衍射光栅

1 1 5 d 10 m 3 600 10 6
kmax
105 3 d 7 6 4.8 10
o d (sin sin 3 0 ) k (2)
当 = 90o
时 k max 5
当 = -90o 时 kmax 1
1 1 102 mm 100 ab 第四级主极大缺级，故有 4 k 1 k 4 a a b 1 102 k 1 时 a 2.5 103 mm 4 4 k 2 时，第二级主极大也发生缺级，不符题意，舍去。
ab 1 102 3 3 7.5 103 mm k 3 时， a 4 4
d sin k
k 0,1,2,3,
— 光栅方程
3. 缺级条件分析 多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光 强大小不同，在单缝衍射光强极小处的主极大缺级。 缺级条件
d sin k a sin k
k k
如
sin k a k d
第 k 级主极大角宽度
k kN 1 kN 1
2 Ndcos明k
N 越大，主极大角宽 度越小，条纹越细。
四. 光栅光谱及分辨本领
1. 光栅光谱
-3级 白光的光栅光谱 3级
-2级
-1级
0级
1级
2级
2. 光栅的色分辨本领
( 将波长相差很小的两个波长 和+ 分开的能力 )
81I 0
I
随着N 的增大，主极 大变得更为尖锐，且 主极大间为暗背景
m 1
m0
m 1
N 9 缝干涉强度分布
三. 光栅的夫琅禾费衍射
1. 单缝衍射和缝间干涉的共同结果
N 1
N 5
N 2
N 6
N 3
几种缝的光栅衍射
N 20
2. 光栅方程 缝间干涉主极大就是光栅衍射主极大，其位置满足
当这些振动矢量组成的多边形封闭时，合矢量为零，对应点 为暗纹，则 暗纹条件
N δ 2mπ
其中
δ
2π

d sin
为相邻光振动矢量夹角
Nd sin m
m 1,2,, N 2, N 1, N 1, N 2
例 设光栅常数为 d ，总缝数为 N 的光栅,当入射光波长为 时，分析其夫琅禾费衍射主极大条纹角宽度与 N 的关系。 解 暗纹位置满足条件
sin 1
取k=-1
考虑缺级,实际看到 -1,0,1,3,5
由斜入射的光栅方程知：
d (sin sin ) k k确定时，调节 i，则 相应改变。
例如，令k = 0
则 dsin = dsin
N


p
B
a sin θ
a sin
相邻入射光的相位差

2π

dsin
(a b)(sin i sin ) k
i 300
0 90 sin 1 看到最多
sin 1
k (a b)(1 sin 30 )
0


2 10 6 59 10
3 2 5.08 8
取k=5
1 6 2 10 ( ) (a b)( 1 sin 30 0 ) 2 1.69 k 59 10 8
2π
sin

2πd

dsin

上式表明：改变相位差即可改变零级衍射光的方向 ( 此结论 就是“相控阵雷达”的基本原理)。
* 相控阵雷达
d
移
靶目标

相

n
微波源
器
辐射单元
一维阵列的相控阵雷达
图示为一维阵列的相控阵雷达。
1.扫描方式 · 相位控制扫描 用电子学方法周期性地连续改变相邻辐射单元的位相差，则 零级主极大的衍射角 也连续变化，从而实现扫描。 · 频率控制扫描
符合题意的缝宽有两个，分别是2.5×10-3 mm 和2.5×10-3 mm
D 10 (2) 光栅总的狭缝数 N 2 103 a b 10
设第二级主极大的衍射角为 2N ，与该主极大相邻的暗纹
( 第2N +1 级或第2N - 1 级 ) 衍射角为 2N -1 ，由光栅方程 及暗纹公式有
N (a b) sin m
第 k 级主极大相邻的两暗纹有
m 1,2,, N 1, N 1,
Nd sin kN 1 (kN 1) Nd sin kN 1 (kN 1)
m kN 1 m kN 1
Nd (sin kN 1 sin kN 1 ) 2 Ndcos kN 1 ( kN 1 kN 1 ) 2
也可以固定相位差而连续改变来改变，实现扫描。
2.回波接收 靶目标反射的回波也可通过同样的天线阵列接收。改变相位差 就能接收来自不同方位的波束。然后用计算机处理，提供靶目 标的多种信息—大小，速度，方位实际的相控阵雷达是由多 个辐射单元组成的平面阵列，以扩展扫描范围和提高雷达束强 度。
3.相控阵雷达的优点
(1)无机械惯性，可高速扫描，一次全程扫描仅需几s。 (2) 由计算机控制可形成多种波束，同时搜索、跟踪多个目 标。 (3) 不转动、天线孔径可做得很大，从而有效地提高辐射功 率、作用距离、分辨率。 4.应用
我国和世界上许多大国都拥有相控阵雷达，
· 军用(如“爱国号”导弹的雷达)
· 设在美国鳕角(Cape cod)的相控阵雷达照片 (阵列宽31m，有 1792 个辐射单元，覆盖 240o 视野。能探测到 5500 公里范围内 的10m2大小的物体。用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星。)
2. N 缝干涉 对N 缝干涉两主极大间 有N - 1个极小， N - 2 个次极大。
衍射屏上总能量
m 1
4I 0
I
m 1
m0
N 2 缝干涉强度分布
25I 0
I
EN
m 1 m0 m 1
主极大的强度 I N 2 由能量守恒，主极大的 宽度 1 N
N 5 缝干涉强度分布
d a
k 1,2,3,
k 2,4,6 k 3,6,9
缺级 缺级
d a2
d a3
缺级
单缝衍射
光栅光谱
暗 单缝衍射 明纹 明
暗 暗纹 暗
缝间干涉
加强
减弱
4. 暗纹条件 光栅衍射中，两主极大条纹之间分布着一些暗纹，这是缝 间干涉相消而成。 设光栅总缝数为 N，各缝在观察屏上某点 P 引起的光振动 矢量为 E1 , E2 , , Ei , , EN
k = 0, 1, 2, 3… 缺级条件

N
A
p
a(sin sin ) k ' d (sin sin ) k
π π ( ) 最多明条纹数 2 2
B
a sin θ
a sin
k max
d π (sin sin ) 2
k 称为主极大级数
o
f
相邻两缝在 P点引起的光振动相位差为
δ 2π

d sin

2kπ
A 5A A
主极大强度
2 I A 52 I
A 为主极条件下单缝在 P 点引起光振动矢量的振幅

暗纹条件
各缝光振幅矢量: A1 , A2 , A3..., A5 2π 相邻矢量相位差: δ d sin 暗纹条件 5 δ 2mπ
d (sin sin ) k a(sin sin ) k '
d k k k 1,2,3, a
例 每毫米均匀刻有100条线的光栅，宽度为D =10 mm，当波 长为500 nm的平行光垂直入射时，第四级主极大谱线刚好 消失，第二级主极大的光强不为 0 。 求 (1) 光栅狭缝可能的宽度； (2) 第二级主极大的半角宽度。 解 (1) 光栅常数 a b
1
2k
只考虑单缝衍射强度分布
P
x
6 3
1 I I0
d
s1
a
f
o
0 3 6k
d 3a
只考虑双缝干涉强度分布
1 I I0
结论：
屏上的强度为单缝衍射和缝间 干涉的共同结果。
1
0
1
k
双缝光栅强度分布
二. 多缝干涉
1. 五缝干涉例子

L
P

ab
d sin
主极大角位置条件

d sin k k 0,1,2,
第四节 衍射光栅
一. 衍射光栅
1. 光栅 — 大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件
透射光栅
反射光栅
2 . 光栅常数d
d ab
光栅宽度为 l ，每毫米缝数 为 m ，则总缝数
a
透光宽度
b
不透光宽度
N ml
3. 光栅衍射的基本特点 以二缝光栅为例
x
s2
2
1
1 I I0
0
1,k 为波长1第k 级主极大半角宽度，且
1,k
由(1) 、(2) 得 讨论 增大主极大级次 k 和总缝数 N ，可提高光栅的分辨率。

Nd cos 1,k
(2)
( 光栅的色分辨本领 )
R kN
五. 斜入射的光栅方程
主极大条件
d (sin sin ) k
1 5000 ab
k
ab

2 10 6 3.4 8 59 10
k取整数k 3
又 缺级
k
ab k 2k ' a
故2,4,6……缺级
所以实际看到 0,1, 3
i

(2). 入射光以i入射 (a b) sin i (a b) sin
说明 (1) 斜入射级次分布不对称 (2) 斜入射时，可得到更高级次的光谱，提高分辨率。 (3) 垂直入射和斜入射相比，完整级次数不变。 上题中垂直入射级数 k 3,2,1, 0, 1, 2, 3 斜入射级数 k 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 (4) 垂直入射和斜入射相比，缺级级次相同。
色谱仪的色分辨率 R
光栅的色分辨率
设两波长1 和2 = 1+ 在第k 级刚好能被光栅分辨，则有
Βιβλιοθήκη Baidu
d sin 1,k k1 d sin 2,k k2
d cos 1,k 1, 2,k k (1)
其中
1, 2,k 2,k 1,k
根据瑞利判据：当 1, 2,k 1,k 时刚能分辨
N (a b) sin 2 N 2 N N (a b) sin 2 N 1 (2 N 1)
代入数据后，得 2 N 5.739 第二级主极大的半角宽度

2 N 1 5.742
2 N 1 2 N 0.003
6 5900 A ，缝宽 a 110 m 。求： 例题1. 已知光栅5000条/cm，
0
(1). 光垂直入射光栅，最多有几级明纹？ (2). 光以入射角射至光栅，最多有几级明纹？
解：(1)
1 cm 2 10 6 m 5000 (a b) sin ( a b ) sin k k 明纹条件： 0 90 能看到最多级 sin 1 ab
A4
A3
A2
A5
5d sin m
m 1,2,,4,6,,9,11,
I/I
A1

-6
结论
-5
-4
-3
-2
-1
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 k
(1) 对五缝干涉，相邻两主极大间有4个极小，3个次极大。 (2)主极大光强是相应位置处单缝引起光强的 52 倍。
设在澳大利亚 Sydney 大学的一维射电望远镜阵列 (N=32 ， =21cm，a = 2m，d = 21m，阵列长213m) 民用，如地形测绘、气象控测、导航、测速(反射波的多普 勒频移)、
kmax
d π (sin - sin ) 2
N kmax kmax 1
例 一束波长为 480 nm 的单色平行光，照射在每毫米内有600 条刻痕的平面透射光栅上。 求 (1) 光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱？ (2) 光线以 30o入射角入射时，最多能看到第几级光谱？ 解 (1) d sin k