2019年秋季长郡中学高一期中考试试卷-数学答案
【20套试卷合集】湖南省长郡中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题(本大题共12小题，第小题5分，共60分．)1．设集合{}012345U =，，，，，，集合{}035M =，，，{}145N =，，，则()U M C N ⋂等于（） A ．{}5 B ．{}0,3 C ．{}0,2,3,5 D ．{}0,1,3,4,5 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．lg y x =与21lg 2y x =C．1y =与1y x =- D ．y x =与log (01)x a y a a a =≠>且3．函数y =A． B．⎡⎣C ．(]1,2D ．(1,2)4.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是（ ）A B C D 5．函数log (1)a y x =-(0<a<1)的图象大致是（）A B C D 6．函数2()(31)2f x x a x a =+++的递减区间为(,4)-∞，则（） A ．3a ≤- B ．3a ≤ C ．5a ≤ D ．3a =-7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33πB.12πC.33πD.36π8．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时()1f x x =-+，则当0x <时，()f x 的表达式为（） A ．()1f x x =-+ B ．()1f x x =-- C ．()1f x x =+ D ．()1f x x =- 9．函数log (1)2a y x =-+的图象过定点（ ） A ．（3，2） B ．（2，1） C ．（2，2） D ．（2，0）10．某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价（）A ．15%B ．10%C ．12%D ．50% 11．下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ） A ． 12xy =B ． 112xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C． 1y - D． y =．已知函数)(x f 是定义域为R的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增。
【全国百强名校】长郡中学高一期中考试试卷-数学(附答案)
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湖南省长沙市长郡中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-<<，{}220B x x x =-<，则A B =I （ ）A. ()10-， B. ()02， C. ()20-， D. ()22-，【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B I .【详解】由()2220x x x x -=-<，解得02x <<，所以()0,2A B =I .故选：B.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.函数()f x =的定义域为（ ） A. (]30-， B. ()31-， C. ()3-∞-，D.()(]331-∞--U ，，【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得30x -<≤.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零，属于基础题.3.若函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（）A. （﹣∞，2)B. （0，2）C. （0，12] D. [12，2） 【答案】C 【解析】 【分析】函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，等价于当1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，当1x <时，()1f x ax =+是增函数；另外还要满足()f x 在分界点1x =处，左边的函数值小于等于右边的函数值，即12+≤-a a ，通过解不等式组，可确定a 的取值范围. 【详解】由1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，得20a ->，即2a <；由1x <时，()1f x ax =+是增函数，得0a >；又()f x 的定义域为R ，所以在1x =应有12+≤-a a ，即12a ≤，综上，实数a 的取值范围是1(0,]2，故选C. 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,容易忽略对分界点左右两边的函数值大小关系进行讨论.4.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y x = B. y ＝2x -C. y ＝|x|D. 1y x=【答案】C 【解析】 【分析】逐一判断每个函数的奇偶性和单调性，可得正确答案.【详解】对于A ， y x =，为奇函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于C ， y x =，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于D ，1y x=，为奇函数，不符合题意；故选C.【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性的判断，较基础.5.函数[]211,1y x x x =-+∈-，的最大值与最小值之和 （ ） A. 1.75 B. 3.75 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的对称轴，判断其在[]1,1-上的单调性，根据单调性求出最值，即可得出结果。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.下列四条直线，其倾斜角最大的是（）A. B. C. D.2.若一个等腰三角形采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A. 倍B. 2倍C. 倍D. 倍3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与BD所成角的大小为（）A.B.C.D.4.已知两条直线l，m与两个平面α，β，下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5.圆C1：x2+（y-1）2=1与圆C2：（x+4）2+（y-1）2=4的公切线的条数为（）A. 4B. 3C. 2D. 16.一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为$（）A. B. C. D.7.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是（）A. B. C. D.8.方程（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线（）A. 恒过定点B. 恒过定点C. 恒过点和D. 都是平行直线9.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），点B在圆x2+y2=4上，则的最大值为（）A. 3B.C.D. 410.在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A. B. 1 C. D. 211.在△ABC中，内角A、B满足sin2A=sin2B，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形12.已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D. 或13.若曲线与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是（）A. B. C. D.14.一个几何体的三视图如图所示，其中三个三角形均是直角三角形，图形给出的数据均是直角边的长度，则该几何体的外接球的体积为（）A.B.C.D. 15.如图，设圆C1：（x-5）2+（y+2）2=4，圆C2：（x-7）2+（y+1）2=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______．17.若圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的直径为______18.设点P（3，2）是圆（x-2）2+（y-1）2=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是有______．19.已知长方体ABCD-A1B1C I D1Φ，AB=2AA1=2AD，则直线CB[与平面A1BCD1所成角的正弦值是______20.圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21.已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m-2）x+3y+2m=0，求：（1）若l1l2，求m的值；（2）若l1∥l2，求m的值．22.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点．（1）求证：平面BC1D平面ABB1A1；（4）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，求直三棱柱ABC-A1B1C1的体积．23.已知圆C过A（-2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．24.在△ABC中，角A，B，C的三条对边分别为a，b，c，b cos C+b sin C=a．（1）求B；（2）点D在边BC上，AB=4，CD=，cos∠ADC=，求AC．25.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、x+2y+3=0，其斜率k1=-，倾斜角θ1为钝角，对于B、2x-y+1=0，其斜率k2=2，倾斜角θ2为锐角，对于C、x+y+1=0，其斜率k3=-1，倾斜角θ3为135°，对于D、x+1=0，倾斜角θ4为90°，而k1＞k3，故θ1＞θ3，故选：A．根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案．本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系．2.【答案】C【解析】解：以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，故三角形的高变为原来的sin45°=，所以直观图中三角形的面积是原三角形面积的倍．故选：C．以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法得出三角形底边长和高的变化情况，即可得出答案．本题考查了斜二测画法中直观图的面积和原来图形面积之间的关系，是基础知识的考查．3.【答案】C【解析】解：连结BC1，则BC1∥AD1，所以BD与BC1所成的角，即是AD1与BD所成角．连结DC1，则三角形BDC1是正三角形，所以∠DBC1=60°，即AD1与BD所成角的大小为60°．故选：C．寻找与AD1平行的直线BC1，则直线BD与BC1所成的角，即是AD1与BD所成角．本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法，根据异面直线所成角的定义，寻找平行线是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：A如图可否定A；B如图∵l∥β，l⊂γ，γ∩β=m，∴l∥m，∵lα，∴mα，∴βα．故选：B．结合图形易否定A；利用线面平行的性质和面面垂直的判定可证B正确．此题考查了直线、平面的各种位置关系，难度不大．5.【答案】A【解析】解：∵|C1C2|==4，r1=1，r2=2，r1+r2=1+2=3，∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线．故选：A．先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线．本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题．6.【答案】C【解析】解：如图，由题意可知，O′A=3，OO′=4，∴R=OA=5，∴=，故选：C．根据题意作出图形，利用直角三角形直接得半径，求体积．此题考查了球体积公式，属容易题．7.【答案】A【解析】解：由已知两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0，所以m=6，所以两条平行线的距离为；故选：A．首先求出m的值，然后利用平行线之间的距离公式解答．本题考查了两条平行线的距离；注意x，y的系数要化为相同，才能运用公式．8.【答案】A【解析】解：∵（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R），∴（x+2）a-x-y+1=0，∴，解得：x=-2，y=3．即方程（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线恒过定点（-2，3）．故选：A．可将（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）转化为（x+2）a-x-y+1=0，令a的系数为0，-x-y+1=0即可．本题考查恒过定点的直线，方法较灵活，可转化为关于a的函数，令a的系数为0，-x-y+1=0即可，也可以令x、y取两组值，解得交点坐标即为所求，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵|-|=||≤|OB|+|OA|=2+=2+，故选：C．根据向量减法的三角形法则转化为求||，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．10.【答案】C【解析】解：∵△ABC中，a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，∴cosA==，∴A=60°，∵bc=4，∴S△ABC =bcsinA=，故选：C．利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc 的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：法1：∵sin2A=sin2B，∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0，∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，∴A+B=90°或A=B，则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形．故选：D．解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A 与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．12.【答案】D【解析】解：∵方程表示圆，∴＞0，即2k2-2k-12＞0，k2-k-6＞0，解得k＞3或k＜-2．故选：D．由D2+E2-4F＞0的关于k的一元二次不等式求解．本题考查圆的一般方程，是基础题．13.【答案】A【解析】解：作出函数y=与y=x+b图象，由图可知：-1故选：A．数形结合：作出两个函数的图象，观察图象可得本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．14.【答案】D【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：该几何体的外接球半径（2r）2=12+22+12=6，解得：，所以：V==故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.【答案】C【解析】解：依题意可知圆C1的圆心（5，-2），r=2，圆C2的圆心（7，-1），R=5，如图所示：对于直线y=x上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|PC1|+|PC2|-R-r=|PC1|+|PC2|-7的最小值，即可看作直线y=x上一点到两定点距离之和的最小值减去7，由平面几何的知识易知当C1关于直线y=x对称的点为 C1′（-2，5），与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|的最小值，取得最小值，即直线y=x上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2|=∴|PA|+|PB|的最小值为=|PC1|+|PC2|-7=．故选：C．利用对称的性质，结合两点之间的距离最短，即可求解．本题考查了圆关于直线的对称的圆的求法，动点的最值问题，考查了点与点的距离公式的运用，是中档题题．16.【答案】x+y-5=0，或3x-2y=0【解析】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y-5=0若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x-2y=0 ∴所求直线方程为x+y-5=0，或3x-2y=0故答案为x+y-5=0，或3x-2y=0分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．17.【答案】6【解析】解：设圆锥母线长R，底面圆半径为r，∵侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为R，半圆弧长为2πr，∴πR=2πr，∴R=2r，∵表面积是侧面积与底面积的和，∴S表=πR2+πr2，∵R=2r，∴S表=3πr2=27π，解得r=3，∴圆锥的底面直径为2r=6．故答案为：6．设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，根据侧面展开图得到R=2r，再求表面积与底面半径和直径．本题考查了圆锥的结构特征与表面积公式计算问题，是基础题．18.【答案】x+y-5=0【解析】解：圆（x-2）2+（y-1）2=4的圆心（2，1），点P（3，2）是圆（x-2）2+（y-1）2=4内部一点，以点P为中点的弦所在的直线的斜率为：-=-1．以点P为中点的弦所在的直线方程为：y-2=-（x-3）．即x+y-5=0．故答案为：x+y-5=0．求出圆的圆心与半径，求出所求直线的斜率，然后求解以点P为中点的弦所在的直线方程．本题考查直线与圆的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力．19.【答案】【解析】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2AA1=2AD=2，则C（0，2，0），B1（1，2，1），A1（1，0，1），C（0，2，0），B（1，2，0），=（1，0，1），=（0，-2，1），=（-1，0，0），设平面A1BCD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线CB[与平面A1BCD1所成角为θ，则sinθ===．∴直线CB[与平面A1BCD1所成角的正弦值为．故答案为：．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CB[与平面A1BCD1所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】3【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即2π∵圆锥的母线长为3．扇形的圆心角，∴一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：=3．故答案为：3．利用圆锥的侧面展开图，确定扇形的圆心角，即可求得结论．本题考查旋转体表面上的最短距离，考查学生的计算能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）m=0时，两条直线不垂直，舍去．m≠0时，∵l1l2，∴-×=-1，解得m=．综上可得：m=．（2）由m（m-2）-3=0，解得：m=3或-1．经过验证m=3时两条直线重合，舍去．∴m=-1时，l1∥l2．【解析】（1）对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．（2）由m（m-2）-3=0，解得：m=3或-1．经过验证m=3时两条直线重合，舍去．本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.【答案】（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1平面A1B1C1，则AA1C1D，∵A1C1=B1C1，D为A1B1的中点，∴C1D A1B1，又AA1∩A1B1=A1，∴C1D平面AA1B1B，而C1D⊂平面BC1D，∴平面BC1D平面ABB1A1；（2）解：连接AC1，由AC=BC，C1C平面ABC，∴AC1=BC1，∵异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，∴△ABC1为等腰三角形，取AB中点O，连接CO，C1O，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴，．∴．故直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=．【解析】（1）由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，得AA1平面A1B1C1，则AA1C1D，再由已知得C1D A1B1，利用线面垂直的判定可得C1D平面AA1B1B，从而得到平面BC1D平面ABB1A1；（2）连接AC1，由AC=BC，C1C平面ABC，得AC1=BC1，进一步得到△ABC1为等腰三角形，求出三棱柱的高，代入棱柱体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，则圆C方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，又由圆C过A（-2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y=0上，则有，解可得a=-2，b=6，r2=16，则圆C的方程为（x+2）2+（y-6）2=16；（Ⅱ）根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则|MN|=4，设D是线段MN的中点，则有CD MN，则|MD|=2，|MC|=4．在Rt△ACD中，可得|CD|=2．当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x=0，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx，即kx-y+5=0．由点C到直线MN的距离公式：=2，解可得k=，此时直线l的方程为3x-4y+20=0．故所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0．【解析】（Ⅰ）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，结合题意可得，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．24.【答案】解：（1）由b cos C+b sin C=a，利用正弦定理得：sin B cos C+sin B sin C=sin A，即sin B cos C+sin B sin C=sin B cos C+cos B sin C，得sin B sin C=cos B sin C，又C∈（0，π），所以sin C≠0，所以sin B=cos B，得tan B=，又B∈（0，π），所以B=；（2）如图所示，由cos∠ADC=，∠ADC∈（0，π），所以sin∠ADC==，由因为∠ADB=π-∠ADC，所以sin∠ADB=sin∠ADC=；在△ABD中，由正弦定理得，=，且AB=4，B=，所以AD===；在△ACD中，由余弦定理得，AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cos∠ADC=+-2×××=4，解得AC=2．【解析】（1）由题意利用正弦定理与三角恒等变换求出sinB与cosB的关系，得出tanB的值，从而求出B 的值；（2）根据互补的两角正弦值相等，得到sin∠ADB=sin∠ADC的值，再利用正弦、余弦定理求得AD、AC的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．25.【答案】解：方法一（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，连接OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS DF于S，连接BS，∵AB AF，AB AD，AD∩AF=A，∴AB平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS DF∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角在Rt△ASB中，AS==，AB=，∴， ，∴二面角A-DF-B的大小为60°方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设AC∩BD=N，连接NE，则点N、E的坐标分别是（，，、（0，0，1），∴=（，，，又点A、M的坐标分别是（，，）、（，，∴=（，，∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDF（Ⅱ）∵AF AB，AB AD，AF∩AD=A，∴AB平面ADF∴，，为平面DAF的法向量∵=（，，•，，=0，∴=（，，•，，=0得，∴NE为平面BDF的法向量∴cos＜，＞=∴，的夹角是60°即所求二面角A-DF-B的大小是60°【解析】（Ⅰ）要证AM∥平面BDE，直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可，也可以利用空间直角坐标系，求出向量，在平面BDE内求出向量，证明二者共线，说明AM∥平面BDE，（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS DF于S，连接BS，说明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角，然后求二面角A-DF-B的大小；也可以建立空间直角坐标系，求出，说明是平面DFB的法向量，求出平面DAF 的法向量，然后利用数量积求解即可．本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则(A B = )A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-2．函数()f x =+的定义域为( )A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]3．若函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．1(0,]2D ．1[,2)24．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．y x =B ．2y x =-C ．||y x =D ．1y x=5．函数21y x x =-+，[1x ∈-，1]的最大值与最小值之和为( ) A ．1.75B ．3.75C ．4D ．56．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，()2x f x m =-，则(1)(f -= ) A ．1-B ．1C ．2-D ．27．下列不等式成立的是( ) A ．231.2 1.2> B ．321.2 1.2--< C ． 1.2 1.2log 2log 3>D ．0.20.2log 2log 3<8．设251()3a =，432b =，21log 3c =，则( )A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．函数25()log (2)f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞10．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则f （4）的值为( )A ．14B ．2C ．4D ．11611．已知函数()log (1)a f x x =+（其中1)a >，则()0f x <的解集为( ) A ．(1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(1,0)-12．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+13．若函数()(1)(3)()f x lg x lg x lg a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．13a <…或134a =B ．1334a <… C ．1a …或134a =D ．134a >14．若方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >或12a <-B ．112a -<<C ．12a >-D ．1a <15．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为( )A ．3B ．6C ．9D ．12二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上． 16．设集合{1A =，2}，则满足{1AB =，2，3}，{2}AB =的集合B = ．17．已知函数(22)32f x x +=+，且f （a ）4=，则a = ．18．已知3()3f x x x =+，x R ∈，且2(2)()0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 ． 19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质36%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤 次．（参考数据：20.3010)lg ≈ 20．若规定集合1{M a =，2a ，⋯，*}()n a n N ∈的子集1{i a ，2i a ，}(*)m i a m N ⋯∈为M 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋯+，则M 的第25个子集是 ．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．计算：（1）5log 2log 2545lg lg ++；（2）已知1122x x-+=，求22165x x x x --+-+-的值． 22．已知2lg a =，3lg b =，试用a ，b 表示12log 5．23．科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(04,0)x x y m x m -=+>剟．（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度； （2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．24．集合2{(,)|2}A x y y x mx ==++，{(,)|10B x y x y =-+=，02}x 剟．若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．25．已知函数()f x ，对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，f （3）的值；（2）当810x -剟时，求函数()f x 的最大值和最小值．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则(A B = )A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-【解答】解：{|12}A x x =-<<，{|20}B x x =-<<， 则(1,0)AB =-．故选：A ．2．函数()f x =+的定义域为( )A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]【解答】解：根据题意：12030x x ⎧-⎨+>⎩…，解得：30x -<… ∴定义域为(3-，0]故选：A ．3．若函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．1(0,]2D ．1[,2)2【解答】解：根据题意，函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则有20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪+-⎩…，解可得：102a <…，即a 的取值范围为(0，1]2；故选：C ．4．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是( )A ．y x =B ．2y x =-C ．||y x =D ．1y x=【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y x =为正比例函数，不是偶函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为二次函数，是偶函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于C ，,0||,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩…，是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数，符合题意；对于D ，1y x=，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意； 故选：C ．5．函数21y x x =-+，[1x ∈-，1]的最大值与最小值之和为( ) A ．1.75B ．3.75C ．4D ．5【解答】解：函数21y x x =-+，对称轴为12x =， 13()24min y f ==，(1)3f -=，f （1）1=，故最大值为3，最小值为0.75 所以最大值和最小值的和为3.75， 故选：B ．6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，()2x f x m =-，则(1)(f -= ) A ．1- B ．1C ．2-D ．2【解答】解：()f x 为奇函数且[0x ∈，1]时()2x f x m =-，(0)10f m ∴=-=， 1m ∴=，f （1）211=-=， (1)f f ∴-=-（1）1=-．故选：A ．7．下列不等式成立的是( ) A ．231.2 1.2>B ．321.2 1.2--<C ． 1.2 1.2log 2log 3>D ．0.20.2log 2log 3<【解答】解：函数x y a =，1a >时，函数是增函数，231.2 1.2∴>不正确；321.2 1.2--<正确； 函数 1.2log y x =，是增函数， 1.2 1.2log 2log 3∴>不正确； 函数0.2log y x =是减函数，0.20.2log 2log 3∴<不正确； 故选：B ．8．设251()3a =，432b =，21log 3c =，则( )A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：251()(0,1)3a =∈，4321b =>，21log 03c =<，则c a b <<． 故选：D ．9．函数25()log (2)f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞【解答】解：由220x x ->得2x >或0x <，即函数的定义域为(-∞，0)(2⋃，)+∞， 设22t x x =-，则5log y t =是增函数， 则要求()f x 的单调递增区间， 即求22t x x =-的单调递增区间， 22t x x =-的单调递增区间为(2,)+∞， ()f x ∴的单调递增区间为(2,)+∞，故选：B ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则f （4）的值为( )A ．14B ．2C ．4D ．116【解答】解：设幂函数为()f x x α=，()y f x =的图象过点1(2，∴121()222αα--===∴12α=． 12()f x x ∴=，f ∴（4）1242===，故选：B ．11．已知函数()log (1)a f x x =+（其中1)a >，则()0f x <的解集为( ) A ．(1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(1,0)-【解答】解：1a >时，函数()log (1)a f x x =+在定义域上单调递增， ∴不等式()0f x <可化为011x <+<，解得10x -<<，∴所求不等式的解集为(1,0)-．故选：D ．12．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+【解答】解：0x 是()x y f x e =-的一个零点，00()0x f x e ∴-=，又()f x 为奇函数，00()()f x f x ∴-=-，00()0x f x e ∴---=，即00()0x f x e -+=， 故000()()10x x x f x e f x ee--+-+==； 故0x -一定是()1x y f x e =+的零点， 故选：A ．13．若函数()(1)(3)()f x lg x lg x lg a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．13a <…或134a =B ．1334a <… C ．1a …或134a =D ．134a >【解答】解：原题等价于{213530x x x a x a<<-++=<，当△0=时，135,42a x ==； 当△0>，即134a <时，令2()53g x x x a =-++，满足(1)0(3)0g g >⎧⎨⎩…，解得13a <…．综上，实数a 的取值范围为13a <…或134a =． 故选：A ．14．若方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >或12a <-B ．112a -<<C ．12a >-D ．1a <【解答】解：方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根， ∴两根之积2(2)0lg a a --<，故2(2)0lg a a ->，221a a ∴->，求得1a >或12a <-，故选：A ．15．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解答】解：令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =， 由图象知有三个根1u ，2u ，3u ， 分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =， 解出有9个t 符合方程，在令3t x =解出相应x 的根的个数为9个，故选：C ．二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上． 16．设集合{1A =，2}，则满足{1A B =，2，3}，{2}AB =的集合B = {2，3} ．【解答】解：{1A =，2}，{1AB =，2，3}，{2}A B =，2B ∴∈，3B ∈，1B ∉， {2B ∴=，3}．故答案为：{2，3}．17．已知函数(22)32f x x +=+，且f （a ）4=，则a = 3． 【解答】解：(22)32f x x +=+，令22x t +=，则22t x -=， 232()3222t t f t --∴=+=， f ∴（a ）3242a -==， 则103a =． 故答案为：10318．已知3()3f x x x =+，x R ∈，且2(2)()0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 (2,1)- ． 【解答】解：因为3()()3()f x x x f x -=--=-，所以是奇函数，且递增， 且2(2)()0f a f a -+<，即22(2)()()f a f a f a -<-=-， 22a a -<-，220a a +-<，所以(2,1)a ∈-， 故答案为：(2,1)-．19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质36%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤 7 次．（参考数据：20.3010)lg ≈ 【解答】解：设至少需过滤的次数为n ，则由题意可得0.640.05n …，即0.640.05nlg lg …，0.0552121,301060.642(81)62260.30102lg lg lg n lg lg lg ----∴====--⨯- (706)再由n 为正整数可得n 的最小值为7， 故答案为：7．20．若规定集合1{M a =，2a ，⋯，*}()n a n N ∈的子集1{i a ，2i a ，}(*)m i a m N ⋯∈为M 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋯+，则M 的第25个子集是 1{a ，4a ，5}a ．【解答】解：由题意得，M 的第k 个子集，且12111222n i i i k ---=++⋯+， 又03411415125222222---=++=++， 所以M 的第25个子集是1{a ，4a ，5}a ， 故答案为：1{a ，4a ，5}a ．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．计算：（1）5log 2log 2545lg lg ++；（2）已知1122x x-+=，求22165x x x x --+-+-的值．【解答】解：（1）3144333-==；∴5log 2log 2545lg lg ++；143115log 310022244lg -=++=-++=；（2）1122x x-+=，111222()23x x x x --∴+=+-=；2212()27x x x x --∴+=+-=；∴22167615352x x x x --+--==-+--． 22．已知2lg a =，3lg b =，试用a ，b 表示12log 5． 【解答】解：125121log 5122232lg lg alg lg lg a b--===++．23．科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(04,0)x x y m x m -=+>剟．（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，当2m =，则12225x x -+=，解得1x =或1x =-； 由0x …，1x ∴=， 故经过1时间，温度为5摄氏度．（2）由题意得1222x x m -+…对一切0x …恒成立， 则 由20x >，得22x m …， 令2x t -=则01t <…，2211()222()22f t t t t =-+=--+， 当12t =时，取得最大值为12． 12m ∴…，故的取值范围为1[2，)+∞． 24．集合2{(,)|2}A x y y x mx ==++，{(,)|10B x y x y =-+=，02}x 剟．若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．【解答】解：联立得：221y x mx y x ⎧=++⎨=+⎩， 消去y 得：221x mx x ++=+，即2(1)10x m x +-+=，[0x ∈，2]， 由题设知2()(1)1f x x m x =+-+，[0x ∈，2]必有零点，分两种情况考虑：()i 若在[0，2]只有一个零点，则f （2）0<，即32m <-； 或2(1)401022m m ⎧--=⎪⎨-⎪⎩剟，解得：1m =-； ()ii 若在[0，2]有两个零点，则(2)010220f m ⎧⎪-⎪<-<⎨⎪>⎪⎩…，解得：312m -<-…， 由()()i ii 知：1m -…．25．已知函数()f x ，对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-． （1）求(0)f ，f （3）的值；（2）当810x -剟时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【解答】解：（1）对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，则(0)0f =，1(1)2f =-．令1x y ==，则(11)f f +=（1）f +（1），f ∴（2）1=-； (21)f f ∴+=（2）f +（1）；即3(3)2f =-． （2）令y x =-，则()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴为奇函数， 任取1x ，2x R ∈，且12x x <，210x x ->，则21()0f x x -<，212121()()()()()0f x f x f x f x f x x -=+-=-<，21()()f x f x ∴<， 所以()f x 在R 上为减函数，故当810x -剟时，()(8)2(4)4(2)4max f x f f f f =-=-=-=-（2）4=， ()(10)10min f x f f ==（1）5=-．故当810x -剟时，函数()f x 的最大值是4，最小值是5-．。
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 (含解析)
湖南省长沙市长郡中学2019~2020学年度高一年级模块检测试题高一数学(满分:120分,时间:100分钟)一、选择题(本大题共15小题,每小题3分,共45分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(★)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x2-2x<0},则A∩B=( )A.(-1,0)B.(0,2)C.(-2,0)D.(-2,2)1.关键点必修1 第一章集合与函数概念 1.1 集合考向解一元二次不等式,集合的运算.思路分析先通过解一元二次不等式化简集合B,再根据交集的定义进行求解即可.解析∵集合A={x|-1<x<2},B={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},∴A∩B={x|0<x<2}=(0,2),故选B.答案 B2.(★★)函数f(x)=√1−2x+√x+3的定义域为( )A.(-3,0]B.(-3,1)C.(-∞,-3)D.(-∞,-3)∪(-3,1]2.关键点必修1 第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示考向基本初等函数的定义域,集合运算思路分析求f(x)的定义域,注意分母不为0,偶次方根的被开方数大于或等于0.解析要使f(x)有意义,则有{1−2x≥0,x+3>0,解得{x≤0,x>−3,∴-3<x≤0,故选A. 答案 A3.(★★)若函数f(x)={(2-a)x,x≥1,ax+1,x<1,在R上是增函数,则a的取值范围为( )A.(-∞,2)B.(0,2)C.(0,12]D.[12,2)3.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质考向 分段函数的性质,函数单调性的综合应用.思路分析 根据f(x)在R 上是增函数即可得出y=(2-a)x 在[1,+∞)上是增函数,y=ax+1在(-∞,1)上是增函数,且2-a ≥a+1,从而得出{2−a >0,a >0,2−a ≥a +1,解出a 的范围即可.解析 ∵f(x)={(2-a)x,x ≥1,ax +1,x <1在R 上是增函数,∴必须同时满足3个条件: ①y=(2-a)x 在[1,+∞)上为增函数,②y=ax+1在(-∞,1)上为增函数,③2-a ≥a+1,∴{2−a >0,a >0,2−a ≥a +1,解得0<a ≤12,故选C.答案 C点评 本题主要考查了分段函数的单调性及其应用,其中涉及分段函数的解析式、分段函数的单调性,以及一次函数的单调性等知识点,着重考查学生分析问题和解决问题的能力,以及转化与化归思想方法的应用,本题易忽略第③个条件导致错误.4.(★★)下列函数既是偶函数,又在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=xB.y=-x 2C.y=|x|D.y=1x 4.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质考向 基本初等函数奇偶性、单调性的应用.思路分析 首先由函数的奇偶性排除A 、D 选项,再由函数的单调性排除B 即可.解析 函数y=x,y=1x 是奇函数,故排除A 、D 选项.y=-x 2,y=|x|是偶函数.又∵y=-x 2在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数,故排除选项B.y=|x|在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,符合题意,故选C.答案 C5.(★★)函数y=x 2-x+1,x ∈[-1,1]的最大值与最小值之和为( )A.1.75B.3.75C.4D.55.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示考向 二次函数在闭区间上的最值问题.思路分析 y=x 2-x+1=(x -12)2+34,x ∈[-1,1],利用二次函数的性质求得它的最大值和最小值,从而求得函数的最大值与最小值之和.解析 函数y=x 2-x+1=(x -12)2+34的图象的对称轴为直线x=12. ∵x ∈[-1,1],∴函数在[-1,12]上单调递减,在[12,1]上单调递增,∴当x=12时函数取得最小值,为34,当x=-1时函数取得最大值,为3. ∴函数y=x 2-x+1,x ∈[-1,1]的最大值与最小值之和为34+3=3.75,故选B.答案 B点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值问题,要注意分析二次函数图象的开口方向,对称轴与所给闭区间的位置关系.6.(★★)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且当x ∈[0,1]时,f(x)=2x -m,则f(2 019)=( )A.-1B.1C.-2D.26.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数基本性质考向 函数的奇偶性,周期性的判断与应用.思路分析 根据f(x)是R 上的奇函数,并且f(x+1)=f(1-x),便可求得f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,而由x ∈[0,1]时f(x)=2x -m 及f(x)为奇函数,即可得出f(0)=1-m=0,从而求得m=1,然后即可解出f(2 019)的值.解析 ∵f(x)是定义在R 上的奇函数且f(x+1)=f(1-x),∴f(x+2)=f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4.又∵x ∈[0,1]时,f(x)=2x -m,函数f(x)为R 上的奇函数,∴f(0)=1-m=0,∴m=1,∴x ∈[0,1]时,f(x)=2x -1,∴f(2 019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-1.故选A.答案 A点评 本题考查函数的周期性和奇偶性的综合运用,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a ≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.7.(★★)下列不等式成立的是( )A.1.22>1.23B.1.2-3<1.2-2C.log 1.22>log 1.23D.log 0.22<log 0.237.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数考向 指数函数、对数函数单调性的应用.思路分析 利用指数函数与对数函数的单调性逐一判断即可.解析 对于A,B 选项,函数y=1.2x 是增函数,∴1.22>1.23不正确,1.2-3<1.2-2正确;C.y=log 1.2x 为增函数,∴log 1.22>log 1.23不正确.D.y=log 0.2x 为减函数,∴log 0.22<log 0.23不正确,故选B.答案 B点评 比较指数幂或对数值的大小,若指数幂的底数相同或对数的底数相同,则通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较,若底数不同,则可考虑利用中间量进行比较.8.(★★)已知a=(13)25,b=243,c=log 213,则( ) A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b8.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数考向 指数函数与对数函数单调性的应用.思路分析 利用指数函数,对数函数的单调性,及中间值进行比较即可.解析 ∵a=(13)25∈(0,1),b=243>1,c=log 213<0, ∴c<a<b,故选D.答案 D点评 对于多个指、对数函数值的大小比较问题,可以先找中间量,比如0,1等,先把要比较的数按照(-∞,0),(0,1),(1,+∞)进行分类,对于同一类的数再利用指、对数函数的单调性进行比较,这样可以起到化繁为简的目的.9.(★★)函数f(x)=log 5(x 2-2x)的单调递增区间是( )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,0)9.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.2 对数函数考向 对数函数的性质,二次函数的单调性,复合函数的单调性.思路分析 先求出函数的定义域,然后将复合函数分解为内、外层函数,分别讨论内外层函数的单调性,进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则,得到函数f(x)=log 5(x 2-2x)的单调递增区间.解析 f(x)=log 5(x 2-2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),令t=x 2-2x,x ∈(-∞,0)∪(2,+∞),则y=log 5t,∵y=log 5t 为增函数,t=x 2-2x 在(-∞,0)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,∴f(x)=log 5(x 2-2x)的单调递增区间为(2,+∞).故选B.答案 B点评 求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,函数y=f[g(x)]的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.10.(★★)已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22),则f(4)的值为( )A.14B.2C.4D.11610.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数考向 求幂函数的解析式及幂函数的值.思路分析 根据待定系数法求出幂函数的解析式,然后直接求出f(4)的值即可.解析 设幂函数的解析式为f(x)=x α,∵y=f(x)的图象过点(12,√22), ∴(12)α=√22=(12)12, ∴α=12,∴f(x)=x 12,∴f(4)=412=2,故选B.答案 B点评 本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式,解答此类题需要熟练掌握基本初等函数的一般表达式.11.(★★)已知函数f(x)=log a (x+1)(其中a>1),则f(x)<0的解集为( )A.(-1,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(-1,0) 11.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.2 对数函数考向 利用对数函数的单调性解对数不等式.思路分析 根据a>1时函数f(x)在定义域上单调递增,把不等式f(x)<0转化为0<x+1<1求出x 的取值范围即可.解析 ∵a>1时函数f(x)=log a (x+1)在定义域上单调递增,且log a 1=0,∴不等式f(x)<0即为log a (x+1)<log a 1,∴0<x+1<1,解得-1<x<0,∴所求不等式的解集为(-1,0),故选D.答案 D点评 本题主要考查对数不等式的解法,在解题过程中要始终注意函数的定义域.形如log a f(x)>log a g(x)的不等式,需借助y=log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a>1和0<a<1两种情况讨论.12.(★★)若f(x)为奇函数,且x 0是y=f(x)-e x 的一个零点,则-x 0一定是下列哪个函数的零点( )A.y=f(x)e x +1B.y=f(-x)e -x -1C.y=f(x)e x -1D.y=f(-x)e x +112.关键点必修1 第三章函数的应用 3.1 函数与方程考向函数的奇偶性,函数的零点.思路分析由x0是y=f(x)-e x的一个零点,得f(x)=e x0,结合函数的奇偶性依次分析各选项,验证-x是不是其零点,即可得到答案.解析∵x是y=f(x)-e x的一个零点,∴f(x)=e x0.又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).依次分析各选项:A.y=f(x)e x+1,将x=-x代入可得y=f(-x0)·e-x0+1=-f(x)·e-x0+1=-e x0·e-x0+1=-e x0-x0+1=0,即-x是其零点,符合题意.B.y=f(-x)e-x-1,将x=-x代入可得y=f(x)·e x0-1=e x0·e x0-1=e2x0-1≠0,不符合题意.C.y=f(x)e x-1,将x=-x代入可得y=f(-x0)·e-x0-1=-f(x)·e-x0-1=-e x0·e-x0-1=-e x0-x0-1=-2≠0,不符合题意.D.y=f(-x)·e x+1,将x=-x代入可得y=f(x)·e-x0+1=e x0·e-x0+1=e x0-x0+1=2≠0,不符合题意,故选A.答案 A点评需要注意的是函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的根.13.(★★★)若函数f(x)=lg(x-1)+lg(3-x)-lg(a-x)只有一个零点,则实数a的取值范围是( )A.1<a≤3或a=134B.3≤a<134C.a≤1或a=134D.a>13413.关键点必修1 第三章函数的应用 3.1 函数与方程考向 对数函数的概念,函数的零点.思路分析 根据题意,问题等价于{1<x <3,x <a时,方程x 2-5x+a+3=0只有一解,然后讨论即可得结论.解析 问题等价于{x -1>0,3−x >0,a -x >0,即{1<x <3,x <a 时, f(x)=lg (x -1)(3-x)a -x =0只有一解,即{1<x <3,x <a时,方程x 2-5x+a+3=0只有一解.当Δ=25-4(a+3)=0时,a=134,此时x=52,满足题意.当Δ=25-4(a+3)>0,即a<134时,令g(x)=x 2-5x+a+3,需满足{g(1)>0,g(3)≤0,解得1<a ≤3. 综上,1<a ≤3或a=134,故选A.答案 A14.(★★)若方程x 2-2x-lg(2a 2-a)=0有一个正根和一个负根,则实数a 的取值范围是( )A.a>1或a<-12B.-12<a<1C.a>-12D.a<114.关键点 必修1 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程考向 对数函数的概念,一元二次方程根的分布.思路分析 方程x 2-2x-lg(2a 2-a)=0有一个正根和一个负根,则两根之积小于0,再由对数函数的概念得到2a 2-a>1,解此不等式即可.解析 ∵方程x 2-2x-lg(2a 2-a)=0有一正根和一负根,∴两根之积小于0,由一元二次方程根与系数的关系知lg(2a 2-a)>0,∴2a 2-a>1,即2a 2-a-1>0,解得a>1或a<-12,故选A.答案 A点评本题利用一元二次方程根与系数的关系很容易完成转化,需熟练掌握对数函数的概念,才能正确解决对数不等式.15.(★★★)已知函数g(x)的图象如图所示,则方程g(g(x3))=0的实数根个数为( )A.3B.6C.9D.1215.关键点必修1 第三章函数的应用 3.1 函数与方程考向数形结合思想解决函数与方程的应用.思路分析令u=x3,t=g(u),先根据函数g(x)的图象求出g(t)=0的根,再利用数形结合求出t=g(x3)的解即可.解析令u=x3,t=g(u),则由g(g(x3))=0知g(t)=0,由图象知g(t)=0有3个根,设为t1,t2,t3,且t1<t2<t3,则t1∈(-3,0),t2=0,t3∈(0,3).令t1=g(u),t2=g(u),t3=g(u),分别有3个解,即共解出9个互不相同的u,再由u=x3解出相应x有9个,所以方程g(g(x3))=0的实数根个数为9.故选C.答案 C点评本题考查了函数与方程的应用,根据函数定义,找到函数值与自变量之间的对应关系,借助数形结合的思想方法使问题得到解决.二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)16.(★★)设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3},A∩B={2}的集合B= .16.关键点必修1 第一章集合与函数概念 1.1 集合考向集合的运算.思路分析 根据题意,分析可知集合B 中一定有元素2,再结合所给集合A 与A ∪B 中所含元素即可得答案.解析 由A ∩B={2}知集合B 中一定有元素2,又由A={1,2}可知B 中一定没有元素1,又A ∪B={1,2,3},所以集合B 中必有元素3.综上,集合B={2,3}.答案 {2,3}17.(★★)已知函数f(2x+2)=3x+2,且f(a)=4,则a= .17.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示考向 换元法求函数解析式和求函数值.思路分析 令2x+2=t,通过换元求出f(x)的解析式,再代入f(a)=4解方程求出a 即可.或者直接令3x+2=4解出x 的值,再计算出对应a 的值.解析 解法一:令2x+2=t,则x=t -22,∴f(t)=3·t -22+2=3t -22, ∴f(x)=3x -22.∵f(a)=4,∴3a -22=4,解得a=103. 解法二:∵f(2x+2)=3x+2且f(a)=4,∴令3x+2=4,解得x=23,∴a=2x+2=2×23+2=103.答案 103点评 对于形如y=f[g(x)]的函数解析式,令t=g(x)从中求出x=φ(t),然后代入表达式求出f(t),再将t 换成x,得到f(x)的解析式,同时要注意所换新元的取值范围,解法二比较简捷,但需要深刻理解函数概念中x 与y 的对应关系.18.(★★)已知f(x)=x 3+3x,x ∈R,且f(a-2)+f(a 2)<0,则实数a 的取值范围是 .18.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质考向 函数的奇偶性,函数的单调性,解一元二次不等式.思路分析 首先分析函数f(x)的奇偶性和单调性,然后利用f(x)的奇偶性和单调性“脱去”f(a-2)+f(a 2)<0不等式中的“f ”,得到关于a 的不等式,解不等式即可.解析 ∵f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x 3+3x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.又∵f(x)=x 3+3x 是R 上的增函数,∴f(a-2)+f(a 2)<0可转化为f(a-2)<-f(a 2),∵f(x)为奇函数,∴f(a-2)<f(-a 2),又f(x)为增函数,∴a-2<-a 2,即a 2+a-2<0,解得-2<a<1.故答案为(-2,1).答案 (-2,1)点评 此题要充分利用f(x)的奇偶性和单调性,将含“f ”的不等式中的“f ”脱去,从而得到关于a 的不等式.19.(★★★)某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质36%,若要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤 次.(参考数据:lg 2=0.301 0)19.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数 2.2 对数函数考向 指数函数的应用,对数不等式解析 设净化前的水中杂质为1,第1次过滤后的水中杂质为1-36%,第2次过滤后的水中杂质为(1-36%)(1-36%)=(1-36%)2,第3次过滤后的水中杂质为(1-36%)2(1-36%)=(1-36%)3,……第x 次过滤后的水中杂质为(1-36%)x =0.64x (x ≥1且x ∈N),由题意得0.64x <0.05,两边取对数得x ·lg 0.64<lg 0.05,∴x>lg0.05lg0.64=lg5−2lg64−2=-1-lg26lg2−2=-1-0.3016×0.301−2=1.3010.194≈6.7.∴x ≥7,故答案为7.答案 7点评 本题通过实际问题体现了数学建模及数学运算的核心素养.20.(★★★)若规定集合M={a 1,a 2,…,a n }(n ∈N *)的子集N={a x 1,a x 2,…,a x k }(k ∈N *)为M 的第k 个子集,其中k=2i 1-1+2i 2-1+…+2i k -1,例如P={a 1,a 3}是M 的第5个子集,则M 的第25个子集是 .20.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.1 集合考向 子集的概念,集合中新定义的应用思路分析 根据规定将25表示成2n 的形式,由规定求出M 的第25个子集.解析 k=2i 1-1+2i 2-1+…+2i k -1,又25=20+23+24=21-1+24-1+25-1,∴M 的第25个子集是{a 1,a 4,a 5}.答案 {a 1,a 4,a 5}三、解答题(本大题共5个小题,共40分。
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. （）A. B. C. D.2. sin 20 °cos 40 ° ＋cos 20 °s in 40 ° 的值等于（）A．______________________________________ B．C． D．3. 已知角的终边过点，，则的值是（）A．1或－1___________________________________ B．或C．1或___________________________________ D．－1或4. 下列命题正确的是（）A．若，则 =0B．若 = ，则 =C．若 // ， // ，则 //D．若与是单位向量，则 =15. 函数 f(x)=sin2x cos2x是（）A．周期为π的偶函数____________________________ B．周期为π的奇函数C ．周期为的奇函数.________________________ D．周期为的偶函数6. 将函数的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A． B．C．___________________________________ D．7. 若| ，且（）⊥ ，则与的夹角是（）A． B． C．D．8. 已知 , 且点在的延长线上, ,则点的坐标为（）A． B ． C ．___________________________________ D．9. 已知 , , 则的值为（）A ．______________ ______________B ．___________________________________________________ C ．______________________________ D ．10. 化简 + ，得到（）A．2sin5 B．－2cos5 C．－2sin5 D．2cos511. 函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（）A. B.C. D.12. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（）A．1 B． C．－D．二、填空题13. 已知向量 a＝(3，2) ， b＝(0，－1) ，那么向量 3b－a 的坐标是．14. 设－， , 则．15. 已知向量设 X 是直线 OP 上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是___________16. 关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数；写出所有正确的命题的题号：_________________________________ ．三、解答题17. 已知，，，，求的值.18. 已知 , ,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？19. 已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈( ,).（I）若| |=| |，求角α的值；（II）若，求的值.20. 已知， , 且 f(x)= . （1）求函数的解析式；（2）当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值.21. 已知关于x的方程的两根为和，∈（0，π）. 求：（I）m的值；（II）的值；（III）方程的两根及此时的值.22. 设，其中．（1）用a表示f(x)的最大值M(a)；（2）当M(a)=2时，求a的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018_ 2019学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试题
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试题时量：120分钟满分：100分一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图中阴影部分用集合可表示为2.下列四组函数，表示同一函数的是22A. ()()B. (),()lg10C. (),()||D. (),()xf xg x x f x x g xxf xg x x f x x g xx========3.已知0<a<1，则22log,2,aa a的大小关系是21A. ||()B. (0)C. ()D. ()y x x y xxy x x y x x=∈=≠=-∈=-∈RR R5.已知函数f（x）为奇函数，且当x>0时，21()f x xx=+，则f（-1）= A.-2 B.0 C.1 D.26.奇函数f （x ）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-2，则(6)(3)f f +-的值为A.10B.-10C.9D.15 ★7.函数31()log (32)f x x =-的定义域是22 A. , B. ,1(1,)3353 C. , D. ,32⎛⎫⎛⎫+∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.函数f （x ）=e x +x -2的零点所在的一个区间是A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）9.函数f （x ）=4x 2-a x -8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是A.a≤32B.a≥32C.a≥16D.a≤1610.设函数f （x ）=122,1()1log ,1x x f x x x -⎧=⎨->⎩…，则满足f （x ）≤2的取值范围是A. [1,2]B. [0,2]C. [1,)D. [0,)-+∞+∞11.在同一坐际系中，函数y=a x +a 与y=a x 的图象大致是12.今有一组实验数据如下表所示：则体现这些数据关系的最佳函数模型是1222A. B. log 11 C. 2 D. 32ty ty ty y t===⋅= 13.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD=DC=2，，动点P 从点A 出发，由A→D→C→B 沿边运动（如图所示），P 在AB 上的射影为Q ，设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y=f （x ）的图象大致是14.已知偶函数f （x ）在（-∞，0）上单调递减，且f （2）=0，则关于x 的不等式x f （x ）<0的解集是A.（-2，2）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-2，0）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（0，2）15.用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A*B=()(),()()()(),()()C A C B C A C B C B C A C A C B -⎧⎨-<⎩…，若A={1，2}，B={x |(x 2+a x )(x 2+a x +2)=0}，且A*B=1，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则C(S)=A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 16.计算：2-1★17.已知幂函数f （x ）的图象经过点（2且f(x 0)=3，则x 0=____. 18.设f(x )=a x 2+b x +2是定义在[1+a ，2]上的偶函数，则f （x ）的值域是____.19.已知函数y=6+c 2+2x （a ，b 是常数，且a>0.a ≠1）在区间[-，0]上有y ma x =3，y max =号，则常数a 的值等于_____.20.已知m ∈R ，函数22|21|,1()()221log (1),1x x f x g x x x m x x +<⎧==-+-⎨+>⎩，若函数y=f(g(x))- m 有6个零点，则实数m 的取值范围是_____。
2019湖南长郡中学高一(下)数学期中试卷(含答案解析)
2019湖南长郡中学高一（下）数学期中试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列四条直线，其倾斜角最大的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、2x﹣y+1＝0，其斜率k1＝2，倾斜角θ1为锐角，对于B、x+2y+3＝0，其斜率k2，倾斜角θ2为钝角，对于C、x+y+1＝0，其斜率k3＝﹣1，倾斜角θ3为135°，对于D、x+1＝0，倾斜角θ4为90°，而k2＞k3，故θ2＞θ3，故选：B．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系．2.一个边长为的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来正三角形面积的（）A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍【答案】A【解析】【分析】由已知中正△ABC的边长为a，可得正△ABC的面积，进而根据斜二测画法的规则求得△ABC的直观图的面积，作比可得答案．【详解】∵△ABC的边长为a，故正△ABC的面积S，∵采用斜二测画法后，底边长为a，而高为a，∴面积S′，∴S′S，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握斜二测画法的规则是解答的关键，属于基础题.3.在正方体中，异面直线与所成角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由∥可知异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，在等边三角形中易得结果.【详解】解：∵∥，∴异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，∵△DB为等边三角形，∴∠DB＝60°．∴异面直线与所成角为60°故选：C．【点睛】本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．4.已知两条不同直线与两个不同平面，下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】在A中，可能也可能；在B中，由线面垂直的性质定理得；在C中，可能l⊥m，也可能；在D中，可能也可能【详解】由l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，知：在A中，若，则可能也可能，故A错误；在B中，若，则由线面垂直的性质定理得故B正确；在C中，若，则可能l⊥m，也可能,故C错误；在D中，若，则可能，也可能，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，是中档题．5.圆的公切线的条数为 ( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线．【详解】∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线．故选：A．【点睛】本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题．6.一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意作出图形，利用直角三角形直接得半径，求体积．【详解】如图，由题意可知，圆面的直径为6，则O′A＝3，又OO′＝4，∴R＝OA＝5，∴，故选：C．【点睛】本题考查了球的体积公式及垂径定理的应用，属于基础题．7.两条平行直线和之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可得，两直线平行，得m=6，所以可化成，因此两直线的距离为=，综合故选A考点：两平行线间的距离公式；8.方程所表示的直线（）A. 恒过定点B. 恒过定点C. 恒过点和点D. 都是平行直线【答案】B【解析】【分析】方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0化为：a（x+2）﹣x﹣y+1＝0，令，解出即可得出．【详解】方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0化为：a（x+2）﹣x﹣y+1＝0，令，解得x＝﹣2，y＝3．所表示的直线恒过点（﹣2，3）．故选：B．【点睛】本题考查了直线系方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.在平面直角坐标系中，点，点在圆上，则的最大值为（）A. 3B.C.D. 4【答案】C【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则转化为求||，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．【详解】∵||＝||≤|OB|+|OA|＝22，故选：C．【点睛】本题考查了考查了向量减法的运算法则，向量在几何中的应用问题，属于中档题．10.在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，bc=4，则△ABC的面积为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】试题分析：由结合余弦定理，可得，则．故答案选C．考点：余弦定理，同角间基本关系式，三角形面积公式．11.若的三内角分别为，满足，则的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角范围得到，再结合三角函数正弦图像得到结果.【详解】在△ABC中，内角A、B满足,，根据正弦函数的图像的性质得到或故三角形是等腰三角形或者直角三角形.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了三角函数的性质以及三角形内角和性质,属于基础题.12.已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】由方程表示一个圆得到k2﹣k﹣6＞0，求出解集即可得到k的取值范围．【详解】方程表示圆，则有,即k2﹣k﹣6＞0，即（k﹣3）（k+2）＞0可化为或，解得k＞3或k＜﹣2，故选：D．【点睛】本题考查了圆的一般方程，掌握二元二次方程为圆时的条件，会求一元二次不等式的解集，是一道综合题．13.若曲线与直线始终有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出两个函数的图象，观察图象，利用直线与圆相切可得b的一个临界值，进而求得结论.【详解】∵y表示在x轴上方的部分（包括x轴上的点），作出函数y与y＝x+b图象，由图可知：当直线与圆相切时，，即得,结合图像可知，又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线与直线始终有公共点，则﹣1.故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想，属于中档题．14.一个几何体的三视图如图所示，其中三个三角形均是直角三角形，图形给出的数据均是直角边的长度，则该几何体的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，将该三棱锥补成棱长为2、1、1的长方体，再根据长方体性质求外接球的半径即可．【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥，且底面为直角三角形(形状与俯视图相同)，侧棱垂直于底面，将该三棱锥补成棱长为2、1、1的长方体,其外接球的直径为2R．则该几何体的外接球的体积为V．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．属于中档题．15.设圆圆.点分别是圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对称的性质，结合两点之间的距离最短，即可求解．【详解】依题意可知圆C1的圆心（5，﹣2），r＝2，圆C2的圆心（7，﹣1），R＝5，如图所示：对于直线y＝x上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，即可看作直线y＝x上一点到两定点距离之和的最小值减去7，又C1关于直线y＝x对称的点为C1′（﹣2，5），由平面几何的知识易知当C1′与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|取得最小值，即直线y＝x上一点到两定点距离之和取得最小值为|C1′C2|∴|PA|+|PB|的最小值为＝﹣7．故选：C．【点睛】本题考查了圆关于直线的对称的圆的求法，动点的最值问题，考查了点与点的距离公式的运用，是中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________【答案】或【解析】【分析】当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式．当直线不过原点时，设直线的方程为，把P代入直线的方程，求出m值，可得直线方程．【详解】当直线过原点时，斜率等于，故直线的方程为y x，即3x-2y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为，把P（2，3）代入直线的方程得m＝5，故求得的直线方程为x+y﹣5＝0，综上，满足条件的直线方程为3x-2y=0或x+y﹣5＝0．故答案为3x-2y=0或x+y﹣5＝0．．【点睛】本题考查直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，注意考虑截距为0的情况．17.若圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的直径为___________【答案】6【解析】【分析】利用圆锥的表面积公式即可求出圆锥的底面半径．【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr＝πl，∴l＝2r，∵圆锥的表面积为πr2+πrl＝πr2+2πr2＝27π，∴r2＝9，即r，2r=6，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆锥的表面积公式以及应用，利用条件建立母线和半径之间的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.设点是圆内部一点，则过点最短的弦所在的直线方程是___________【答案】【解析】【分析】先求出圆心和半径，由于点P在圆内，故当弦所在的直线和线段CP垂直时，弦长最短．求得弦所在直线的斜率，用点斜式求弦所在的直线的方程．【详解】圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，表示以C（2，1）为圆心，半径等于的圆，所以点P在圆内，故当弦所在的直线和线段CP垂直时，弦长最短．此时弦CP所在直线的斜率为：1，故过P的最短弦所在的直线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即x+y﹣5＝0．故答案为：x+y﹣5＝0．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点与圆的位置关系，用点斜式求直线的方程．判断当弦所在的直线和线段CP垂直时，弦长最短，是解题的关键，属于中档题．19.已知长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值是________________【答案】【解析】【分析】过C1作C1H D1C，又C1H，则C1H面则∠C1BH即为直线BC1与平面A1BCD1所成角,在直角三角形C1HB中，可得结果.【详解】∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，∴BC1，过C1作C1H D1C，又面DCC1D1则C1H，则C1H面连接HB，则∠C1BH即为直线BC1与平面A1BCD1所成角,又C1H==，∴sin∠C1BH．故答案为．【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的作法及求法，考查了线面垂直的判定，属于中档题．20.圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___．【答案】【解析】【分析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，求出CD长，根据垂径定理求出PC=2CD，即可得出答案．【详解】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作AD⊥PC于D，弧PC的长是2π⋅1=2π，则侧面展开图的圆心角是，∴∠DAC=，∵AC=3，∴，所以.即蚂蚁爬行的最短路程是.故答案为：.【点睛】考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21.已知直线，.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m的值．【详解】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．（2）由题意可知m不等于0,由l1∥l2 可得，解得m＝﹣1．【点睛】本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．22.如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若异面直线与所成角为，求直三棱柱的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由已知中的几何体为直三棱柱，，是的中点，结合直三棱柱的几何特征以及等腰三角形三线合一的性质，易得平面，（2）根据异面直线所成角的定义，以及角的大小，求得，利用柱体的体积公式求得结果.【详解】（1）证明：由，得，而平面平面，平面平面，平面.又平面，平面平面.（2）解：连接，由知是异面直线与所成角,，易知是正三角形，依题意得，，三棱柱的体积为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，异面直线所成的角，柱体的体积公式，属于简单题目.23.已知圆过，两点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，结合题意可得关于a、b、r的方程组，解出a、b、r 的值，将其值代入圆的方程即可得答案；（2）根据题意，分斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l 的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合即可得答案．【详解】（Ⅰ）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，则圆C方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，又由圆C过A（﹣2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y＝0上，则有，解可得a＝﹣2，b＝6，r2＝16，则圆C的方程为（x+2）2+（y﹣6）2＝16；（2）根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则|MN|＝4，设D是线段MN的中点，则有CD⊥MN，则|MD|＝2，|MC|＝4．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2．当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x＝0，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y﹣5＝kx，即kx﹣y+5＝0．由点C到直线MN的距离公式：2，解可得k，此时直线l的方程为3x﹣4y+20＝0．故所求直线l的方程为x＝0或3x﹣4y+20＝0．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．24.在中，角的三条对边分别为，.(1)求；(2)点在边上，，，，求.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）由题意利用正弦定理与三角恒等变换求出sin B与cos B的关系，得出tan B的值，从而求出B的值；（2）根据互补的两角正弦值相等，得到sin∠ADB＝sin∠ADC的值，再利用正弦、余弦定理求得AD、AC的值．【详解】（1）由b cos C b sin C＝a，利用正弦定理得：sin B cos C sin B sin C＝sin A，即sin B cos C sin B sin C＝sin B cos C+cos B sin C，得sin B sin C＝cos B sin C，又C∈（0，π），所以sin C≠0，所以sin B＝cos B，得tan B，又B∈（0，π），所以B；（2）如图所示，由cos∠ADC，∠ADC∈（0，π），所以sin∠ADC，由因为∠ADB＝π﹣∠ADC，所以sin∠ADB＝sin∠ADC；在△ABD中，由正弦定理得，，且AB＝4，B，所以AD；在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC24，解得AC＝2．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理的应用，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．25.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：（I）记与的交点为，连接，∵、分别是的中点，是矩形∴四边形是平行四边形，∴∥，∵平面平面，∴∥平面6分（Ⅱ）在平面中过作于，连接，∵∴平面，∴是在平面上的射影，由三垂线定理点得∴是二面角的平面角，在中，，∴二面角的大小为8分另解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设与交于点，则（I）易得：，则∥，由面，故∥面；（Ⅱ）取面的一个法向量为，面的一个法向量为，则，故二面角的大小为．考点：证明线面平行及求二面角。
湖南省长沙市长郡中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题时量：120分钟满分：100分一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图中阴影部分用集合可表示为2.下列四组函数，表示同一函数的是22A. ()()B. (),()lg10C. (),()||D. (),()xf xg x x f x x g xxf xg x x f x x g xx========3.已知0<a<1，则22log,2,aa a的大小关系是21A. ||()B. (0)C. ()D. ()y x x y xxy x x y x x=∈=≠=-∈=-∈RR R5.已知函数f（x）为奇函数，且当x>0时，21()f x xx=+，则f（-1）=A.-2B.0C.1D.26.奇函数f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-2，则(6)(3)f f+-的值为A.10B.-10C.9D.15★7.函数31()log (32)f x x =-的定义域是 22 A. , B. ,1(1,)3353 C. , D. ,32⎛⎫⎛⎫+∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.函数f （x ）=e x+x -2的零点所在的一个区间是A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）9.函数f （x ）=4x 2-a x -8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是A.a≤32B.a≥32C.a≥16D.a≤16 10.设函数f （x ）=122,1()1log ,1x x f x x x -⎧=⎨->⎩…，则满足f （x ）≤2的取值范围是A. [1,2]B. [0,2]C. [1,)D. [0,)-+∞+∞ 11.在同一坐际系中，函数y=a x +a 与y=a x的图象大致是12.今有一组实验数据如下表所示：则体现这些数据关系的最佳函数模型是1222 A. B. log 11 C. 2 D. 32ty ty t y y t ===⋅= 13.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD=DC=2，，动点P 从点A 出发，由A→D→C→B沿边运动（如图所示），P 在AB 上的射影为Q ，设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y=f （x ）的图象大致是14.已知偶函数f （x ）在（-∞，0）上单调递减，且f （2）=0，则关于x 的不等式x f （x ）<0的解集是A.（-2，2）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-2，0）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（0，2）15.用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A*B=()(),()()()(),()()C A C B C A C B C B C A C A C B -⎧⎨-<⎩…，若A={1，2}，B={x |(x 2+a x )(x 2+a x +2)=0}，且A*B=1，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则C(S)=A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16.计算：2-1=_____.★17.已知幂函数f （x ）的图象经过点（2），且f(x 0)=3，则x 0=____.18.设f(x )=a x 2+b x +2是定义在[1+a ，2]上的偶函数，则f （x ）的值域是____.19.已知函数y=6+c2+2x （a ，b 是常数，且a>0.a ≠1）在区间[-，0]上有y ma x =3，y max =号，则常数a的值等于_____. 20.已知m ∈R ，函数22|21|,1()()221log (1),1x x f x g x x x m x x +<⎧==-+-⎨+>⎩，若函数y=f(g(x))- m有6个零点，则实数m 的取值范围是_____。