函数典型题型集锦

一、函数的表示法，分段函数，区间。

1．用“零点法”把绝对值符号去掉，将函数31--+=x x y 化为分段函数的形式。

31--+=x x y =??

??--4224

x 3311>≤<--≤x x x

二、函数的解析式

1、已知??

??+=10

)(x x f π )

0()0()0(>=

2、已知f (x )=x 2

-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]

解：f [g (x )]=（

1+x ）2-1=x +2x

3．若)21(x x x f +=+,求f (x )。解法一（换元法）：令t =

1+x 则x =t 2-1, t ≥1代入原式有

1)1(2)1()(2

-=-+-=t t t t f ∴1)(2

-=x x f （x ≥1）

解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x ∴1)1()1(2-+=+x x f

1+x ≥1 ∴f (x )=x 2-1 (x ≥1)

4．若x

x f -=

1)1

( 求f (x ) 解：令x t 1= 则t

x 1

= (t ≠0) 则11111

)(-=-=t t

t t f

∴f (x )=1

-x (x ≠0且x ≠1)

5．已知f (x )=ax +b ,且af (x )+b =ax +8 求f (x )

解：（待定系数法）

∵af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2

x +ab +b ∴?

??=+=892b ab a

解之??

?==23b a 或 ???-=-=4

b a ∴f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4

6．已知f (x )是一次函数, 且f [f (x )]=4x -1, 求f (x )的解析式。解：（待定系数法）设f (x )=kx +b 则 k (kx +b )+b =4x -1

则??

?-==????-=+=3121)1(42b k b k k 或 ???=-=12b k ∴3

2)(-

=x x f 或12)(+-=x x f 7．[]2

21)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x ≠0) 求)2

(f 解一：令x t 21-= 则 21t x -= ∴2

222

21234

)1(4)1(1)(t

t t t t t t f +--+=---

= ∴154

11141

13)2

1(=+

f 8．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A 。设x 表示P

点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数。

解：如图当P 在AB 边上运动时, PA =x

当P 在BC 边上运动时 PA =2

)1(1-+x 当P 在CD 边上运动时PA =2

)3(1x -+ 当P 在DA 边上运动时PA =4-x

∴???

????-+-+-=x x x x x y 410

6222

2 )43()32()21()

10(≤<≤<≤<≤≤x x x x 9．设,)(3

--+=+x x x x f 2

21)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。

解：)1

(3)1()1(3x

x x x x x f +-+=+ ∴x x x f 3)(3-=

A P B

2)1

()1(2-+=+

x x x g ∴2)(2-=x x g ∴ []=)(x g f 296246-+-x x x

10．已知 2

1)1(x x x

f ++= (x >0) 求f (x ) )11(

2x x ++ 11．已知 x x x f 2)12(2

-=+ 求f (x )

三、函数图象

1．画出下列函数的图象。

(1)x

y )1(-= {}3,2,1,0∈x (2) x x y --=1 (3)x x x y -+=0

)21(

解：解：?

?-=--=121

1x x x y )1()1(<≥x x

注意：由于定义域从而导致注意：先写成分段函数再作图。函数图象只是若干个孤立点。

解：定义域为 ?????

≠--

≠0

21x x x 0

强调：定义域十分重要。

2．根据所给定义域，画出函数222

+-=x x y 的图象。 1。

R x ∈ 2。

]

2,1(-∈x 3。

]2,1(-∈x 且x ∈Z

3．已知??

??--=123)(2πx x f )0()0()0(<=>x x x 画出它的图象，并求f (1),f (-2)。

解：f (1)=3×12

-2=1

f (-2)=-1

四、关于函数图象的变换

（一）平移变换研究函数y =f (x )与y =f (x +a )+b 的图象之间的关系

1.函数2

)1(+=x y -2和1)2

1(2+-=x y 的图象分别是由2

x y =函数的图象经过如何变

化得到的。

）将2x y =的图象沿 x 轴向左平移1个单位再沿y

轴向下平移

2个单位得2

)1(+=x y -2的图象；

2）将2

x y =的图象沿

轴向右平移

个单位再沿y 轴向上平移1个单位得函数

1)2

(2+-=x y 的图象。

小结：1。将函数y =f (x )的图象向左（或向右）平移|k |个单位（k >0向左,k <0向右）

得y =f (x +k )图象；

2．将函数y =f (x )的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）

得y =f (x ) +k 图象。

（二）对称变换函数y =f (x )与y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象分别关于x 轴、y 轴、

原点对称 2.设x

x f 1

)(=

(x >0)作出y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象。横坐标不变，纵坐标纵坐标不变，横坐标横坐标与纵坐标都取相反数取相反数取原来相反数

图象关于X 轴对称图象关于Y 轴对称图象关于原点对称

（三）翻折变换由函数y =f (x )的图象作出y =|f (x )|与y =f (|x |)的图象

y 1

3.作出函数y =|x 2-2x -1|及y =|

x |2

2|x

|-1的图象。

2y =x 2

-2x -1

y =-(x 2

-2x -1)

步骤：1.作出

函数y =x 2-2x -1的图象

2．将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴

向上翻折（上方部分不变），即得y =|x 2-2x -1|的图象。分析2：当x ≥0时 y =x 2

-2x -1 当x <0时 y =x 2

+2x -1 即 y =(-x )2-2(-x )-1 步骤：1）作出y =x 2

-2x -1的图象； 2）y 轴右方部分不变，再将右方部分以y 轴为对称轴向左翻折，即得y =|x |2

-2|x |-1的图象。

小结：将y =f (x )的图象，x 轴上方部分不变，下方部分以x 轴为对称轴向上翻折即得

y =|f (x )|的图象；

将y =f (x )的图象，y 轴右方部分不变，以y 轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y =f (|x |)的图象。

4.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该生走法1 (A) (B) (C) (D)

解： A 、C 图中t=0时d=0即该生一出家门便进家门（与学校距离为0）应排除，B 、

D 中因该生一开始就跑步与学校距离迅速减小。故应选D 。

5.讨论函数273++=

x x y 的图象与x

y 1

=的图象的关系。（《精编》 P79）解： 273++=

x x y 2

32163++=+++=x x x

可由x y 1=

的图象向左平移两个单位得2

1+=x y 的图象，再向上平移三个单位得