相似三角形讲义

《相似三角形》讲义一． 教学目标：1．知识目标：（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比； （2）掌握判定三角形相似的预备定理。

2．能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。

增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。

3．情感目标：加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。

二． 教学重点、难点：重点：相似三角形的概念及判定的预备定理难点：当两个相似三角形部分重叠时，判别它们的对应角和对应边以及例1的证明 三． 教学过程：(一) 类比联想，动手实验1．回顾全等三角形的含义（两个三角形形状、大小相同，能够完全重合），全等三角形所具有的性质（对应边、对应角相等）。

2．让学生动手画一个三角形及三角形的一条中位线，教师提问：三角形的中位线所截的三角形与原三角形的形状有什么关系？大小呢？各角有什么关系？各边有什么关系？（二）直观演示，展示新知 A1．相似三角形的定义 ’将上面所截得的三角形移出,记为’B ’C ’，原三角形 B C B记为，因此有 A= A ， B= B ’,=∠C ∠C ’,21//////===CA A C BC C B AB B A ,形虽然大小不一定相等，但形状相同。

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。

2．表示方法：教师介绍表示法，同时强调应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（可以以此与全等符号及表示作一比较，加强记忆）。

3．相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

4．相似比：相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）。

强调：’B’C 的相似比是k ，则’B’ C ’的相似比是k1。

练习：判断下列命题是否正确。

错误的，举出反例；正确的，用定义加以说明：⑴所有的等腰三角形都相似。

⑵所有的等边三角形都相似。

⑶所有的直角三角形都相似。

⑷所有的等腰直角三角形都相似。

教师示范一个规范过程，让学生模仿，学会用定义来解决问题。

A（三）范例研讨，迁移练习：1．例1。

如图，在中， D E DE//BC ，D,E 分别在AB ，AC 上。

B F C求证：△ADE ∽△ABC 师生共同探讨：（1） 目前要证明两个三角形相似只能根据什么？（定义）（2） 根据定义证明两个三角形相似，要证明满足哪两个条件？（对应角相等，对应边成比例）（3） △ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？（4） 对应边成比例，由“DE//BC ”的条件可得到怎样的比例式？ ⎪⎭⎫⎝⎛=EC AE AB AD （5） 本题的关键归结为“只要证明什么”？⎪⎭⎫⎝⎛=BC DE AC AE （6） 根据以前的推论，如何把DE 移到BC 上去，即应添怎样的辅助线？（EF//AB ） 教师板演证明过程。

2．如图，DE//BC ，D 、E 分别在BA 、CA 的延长线上， D E△ADE 与△ABC 相似吗？ A ——相似C B由此得到预备定理：3．定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

4．例2，如图，D 为△ABC 的AB 边上的一点，过点D 作 C DE//AC ，交BC 于E ，已知BE ：EC=2：1，AC=6CM ，求DE 的长。

5、练习：P122页1、2、36、课后拓展（机动）： （1）如图甲，已知，则AD ：AB= ： ，AB ：BD= ：，DC=1，那么AB= （2），如图乙，在中，AD 是角平分线，求证：DCBDAC AB =。

A A DB C B D C图甲 图乙五、归纳总结、布置作业：1．今天学习了相似三角形的定义，它既是三角形相似的判定，又是相似三角形的性质，同时可知全等三角形是相似三角形的特殊情况，其相似比是1；2．平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3．作业相似三角形2四． 教学目标：1．知识目标：（1）近一步理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比； （2）巩固判定三角形相似的预备定理及应用 ⑶ 掌握判定三角形相似的其他三个方法2．能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。

增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。

3．情感目标：加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。

五． 教学重点、难点：重点：判定三角形相似的其他三个方法难点；判定三角形相似的其他三个方法及应用 三 课堂探究：探究一在一张方格纸上画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角 ⑴ 它们有什么特点？⑵你认为这两个三角形之间是什么关系？⑶/C/C 中，//////C A ACC B BC B A AB == ， 求证；△ABC ∽△///C B A证明：截AB D A =/，过D 作DE ∥//C B ⇒△DE A /∽△///C B A△ ABC ≌△DE A /⇒△ABC ∽△///C B A结论：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似备注 探究二利用刻度尺和量角器画△ABC 和△///C B A ，使∠A=∠/A ，K CA ACB A AB ==////， 量BC 、//C B 的长度，量∠B 、∠C 、∠/B 、∠/C 的度数 ①你发现BC 、//C B 的长度有什么关系？②你发现∠B 、∠C 、∠/B 、∠/C 的度数有什么关系？ ③由①、②能得△ABC 和△///C B A 有什么关系？结论：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似 ④改变∠A 和K 的大小，是否有同样的结论？ ⑤请同学们自己证明这个结论⑥△ABC 和△///C B A ，使∠B=∠/B ，////CA ACB A AB = ， 这两个三角形相似吗？ 探究三作△ABC 和△///C B A ，使∠A=∠/A 、∠B=∠/B ，分别度量两个三角形的边长 ①你发现∠C 与∠/C 有什么关系？ ②你发现//B A AB 、//C B BC 、//AC CA有什么关系？ ③由①、②能得△ABC 和△///C B A 有什么关系？结论：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似④请同学们自己证明这个结论 四 例题欣赏例1：根据下列条件，判断△ABC 和△///C B A 是否相似，并说明理由？ ①∠A=0120、AB=7㎝、AC=14㎝ ∠/A =0120、//B A =7㎝、//C A =14㎝ ② AB=4㎝、 BC=6㎝、AC=8㎝//B A =12㎝、 //C B =18㎝、//C A =21㎝ 五、 课堂练习1、根据下列条件，判断△ABC 和△///C B A 是否相似，并说明理由？ ①∠A=040、AB=8㎝、AC=15㎝ ∠/A =030、//B A =16㎝、//C A =30㎝ ② AB=10㎝、 BC=8㎝、AC=16㎝//B A =20㎝、 //C B =16㎝、//C A =32㎝2、图中的两个三角形是否相似/3、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个的三边长为3、4、5，另一个三角形的一边长为2，它的另两条边长为多少？你有几个答案？4、底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论？5如图：Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△ACBD和△ABC相似吗？证明你的结论？六、归纳总结、布置作业：4．今天学习了相似三角形的三个判定，5．作业相似三角形的性质教学目标：知识与技能1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。

2、灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析，推理能力。

过程与方法：1、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。

2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。

3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。

情感与态度：在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用。

教学重点：相似三角形性质定理的探索及应用教学难点：综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系教学方法与手段：探究式教学、小组合作学习、多媒体教学教学过程：一、创设情境，引入新课1、我们已经学了相似三角形的哪些性质？2、问题情境：某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。

现在的问题是：被削去的部分面积有多少？周长是多少？你能解决这个问题吗？二、实践交流，探索新知1、看一看：△ABC与△A′B′C′有什么关系？为什么？2、算一算：△ABC与△A′B′C′的相似比是多少？△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比是多少？3、想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？4、验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？5、在学生思考、讨论的基础上给出证题过程（多媒体）6、归纳小结；相似三角形性质定理2相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

三、基础训练，加深理解归纳：周长比等于相似比；已知相似比、周长比，求面积比要平方，已知面积比求相似比或周长比则要平方。

四、综合应用，解决问题已知：如图，DE∥BC，AB=30m，BD=18m，△ABC的周长为80m，面积为100m2，求△ADE的周长和面积？五、拓展延伸，共同提高1、过E作EF∥AB交BC于F，其他条件不变，则△EFC的面积等于多少？平行四边形BDEF的面积为多少？2、若设S△ABC=S，S△ADE=S1，S△EFC=S2，试猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？六、类似猜想，深入探究探究：如图，DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，且DE、FG、MN交于点P，若设S△DMP=S1，S△PEF=S2，S △GNP=S3，S△ABC=S，S与S1、S2、S3之间是否也有类似结论？猜想并加以论证。

七、回顾反思，畅谈心得本节课你有何收获？1、这节课我们学到了哪些知识？2、我们是用哪些方法获得这些知识的？3、通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？八、布置作业1、作业本2、3（2）（3）、4、52、探究推理过程课外整理完成，各组自行组织讨论交流。