2020-2021学年安徽省马鞍山二中高一(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年安徽省马鞍山二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.
1．（5分）若集合，，则A∩B＝（）A．[﹣2，2）B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，2）2．（5分）若集合A?{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有（）A．3个B．4个C．5个D．6个
3．（5分）函数的定义域是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3]
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，3]D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，3）
4．（5分）设命题p：?x∈R，2x＞x2，则￢p为（）
A．?x∈R，2x＞x2B．?x∈R，2x＜x2C．?x∈R，2x≤x2D．?x∈R，2x≤x2 5．（5分）“x＝5“是“x2﹣4x﹣5＝0”的（）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）设实数a，b满足b＞0，且a+b＝2．则+的最小值是（）A．B．C．D．
7．（5分）三个数a＝（﹣0.3）0，b＝0.32，c＝20.3的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
8．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）
C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
二、多项选择题（共4小题）.
9．（5分）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B?A，则实数a的值可能是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2
10．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是（）
A．B．C．a＞b2D．a2＞b2
11．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x+2）＝﹣f（x），且函数y＝f （x﹣1）为奇函数，则（）
A．f（x+4）＝f（x）
B．函数y＝f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称
C．函数y＝f（x）为R上的奇函数
D．函数y＝f（x）为R上的偶函数
12．（5分）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC ＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）
A．（a＞0，b＞0）
B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
C．（a＞0，b＞0）
D．（a≥0，b＞0）
三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分.）
13．（5分）计算：＝．
14．（5分）函数f（x）＝3﹣2x+1的图象恒过定点．
15．（5分）已知函数y＝f（x），对任意的两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1+x2）＝f （x1）?f（x2）成立，且f（0）≠0，则f（﹣2020）?f（﹣2019）?…?f（2019）?f （2020）的值是．
16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝﹣x+a有三个不同的实根，则实数a的取值范围是．
四、解答题（共6小题，共计70分.）
17．设全集为R，不等式的解集为A，不等式|x﹣4|＜6的解集为B．（1）求A∩B；
（2）求?R（A∪B）．
18．已知P：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．
（1）若p是q的必要条件，求m的取值范围；
（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．
19．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2a（a∈R）．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若对于?x∈R时，f（x）≥﹣4恒成立，求实数a的取值范围．
20．已知函数是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．
21．在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x台（x∈N*）的收益函数为R（x）＝3000x ﹣20x2（单位：万元），成本函数C（x）＝500x+4000（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数＝收益函数﹣成本函数）
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少？（精确到0.1）
（3）求x为何值时利润函数P（x）取得最大值，并解释边际利润函数MP（x）的实际意义．
22．已知函数是奇函数．
（1）求实数m，n的值；
（2）若对任意实数x，都有f（e2x）+λf（e x）≥0成立．求实数λ的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．（5分）若集合，，则A∩B＝（）A．[﹣2，2）B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，2）解：∵A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝（﹣1，1）．
故选：C．
2．（5分）若集合A?{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有（）A．3个B．4个C．5个D．6个
解：∵A?{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数
∴当A中只含1不含3时A＝{1，2}，{1}
当A中只含3不含1时A＝{3，2}，{3}
当A中即含1又含3时A＝{1，2，3}，{1，3}
故符合题意的集合A共有6个
故选：D．
3．（5分）函数的定义域是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3]
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，3]D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，3）
解：要使原函数有意义，则，解得x≤3且x≠﹣1．
∴函数的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，3]．
故选：C．
4．（5分）设命题p：?x∈R，2x＞x2，则￢p为（）
A．?x∈R，2x＞x2B．?x∈R，2x＜x2C．?x∈R，2x≤x2D．?x∈R，2x≤x2解：命题为特称命题，则命题的否定为?x∈R，2x≤x2，
故选：C．
5．（5分）“x＝5“是“x2﹣4x﹣5＝0”的（）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解析：求解方程x2﹣4x﹣5＝0可得：方程两根为x1＝﹣1，x2＝5
即x2﹣4x﹣5＝0?{﹣1，5}
∴“x＝5“是小范围，{﹣1，5}是大范围
∴“x＝5“是x2﹣4x﹣5＝0的充分不必要条件
故选：A．
6．（5分）设实数a，b满足b＞0，且a+b＝2．则+的最小值是（）A．B．C．D．
解：由题意可知，a≠0，
当a＞0时，+＝＝＝，
当且仅当且a+b＝2即a＝，b＝时取等号，
当a＜0时，+＝＝
＝，
当且仅当且a+b＝2时取等号，
综上可得，最小值．
故选：C．
7．（5分）三个数a＝（﹣0.3）0，b＝0.32，c＝20.3的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解：由指数函数的单调性得，0＜b＝0.32＜0.30＝1，c＝20.3＞20＝1，
∵a＝（﹣0.3）0＝1，∴b＜a＜c，
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）
C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，
即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，
当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1）图象如图所示，
当x＝时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为﹣，
当x＝时，函数y＝﹣x的函数值为﹣，
所以两图象有4个交点，符合题意，
当k＞0时，
y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1）
在[0，）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个交点，即可，
即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，
即k＝x+在（，+∞）还有两个根，
函数y＝x+≥2，（当且仅当x＝时，取等号），
所以，且k＞2，
所以k＞2，
综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B?A，则实数a的值可能是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2
解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B?A，
若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A对；
若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；
若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；
若a＝2，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；
故选：ABC．
10．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞b2
解：对于A：当b＜0时，不成立，故A错误；
对于B：当a＝2，b＝时，选项B不成立，故B错误；
对于C：由于a＞1，﹣1＜b＜1，所以a＞b2，故C正确；
对于D：a＞1，﹣1＜b＜1，故a2＞b2，故D正确．
故选：CD．
11．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x+2）＝﹣f（x），且函数y＝f （x﹣1）为奇函数，则（）
A．f（x+4）＝f（x）
B．函数y＝f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称
C．函数y＝f（x）为R上的奇函数
D．函数y＝f（x）为R上的偶函数
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数y＝f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），A 正确；
对于B，y＝f（x﹣1）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于原点对称，又由函数f（x）的图象是由y＝f（x﹣1）向左平移1个单位长度得到，故函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，B正确；
对于C、D，由B可得：对于任意的x∈R，都有f（﹣1﹣x）＝﹣f（﹣1+x），即f（﹣1﹣x）+f（﹣1+x）＝0，变形可得f（﹣2﹣x）+f（x）＝0，则有f（﹣2﹣x）＝﹣f（x）＝f（x+2）对于任意的x∈R都成立，令t＝2+x，则f（﹣t）＝f（t），即函数f（x）是偶函数，D正确，C错误；
故选：ABD．
12．（5分）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC ＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，
AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）
A．（a＞0，b＞0）
B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
C．（a＞0，b＞0）
D．（a≥0，b＞0）
解：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE?OD，
由于：OD≥CD，
所以：（a＞0，b＞0）．
由于CD2＝AC?CB＝ab，
所以
所以由于CD≥DE，
整理得：（a＞0，b＞0）．
故选：AC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）计算：＝0.3．解：原式＝﹣72+3×+1＝0.3﹣49+48+1＝0.3，
故答案为：0.3．
14．（5分）函数f（x）＝3﹣2x+1的图象恒过定点（﹣1，2）．
解：令x+1＝0，由函数的解析式求得x＝﹣1、且y＝3﹣1＝2，
故函数f（x）＝3﹣2x+1的图象恒过定点（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
15．（5分）已知函数y＝f（x），对任意的两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1+x2）＝f （x1）?f（x2）成立，且f（0）≠0，则f（﹣2020）?f（﹣2019）?…?f（2019）?f （2020）的值是1．
解：令x2＝0，则f（x1）＝f（x1）?f（0），
因为f（0）≠0，所以f（0）＝1．
令x1＝x，x2＝﹣x，则f（0）＝f（x）?f（﹣x）＝1，
所以f（﹣2020）?f（﹣2019）?…?f（2019）?f（2020）＝1．
故答案为：1．
16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝﹣x+a有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（2，3）．
解：方程f（x）＝﹣x+a有三个不同的实根
即f（x）+x＝a有三个不同的实根，
令g（x）＝f（x）+x＝，
画出g（x）的图象如下：
x＞1时，g（x）＝x+，由对勾函数的单调性知，
g（x）在（1，）单减，在（，+∞）单增，
由图可知：2＜a＜3，
故答案为：（2，3）
四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设全集为R，不等式的解集为A，不等式|x﹣4|＜6的解集为B．（1）求A∩B；
（2）求?R（A∪B）．
解：（1）由题意可知，?（x+3）（x﹣7）≤0且x﹣7≠0，
解得﹣3≤x＜7，则A＝{x|﹣3≤x＜7}，
|x﹣4|＜6，解得﹣2＜x＜10，则B＝{x|﹣2＜x＜10}，
故A∩B＝{x|﹣2＜x＜7}；
（2）根据题意，A＝{x|﹣3≤x＜7}，B＝{x|﹣2＜x＜10}，
则A∪B＝{x|﹣3≤x＜10}，
故?R（A∪B）＝{x|x＜﹣3或x≥10}．
18．已知P：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．
（1）若p是q的必要条件，求m的取值范围；
（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．
解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即P：﹣2≤x≤10，（3分）
又q：1﹣m2≤x≤1+m2．
（1）若p是q的必要条件，
则，即，即m2≤3，解得，（5分）即m的取值范围是．（6分）
（2）∵￢p是￢q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．（8分）
即，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3（11分）
即m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．（12分）
19．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2a（a∈R）．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若对于?x∈R时，f（x）≥﹣4恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）不等式f（x）＜0可化为（x﹣2）（x﹣a）＜0，
①当a＝2时，不等式f（x）＜0解集为空集；
②当a＞2时，不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜a}；
③当a＜2时，不等式f（x）＜0的解集为{x|a＜x＜2}．
（2）由f（x）≥﹣4可化为x2﹣（a+2）x+2a+4≥0，
必有△＝（a+2）2﹣4（2a+4）≤0，化为a2﹣4a﹣12≤0，
解得a∈[﹣2，6]．
20．已知函数是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．
解：（1）函数是奇函数，且，
可得f（﹣x）＝﹣f（x），
即为＝﹣，
可得﹣3x+b＝﹣3x﹣b，
解得b＝0；
又＝，
解得a＝2；
（2）函数f（x）＝在（﹣∞，﹣1]上单调递增；
理由：设x1＜x2≤﹣1，
则f（x1）﹣f（x2）＝（x1+）﹣（x2+）
＝（x1﹣x2）（1﹣），
由x1＜x2≤﹣1，
可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，
即有1﹣＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．
21．在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x台（x∈N*）的收益函数为R（x）＝3000x ﹣20x2（单位：万元），成本函数C（x）＝500x+4000（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数＝收益函数﹣成本函数）
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少？（精确到0.1）
（3）求x为何值时利润函数P（x）取得最大值，并解释边际利润函数MP（x）的实际意义．
解：（1）P（x）＝3000x﹣20x2﹣（500x+4000）＝﹣20x2+2500x﹣4000，（1≤x≤100，x∈N×），
MP（x）＝P（x+1）﹣P（x）＝﹣40x+2480．
（2）每台器材的平均利润为＝﹣20（x+）+2500≤﹣400+2500，
当且仅当x＝即x＝10时取等号．
又x∈N×，且当x＝14时，每台器材的平均利润为1934.3万元，
当x＝15时，每台器材的平均利润为1933.3万元，
故每月生产14台医疗器材时，平均利润最大，最大利润为1934.3万元．
（3）P（x）＝﹣20（x﹣62.5）2+74125．
又x∈N×，故当x＝62或63时，P（x）取得最大值．
MP（x）反映了产量与利润增量的关系．
22．已知函数是奇函数．
（1）求实数m，n的值；
（2）若对任意实数x，都有f（e2x）+λf（e x）≥0成立．求实数λ的取值范围．解：（1）函数是奇函数．
当x＞0时，那么﹣x＜0，则f（﹣x）＝2（）+n，
f（x）是奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），
∴2（）+n＝m（x+）﹣2恒等，即（m﹣2）（x+）+（n﹣2）＝0，∴
可得m＝n＝2；
（2）由e2x＞0，e x＞0，
∴f（e2x）+λf（e x）≥0成立转化为
令，则t≥2，
∴t2+λt﹣λ﹣3≥0在t≥2上恒成立，
记g（t）＝t2+λt﹣λ﹣3在t≥2上恒成立，
当时，即λ≥﹣4时，g（t）min＝g（2）＝λ+1≥0，
解得λ≥﹣1，
可得λ≥﹣1．
当时，即λ＜﹣4时，g（t）min＝g（）＝，显然与λ＜﹣4矛盾
综上，可得实数λ的取值范围[﹣1，+∞）．