的递駆间为A. (叫0),(1卫)B. (-oo,0), (1.4)C. (0.2), (14)D. (0J).(4,+«)10”设有下面四个命题恥若复数r 满足-€R,则施R ;11”甲、乙.丙、丁四位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩.老卿说「'你们四人中育2位"L■'优畀，2位良好，我现在给甲疽丁的成绩，给丙看乙的成绩，给丁看乙、丙的成绩「看后丁 对大家说：“我还是不知道我的成绩「根据以上信恩，则 A +甲可以知道四人的成绸 乩丙可以知遭四人的成绩 C.甲、丙可以知道对方的成绩D.甲*丙可以知道自己的成绩数尊｛文科」试題第2页共4页(护Pj ：若复数二满足则R ； 其中的宜命題为Ar P]"卩* B 由 p| , Pj几；若复数r 满足二R,则zeRM& P2->P3* 卩2,卩4血已轨函f（x） = In X + X - 4的零点为盯，烈工）斗严击兀一4的零点为丘•则函数- xln|xj + «+ £?的檄值之和为■ 』4A. 8 B, 4 匚4e U.-c第II卷二、填空题（本大題共4小题，彎小题矗分.共20分.将答案填在答题卡中的瓶线上）13. 已知点（：的•扱坐标为（Z彳｝・则以点〔、为圆心，以2为半径的圜的极坐称方程为 _ ■14. 已知f（x）=卜―十+册有3个零鼠则实数旳的取值范围为_________________ ■15. 已知f t（x）= sinx-casx, Zr+iO 是X W 的导函数，即f2（x）=f l t（^J >.A 厲）二几‘仗），…，打］（刃=X；（工）’ /J £ N'> 则血19 ⑴=一™. ------ •詬.已知曲践与血线口：+ 若两条曲线在交点处有拍同的切线.则实数。
【精品】2016学年福建省宁德市部分一级达标中学高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
2015-2016学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式x2+2x﹣3≤0的解集为（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，1]D．[1，3]2．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．B．ac＞bd C．a2+c2＞b2+d2 D．a+c＞b+d3．（5分）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=7﹣a2，则S4=（）A．15 B．14 C．13 D．124．（5分）在△ABC中，，则a等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值（）A．6 B．C．﹣1 D．6．（5分）已知正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，则a4=（）A．B．C．D．27．（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinA•sinC的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=9，S5=35，则使S n取最大值的n的值为（）A．8 B．10 C．9或10 D．8和910．（5分）已知a＞0，b＞0，且，则a+4b的最小值为（）A．4 B．9 C．10 D．1211．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．12．（5分）数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，则等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n（2n﹣1），则a1+a2+…+a10=．}满足a1=1，=3，则数列{a n}的通项公式为15．（5分）已知数列{aa n=．16．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=5，AD⊥CD，cos∠ADB=，∠DCB=135°，则BC=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=2csinA．（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，且a+b=3，求△ABC的面积．20．（12分）已知f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且b2﹣6b+9≤0（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式x2﹣（a2+a+1）x+a3+3＜f（x）．21．（12分）某工厂引入一条生产线，投人资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w（x），当年产量不足80干件时，w（x）=x2+10x（万元），当年产量不小于80千件时，w（x）=51x+﹣1450（万元），当每件商品售价为500元时，该厂产品全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时该厂的利润最大．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式x2+2x﹣3≤0的解集为（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，1]D．[1，3]【解答】解：不等式x2+2x﹣3≤0可化为（x+3）（x﹣1）≤0，该不等式对应方程的两个实数根为﹣3和1，所以该不等式的解集为[﹣3，1]．故选：C．2．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．B．ac＞bd C．a2+c2＞b2+d2 D．a+c＞b+d【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴设a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣5分别代入选项A、B、C均不符合，故A、B、C均错，而选项D正确，故选：D．3．（5分）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=7﹣a2，则S4=（）A．15 B．14 C．13 D．12【解答】解：由题意可知a3=7﹣a2，a3+a2=7，S4=a1+a2+a3+a4=2（a3+a2）=14．故选：B．4．（5分）在△ABC中，，则a等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：a===．故选：D．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值（）A．6 B．C．﹣1 D．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=3x﹣y得y=3x﹣z，显然直线过（2，0）时z最大，z的最大值是：6，故选：A．6．（5分）已知正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，则a4=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，∴，且q＞0，解得，q=，a4==．故选：C．7．（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2，即，150 2+1002﹣2×150×100×=r2，解得r=50（米）．故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinA•sinC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，…（6分）又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=…（12分）另解：b2=ac，=cosB==，…（6分）由此得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，所以A=B=C，sinAsinC=．故选：A．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=9，S5=35，则使S n取最大值的n的值为（）A．8 B．10 C．9或10 D．8和9【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=9，S5=35，∴，解得d=﹣1，∴S n==﹣（n2﹣19n）=﹣（）2+，∴使S n取最大值的n的值为9或10．故选：C．10．（5分）已知a＞0，b＞0，且，则a+4b的最小值为（）A．4 B．9 C．10 D．12【解答】解：∵a＞0，b＞0，且，∴a+4b=（a+4b）（+）=5++≥5+2=9，当且仅当=即a=3且b=时取等号．故选：B．11．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选：C．12．（5分）数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，∴a n﹣a n=1+n，+1∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=．∴=．则=2++…+=2=．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式，即（x﹣3）（x+2）＞0，求得x＜﹣2，或x＞3，故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．14．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n（2n﹣1），则a1+a2+…+a10= 10．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为，∴a1+a2+…+a10=﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣13+15﹣17+19=2+2+2+2+2=10．故答案为：10．}满足a1=1，=3，则数列{a n}的通项公式为15．（5分）已知数列{aa n=（3n﹣2）2．【解答】解：∵a 1=1，=3，∴数列{}是首项为1、公差为3的等差数列，∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴a n=（3n﹣2）2，故答案为：（3n﹣2）2．16．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=5，AD⊥CD，cos∠ADB=，∠DCB=135°，则BC=．【解答】解：∵cos∠ADB=，∴=，解得BD=6，∵AD⊥CD，∴sin∠BDC=cos∠ADB=，在△BCD中，由=得：==6，∴BC=．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）∵由已知得cosA===，…（3分）又∵∠A是△ABC的内角，∴A=．…（5分）（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，…（6分）∴sin2A=sin2B．…（7分）∴2A=2B或2A+2B=π．…（9分）∴A=B或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…（10分）18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）依题意可知，a2=1+d，a5=1+4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1+4d，即d2=2d，解得：d=2或d=0（舍），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）可知等差数列{a n}的前n项和P n==n2，∵b n=2n，∴数列{b n}的前n项和Q n==2n+1﹣2，∴S n=n2+2n+1﹣2．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=2csinA．（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，且a+b=3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵由正弦定理可得2sinCsinA=sinA，sinA≠0，即有sinC=，∴由C∈（0，π），则C=或．（2）∵△ABC为锐角三角形，∴C=，c=2，且a+b=3，∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=9﹣3ab，解得：ab=，∴absinC=×=．20．（12分）已知f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且b2﹣6b+9≤0（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式x2﹣（a2+a+1）x+a3+3＜f（x）．【解答】解：（1）∵f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且b2﹣6b+9≤0，∴，解得b=3，k=﹣1．∴f（x）=﹣x+3．（2）∵a＞0，x2﹣（a2+a+1）x+a3+3＜f（x），∴﹣x+3＞x2﹣（a2+a+1）x+a3+3，∴x2﹣（a2+a）x+a3＜0，解方程x2﹣（a2+a）x+a3=0，得x1=a，，当0＜a＜1时，原不等式的解集为：{x|a2＜x＜a}；当a=1时，原不等式的解集为：{x|x≠1}；当a＞1时，原不等式的解集为：{x|a＜x＜a2}．21．（12分）某工厂引入一条生产线，投人资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w（x），当年产量不足80干件时，w（x）=x2+10x（万元），当年产量不小于80千件时，w（x）=51x+﹣1450（万元），当每件商品售价为500元时，该厂产品全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时该厂的利润最大．【解答】解：（Ⅰ）当每件商品售价为0.05万元时，x千件销售额0.05×1000x=50x （万元）当0＜x＜80时，L（x）=50x﹣（x2+10x）﹣250=﹣x2+40x﹣250；当x≥80时，L（x）=50x﹣（51x+﹣1450）﹣250=1200﹣（x+）；故L（x）=；（Ⅱ）当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250；当x=60时，L（x）有最大值为950；当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）；当且仅当x=，即x=100时，L（x）有最大值为1000；∴年产量为100千件时该厂的利润最大．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n+1）]=3n，又∵S1=+=3满足上式，∴a n=3n；（2）由（1）可知T n==，∵T1==9，T2==，T3==，T4==，=﹣=＞0，即T n≤且当n≥4时，T n﹣T n+1T4=，∴当n=2或3时，T n取最大值为，∴m≥．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
数学---福建省宁德市部分一级达标中学2016-2017学年高一(下)期中试卷(解析版)
福建省宁德市部分一级达标中学2016-2017学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知直线ax﹣y+2a=0的倾斜角为，则a等于（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A．4 B．8 C．4D．23．（5分）以（2，1）为圆心且与直线y+1=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=4 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=2C．（x+2）2+（y+1）2=4 D．（x+2）2+（y+1）2=24．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）已知直线3x+（3a﹣3）y=0与直线2x﹣y﹣3=0垂直，则a的值为（）A．1 B．2 C．4 D．166．（5分）用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底是下底的，若原平面图形的面积为3，则OA的长为（）A．2 B．C．D．7．（5分）过点（﹣1，1）的直线l与圆C：x2+y2=4在第一象限的部分有交点，则直线l斜率k的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（﹣，2）C．（﹣，2）D．（﹣，1）8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为（）A．B．C．3 D．49．（5分）已知m、l是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊥α，l∥β，则下列说法正确的是（）A．若m∥l，则α∥βB．若α⊥β，则m∥l C．若m⊥l，则α∥βD．若α∥β，则m⊥l 10．（5分）若点A（，1）的直线l1：x+ay﹣2=0与过点B（，4）的直线l2交于点C，若△ABC是以AB为底边的等腰三角形，则l2的方程为（）A．x+y﹣7=0 B．x﹣y+7=0 C．x+y﹣7=0 D．x﹣y﹣7=011．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48 B．57 C．63 D．6812．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B 两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点（3，﹣1，m）平面Oxy对称点为（3，n，﹣2），则m+n=．14．（5分）直线m：ax﹣y+a+3=0与直线n：2x﹣y=0平行，则直线m与n间的距离为．15．（5分）已知圆C：x2+y2+6y﹣a=0的圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离等于圆C半径的，则a=．16．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）根据下列条件，求直线方程：（1）过点（2，1）和点（0，﹣3）；（2）过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）DF⊥平面P AC．19．（12分）已知圆心为（3，4）的圆N被直线x=1截得的弦长为2．（1）求圆N的方程；（2）点B（3，﹣2）与点C关于直线x=﹣1对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程．20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图和三视图如图所示，E是棱CC1上一点．（1）若CE=2EC1，求三棱锥E﹣ACB1的体积．（2）若E是CC1的中点，求C到平面AEB1的距离．21．（12分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．B【解析】由已知得a=tan=﹣1，2．C【解析】由主视图和侧视图得俯视图的底和高分别为4，2，俯视图的面积为=4，3．A【解析】∵圆心到切线的距离d=r，即r=d=1+1=2，圆心C（2，1），∴圆C方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．4．A【解析】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱有：BB1和DD1，∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2．5．B【解析】直线3x+（3a﹣3）y=0与直线2x﹣y﹣3=0垂直，∴=﹣1解得a=2，6．B【解析】由题意，原平面图形与斜二测画法得到的直观图的面积比为，设OA=x，则直观图的面积为，∴2=3，∴．7．D【解析】如图，圆C：x2+y2=4与x轴的正半轴的交点为A（2，0），与y轴正半轴的交点为B（0，2），∵直线l与圆C：x2+y2=4在第一象限的部分有交点，∴k P A＜k＜k PB，即＜k＜，∴﹣＜k＜1．8．C【解析】∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，则，∵AB=2BC，∴DE==CD，∴=3．9．D【解析】若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l∥β，则α⊥β，即A不正确；若α⊥β，则m、l位置不确定，即B不正确；若m⊥l，则α∥β或α，β相交，即C 不正确；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又l∥β，则m⊥l，即D正确，10．A【解析】过点的直线点A（，1）∴3+a﹣2=0，解得a=﹣1；∴直线l1的斜率为；∵△ABC是以AB为底边的等腰三角形，∴直线l2的斜率为﹣；∴直线方程为y﹣4=﹣（x﹣），化为一般式：x+y﹣7=0．11．C【解析】由已知中的三视图，可得：该几何体是一个长方体和三棱柱的组合体，其表面积相当于长方体的表面积和三棱柱的侧面积和，故S=2×（4×3+4×+3×）+（3+4+）×=63，12．C【解析】∵四边形OAMB为平行四边形，∴四边形OAMB为菱形，∴△OAM为等边三角形，且边长为2，解得弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行x轴，即k=0．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．1【解析】∵在空间直角坐标系O﹣xyz中，点（3，﹣1，m）平面Oxy对称点为（3，n，﹣2），∴m=2，n=﹣1，∴m+n=2﹣1=1．故答案为：1．14．【解析】由直线m，n平行，得：a=2，故m：2x﹣y+5=0，故m，n的距离是d==，故答案为：．15．﹣1【解析】把圆的方程化为标准方程得：x2+（y+3）2=a+9，∴圆心坐标为（0，﹣3），则圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离d==，∴a=﹣1 故答案为﹣1．16．41π【解析】连结BD交CE于O，则==，连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，则=，∵F是DD1的中点，DD1=4，∴DP=3，又四棱锥P﹣ABCD外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的半径为：=．外接球的表面积为：4=41π．故答案为：41π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）过点（2，1）和点（0，﹣3）的直线方程：=2；即2x﹣4=y﹣1，所求直线方程为：2x﹣y﹣3=0（2）过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2．可得直线在x轴是的截距为：﹣3，所求直线方程为：=1．18．证明：（1）在△P AC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC．又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．（2）连结CD．因为∠BAC=60°，AD=AC，所以△ACD为正三角形．因为F是AC的中点，所以DF⊥AC．因为平面P AC⊥平面ABC，DF⊂平面ABC，平面P AC∩平面ABC=AC，所以DF⊥平面P AC．19．解：（1）由题意得圆心N（3，4）到直线x=1的距离等于3﹣1=2．∵圆N被直线x=1截得的弦长为2，∴圆N的半径r=．∴圆N的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=9；（2）∵点B（3，﹣2）与点C关于直线x=﹣1对称，∴点C的坐标为（﹣5，﹣2），设所求圆的方程为（x+5）2+（y+2）2=r2（r＞0），∵圆C与圆N外切，∴r+3=，得r=7．∴圆C的方程为（x+5）2+（y+2）2=49．20．解：（1）由三视图得该三棱柱是侧棱长为2的直三棱柱，底面ABC是以AB为斜边的等直角三角形，且AB=2，∴AC⊥平面BB1C1C，BC⊥平面AA1C1C，∵CE=2EC1，CC1=2，∴CE=，又AC=，∴三棱锥E﹣ACB1的体积：==．（2）∵E是CC1的中点，CE=1，∴AE=B1E=，即△AEB1是等腰三角形，∵AB1=2，∴△AEB1的高为=1，设C到平面AEB1的距离为d，∵=，∴=，解得d=．∴C到平面AEB1的距离为．21．（1）证明：∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，连接DM，则DM⊥AB，∵AB∥CD，∠BCD=90°，∴四边形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．（2）解：当CN=1，即N是CE的中点时，MN∥平面BEF．证明如下：过N作NO∥EF，交ED于O，连结MO，∵EC∥FD，∴四边形EFON是平行四边形，∵EC=2，FD=3，∴OF=1，∴OD=2，连结OE，则OE∥DC∥MB，且OE=DC=MB，∴四边形BMOE是平行四边形，则OM∥BE，又OM∩ON=O，∴平面OMN∥平面BEF，∵MN⊂平面OMN，∴MN∥平面BEF．22．解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．。
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2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角 D．∠A和∠B都是直角3．（5分）函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4） C．（﹣∞，ln4）D．（ln4，+∞）4．（5分）若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）cosxdx=dx（a＞1），则a的值为（）A．B．2 C．e D．36．（5分）已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1．（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．9．（5分）一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A．h2B．h2 C．h2D．2h210．（5分）已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，） C．[，+∞）D．（，+∞）11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．12012．（5分）若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5） B．f（1）＜f（5）＜f（3） C．f（3）＜f（1）＜f （5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）复数在复平面内对应的点位于第象限．14．（5分）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．15．（5分）已知[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=[log2x]，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：．16．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a 的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．18．（12分）已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在[1，e2]上的最大值和最小值．19．（12分）用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（n ∈N*）．20．（12分）已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．21．（12分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？22．（12分）已知函数f（）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）讨论函数f（x）在区间[2，6]上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））处的切线都经过点（2，lg），其中a≥1，求m的取值范围．2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此3＞3i不正确；②∵（4i）2=﹣16，因此正确；③道理同①，不正确；④|2+3i|==，|2+i|=，因此|2+3i|＞|2+i|正确．其中正确的个数为2．故选：B．2．（5分）在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角 D．∠A和∠B都是直角【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．（5分）函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4） C．（﹣∞，ln4）D．（ln4，+∞）【解答】解：f′（x）=e x﹣4，令f′（x）＜0，解得：x＜ln4，故函数在（﹣∞，ln4）递减；故选：C．4．（5分）若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设切点坐标为：（m，4m），∵f′（x）=4x3，∴f′（m）=4m3=4，解得m=1，∴14+a=4，解得a=3．故选：C．5．（5分）cosxdx=dx（a＞1），则a的值为（）A．B．2 C．e D．3【解答】解：cosxdx=sinx|=，dx=lnx|=lna，∴lna=，∴a=故选：A．6．（5分）已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0，且f′（x）在x0两侧异号，由f′（x）的图象可知f′（x）=0共有4解，其中只有两个零点的左右两侧导数值异号，故f（x）有2个极值点．故选：A．7．（5分）下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1．（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于（1），若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数，命题正确；对于（2），若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2；将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为，命题正确；对于（3），若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为；将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1，命题正确；对于（4），在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8，命题正确．综上，正确的命题有4个．故选：D．8．（5分）有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．【解答】解：，，，，（），，，，，…，由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为，故选：B．9．（5分）一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A．h2B．h2 C．h2D．2h2【解答】解：以抛物线的最高点为坐标原点，以抛物线的拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程y=ax2，a＜0，由抛物线经过点（，﹣h），代入抛物线方程：﹣h=a（）2，解得：a=﹣，S=h×3h﹣（﹣2ax2dx），=3h2﹣2××x3=2h2，故选：D．10．（5分）已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，） C．[，+∞）D．（，+∞）【解答】解：∵z=x+（x﹣a）i，且|z|＞|+i|恒成立，∴＞，两边平方并整理得：a＜x﹣．∵x∈（1，2），∴x﹣∈（，）．则a．∴实数a的取值范围为（﹣∞，]．故选：A．11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．120【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，∴a2=3a1，a3=5a1，从而4×9a1=3（5a1+7），即a1=1，∴a2=3，a3=5，∴4S4=4（a4+a5），∴a5=9，同理得a7=13，a8=15，…，a n=2n﹣1，∴，经验证4S n=n（a n+a n+1）成立，∴S10=100．故选：B．12．（5分）若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5） B．f（1）＜f（5）＜f（3） C．f（3）＜f（1）＜f （5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）【解答】解：由x3f′（x）+3x2f（x）=e x，得到[x3f（x）﹣e x]'=0，设x3f（x）﹣e x=c，因为f（1）=e，所以c=0，∴x=0不满足题意，x≠0时，f（x）=，f′（x）=，所以f（3）＜f（5）＜f（1）．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）复数在复平面内对应的点位于第四象限．【解答】解：===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故答案为：四．14．（5分）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5℃/h．【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7，当x=1时，f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣515．（5分）已知[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=[log2x]，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=9．【解答】解：结论1：当1＜x＜2时，即20＜x＜21，f（x）=1﹣1=0；结论2：当2＜x＜4时，即21＜x＜22，f（x）=2﹣1=1；结论3：当4＜x＜8时，即22＜x＜23，f（x）=3﹣1=2，通过规律，不难得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=10﹣1=9，故答案为：当29＜x＜210时，f（x）=9．16．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a，则f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，）递增，故f（x）极大值=f（﹣1）=7﹣a，f（x）极小值=f（1）=3﹣a，而f（﹣3）=﹣13﹣a，f（）=﹣a，故或，解得：a∈，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．【解答】解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，∴，∴a=3．∴⇒b=±4，即复数z的虚部为±4．（2）当b=4时，==，其实部为．当b=﹣4时，==，其实部为．18．（12分）已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在[1，e2]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f′（x）=2e2x﹣1﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，故f（x）在（﹣∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min=f（）=0，无极大值；（2）g（x）==﹣，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：x＜e，故g（x）在[1，e]递减，在（e，e2]递增，故g（x）min=g（e）=﹣，∵g（1）=0，g（e2）=﹣，∴g（x）max=0．19．（12分）用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（n ∈N*）．【解答】证明：①n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；②假设n=k时等式成立，即22+42+62+…+（2k）2=k（k+1）（2k+1）那么，当n=k+1时，22+42+62+…+（2k）2+[2（k+1）]2，=k（k+1）（2k+1）+[2（k+1）]2，=（k+1）（2k2+k+6k+6），=（k+1）（k+2）（2k+3），=（k+1）[（k+1）+1][2（k+1）+1]，等式成立．由①②可知，等式对任何正整数n都成立．20．（12分）已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=x3﹣3x，g′（x）=3（x+1）（x﹣1），令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令g′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）f′（x）=3x2+1，f（1）=2，f′（1）=4，故切线方程是：y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2，令x=0，解得：y=﹣2，令y=0，解得：x=，=×2×=；故S△（3）由题意得F′（x）=3x2+1﹣2ax≥0在（0，3]恒成立，故2a≤（3x+）min，∵3x+≥2，∴2a≤2，a≤．21．（12分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，∴DE⊥OB，CF⊥OA．又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．∴∠DOE=∠COF=，又OC=OF•cos∠COF∴S=•OC•OF•sin∠COF=cosθ△COF∴S=（0＜θ＜）．区域Ⅱ由，得cosθ=，∵0＜θ＜，∴θ=．=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．（2）∵S区域Ⅰ记年总收入为y万元，则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），所以y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．当0＜θ＜时，y'＞0；当时，y'＜0．故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．22．（12分）已知函数f（）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）讨论函数f（x）在区间[2，6]上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））处的切线都经过点（2，lg），其中a≥1，求m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（）=﹣x3+x2﹣m，可得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，f′（x）=﹣3x2+2mx=﹣x（3x﹣2m），当≥6即9≤m＜20时，函数f（x）在区间[2，6]上的单调递增；当2＜＜6，即为3＜m＜9时，f（x）在[2，）递增，在（，6]递减；当≤2，即0＜m≤3时，函数f（x）在区间[2，6]上的单调递减；（2）f′（x）=﹣3x2+2mx，可得A处的切线方程：y﹣（﹣x13+mx12﹣m）=（﹣3x12+2mx）（x﹣x1），同理可得B处的切线方程：y﹣（﹣x23+mx22﹣m）=（﹣3x22+2mx）（x﹣x2），代入点（2，﹣lga），可得x1，x2为方程﹣lga﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的两个不等实根，化简整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga，g′（x）=6x2﹣2（m+6）x+4m=2（3x﹣m）（x﹣2），由0＜m＜20，可得g′（x）=0，可得x=2或x=．g（2）=3m﹣8+lga，g（）=﹣m3+m2﹣m+lga，由题意可得g（x）必有一个极值为0，（Ⅰ）若m＜2，即0＜m＜6，由g（2）=0，g（）＞0，可得lga=8﹣3m≥0，即m≤，则g（）=﹣m3+m2﹣m+8﹣3m=﹣（m﹣6）3＞0成立，即有0＜m≤；①由g（2）＜0，g（）=0，可得lga+3m﹣8＜0，﹣m3+m2﹣m+lga=0，由lga≥0，可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3，由g（2）=m3﹣m2+m﹣8+3m=（m﹣6）3＜0，解得m＜6，即有0＜m≤9﹣3；②（Ⅱ）若m＞2，即6＜m＜20，由g（2）=0，g（）＜0，可得lga=8﹣3m≥0，即m≤，则m无解；③由g（2）＞0，g（）=0，可得lga+3m﹣8＞0，﹣m3+m2﹣m+lga=0，由lga≥0，可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3，由g（2）=m3﹣m2+m﹣8+3m=（m﹣6）3＞0，解得m＞6，即有9+3≤m＜20，④综上可得，0＜m ≤或9+3≤m ＜20．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。