初中数学圆串讲大课堂(名校名师个性辅导课堂复制整理的精品课件,同步辅导,章节总结,中考复习通用)
第二部分 空间与代数
第六章 圆 第24讲 圆的基本性质
高分突破在手
中考高分无忧
★中考导航★
⊙考纲要求⊙
1.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系. 2.了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. ⊙命题趋势⊙
2010～2013 年广东省中考题型及分值统计
年份 试题类型 知识点 分值
2010
注意：轴对称性是圆的又一条基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性 总结出来的．它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的 重要依据，遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．
3．与圆有关的角及其性质 (1)圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角． 圆周角：顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角． 弦切角：顶点在圆上，角的一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）圆周角定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 ． 所
2011 2012 2013
解答题
填空题 填空题 解答题
垂径定理
圆周角定理 圆周角定理 圆周角定理
6分
4分 4分 9分
1.从近几年广东省命题地区的考试内容来看，本讲内容命题难度适中，是中考命题 的热点，考查的重点是圆心角和圆周角性质的运用，垂径定理的运用. 2．题型以填空题、解答题为主． 3.2014 年考查重点可能是圆的基本概念、基本定理等的理解应用；利用垂径定理及 其推论，圆周角、圆心角的性质等有关圆的基础知识来论证角相等、弧相等及计算线段 的长度等．
思路点拨：过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，连接 OP，先由垂径定 理求出 OD 的长，再根据勾股定理求出 PD 的长，故可得出答 案．
2．（2013 绍兴）绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD 为 8m，桥拱半径 OC 为 5m，则水面宽 AB 为（ D ） A．4m B．5m C．6m D．8m
推论： ①同弧或等弧所对的 圆周角 相等；同圆或等圆中，相等的 圆心角 对的弧也相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ； 90O 的圆周角所对的弦是圆的 直径
．
③三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形 是 直角三角形 ．
★课堂精讲★
考点 1.垂径定理(2007、2008、2010 年考) 1．（2013 广州）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限， ⊙P 与 x 轴交于 O ，A 两点，点 A 的坐标为（6 ，0），⊙P 的半径为 13 ，则点 P 的坐 标为 (3,2) ．
A．36°
B．46°
C．27°
D．63°
思路点拨：根据 BE 是直径可得∠BAE=90°，然后在▱ ABCD 中∠ADC=54°，可得∠ B=54°，继而可求得∠AEB 的度数．
4． （2013 厦门） 如图所示， 在⊙ O 中， A．150° B．75°
， ∠A=30°， 则∠B= （ B ） D．15°
C．60°
思路点拨： 先根据等弧所对的弦相等求得 AB=AC，从而判定△ABC 是 等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出∠B=∠C；最 后由三角形的内角和定理求角 B 的度数即可．
5．（2013 徐州）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠C=30°，则∠AOB 的度数为 60 °．
思路点拨：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠ AOB=2∠C，进而 可得答案．
A．35°
B．140°
C．70°
D．70°或 140°
4．（2013 昭通）如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（ A ）
A．28°
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ42°
C．56°
D．84°
5.如图，△ ABC 为⊙ O 的内接三角形， AB 为⊙ O 的直径，点 D 在⊙ O 上，∠ ADC=68°，则 ∠ BAC= 22 °．
2.垂径定理 定理：垂直于弦的 直径 平分弦，并且 平分 弦所对的两条弧． 推论 1： (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦， 并且 平分 弦所对的两条弧
(2)弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分 弦所对的两条弧． (3)平分弦所对的一条弧的直径， 垂直 平分 弦， 并且 平分 推论 2：圆的两条平行弦所夹的 弧 相等． 弦所对的另一条弧．
★课前预习★
1．（2013 佛山）半径为 3 的圆中，一条弦长为 4，则圆心到这条弦的距离是（ C ） A．3 B．4 C． 5 D．
7
2．（2013 襄阳）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB 为 0.2 m． 0.8m，则排水管内水的深度为
3． （2013 无锡）如图，A、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是（ B ）
思路点拨： 连接 OA，根据桥拱半径 OC 为 5m，求出 OA=5m， 根据 CD=8m， 求出 OD=3m， 根据 AD= OA2 OD2 求出 AD，最后根据 AB=2AD 即可得出答案．
考点 2.圆心角和圆周角（2008、2009、2011～2013 年考） 3．（2013 珠海）如图，▱ABCD 的顶点 A、B 、D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙ O 的直径 BE 上， ∠ADC=54°，连接 AE，则∠AEB 的度数为（ A ）
★考点梳理★
1.圆的有关概念及性质 (1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，圆既是轴对称图形也 是中心对称图形． (2)圆具有对称性和旋转不变性. (3)不共线的三点确定一个圆． (4)圆上各点到圆心的距离都等于半径． (5)圆上任意两点间的部分叫做弧， 大于半圆周的弧称为优弧， 小于半圆周的弧称为劣弧． (6)连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． (7)弧、弦、圆心角的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧 的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 那么它们所对应的其余各组量也分别相等． ，两条弧， 两条弦 中有一组量相等， 相等，所对的 弦 相等，所对
第六章 圆 第24讲 圆的基本性质
高分突破在手
中考高分无忧
★中考导航★
⊙考纲要求⊙
1.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系. 2.了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. ⊙命题趋势⊙
2010～2013 年广东省中考题型及分值统计
年份 试题类型 知识点 分值
2010
注意：轴对称性是圆的又一条基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性 总结出来的．它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的 重要依据，遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．
3．与圆有关的角及其性质 (1)圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角． 圆周角：顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角． 弦切角：顶点在圆上，角的一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）圆周角定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 ． 所
2011 2012 2013
解答题
填空题 填空题 解答题
垂径定理
圆周角定理 圆周角定理 圆周角定理
6分
4分 4分 9分
1.从近几年广东省命题地区的考试内容来看，本讲内容命题难度适中，是中考命题 的热点，考查的重点是圆心角和圆周角性质的运用，垂径定理的运用. 2．题型以填空题、解答题为主． 3.2014 年考查重点可能是圆的基本概念、基本定理等的理解应用；利用垂径定理及 其推论，圆周角、圆心角的性质等有关圆的基础知识来论证角相等、弧相等及计算线段 的长度等．
思路点拨：过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，连接 OP，先由垂径定 理求出 OD 的长，再根据勾股定理求出 PD 的长，故可得出答 案．
2．（2013 绍兴）绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD 为 8m，桥拱半径 OC 为 5m，则水面宽 AB 为（ D ） A．4m B．5m C．6m D．8m
推论： ①同弧或等弧所对的 圆周角 相等；同圆或等圆中，相等的 圆心角 对的弧也相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ； 90O 的圆周角所对的弦是圆的 直径
．
③三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形 是 直角三角形 ．
★课堂精讲★
考点 1.垂径定理(2007、2008、2010 年考) 1．（2013 广州）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限， ⊙P 与 x 轴交于 O ，A 两点，点 A 的坐标为（6 ，0），⊙P 的半径为 13 ，则点 P 的坐 标为 (3,2) ．
A．36°
B．46°
C．27°
D．63°
思路点拨：根据 BE 是直径可得∠BAE=90°，然后在▱ ABCD 中∠ADC=54°，可得∠ B=54°，继而可求得∠AEB 的度数．
4． （2013 厦门） 如图所示， 在⊙ O 中， A．150° B．75°
， ∠A=30°， 则∠B= （ B ） D．15°
C．60°
思路点拨： 先根据等弧所对的弦相等求得 AB=AC，从而判定△ABC 是 等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出∠B=∠C；最 后由三角形的内角和定理求角 B 的度数即可．
5．（2013 徐州）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠C=30°，则∠AOB 的度数为 60 °．
思路点拨：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠ AOB=2∠C，进而 可得答案．
A．35°
B．140°
C．70°
D．70°或 140°
4．（2013 昭通）如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（ A ）
A．28°
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ42°
C．56°
D．84°
5.如图，△ ABC 为⊙ O 的内接三角形， AB 为⊙ O 的直径，点 D 在⊙ O 上，∠ ADC=68°，则 ∠ BAC= 22 °．
2.垂径定理 定理：垂直于弦的 直径 平分弦，并且 平分 弦所对的两条弧． 推论 1： (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦， 并且 平分 弦所对的两条弧
(2)弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分 弦所对的两条弧． (3)平分弦所对的一条弧的直径， 垂直 平分 弦， 并且 平分 推论 2：圆的两条平行弦所夹的 弧 相等． 弦所对的另一条弧．
★课前预习★
1．（2013 佛山）半径为 3 的圆中，一条弦长为 4，则圆心到这条弦的距离是（ C ） A．3 B．4 C． 5 D．
7
2．（2013 襄阳）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB 为 0.2 m． 0.8m，则排水管内水的深度为
3． （2013 无锡）如图，A、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是（ B ）
思路点拨： 连接 OA，根据桥拱半径 OC 为 5m，求出 OA=5m， 根据 CD=8m， 求出 OD=3m， 根据 AD= OA2 OD2 求出 AD，最后根据 AB=2AD 即可得出答案．
考点 2.圆心角和圆周角（2008、2009、2011～2013 年考） 3．（2013 珠海）如图，▱ABCD 的顶点 A、B 、D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙ O 的直径 BE 上， ∠ADC=54°，连接 AE，则∠AEB 的度数为（ A ）
★考点梳理★
1.圆的有关概念及性质 (1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，圆既是轴对称图形也 是中心对称图形． (2)圆具有对称性和旋转不变性. (3)不共线的三点确定一个圆． (4)圆上各点到圆心的距离都等于半径． (5)圆上任意两点间的部分叫做弧， 大于半圆周的弧称为优弧， 小于半圆周的弧称为劣弧． (6)连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． (7)弧、弦、圆心角的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧 的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 那么它们所对应的其余各组量也分别相等． ，两条弧， 两条弦 中有一组量相等， 相等，所对的 弦 相等，所对
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统编人教版九年级数学上册优质课件 24.1.1 圆
2.下列说法中，不正确的是( D ) A.过圆心的弦是圆的直径 B.等弧的长度一定相等 C.周长相等的两个圆是等圆 D.长度相等的两条弧是等弧
3.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是 5 cm.
4.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成 的图形是 圆 .
5.如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA 的延长线相交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则 ∠EOB的度数是 60°.
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
R·九年级上册
圆
新课导入
这些图片中都
有哪种图形？
(1)能叙述圆的描述性定义和集合观点定义. (2)知道弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的意义，并 能结合图形描述它们.
推进新课
知识点1 圆的定义
圆的概念
如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端
点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
固定的端点 O 叫做圆心；
A
线段 OA 叫做半径；
r
以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，
·
O
读作“圆O”．
O
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同 半径相同，圆心不同
确定一个圆的两个要素:
一是圆心， 二是半径．
A ·r O
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离 有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什 么特点？
6.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D 两点在AB上，且AC=BD． 求证：OC=OD． 证明：∵OA、OB为⊙O的半径， ∴OA=OB. ∴∠A=∠B. 又∵AC=BD， ∴△ACO≌△BDO. ∴OC=OD.
圆 第十三讲 圆的综合问题大串讲 课件--名师微课堂(自制)
圆的综合问题大串讲
讲师：张芙华
考试重点
直线和圆的位置关系问题 圆和一元二次结合 分析已知条件中的隐藏条件
解答压轴题重点
考试难点
圆与动点问题相结合
【分析】 （1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切 点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性 质表示其中关系，得到方程，求解即得半径． （ 2） 考虑两圆相切， 且一圆已固定， 一般就有两种情形， 外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距 等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆 半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过 表示边长之间的关系列方程，易得 t 的值．
（2）如图 2，过点 P 作 PG⊥BC，垂直为 G．∵∠PGB=∠C=90° ， ∴PG∥AC．∴△PBG∽△ABC，∴
4 3 ∵BP=t，∴PG = t ，BG = t ． 5 5 PG BG BP ． AC BC BA
若⊙P 与⊙O 相切，则可分为两种情况，⊙P 与⊙O 外切，⊙P 与⊙O 内切． ①当⊙P 与⊙O 外切时， 如图 3，连接 OP，则 OP=1+t，过点 P 作 PH⊥OE，垂足为 H． ∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90° ，∴四边形 PHEG 是矩形， ∴HE=PG，PH=CE，
PM PO 2 2 3 3 ．∴OK= OP 2 PK 2 =3． OM 4
∴点 P 的坐标为( 3 ，3)．
例 2．已知过原点 O 的两直线与圆心为 M(0，4)，半径 为 2 的圆相切，切点分别为 P、Q，PQ 交 y 轴于点 K， 抛物线经过 P、Q 两点，顶点为 N(0，6)，且与 x 轴交 于 A、B 两点． （1）求点 P 的坐标； （2）求抛物线解析式； （3）在直线 y=nx+m 中，当 n=0，m≠0 时，y=m 是平 行于 x 轴的直线， 设直线 y=m 与抛物线相交于点 C、 D， 当该直线与⊙M 相 切时，求点 A、B、 C、D 围成的多边 形的面积（结果 保留根号） ．
讲师：张芙华
考试重点
直线和圆的位置关系问题 圆和一元二次结合 分析已知条件中的隐藏条件
解答压轴题重点
考试难点
圆与动点问题相结合
【分析】 （1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切 点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性 质表示其中关系，得到方程，求解即得半径． （ 2） 考虑两圆相切， 且一圆已固定， 一般就有两种情形， 外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距 等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆 半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过 表示边长之间的关系列方程，易得 t 的值．
（2）如图 2，过点 P 作 PG⊥BC，垂直为 G．∵∠PGB=∠C=90° ， ∴PG∥AC．∴△PBG∽△ABC，∴
4 3 ∵BP=t，∴PG = t ，BG = t ． 5 5 PG BG BP ． AC BC BA
若⊙P 与⊙O 相切，则可分为两种情况，⊙P 与⊙O 外切，⊙P 与⊙O 内切． ①当⊙P 与⊙O 外切时， 如图 3，连接 OP，则 OP=1+t，过点 P 作 PH⊥OE，垂足为 H． ∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90° ，∴四边形 PHEG 是矩形， ∴HE=PG，PH=CE，
PM PO 2 2 3 3 ．∴OK= OP 2 PK 2 =3． OM 4
∴点 P 的坐标为( 3 ，3)．
例 2．已知过原点 O 的两直线与圆心为 M(0，4)，半径 为 2 的圆相切，切点分别为 P、Q，PQ 交 y 轴于点 K， 抛物线经过 P、Q 两点，顶点为 N(0，6)，且与 x 轴交 于 A、B 两点． （1）求点 P 的坐标； （2）求抛物线解析式； （3）在直线 y=nx+m 中，当 n=0，m≠0 时，y=m 是平 行于 x 轴的直线， 设直线 y=m 与抛物线相交于点 C、 D， 当该直线与⊙M 相 切时，求点 A、B、 C、D 围成的多边 形的面积（结果 保留根号） ．
初中数学人教九年级上册第二十四章圆圆复习课(新)PPT
做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
C 弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
B
1．(孝感市 2008 年)在 Rt△ABC 中， C 90 ， AC 8， BC 6 ，
两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之 和为（ ）
C
A
25 A． 4
25 B． 8
25 C． 16
25 D． 32
（第 1 题图）
2．(浙江省湖州市 2008 年)已知两圆的半径分别为 3cm 和 2cm，圆心距为 5cm，则两圆
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
点与圆的位置关系 d与r的关系
．A． 点在圆内
d＜r
．
点在圆上
d＝r
C
． 点在圆外
初中学课件-数与代数(根据名校名师个性辅导课堂复制整理的精品课件,同步辅导,章节总结,中考复习通用)
2、（2013 大连）-2 的相反数是（ A A．-2
1 B．- 2
）
1 C． 2
D．2
思路点拨： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面 添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的 相反数是 0．
1 3、（2013 梅州）四个数-1，0， 2 ，
2 中为无理数的是（ D ）
★课堂精讲★
考点 1 ．实数的有关概念（倒数、绝对值、相反数、无理数） （2008～2013 年考） 1．（2013 北京）
3 4 的倒数是（ D ）
4 A． 3
3 B． 4
3 C． 4
4 D．- 3
思路点拨： 本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数．
0 -a
不论有理数 a 取何值，它的绝对值总是非负数.即|a|≥0.
5．倒数：1 除以一个数的商，叫做这个数的倒数，实数 a，b 互为倒数，则 1 ab= ．注意 0 没有倒数． 6．实数的运算 混合运算顺序： ①先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ，②若有括号，先算括号 里面的；③同级运算，从左到右进行． 7．实数大小的比较 （1）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较 大 ；两个负数， 小 ． 绝对值大的较 (2)作差法：设 a，b 是任意两个有理数，若 a-b>O，则 a>b；若 a-b=O，则 a=b； 若 a-b<O，则 a<b． 8．科学记数法
★课前预习★
1．（2013 福州）2 的倒数是（
1 A．2
A ）
课件_人教版数学 九年级上册24圆优秀精美PPT课件
AB=2DE
OD=DE 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形． 由此得出圆的另一种定义法：
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． ◆同圆或等圆的半径相等
3、在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不 变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
(5)直径是最长的弦； 1、探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别． 由此得出圆的另一种定义法：
图片欣赏：
月饼包装图案
图片欣赏：
海上明月
图图片片欣欣赏赏：：
结合目标自学教材79---80页，并完成大
是弦吗？_______.
3、在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．
中心与边缘距离不相等 中心与路面距离不相等
学AB以是致☉用O：的（直合径作交离相流）离相
等等
互动精导： 学以致用：（合作交流） 为什么车轮是圆的？而不是椭圆或其他图形呢？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距 离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心 与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶 时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形 的数学道理．
观察⌒AD和⌒BC是否相等？
不一定
B
A
O.
C D
巩固检测：
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；（F D O
） B
I
OD=DE 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形． 由此得出圆的另一种定义法：
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． ◆同圆或等圆的半径相等
3、在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不 变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
(5)直径是最长的弦； 1、探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别． 由此得出圆的另一种定义法：
图片欣赏：
月饼包装图案
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海上明月
图图片片欣欣赏赏：：
结合目标自学教材79---80页，并完成大
是弦吗？_______.
3、在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．
中心与边缘距离不相等 中心与路面距离不相等
学AB以是致☉用O：的（直合径作交离相流）离相
等等
互动精导： 学以致用：（合作交流） 为什么车轮是圆的？而不是椭圆或其他图形呢？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距 离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心 与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶 时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形 的数学道理．
观察⌒AD和⌒BC是否相等？
不一定
B
A
O.
C D
巩固检测：
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；（F D O
） B
I
最新人教版初中数学九年级上册《24.1.1 圆》精品教学课件
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知
(
(
( (
( ( (( ((
素养考点 1 圆的有关概念的识别 例1 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
劣弧：AF, AD, AC, AE.
D
B
优弧：AFE,AFC, ADE, ADC.
F
O
E
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两 三角形全等,最后根据全等的性质得出结论. 解：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,
∵CE=DF. ∴△OCE≌△ODF（SAS）, ∴OE=OF, ∴△OEF是等腰三角形.
探究新知
知识点 2 圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
探究新知
素养考点 2 圆的有关概念的应用
例2 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D
在半圆上，顶点B、C在直径MN上.（1）求证：OB=OC.
（2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 4 5 .
A
D
Ⅱ
2x 10 ？
M
xB O
C
N
图4
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
解：（1）连接OA，OD， 证明Rt∆ABO≌Rt∆DCO.
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知
(
(
( (
( ( (( ((
素养考点 1 圆的有关概念的识别 例1 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
劣弧：AF, AD, AC, AE.
D
B
优弧：AFE,AFC, ADE, ADC.
F
O
E
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两 三角形全等,最后根据全等的性质得出结论. 解：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,
∵CE=DF. ∴△OCE≌△ODF（SAS）, ∴OE=OF, ∴△OEF是等腰三角形.
探究新知
知识点 2 圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
探究新知
素养考点 2 圆的有关概念的应用
例2 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D
在半圆上，顶点B、C在直径MN上.（1）求证：OB=OC.
（2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 4 5 .
A
D
Ⅱ
2x 10 ？
M
xB O
C
N
图4
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
解：（1）连接OA，OD， 证明Rt∆ABO≌Rt∆DCO.
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
初中数学九年级上册(人教版)24.1.1圆 公开课课件
一石激起千层浪
天安门广场 国庆花坛
城市立体交通
二、圆的概念
在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋 转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心 线段OP叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．
1.要确定一个圆,必须确定圆的
__圆__心和__ _半_ 径
O
这醉这人醉芬春人芳去芬的春芳季又的节回季，，节愿新，你桃愿生换你活旧生像符活春。像天在春一那天样桃一阳花样光盛阳，开光心的，情地心像方情桃，像在桃 54、欲海不穷内要千存为里知它目已的，结更天束上涯而一若哭层比，楼邻应。当为Tu它es的da开y,始Ju而ly笑1。4, 72.01240.2J0u2ly0270.1T4u.2e0sd2a0y2,0J:3u0ly2104:3,022002:0370/:147/2200:230:17 65、莫天愁生时前命不路的如无成地知长利已，，需地天要利下吃不谁饭如人，人不还和识需。君要。吃8时苦83时，03分吃08分亏时8。3时0T3分u0e1分s4d1-aJ4uy-J,l-uJ2lu0-l27y0.174.1.,2420.02220002J0uly 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020 这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 76、人生谁生命无贵太过相？知短过，暂而何，能用今改金天，与放善钱弃莫。了大明20焉天.7.。不14一2200定.7.7.能1.14得4220到0.7.。7.1.1844时2。03.2700.分12480。时年23700月2分01年144日7-J月星ul1期-42日二07星二.14期〇.2二02二〇0〇年二七〇月年十七四月日十四日
8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3020:30:177.14.2020Tuesday, July 14, 2020
天安门广场 国庆花坛
城市立体交通
二、圆的概念
在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋 转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心 线段OP叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．
1.要确定一个圆,必须确定圆的
__圆__心和__ _半_ 径
O
这醉这人醉芬春人芳去芬的春芳季又的节回季，，节愿新，你桃愿生换你活旧生像符活春。像天在春一那天样桃一阳花样光盛阳，开光心的，情地心像方情桃，像在桃 54、欲海不穷内要千存为里知它目已的，结更天束上涯而一若哭层比，楼邻应。当为Tu它es的da开y,始Ju而ly笑1。4, 72.01240.2J0u2ly0270.1T4u.2e0sd2a0y2,0J:3u0ly2104:3,022002:0370/:147/2200:230:17 65、莫天愁生时前命不路的如无成地知长利已，，需地天要利下吃不谁饭如人，人不还和识需。君要。吃8时苦83时，03分吃08分亏时8。3时0T3分u0e1分s4d1-aJ4uy-J,l-uJ2lu0-l27y0.174.1.,2420.02220002J0uly 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020 这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 76、人生谁生命无贵太过相？知短过，暂而何，能用今改金天，与放善钱弃莫。了大明20焉天.7.。不14一2200定.7.7.能1.14得4220到0.7.。7.1.1844时2。03.2700.分12480。时年23700月2分01年144日7-J月星ul1期-42日二07星二.14期〇.2二02二〇0〇年二七〇月年十七四月日十四日
8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3020:30:177.14.2020Tuesday, July 14, 2020
初中数学教学课件：24.1.1 圆(人教版九年级上) 公开课获奖课件
A
若∠AOB=90°，
则△AOB是_等__腰__直角 三角形.
O●
B
3.如图,弦有:_A__B_、__B_C__、A__C C
归纳：在圆中有长度不等的弦，直径是圆中最长的弦.
ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图,弧有:__⌒A_B______⌒B_C____
A
A⌒BC A⌒CB
⌒BCA
B
5 .劣弧有： A⌒B ⌒BC
优弧有： A⌒CB B⌒AC
O●
你知道优弧与劣弧的区别么？
C
6.判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
通过本课时的学习，需要我们： 1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质. 2.了解弦，弧，半圆，优弧，劣弧，同心圆，等圆， 等弧等与圆有关的概念，并理解概念之间的区别和联系.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
圆的两种定义
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
为什么车轮是圆的？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心） 的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时， 车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在 平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳， 这也是车轮都做成圆形的数学道理．
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
2023年中考复习大串讲初中数学之 圆 课件
(图3)
解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠BDC＝∠DFC＋∠DCF＝2∠DFC. ∵∠BAC＝∠BDC，且∠BAC＝2∠CAD， ∴∠CFD＝∠CAD. 又∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CFD＝∠CBD，∴CB＝CF. 又∵AC⊥BD，∴AC是线段BF的垂直平分线， ∴AB＝AF＝10，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AC＝10. 设AE＝x，则CE＝10－x，
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求
︵ AC
的长(结果保留π)．
(图1)
解：如答图1，连接AO，CO.
∵∠AFC＝∠ACF，∠CAF＝30°， ∴∠AFC＝ 180°－ 2 30°＝75°， ∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴A︵C的长＝1501×8π0×3＝52π.
(答图1)
例2 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直 径，DE⊥AB，垂足为E.
思路导航
问题
分析
由(1)知BC∥DE，所以求∠BDE可转化为求 求∠BDE
∠CBD
已知条件
分析
由BG⊥AD且直径所对圆周角∠ADC＝90°，
BG⊥AD 可得到BG∥DC，又由(1)知BC∥DE，故四边
形DHBC是平行四边形，所以BC＝DH＝1
已知条件 AB＝ 3 ， DH＝1
∠OHD＝ 80°
分析
设DE交AC于点N.∵BC∥DE，∴∠ONH＝∠ACB＝60°，
∴∠NOH＝180°－(∠ONH＋∠OHD)＝40°，
∴∠DOC＝∠DOH－∠NOH＝40°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD＝ 1∠DOC＝20°，∴∠CBD＝∠OAD＝20°.
2 ∵BC∥DE，∴∠BDE＝∠CBD＝20°.
解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠BDC＝∠DFC＋∠DCF＝2∠DFC. ∵∠BAC＝∠BDC，且∠BAC＝2∠CAD， ∴∠CFD＝∠CAD. 又∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CFD＝∠CBD，∴CB＝CF. 又∵AC⊥BD，∴AC是线段BF的垂直平分线， ∴AB＝AF＝10，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AC＝10. 设AE＝x，则CE＝10－x，
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求
︵ AC
的长(结果保留π)．
(图1)
解：如答图1，连接AO，CO.
∵∠AFC＝∠ACF，∠CAF＝30°， ∴∠AFC＝ 180°－ 2 30°＝75°， ∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴A︵C的长＝1501×8π0×3＝52π.
(答图1)
例2 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直 径，DE⊥AB，垂足为E.
思路导航
问题
分析
由(1)知BC∥DE，所以求∠BDE可转化为求 求∠BDE
∠CBD
已知条件
分析
由BG⊥AD且直径所对圆周角∠ADC＝90°，
BG⊥AD 可得到BG∥DC，又由(1)知BC∥DE，故四边
形DHBC是平行四边形，所以BC＝DH＝1
已知条件 AB＝ 3 ， DH＝1
∠OHD＝ 80°
分析
设DE交AC于点N.∵BC∥DE，∴∠ONH＝∠ACB＝60°，
∴∠NOH＝180°－(∠ONH＋∠OHD)＝40°，
∴∠DOC＝∠DOH－∠NOH＝40°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD＝ 1∠DOC＝20°，∴∠CBD＝∠OAD＝20°.
2 ∵BC∥DE，∴∠BDE＝∠CBD＝20°.
初中数学教学课件：24.1.1 圆(人教版九年级上)
第二十四章 圆
24.1 圆
24.1.1 圆
1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性. 2.了解弦，弧，半圆，优弧，劣弧，同心圆，等圆，等弧等 与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系. 3.让学生在动手实践中探索并初步了解点和圆的位置关系.
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
观察车轮，你发现了什么？
与圆有关的概念
1、弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦， 2、直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·
A
C
3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、
B为端点的弧记作 ⌒AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
4、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
B
O·
A
C
5、劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 ⌒AC）叫做劣弧；
⌒ 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC）叫
做优弧.
B
O·
A
C
例题
【例1】如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由. 【解析】首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆 心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所 形成的图形就是所画的圆.
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
为什么车轮是圆的？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心） 的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时， 车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在 平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳， 这也是车轮都做成圆形的数学道理．
24.1 圆
24.1.1 圆
1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性. 2.了解弦，弧，半圆，优弧，劣弧，同心圆，等圆，等弧等 与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系. 3.让学生在动手实践中探索并初步了解点和圆的位置关系.
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
观察车轮，你发现了什么？
与圆有关的概念
1、弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦， 2、直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·
A
C
3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、
B为端点的弧记作 ⌒AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
4、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
B
O·
A
C
5、劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 ⌒AC）叫做劣弧；
⌒ 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC）叫
做优弧.
B
O·
A
C
例题
【例1】如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由. 【解析】首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆 心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所 形成的图形就是所画的圆.
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
为什么车轮是圆的？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心） 的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时， 车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在 平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳， 这也是车轮都做成圆形的数学道理．