平方和的计算方法
1×1＋2×2＋3×3＋……＋n×n=n(n＋1)(2n＋1)/6
来历是:用完全立方公式和等差数列求和公式推导
因为:
(n＋1)3=n3+3n2+3n+1
在这个等式中,让依次取从1开始的n个连续的自然数,就得到n个相对应的等式, 23=13+3×12+3×1+1
33=23+3×22+3×2+1
43=33+3×32+3×3+1
………………
(n+1) 3=n3+3n2+3n+1
将这个等式中等号两边的式子分别加起来,划去等号两边相同的数,就得到,
(n+1) 3=1+3(12+22+32+……+n2)+3(1+2+3+……+n)+n
第二个括号内的和就是一个等差数列,和为n(1+n)÷2,于是
(n+1) 3=1+3(12+22+32+……+n2)+3n(n+1)÷2+n
所以, 3(12+22+32+……+n2)= (n+1) 3－3n(n+1)÷2－(n+1)
=n3+3n2+3n+1－3n2/2－3n/2－n－1
=n3+3/2n2+n/2
所以, 12+22+32+……+n2=1/3(n3+3n2/2+n/2)
=n(n+1)(2n+1)/6
前n个自然数的和:
1+2+...+n=n(n+1)/2
前n个自然数平方和:
n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
==================================
或者是：
原试=(1+2+3+...+N)^2
过程如下:设1^3+2^3+...n^3=P(n)两边取导数得
3(1^2+2^2+...+n^2)=P(n)的导数
由于1^2+2^2+...+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
所以P(n)的导数=1/2n(n+1)(2n+1)=1/2(2n^3+3n^2+n)
再对1/2(2n^3+3n^2+n)取积分得1/4(n^4+2n^3+n^2)+C(C为常数)
化简得((1+n)n/2)^2+C
将n=1代入由((1+n)n/2)^2+C=1得C=0
所以P(n)=((1+n)n/2)^2
自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导 法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和： 由 1 + 2 + … + n-1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1） 可知 上面这种加法叫“倒序相加法” ※等差数列求和公式的推导 一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即 1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。 我们用两种方法表示： ① ② 由①+②，得
由此得到等差数列的前n项和的公式 对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。 2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍） 当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： = = = = 这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到 引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次 函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同 点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明（一） 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 一、设：S=12+22+32+…+n2 =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S 1 的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题， 第一：S =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1 (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 =2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1) S 1 =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为： 第二：S 1 =12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中： S 1 22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2 = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n =4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 ) 由(2)+ (3)得： =8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4) S 1 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1] = n(2n2+3n+1)
前n个自然数的平方和及证明
帕斯卡与前n 个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1， 移项可得 （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 此式对于任何自然数n 都成立。 依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1， （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 － 1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到 （n ＋1）3 －1＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。 对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。 这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。
数据结构课程设计计算器
数据结构课程设计报告 实验一：计算器 设计要求 1、问题描述：设计一个计算器，可以实现计算器的简单运算，输出并检验结果的正确性，以及检验运算表达式的正确性。 2、输入：不含变量的数学表达式的中缀形式，可以接受的操作符包括+、-、*、/、%、(、)。 具体事例如下： 3、输出：如果表达式正确，则输出表达式的正确结果；如果表达式非法，则输出错误信息。 具体事例如下： 知识点：堆栈、队列 实际输入输出情况： 正确的表达式
对负数的处理 表达式括号不匹配 表达式出现非法字符 表达式中操作符位置错误 求余操作符左右出现非整数 其他输入错误 数据结构与算法描述 解决问题的整体思路： 将用户输入的中缀表达式转换成后缀表达式，再利用转换后的后缀表达式进行计算得出结果。 解决本问题所需要的数据结构与算法： 用到的数据结构是堆栈。主要算法描述如下： A．将中缀表达式转换为后缀表达式： 1. 将中缀表达式从头逐个字符扫描，在此过程中，遇到的字符有以下几种情况： 1）数字 2）小数点 3）合法操作符+ - * / %
4）左括号 5）右括号 6）非法字符 2. 首先为操作符初始化一个map 数学][转载]自然数平方和公式推导及其应用 (2009-07-29 12:13:14) 转载▼ 标 分类：游戏数学 签： 杂 谈 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 设：S=12+22+32+…+n2 另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一： S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S， (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 S1=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1) 第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为： S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中： 22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2 = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n =4S-4(1+2+3+...+n)+n.. (3) 由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4) 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n 单片机十进制加法计算器设计 摘要 本设计是基于51系列的单片机进行的十进制计算器系统设计，可以完成计 算器的键盘输入，进行加、减、乘、除3位无符号数字的简单四则运算，并在LED上相应的显示结果。 设计过程在硬件与软件方面进行同步设计。硬件方面从功能考虑，首先选择内部存储资源丰富的AT89C51单片机，输入采用4×4矩阵键盘。显示采用3位7段共阴极LED动态显示。软件方面从分析计算器功能、流程图设计，再到程序的编写进行系统设计。编程语言方面从程序总体设计以及高效性和功能性对C 语言和汇编语言进行比较分析，针对计算器四则运算算法特别是乘法和除法运算的实现，最终选用全球编译效率最高的KEIL公司的μVision3软件，采用汇编语言进行编程，并用proteus仿真。 引言 十进制加法计算器的原理与设计是单片机课程设计课题中的一个。在完成理论学习和必要的实验后，我们掌握了单片机的基本原理以及编程和各种基本功能的应用，但对单片机的硬件实际应用设计和单片机完整的用户程序设计还不清楚，实际动手能力不够，因此对该课程进行一次课程设计是有必要的。 单片机课程设计既要让学生巩固课本学到的理论，还要让学生学习单片机硬件电路设计和用户程序设计，使所学的知识更深一层的理解，十进制加法计算器原理与硬软件的课程设计主要是通过学生独立设计方案并自己动手用计算机电路设计软件，编写和调试，最后仿真用户程序，来加深对单片机的认识，充分发挥学生的个人创新能力，并提高学生对单片机的兴趣，同时学习查阅资料、参考资料的方法。 关键词：单片机、计算器、AT89C51芯片、汇编语言、数码管、加减乘除 目录 摘要 (01) 引言 (01) 一、设计任务和要求............................. 1、1 设计要求 1、2 性能指标 1、3 设计方案的确定 二、单片机简要原理............................. 2、1 AT89C51的介绍 2、2 单片机最小系统 2、3 七段共阳极数码管 三、硬件设计................................... 3、1 键盘电路的设计 3、2 显示电路的设计 四、软件设计................................... 4、1 系统设计 4、2 显示电路的设计 五、调试与仿真................................. 5、1 Keil C51单片机软件开发系统 5、2 proteus的操作 六、心得体会.................................... 参考文献......................................... 附录1 系统硬件电路图............................ 附录2 程序清单.................................. 我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形： 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …… n n …… n 这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和 接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n 这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用 如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢 注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的： 1 1 1 (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 4 4 4 (4) …… n n n …… n 这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2 而我们补上的数字是哪些呢？ 1 1 1 …… 1 (n-1)个的1 2 2 …… 2 (n-2)个的2 3 …… 3 (n-3)个的3 ……… n-1 又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……， 最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于 (12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2] 将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得 T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2 =S(n-1)/2+(n-1)*n/4 =S(n-1)/2+n2/4-n/4 也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n) =n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4 =n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……① 因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2 可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到 S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2 3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4 3S(n)=n3+3n2/2+n/2 S(n)=n3/3+3n2/6+n/6 上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6 另外一种经典的方法 微机课程设计报告 题目简易计算器仿真 学院（部）信息学院 专业通信工程 班级2011240401 学生姓名张静 学号33 12 月14 日至12 月27 日共2 周 指导教师（签字）吴向东宋蓓蓓 单片机十进制加法计算器设计 摘要 本设计是基于51系列的单片机进行的十进制计算器系统设计，可以完成计 算器的键盘输入，进行加、减、乘、除3位无符号数字的简单四则运算，并在LED上相应的显示结果。 软件方面从分析计算器功能、流程图设计，再到程序的编写进行系统设计。编程语言方面从程序总体设计以及高效性和功能性对C语言和汇编语言进行比较分析，针对计算器四则运算算法特别是乘法和除法运算的实现，最终选用全球编译效率最高的KEIL公司的μVision3软件，采用汇编语言进行编程，并用proteus仿真。 引言 十进制加法计算器的原理与设计是单片机课程设计课题中的一个。在完成理论学习和必要的实验后，我们掌握了单片机的基本原理以及编程和各种基本功能的应用，但对单片机的硬件实际应用设计和单片机完整的用户程序设计还不清楚，实际动手能力不够，因此对该课程进行一次课程设计是有必要的。 单片机课程设计既要让学生巩固课本学到的理论，还要让学生学习单片机硬件电路设计和用户程序设计，使所学的知识更深一层的理解，十进制加法计算器原理与硬软件的课程设计主要是通过学生独立设计方案并自己动手用计算机电路设计软件，编写和调试，最后仿真用户程序，来加深对单片机的认识，充分发挥学生的个人创新能力，并提高学生对单片机的兴趣，同时学习查阅资料、参考资料的方法。 关键词：单片机、计算器、AT89C52芯片、汇编语言、数码管、加减乘除 安卓应用程序设计 ——简易计算器的实现院（系）名称 专业名称 学生姓名 学生学号 课程名称 2016年6月日 1.系统需求分析 Android是以Linux为核心的手机操作平台，作为一款开放式的操作系统，随着Android 的快速发展，如今已允许开发者使用多种编程语言来开发Android应用程序，而不再是以前只能使用Java开发Android应用程序的单一局面，因而受到众多开发者的欢迎，成为真正意义上的开放式操作系统。计算器通过算法实行简单的数学计算从而提高了数学计算的效率，实现计算器的界面优化，使界面更加友好，操作更加方便。基于android的计算器的设计,系统具有良好的界面；必要的交互信息；简约美观的效果。使用人员能快捷简单地进行操作，即可单机按钮进行操作，即时准确地获得需要的计算的结果，充分降低了数字计算的难度和节约了时间。 2.系统概要设计 2.1计算器功能概要设计 根据需求，符合用户的实际要求，系统应实现以下功能：计算器界面友好，方便使用，，具有基本的加、减、乘、除功能，能够判断用户输入运算数是否正确，支持小数运算，具有清除功能。 图2.1系统功能图 整个程序基于Android技术开发，除总体模块外主要分为输入模块、显示模块以及计算模块这三大部分。在整个系统中总体模块控制系统的生命周期，输入模块部分负责读取用户输入的数据，显示模块部分负责显示用户之前输入的数据以及显示最终的计算结果，计算模块部分负责进行数据的运算以及一些其他的功能。具体的说，总体模块的作用主要是生成应用程序的主类，控制应用程序的生命周期。 输入模块主要描述了计算器键盘以及键盘的监听即主要负责读取用户的键盘输入以及 响应触屏的按键，需要监听手机动作以及用指针事件处理方法处理触屏的单击动作。同时提供了较为直观的键盘图形用户界面。 显示模块描述了计算器的显示区，即该区域用于显示用户输入的数据以及最终的计算结 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3 =2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3 =2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+... +(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1 =2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+... +(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1 =3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2 =(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+ ...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3) =(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3 =2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3 =2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+... +(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1 =2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+... +(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1 =3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2 =(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+ ...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3) =(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 VB应用程序的设计方法 ——“简易计算器”教学设计 揭阳第一中学卢嘉圳 教学内容：利用所学知识制作Visual Basic程序“简易计算器” 教学目标：能熟练运用CommandButton控件及TextBox控件进行Visual Basic(以下简称VB)程序的设计，能熟练运用条件语句编写代码 教学重点:运用开发VB程序一般过程的思路来开发“简易计算器” 教学难点:分析得出实现“简易计算器”各运算功能的算法。 教材分析： 当我刚开始进行程序设计的教学时，便感觉比较难教。这是因为程序设计本身枯燥、严谨，较难理解，而且学生大多数都是初学者，没有相应的知识基础。对于《程序设计实例》，我们选用的教材是广东教育出版社出版的《信息技术》第四册，该书采用的程序设计语言是VB，而学生是仅学过了一点点简单的QB编程之后就进入《程序设计实例》的学习的。 教材为我们总结了设计VB程序的一般步骤：创建用户界面；设置控件属性；编写事件程序代码；运行应用程序。我总结了一下，其实VB程序设计可分为设计用户界面及编写程序代码两个环节。 教学过程： 一、引入新课 任务：让学生按照书上提示完成一个非常简单的VB程序——“计算器”（仅包含开方、平方、求绝对值功能）的制作。 目的：加强对CommandButton控件及TextBox控件的掌握，复习对开方、求绝对值函数的使用。 引入本节课的学习任务：设计一个简易计算器，包含加、减、乘、除、开方、平方等运算。程序界面可参考下图。 具体功能为：在Text1中输入一个数值，然后单击代表运算符的按钮则运算结果会在text2中显示出来；比如在text1中输入一个2，然后按“+”按钮，再输入一个3按“-”按钮，再输入一个-4按“*”按钮，则实际为(2-3)*(-4)；最后在text2中显示结果为4。 模拟计算器 学生姓名：**** 指导老师：**** 摘要本课程设计的课题是设计一个模拟计算器的程序，能够进行表达式的计算，并且表达式中可以包含Abs()和Sqrt()运算。在课程设计中，系统开发平台为Windows ，程序设计设计语言采用C++，程序运行平台为Windows 或*nix。本程序的关键就是表达式的分离和处理，在程序设计中，采用了将输入的中缀表达式转化为后缀表达式的方法，具有可靠的运行效率。本程序做到了对输入的表达式（表达式可以包含浮点数并且Abs()和Sqrt()中可以嵌套子表达式）进行判定表达式是否合法并且求出表达式的值的功能。经过一系列的调试运行，程序实现了设计目标，可以正确的处理用户输入的表达式，对海量级数据都能够通过计算机运算快速解决。 关键词C++程序设计；数据结构；表达式运算；栈；中缀表达式；后缀表达式；字符串处理；表达式合法判定； 目录 1 引言 (3) 1.1课程设计目的 (3) 1.2课程设计内容 (3) 2 设计思路与方案 (4) 3 详细实现 (5) 3.1 表达式的合法判定 (5) 3.2 中缀表达式转化为后缀表达式 (5) 3.3 处理后缀表达式 (7) 3.4 表达式嵌套处理 (8) 4 运行环境与结果 (9) 4.1 运行环境 (9) 4.2 运行结果 (9) 5 结束语 (12) 参考文献 (13) 附录1：模拟计算器源程序清单 (14) 1 引言 本课程设计主要解决的是传统计算器中，不能对表达式进行运算的问题，通过制作该计算器模拟程序，可以做到快速的求解表达式的值，并且能够判定用户输入的表达式是否合法。该模拟计算器的核心部分就在用户输入的中缀表达式的转化，程序中用到了“栈”的后进先出的基本性质。利用两个“栈”，一个“数据栈”，一个“运算符栈”来把中缀表达式转换成后缀表达式。最后利用后缀表达式来求解表达式的值。该算法的复杂度为O(n)，能够高效、快速地求解表达式的值，提高用户的效率。 1.1课程设计目的 数据结构主要是研究计算机存储，组织数据，非数值计算程序设计问题中所出现的计算机操作对象以及它们之间的关系和操作的学科。数据结构是介于数学、计算机软件和计算机硬件之间的一门计算机专业的核心课程，它是计算机程序设计、数据库、操作系统、编译原理及人工智能等的重要基础，广泛的应用于信息学、系统工程等各种领域。学习数据结构是为了将实际问题中涉及的对象在计算机中表示出来并对它们进行处理。通过课程设计可以提高学生的思维能力，促进学生的综合应用能力和专业素质的提高。 模拟计算器程序主要利用了“栈”这种数据结构来把中缀表达式转化为后缀表达式，并且运用了递归的思想来解决Abs()和Sqrt()中嵌套表达式的问题，其中还有一些统计的思想来判定表达式是否合法的算法。 1.2课程设计内容 本次课程设计为计算器模拟程序，主要解决表达式计算的问题，实现分别按表达式处理的过程分解为几个子过程，详细的求解过程如下：1 用户输入表达式。 2 判定表达式是否合法。 3 把中缀表达式转化为后缀表达式。 4 求出后缀表达式的结果。 5 输出表达式的结果。通过设计该程序，从而做到方便的求出一个表达式的值，而不需要一步一步进行运算。 课题：用计算器计算 教学内容：三年级下册第48—51页内容 教学目标： 1、在运算中了解计算器的结构和基本功能；能正确、熟练地运用计算器进行一、两步的式题运算。 2、能运用计算器解决一些简单的实际问题，探索一些基本的数学规律。 3、培养观察、比较、分析、归纳、概括等能力。 教学过程： 一、尝试运用 师：开学到现在，我们一直在学习计算，下面这些题，哪些你一眼能看出来答案的，直接说的得数。 1、初步尝试 90＋56= 45×99≈ 87546—3469= 42×30= 2102÷30≈ 43×365= 师：最后两道看来有困难，列竖式算算。 师：先不报答案，要你自己检验做的对不对，你准备怎么样？试一试用计算器来验算，你们会吗？ 师：谁愿意带上你的竖式计算上来展示意下，向大家演示一下你用计算器验算的过程可以吗？（鼓励和表扬） 师：看来，大家还真的会用计算器！想不想“再显身手”？ 2、再次尝试：探索用计算器进行混合运算的方法 ①546×28－4276 ②2940 ÷28＋763 ③15021-87×99 ④25120÷（449－289） （1）这4题与上面4题相比，有什么不一样？会做吗？请试一试。 （2）交流操作方法。 （3）你有没有感觉到这4道题在计算过程中有什么不一样？ （4）用计算器计算③、④该怎么操作呢？我们以第③题为例，谁来介绍介绍？ （突出“记住中间数”、“使用MR键”、倒减等方法。） （①、②两题只要按顺序依次输入，③、④题要先算后一步，③④可以“记住过程得数”，③还可以倒减等） （5）介绍用存储键计算，尝试用“MR键”计算③④题。 二、解决生活问题 师：通过这几道题计算，你感觉计算器怎么样？你们喜欢用计算器吗？下面我们就发挥计算器的作用，用它来完成一个非常有价值的问题。 1、出示：一个水龙头滴水的动态画面。据统计一个没有关紧的水龙头，每天大约滴18千克的水，这些水就这样白白流掉了。 （1）照这样计算一年(按365天计算)要浪费多少千克水？ （2）把这些水分别装在饮水桶中(每桶约重15千克)算算大约能装多少桶？ （3）你家每月用几桶水？算算这些水够你家用几个月？大约合多少年？ 师：目前我国西南大旱，一些地区粮食因为缺水绝收。云南山区的孩子们喝脏水解渴。联系我们刚才的这些计算数据，你想到什么？ 三、探索计算规律： 师：既然人们发明了这么好的计算器，我们就应该更好地运用它。让我们来挑战一下自己，探索计算的规律好不好？ 1、找出规律后再填写每组的后2题得数，并用计算器检验。 19+9×9= 118+98×9= 1117+987×9= 11116+9876×9= 111115+98765×9= 学生汇报自己的发现。按这样一种规律写下去，下一题该是什么样的？ 2、自己探索规律。 1122÷34= 111222÷334= 11112222÷3334= …… 111…1222…2÷333…34= 2001个1 2001个2 2000个3 诱导公式 目录2诱导公式 2诱导公式记忆口诀 2同角三角函数基本关系 2同角三角函数关系六角形记忆法 2两角和差公式 2倍角公式 2半角公式 2万能公式 2万能公式推导 2三倍角公式 2三倍角公式推导 2三倍角公式联想记忆 2和差化积公式 2积化和差公式 2和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈z)的个三角函数值， “移动应用开发”实验报告 1 而受至到众多开发者的欢迎，成为真正意义上的开放式操作系统。计算器通 过算法实行简单的或学计算从而提高了数学计算的效率，实现计算器的界面 优化，使界面更加友好，操作更加方便。基于android的计算器的设计系统具 有良好的界面；必要的英互信息：简约美观的效票，使用人员能快捷简单地 进行操作，即可单机按钮进行操作，即时准确地获得需要的计算的结果，充 分降低了数字计算的难度和节约了时间。 2.系统概要设计 2.1计算器功能概要设计 根据需求，符合用户的实际需求，系统应实现以下功能：计算器界面友好， 方便使用，具有基本的加，减，乘，除功能。能够判断用户输入运算数是否 正确，支持小数运算，具有清除功能。 整个程序基于Android 技术开发，除总体模块外主要分为输入模块、显 示模块以及计算模块这三大部分。在整个系统中总体模块控制系统的生命周期，输入模块部分负责读取用户输入的数据，显示模块部分负责显示用户之 前输入的数据以及显示最终的计算结果，计算模块部分负责进行数据的运算 以及一些其他的功能。具体的说，总体模块的作用主要是生成应用程序的主类，控制应用程序的生命周期。 输入模块主要描述了计算器键盘以及键盘的监听即主要负责读取用户的 键盘输入以及响应触屏的按键，需要监听手机动作以及用指针事件处理方法 处理触屏的单击动作。同时提供了较为直观的键盘图形用户界面。 显示模块描述了计算器的显示区，即该区域用于显示用户输入的数据以 及最终的计算结果，同时负责显示一些其他的信息。 计算器模块主要描述了计算器的整体，实现了计算器的界面，负责用户 2 输入数据，计算，显示，清零等功能。 2.2输入模块设计 系统如果想完成计算器中各种功能，首先用户要能进行数据输入，由于 是在触屏手机上开发计算器程序，所以要求输入可以直接使用触屏进行，所 以在设计的时候就要充分的考虑这一点。正是由于考虑到这个特殊的地方， 所以在进行模块设计中，选择编写输入模块类的时候会特意选取使用可以支 持触屏输入的特殊增强型图形用户界面类。 输入模块主要的任务是描述计算器键盘以及实现键盘的监听，即当用户 点击按键或者屏幕的时候监听会去调用相应的处理办法，本模块还需要为系 统提供一个较为直观的键盘图形用户界面。输入模块的功能图如图 2.3显示模块设计 作为手机计算器系统，显示部分也是必不可少的一部分。没有显示部分 就没有办法显示用户输入的数字是否正确，甚至不能显示计算出的结果，由 此可见显示模块即包括输入的部分（因个人技术原因不能显示表达式的形式）也包括输出的部分。 显示模块主要完成的任务是描述计算器的显示区，该区域用于显示用户 输入的数据以及最终的计算结果和一些其他信息。同时本模块还将提供调用 和设置显示的具体方法。 3 求连续自然数平方和的公式 前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式： 12＋22＋32…＋n 2＝6 ) 12)(1(++n n n 这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… 1＋2＋3＋…＋n 1 3 6 10 15 21 …… 12＋22＋32＋…＋n 2 1 5 14 30 55 91 …… 然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数 A n ＝n n ++++++++ 3213212 222， 再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… A n 1 35 37 3 311 313 …… 观察发现，A n 的通项公式是3 1 2+n 。 既然A n ＝n n ++++++++ 3213212 222，而它的通项公式是312+n ，于是大胆猜想 n n ++++++++ 3213212 222＝312+n 。 因为分母1＋2＋3＋…＋n ＝2 ) 1(+n n ， 所以 2)1(3212222+++++n n n ＝31 2+n 。 由此得到 12＋22＋32…＋n 2＝ 2)1(+n n ×312+n ＝6 ) 12)(1(++n n n 。 即 12＋22＋32…＋n 2＝ 6 ) 12)(1(++n n n 。 用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。 这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。 这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。 计算器算法原理 除法也用类似竖式的方法，从高位到低位逐一得出结果。大概过程如下：（注意，是二进制运算） 1、先左移除数，直到除数不小于被除数，同时记录移动的位数； 2、开始循环，循环次数为前一步移动的位数加1； 3、比较被除数与除数的大小，如果被除数不小于除数，则该位结果为1，否则为0； 4、除数右移一位，继续循环。 这种方法同样可以进行小数运算，根据需要的有效数字位数确定循环次数。 漏了一点，修改一下： 3、比较被除数与除数的大小，如果被除数不小于除数，则该位结果为1，并把被除数减去除数，否则为0 加减乘除求余： #include 奥地利符号计算研究所（Research Institute for Symbolic Computation，简称RISC）做了一个调查，投票选出32个最重要的算法： 1.A* 搜索算法——图形搜索算法，从给定起点到给定终点计算出路径。其中使用了一 种启发式的估算，为每个节点估算通过该节点的最佳路径，并以之为各个地点排定 次序。算法以得到的次序访问这些节点。因此，A*搜索算法是最佳优先搜索的范例。 2.集束搜索（又名定向搜索，Beam Search）——最佳优先搜索算法的优化。使用启 发式函数评估它检查的每个节点的能力。不过，集束搜索只能在每个深度中发现最 前面的m个最符合条件的节点，m是固定数字——集束的宽度。 3.二分查找（Binary Search）——在线性数组中找特定值的算法，每个步骤去掉一半 不符合要求的数据。 4.分支界定算法（Branch and Bound）——在多种最优化问题中寻找特定最优化解决 方案的算法，特别是针对离散、组合的最优化。 5.Buchberger算法——一种数学算法，可将其视为针对单变量最大公约数求解的欧几 里得算法和线性系统中高斯消元法的泛化。 6.数据压缩——采取特定编码方案，使用更少的字节数（或是其他信息承载单元）对 信息编码的过程，又叫来源编码。 7.Diffie-Hellman密钥交换算法——一种加密协议，允许双方在事先不了解对方的情况 下，在不安全的通信信道中，共同建立共享密钥。该密钥以后可与一个对称密码一 起，加密后续通讯。 8.Dijkstra算法——针对没有负值权重边的有向图，计算其中的单一起点最短算法。 9.离散微分算法（Discrete differentiation） 10.动态规划算法（Dynamic Programming）——展示互相覆盖的子问题和最优子架构 算法 11.欧几里得算法（Euclidean algorithm）——计算两个整数的最大公约数。最古老的 算法之一，出现在公元前300前欧几里得的《几何原本》。 12.期望-最大算法（Expectation-maximization algorithm，又名EM-Training）——在 统计计算中，期望-最大算法在概率模型中寻找可能性最大的参数估算值，其中模型依赖于未发现的潜在变量。EM在两个步骤中交替计算，第一步是计算期望，利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大可能估计值；第二步是最大化，最大化在第一 步上求得的最大可能值来计算参数的值。 13.快速傅里叶变换（Fast Fourier transform，FFT）——计算离散的傅里叶变换（DF T）及其反转。该算法应用范围很广，从数字信号处理到解决偏微分方程，到快速计算大整数乘积。 14.梯度下降（Gradient descent）——一种数学上的最优化算法。 15.哈希算法（Hashing） 16.堆排序（Heaps） 17.Karatsuba乘法——需要完成上千位整数的乘法的系统中使用，比如计算机代数系统 和大数程序库，如果使用长乘法，速度太慢。该算法发现于1962年。 18.LLL算法（Lenstra-Lenstra-Lovasz lattice reduction）——以格规约（lattice）基数 为输入，输出短正交向量基数。LLL算法在以下公共密钥加密方法中有大量使用： 背包加密系统（knapsack）、有特定设置的RSA加密等等。平方和立方和公式推导
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